一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解法及其（課堂PPT）

1、.16 一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程的數(shù)一維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)方程的數(shù)值解法及其應(yīng)用值解法及其應(yīng)用.26.1 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的通用控制方程一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的通用控制方程 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程離散化、邊界條件及源項的處一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程離散化、邊界條件及源項的處理及非線性代數(shù)方程的求解方法等對對流問題數(shù)理及非線性代數(shù)方程的求解方法等對對流問題數(shù)值解也適用。值解也適用。 一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的通用形式為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程的通用形式為 （1）式中：式中： x 與熱量傳遞方向相平行的坐標(biāo)與熱量傳遞方向相平行的坐標(biāo) s 源項源項 導(dǎo)熱系數(shù)導(dǎo)熱系數(shù)0ddTSdxdx.3對控制容積對控制容積P做積分導(dǎo)出其方程的離散形式做積分導(dǎo)出其方程

2、的離散形式對于源項對于源項S，常表示為溫度的函數(shù)，常表示為溫度的函數(shù) S=SC+SPTP式中：式中： SC - 常數(shù)，常數(shù)， SP - P點(diǎn)的斜率點(diǎn)的斜率 TP - P點(diǎn)的溫度點(diǎn)的溫度.4對控制方程在控制容積對控制方程在控制容積P中進(jìn)行積分得：中進(jìn)行積分得：0VVddTdVSdVdxdx式中V是控制體積的體積值，當(dāng)控制體積微小時， V可以表示為X*A,這里A是控制體積界面的面積，這里取1，于是V= X從而有從而有0CPPewdTdTx SS Tdxdx.5對擴(kuò)散項對擴(kuò)散項T 隨隨x 呈分段線性分布得：呈分段線性分布得：EPeeeTTdTdxx整理得：整理得： PWwwwTTdTdxx0PWEP

3、CPPewewTTTTx SS Txx.6ewewPpEWcewewTSxTTSxxxxx簡化成簡化成 PPEEWWa Ta Ta Tb（2） ,ewEWewPEWpcaaxxaaaSxbSx一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的離散形式一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的離散形式 .7系數(shù)系數(shù)aE，aW：1）分別代表了節(jié)點(diǎn)分別代表了節(jié)點(diǎn)P,E間及間及W,P間導(dǎo)熱阻力的倒數(shù)（熱導(dǎo)），間導(dǎo)熱阻力的倒數(shù)（熱導(dǎo)），其大小反映了節(jié)點(diǎn)其大小反映了節(jié)點(diǎn)E,W處的溫度對處的溫度對P點(diǎn)溫度的影響程度；點(diǎn)溫度的影響程度；2）在）在aE，aW中出現(xiàn)了界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)中出現(xiàn)了界面上當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù) e ，w，在進(jìn)行，在進(jìn)行數(shù)值計算時物性數(shù)據(jù)及溫度等變量都

4、存放在節(jié)點(diǎn)上，必須數(shù)值計算時物性數(shù)據(jù)及溫度等變量都存放在節(jié)點(diǎn)上，必須找出如何由相鄰兩節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)熱系數(shù)來獲得當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)。找出如何由相鄰兩節(jié)點(diǎn)的導(dǎo)熱系數(shù)來獲得當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)。(t，如鋼材與耐材結(jié)合時會有一突變，同一鋼材加熱時，鐵素體向奧氏體轉(zhuǎn)化).86.2 計算當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的兩種方法計算當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的兩種方法算術(shù)平均法及調(diào)和平均法算術(shù)平均法及調(diào)和平均法1）算術(shù)平均法）算術(shù)平均法 設(shè)在設(shè)在P，E之間之間與與x成線性關(guān)系成線性關(guān)系，則由，則由P，E兩點(diǎn)上兩點(diǎn)上的導(dǎo)熱系數(shù)的導(dǎo)熱系數(shù) E ，W確定確定e的算術(shù)平均的算術(shù)平均(不能有突變）公式為：公式為：exexEexexPe)()(當(dāng)網(wǎng)格劃分為均勻網(wǎng)格時當(dāng)網(wǎng)

5、格劃分為均勻網(wǎng)格時 2EPe（3） .92）調(diào)和平均法）調(diào)和平均法 設(shè)在控制容積設(shè)在控制容積P，E的導(dǎo)熱系數(shù)不等的導(dǎo)熱系數(shù)不等，則根據(jù)界面，則根據(jù)界面上熱流密度連續(xù)的原則，由傅立葉定律有：上熱流密度連續(xù)的原則，由傅立葉定律有： epEeEPexxxxeeeePEPETTTTTTq按界面上的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的含義，有：按界面上的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)的含義，有： eexPEeTTq.10由上兩式有：由上兩式有： EexPexexe 此式即為界面上的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)此式即為界面上的當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)調(diào)和平均公式調(diào)和平均公式， 它可以看成是串聯(lián)過程中熱阻疊加原則的反映。它可以看成是串聯(lián)過程中熱阻疊加原則的反映。 當(dāng)網(wǎng)格劃分

6、為均勻網(wǎng)格時當(dāng)網(wǎng)格劃分為均勻網(wǎng)格時 2PEePE（4） （5） .116.3 兩種方法的比較兩種方法的比較1）當(dāng)）當(dāng) E 0時，由時，由4式式e 0，說明在一個絕熱層，說明在一個絕熱層的表面上的表面上qe=0，合乎實際；但，合乎實際；但 3 式式 e 0;2）如如 ，按算術(shù)平均法按算術(shù)平均法，當(dāng)網(wǎng)格為均勻劃，當(dāng)網(wǎng)格為均勻劃分時，分時， 則則P，E間的導(dǎo)熱阻力為間的導(dǎo)熱阻力為 ，說明，說明P，E間的導(dǎo)間的導(dǎo)熱熱阻由導(dǎo)熱系數(shù)大的決定熱熱阻由導(dǎo)熱系數(shù)大的決定 ，這是不對的。，這是不對的。PE2EPe2PPex2.12若按若按調(diào)和平均法調(diào)和平均法計算，由計算，由5式則導(dǎo)熱熱阻為式則導(dǎo)熱熱阻為 即溫度即

7、溫度TP將一直擴(kuò)展到界面將一直擴(kuò)展到界面e，而溫降，而溫降TP- T E實際上發(fā)生在實際上發(fā)生在 內(nèi)。內(nèi)。 說明說明P，E間的導(dǎo)熱熱阻由導(dǎo)熱系數(shù)小的決定，符合傳熱學(xué)間的導(dǎo)熱熱阻由導(dǎo)熱系數(shù)小的決定，符合傳熱學(xué)原理。所以此種情況下，調(diào)和平均法符合。原理。所以此種情況下，調(diào)和平均法符合。 對于表征輸運(yùn)特性的物性參數(shù)，如導(dǎo)熱系數(shù)，動力黏度，對于表征輸運(yùn)特性的物性參數(shù)，如導(dǎo)熱系數(shù)，動力黏度，調(diào)和平均法均優(yōu)于算術(shù)平均法。調(diào)和平均法均優(yōu)于算術(shù)平均法。exxxxeeeePEExe.133）在導(dǎo)熱系數(shù)突變時，使用該調(diào)和平均值不必采）在導(dǎo)熱系數(shù)突變時，使用該調(diào)和平均值不必采用極密的網(wǎng)格，且對有內(nèi)熱源且導(dǎo)熱系數(shù)連續(xù)

8、變用極密的網(wǎng)格，且對有內(nèi)熱源且導(dǎo)熱系數(shù)連續(xù)變化的場合也要比算術(shù)平均好得多。化的場合也要比算術(shù)平均好得多。（把階躍面作為控制容積的分界面） 4）把物性階躍面設(shè)置成一個節(jié)點(diǎn)的位置比作為控）把物性階躍面設(shè)置成一個節(jié)點(diǎn)的位置比作為控制容積分界面，使計算結(jié)果會更加精確。制容積分界面，使計算結(jié)果會更加精確。（由于此種情況階躍面兩側(cè)溫度梯度不同，如按3處理，相當(dāng)于用平均值來代替，采用此種方法處理時，物性階躍面兩側(cè)溫度梯度單獨(dú)計算，提高了計算精度。） .14一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的離散形式可表示成：一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱方程的離散形式可表示成：PPEEWWa Ta Ta Tb1ExxeePEa1WxxwwwEaPEWpcaa

9、aSxbSx.156.4 非線性問題的處理步驟非線性問題的處理步驟 當(dāng)源項為溫度的非線性函數(shù)時，或當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)當(dāng)源項為溫度的非線性函數(shù)時，或當(dāng)量導(dǎo)熱系數(shù)為溫度的函數(shù)時，所計算的問題即為非線性問題，該類問題只能采用時，所計算的問題即為非線性問題，該類問題只能采用迭代迭代的的方式進(jìn)行求解（應(yīng)用牛頓迭代方法或其它迭代方法求解）方式進(jìn)行求解（應(yīng)用牛頓迭代方法或其它迭代方法求解）PPEEWWa Ta Ta Tbnbapa410具體步驟如下：（具體步驟如下：（1）先假設(shè)一個溫度分布初值；）先假設(shè)一個溫度分布初值； （2）計算相應(yīng)函數(shù)）計算相應(yīng)函數(shù)b,及及 （3）求解線性離散方程組；）求解線性離

10、散方程組； （4）由新的溫度再計算函數(shù)（改進(jìn)系數(shù)）；）由新的溫度再計算函數(shù)（改進(jìn)系數(shù)）； （5）返回）返回2后，再重復(fù)計算后，再重復(fù)計算T，直到，直到為止。為止。.16其中其中 設(shè)初值為設(shè)初值為T*，迭代后新的溫度分布為，迭代后新的溫度分布為T，下一次迭代部分改進(jìn)下一次迭代部分改進(jìn)f-松弛系數(shù)，松弛系數(shù)，f=01為欠松弛，為欠松弛，f1為超松弛。為超松弛。f=0時重復(fù)計算，無更新，時重復(fù)計算，無更新， f=1時更新快，但易發(fā)散。時更新快，但易發(fā)散。強(qiáng)烈非線性問題迭代需采用欠松弛方法促進(jìn)收斂。強(qiáng)烈非線性問題迭代需采用欠松弛方法促進(jìn)收斂。F=0.1時新值偶和進(jìn)去很小，二次結(jié)果相差很小，誤以為收斂，

11、此時F調(diào)大些，如仍相差很小，則收斂。1(1)nTTfTf1nnnTTT.176.5 源項處理方法源項處理方法1、源項：、源項：它是一個廣義量（廣義源項），它代表了那些它是一個廣義量（廣義源項），它代表了那些不能包括到控制方程中的非穩(wěn)態(tài)項，對流項，擴(kuò)散項中不能包括到控制方程中的非穩(wěn)態(tài)項，對流項，擴(kuò)散項中的所有其它各項之和。的所有其它各項之和。2、采用廣義源項的意義、采用廣義源項的意義：在控制方程中加入廣義源項可：在控制方程中加入廣義源項可以使通用方程代表相當(dāng)多的流動和傳熱現(xiàn)象，對于擴(kuò)展以使通用方程代表相當(dāng)多的流動和傳熱現(xiàn)象，對于擴(kuò)展所討論的算法及相應(yīng)程序的通用性具有重要意義。所討論的算法及相應(yīng)程

12、序的通用性具有重要意義。3、源項分類、源項分類：常數(shù)源項、非常數(shù)源項。：常數(shù)源項、非常數(shù)源項。4、非常數(shù)源項的處理方法、非常數(shù)源項的處理方法：源項局部線性化：源項局部線性化 .18ppcTSSScSpS當(dāng)當(dāng)S 與與T相關(guān)時，需對其線性化。相關(guān)時，需對其線性化。S可表示成可表示成該未知量的線性函數(shù)。在控制容積該未知量的線性函數(shù)。在控制容積P內(nèi)可表示成內(nèi)可表示成 常數(shù)，可看成是該切線與常數(shù)，可看成是該切線與S軸方向相交的距離；軸方向相交的距離； S隨隨T而變化的曲線在而變化的曲線在P點(diǎn)的斜率。點(diǎn)的斜率。在離散化方程中分別進(jìn)入在離散化方程中分別進(jìn)入b及及ap中中 PEWpcaaaSxbSx.19S形

13、式可以不同，形式可以不同， S c ，S p均可以是均可以是T的函數(shù)的函數(shù)如如S=4-5T 可能的線性化如下：可能的線性化如下：1) S c =4 S p=-52) S c =4-5Tp* S p=03) S c =4+7Tp* S p=-122）中將S作為常數(shù)（以上一次迭代計算的T*計算S）處理，使源項相對于T永遠(yuǎn)有一個滯后；1）中Tp是迭代計算當(dāng)前值使S能更快跟上Tp的變化；3）比實際的S T關(guān)系更陡的曲線，使迭代收斂速度減慢，相當(dāng)于欠松弛。說明：說明：當(dāng)當(dāng)S是是T的非線性函數(shù)時的非線性函數(shù)時sp0，確定，確定sc,sp最好的方法是：最好的方法是：如如s=4-5T3線性化線性化PPdSSS

14、TTdT.20 TfS 1）當(dāng)源項為未知量的函數(shù)時，線性化的處理比假定）當(dāng)源項為未知量的函數(shù)時，線性化的處理比假定 源項為常數(shù)更合理。即源項為常數(shù)更合理。即如把S當(dāng)常數(shù)，應(yīng)用上一層溫度值進(jìn)行迭代，計算得到T*，再計算S，故S永遠(yuǎn)滯后T。如按線性化，給一個TP，就可得到一個S值。2）線性化處理是建立線性代數(shù)方程所必須的，采用二階或二階以）線性化處理是建立線性代數(shù)方程所必須的，采用二階或二階以上多項式，則離散后的方程不是線性的。上多項式，則離散后的方程不是線性的。0pS3）為保證代數(shù)方程迭代求解收斂，）為保證代數(shù)方程迭代求解收斂，這一原則并非只是為了計算方便而提出，而是物理過程的客觀這一原則并非只

15、是為了計算方便而提出，而是物理過程的客觀規(guī)律也確實如此，大多數(shù)物理過程中，源項與因變量之間的確規(guī)律也確實如此，大多數(shù)物理過程中，源項與因變量之間的確存在負(fù)斜率關(guān)系，如果為正值，可能存在物理上的不穩(wěn)定性。存在負(fù)斜率關(guān)系，如果為正值，可能存在物理上的不穩(wěn)定性。例如在熱傳導(dǎo)問題中SP為正值，意味著TP增加，源項熱源也增加，如果這時沒有有效的散熱機(jī)構(gòu)，可能會反過來導(dǎo)致溫度的升高，如此反復(fù)下去，造成溫度飛升的不穩(wěn)定現(xiàn)象。.21 為了保證代數(shù)方程迭代求解的收斂。為了保證代數(shù)方程迭代求解的收斂。為控制容積的體積，為控制容積的體積，線性代數(shù)方程迭代求解收斂的一個充分條件是對角占優(yōu)，即線性代數(shù)方程迭代求解收斂的

16、一個充分條件是對角占優(yōu)，即 pnbPaaSVpnbaa4） SP絕對值的大小影響迭代過程中溫度變化速度。一般講，絕對值的大小影響迭代過程中溫度變化速度。一般講， SP絕對值越大，收斂速度減慢，有利于克服發(fā)散；絕對值越大，收斂速度減慢，有利于克服發(fā)散； SP絕對絕對值越小，收斂速度加快，但易發(fā)散。值越小，收斂速度加快，但易發(fā)散。由代數(shù)方程迭代求解的公式可見SP絕對值越大，好像系統(tǒng)慣性越大，相鄰兩次迭代間 TP的變化越小，因而收斂速度下降，但有利于克服發(fā)散，反之容易引起發(fā)散。nbnbpnbpa TbTaSV.226.6 促進(jìn)收斂的四項基本原則促進(jìn)收斂的四項基本原則1、 在控制容積面上的連續(xù)性在控制

17、容積面上的連續(xù)性 當(dāng)一個面作為兩個相鄰控制容積的公共面時，在這兩個控制容積的離當(dāng)一個面作為兩個相鄰控制容積的公共面時，在這兩個控制容積的離散化方程內(nèi)必須用相同的表達(dá)式來表示通過該面的熱流密度、質(zhì)量流散化方程內(nèi)必須用相同的表達(dá)式來表示通過該面的熱流密度、質(zhì)量流量及動量通量。否則總的平衡就不會滿足，相當(dāng)于公共面上有源或匯。量及動量通量。否則總的平衡就不會滿足，相當(dāng)于公共面上有源或匯。如1）界面上熱流密度采用二次曲線表示，擬合曲線的階數(shù)比分段線性要高，但卻破壞了界面的連續(xù)性。2）通過界面的熱流密度看成屬于界面本身，而不是屬于某個控制容積的。2、正系數(shù)、正系數(shù) 某個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的因變量值只是通過對流以及

18、擴(kuò)散過程才受到相鄰網(wǎng)某個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處的因變量值只是通過對流以及擴(kuò)散過程才受到相鄰網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值的影響，故一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處該因變量值的增加應(yīng)當(dāng)導(dǎo)致格節(jié)點(diǎn)上的值的影響，故一個網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)處該因變量值的增加應(yīng)當(dāng)導(dǎo)致相鄰網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上該值的增加，而不是減少，即相鄰網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上該值的增加，而不是減少，即ap及及anb必須具有相同必須具有相同符號，不妨規(guī)定均為正值。否則易出現(xiàn)物理上不真實的解。符號，不妨規(guī)定均為正值。否則易出現(xiàn)物理上不真實的解。.233、源項的負(fù)斜率線性化、源項的負(fù)斜率線性化 只有當(dāng)只有當(dāng) 才能保證中心節(jié)點(diǎn)系數(shù)才能保證中心節(jié)點(diǎn)系數(shù)4、相鄰節(jié)點(diǎn)系數(shù)之和、相鄰節(jié)點(diǎn)系數(shù)之和 因控制方程是微分方程，往往只包含有因變量因控制方程是微分方程，往往只包含有因變量的導(dǎo)數(shù)項，的導(dǎo)數(shù)項，若若滿足，滿足，+c+c也滿足，也滿足，微分方程這性質(zhì)也反映在離散方微分方程這性質(zhì)也反映在離散方程中?？梢岳斫鉃橹行墓?jié)點(diǎn)值程中?？梢岳斫鉃橹行墓?jié)點(diǎn)值TP是各個相鄰節(jié)點(diǎn)值是各個相鄰節(jié)點(diǎn)值Tnb的一的一個加權(quán)平