大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記課件

1、上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記13.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律 iiicmmmrmrmrmr2122111. 對于分立的質(zhì)點系對于分立的質(zhì)點系xzyOm2m1CmimNcrir2r1rnr 第一章和第二章學(xué)習(xí)了質(zhì)點的運動學(xué)和動力學(xué)第一章和第二章學(xué)習(xí)了質(zhì)點的運動學(xué)和動力學(xué).本章的前幾節(jié)從能量及其守恒定律的角度學(xué)習(xí)了質(zhì)點系的運動規(guī)律本章的前幾節(jié)從能量及其守恒定律的角度學(xué)習(xí)了質(zhì)點系的運動規(guī)律.但對于但對于質(zhì)點系質(zhì)點系的運動學(xué)和動力學(xué)沒有討論的運動學(xué)和動力學(xué)沒有討論.因為質(zhì)點系的運動學(xué)因為質(zhì)點系的運動學(xué)方程組方程組和動力學(xué)方程組的求解太復(fù)雜和動力學(xué)方程

2、組的求解太復(fù)雜.換一個角度考慮換一個角度考慮, 質(zhì)點系的運動可以看成是質(zhì)點系的運動可以看成是質(zhì)心的運動質(zhì)心的運動和質(zhì)點系中各和質(zhì)點系中各質(zhì)點質(zhì)點相對于質(zhì)心的運動相對于質(zhì)心的運動.例如例如, 跳水運動員在空中的運動可以看成質(zhì)心的運動和相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動跳水運動員在空中的運動可以看成質(zhì)心的運動和相對于質(zhì)心的轉(zhuǎn)動.一、質(zhì)心的坐標一、質(zhì)心的坐標iiiiimrm m 是質(zhì)點系的總質(zhì)量是質(zhì)點系的總質(zhì)量.mrmiii(1)/14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記23.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律直角坐標系下：直角坐標系下：;mxmxiiic;mymyiiic2. 對

3、于質(zhì)量連續(xù)分布的物體對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體xzyOm2m1C(xc,yc,zc )mimNcrir2r1rnr對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體, 上面的求和要用上面的求和要用積分代替積分代替. 如右下圖所示如右下圖所示.xzyOCrcdmrdmdmrrc直角坐標系下：直角坐標系下：;mxdmxc;mydmycdVm是物體的是物體的總質(zhì)量總質(zhì)量.式中式中dVdm是質(zhì)量元是質(zhì)量元.mdmr(3)mzmziiic(2)mzdmzc(4)/14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記33.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律下面通過兩個例子掌握質(zhì)量分立和連續(xù)分

4、布體系的質(zhì)心的求法下面通過兩個例子掌握質(zhì)量分立和連續(xù)分布體系的質(zhì)心的求法. 例例 1 水分子水分子H2O是由兩個氫原子和一個氧原子構(gòu)成是由兩個氫原子和一個氧原子構(gòu)成, 它們的結(jié)構(gòu)如右下圖它們的結(jié)構(gòu)如右下圖 所示所示. 每個氫原子與氧原子之間距離均為每個氫原子與氧原子之間距離均為d=1.0 10-10m, 氫原子與氧原氫原子與氧原 子兩條連線之間的夾角為子兩條連線之間的夾角為 =104.60. 求水分子的質(zhì)心求水分子的質(zhì)心.解解 如圖所示如圖所示, 將坐標原點建在氧原子的中心將坐標原點建在氧原子的中心.HOH52.3052.30Cxy根據(jù)對稱性可知根據(jù)對稱性可知, 質(zhì)心的位置應(yīng)該在對稱軸質(zhì)心的位

5、置應(yīng)該在對稱軸(x軸軸)上上. 密度均勻、形狀對稱分布的物體密度均勻、形狀對稱分布的物體, 其質(zhì)心都在它的幾何中心處其質(zhì)心都在它的幾何中心處.如質(zhì)量均勻分布的圓環(huán)其質(zhì)心在圓環(huán)中心如質(zhì)量均勻分布的圓環(huán)其質(zhì)心在圓環(huán)中心; 質(zhì)量均勻分布的球其質(zhì)心在球心等質(zhì)量均勻分布的球其質(zhì)心在球心等.即即0cy由質(zhì)心的計算公式可得由質(zhì)心的計算公式可得, iiiiicmxmxHOHHOHmmmxmxmxm321HOHHmmmdm2/cos211613 .52cos100 . 112010m12108 . 6即水分子的質(zhì)心在對稱軸上即水分子的質(zhì)心在對稱軸上距氧原子中心距氧原子中心6.8 10-12m處處./14上海師范

6、大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記43.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律例例 2 求半徑為求半徑為R的的勻質(zhì)勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心半薄球殼的質(zhì)心.解解 如圖所示如圖所示, 將坐標原點建在球殼的球心將坐標原點建在球殼的球心.根據(jù)對稱性可知根據(jù)對稱性可知, 質(zhì)心的位置應(yīng)該在對稱軸質(zhì)心的位置應(yīng)該在對稱軸(z軸軸)上上. 即即0;0ccyx由質(zhì)心的計算公式可得由質(zhì)心的計算公式可得, mzdSmzdmzc22RSmdszzdm)sin()(cos202/0 dRRdR在在球坐標系球坐標系中進行計算中進行計算, 球坐標系中有球坐標系中有;cosRz )sin()(dRRddSy

7、z0 xCdS 設(shè)勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量面密度為設(shè)勻質(zhì)薄球殼的質(zhì)量面密度為 , 則半球殼的總質(zhì)量為則半球殼的總質(zhì)量為202/03sincosddR202/03sinsin ddR2/023sin212R3R/14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記53.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律yz0 xdSC22Rm3Rzdm將將和和代入質(zhì)心計算式代入質(zhì)心計算式mzdmzc得得, 2223RRRmzdmzc由此可得由此可得, 質(zhì)心的坐標為質(zhì)心的坐標為(0,0, R/2), 質(zhì)心在半球殼對稱軸上半徑的中點處質(zhì)心在半球殼對稱軸上半徑的中點處.二、質(zhì)心運動定律二、質(zhì)心運動定律

8、以上討論的是如何確定任意體系的質(zhì)心位置以上討論的是如何確定任意體系的質(zhì)心位置.那么質(zhì)心的運動遵守什么規(guī)律呢那么質(zhì)心的運動遵守什么規(guī)律呢 ? 遵守牛頓定律嗎遵守牛頓定律嗎 ?niiicniiicrmrmmrmr11因為質(zhì)點的質(zhì)量及總質(zhì)量是不變的因為質(zhì)點的質(zhì)量及總質(zhì)量是不變的, 因此上式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù)因此上式兩邊對時間求導(dǎo)數(shù), 得得iiicdtrdmdtrdm(5)設(shè)質(zhì)點系由設(shè)質(zhì)點系由n個質(zhì)點組成個質(zhì)點組成./14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記63.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律niiicdtrdmdtrdm1(5)由速度的定義式可知由速度的定義式可

9、知trcdd是質(zhì)心的運動速度是質(zhì)心的運動速度; tridd是第是第i個質(zhì)點的運動速度個質(zhì)點的運動速度.因此因此, (5)式可以寫成式可以寫成, cniiniiicppmm11(6)(6)式表明式表明, 系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度乘以系統(tǒng)的質(zhì)量系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度乘以系統(tǒng)的質(zhì)量.即系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的動量即系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點的動量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的動量.(6)式兩邊再對時間求導(dǎo)數(shù)得式兩邊再對時間求導(dǎo)數(shù)得,由質(zhì)點系的動量定理由質(zhì)點系的動量定理(P553-4b式式)tpFFniexiexdd1可得可得, ccexamdtdmtpFdd(7)

10、tptptmtmtmcniininiiiiicddddd)d(dddd111/14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記73.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律ccexamdtdmtpFdd(7)(7)式表明式表明, 作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量乘以系統(tǒng)質(zhì)心的加速度作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量乘以系統(tǒng)質(zhì)心的加速度. -這一結(jié)論稱為質(zhì)心運動定律這一結(jié)論稱為質(zhì)心運動定律.(7)式形式上相當于質(zhì)點系的所有質(zhì)量都集中在質(zhì)心上式形式上相當于質(zhì)點系的所有質(zhì)量都集中在質(zhì)心上, 而所有外力都作用在而所有外力都作用在質(zhì)心上時的牛頓第二定律質(zhì)心上時的牛頓第二定律.

11、例例 3 設(shè)有一質(zhì)量為設(shè)有一質(zhì)量為2 m的彈丸的彈丸, 從地面斜拋出去從地面斜拋出去, 它飛行在最高點處爆炸成質(zhì)量相等的兩個碎片它飛行在最高點處爆炸成質(zhì)量相等的兩個碎片, 其其中一個碎片豎直自由下落中一個碎片豎直自由下落, 另一個碎片水平拋出另一個碎片水平拋出, 它們同時落地它們同時落地, 試問第二個碎片落地點在何處試問第二個碎片落地點在何處 ?mm分析分析, 本題可以用二種方法求解本題可以用二種方法求解:(ii) 直接用運動學(xué)方法求解直接用運動學(xué)方法求解.(i) 用質(zhì)心運動定律求解用質(zhì)心運動定律求解.下面用二種方法進行求解下面用二種方法進行求解.2mC/14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬

12、文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記83.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律2mCmm由質(zhì)心坐標的計算公式可得由質(zhì)心坐標的計算公式可得, 解法一解法一: 書上的解法書上的解法-用質(zhì)心運動定律求解用質(zhì)心運動定律求解.由于爆炸是屬于內(nèi)力由于爆炸是屬于內(nèi)力, 因此根據(jù)質(zhì)心運動定律因此根據(jù)質(zhì)心運動定律可知可知, 爆炸前后彈丸的質(zhì)心運動軌跡是相同的爆炸前后彈丸的質(zhì)心運動軌跡是相同的.建立坐標系如圖建立坐標系如圖, 以第一個碎片的落地點為坐標原點以第一個碎片的落地點為坐標原點.第二個碎片的落地點為第二個碎片的落地點為x2; 二碎片的質(zhì)心坐標為二碎片的質(zhì)心坐標為xc .xoxCx2)(2102122222

13、212211mmxmmxmmmxmxmxc由此可解得由此可解得, cxx22即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質(zhì)心即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質(zhì)心與第一個碎片落地點水平距離的兩倍與第一個碎片落地點水平距離的兩倍.質(zhì)心的落地點就是彈丸不爆炸時的落地點質(zhì)心的落地點就是彈丸不爆炸時的落地點./14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記93.9 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運動定律質(zhì)心運動定律解法二解法二: 直接用運動學(xué)方法進行求解直接用運動學(xué)方法進行求解.設(shè)爆炸前彈丸的速度為設(shè)爆炸前彈丸的速度為v, 爆炸后第一個碎片爆炸后第一

14、個碎片的速度為的速度為v1, 第二個碎片的速度為第二個碎片的速度為v2.2mCmmxoxCx2v2V1=0由于爆炸過程中由于爆炸過程中, 內(nèi)力遠大于外力內(nèi)力遠大于外力, 因此動量守恒因此動量守恒. 題設(shè)爆炸后第一個碎片自由下落題設(shè)爆炸后第一個碎片自由下落, 因此因此V1=0.由此可得由此可得, 爆炸后第二個碎片的水平速度爆炸后第二個碎片的水平速度v2為為22設(shè)爆炸后碎片下落的時間為設(shè)爆炸后碎片下落的時間為 t, 則第二個碎片的落地點距第一個碎片落地點的距離為則第二個碎片的落地點距第一個碎片落地點的距離為ttx222如果彈丸不爆炸如果彈丸不爆炸, 則彈丸的下落時間也是則彈丸的下落時間也是 t,

15、因此彈丸因此彈丸(質(zhì)心質(zhì)心)落地點距離原點為落地點距離原點為txc212mmm即即由此可得由此可得, cxx22即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質(zhì)心即第二個碎片的落地點與第一個碎片落地點之間的水平距離是碎片的質(zhì)心與第一個碎片落地點水平距離的兩倍與第一個碎片落地點水平距離的兩倍. 與方法一計算結(jié)果相同與方法一計算結(jié)果相同./14上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記10習(xí)習(xí) 題題 課課/14P97 習(xí)題習(xí)題3-30:質(zhì)量為質(zhì)量為m1的彈丸的彈丸, 穿過如圖所示的擺錘后穿過如圖所示的擺錘后, 速率由速率由v減小到減小到v/2. 已知擺錘的質(zhì)

16、量已知擺錘的質(zhì)量為為m2, 擺擺線線長度為長度為L, 如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動如果擺錘能在垂直平面內(nèi)完成一個完全的圓周運動, 彈丸彈丸的速度的最小值應(yīng)為多少的速度的最小值應(yīng)為多少? vv/2lm1m2解解 本題分為兩個過程本題分為兩個過程: 過程一過程一: 彈丸與擺錘的碰撞過程彈丸與擺錘的碰撞過程; 過程二過程二: 擺錘在豎直平面內(nèi)作圓周運動的過程擺錘在豎直平面內(nèi)作圓周運動的過程; 碰撞過程中碰撞過程中, 彈丸與擺錘在水平方向合力為零彈丸與擺錘在水平方向合力為零, 因此水平方向動守恒因此水平方向動守恒. 02112mmm設(shè)碰撞后擺錘的速度為設(shè)碰撞后擺錘的速度為 , 由動量守

17、恒定律得由動量守恒定律得001221022mmmm即即0上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記11習(xí)習(xí) 題題 課課/14碰撞后碰撞后,擺錘在豎直平面內(nèi)作圓周運動擺錘在豎直平面內(nèi)作圓周運動, glgmlmFHH2222)()(0因此因此 在最高點處有在最高點處有,nFmgFFn是擺錘作圓周運動所需的向心力是擺錘作圓周運動所需的向心力.vv/2lm1m20mgHFlmgmFH222)(由此可得由此可得最高點處的速率為最高點處的速率為 , 最高點處擺錘受到重力最高點處擺錘受到重力mg和繩子和繩子的拉力的拉力F的作用的作用, 如圖所示如圖所示H擺錘在豎直平面內(nèi)作圓周運動的

18、過程中只有重力作功擺錘在豎直平面內(nèi)作圓周運動的過程中只有重力作功,故機械能守恒故機械能守恒. 取最低點為勢能零取最低點為勢能零, 則有則有 )2()(21)(21222202lgmmmHglglglglHH544)()(220代入得將即即gl50glmmglmmmm5252212min12012由此可得子彈速度為由此可得子彈速度為上海師范大學(xué)上海師范大學(xué)大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記大學(xué)物理馬文蔚課堂筆記12習(xí)習(xí) 題題 課課P97 習(xí)題習(xí)題3-34:如圖所示如圖所示, 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m的小球的小球, 從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣點從內(nèi)壁為半球形的容器邊緣點A滑下滑下, 設(shè)容器設(shè)容器質(zhì)量為質(zhì)量為 ,

19、半徑為半徑為R, 內(nèi)壁光滑內(nèi)壁光滑, 并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上并放置在摩擦可以忽略的水平桌面上, 開始時開始時小球和容器都處于靜止狀態(tài)小球和容器都處于靜止狀態(tài), 當小球沿內(nèi)壁滑到容器底的點當小球沿內(nèi)壁滑到容器底的點B時時, 受到向上的支受到向上的支持力為多大持力為多大? mm AROB解解 桌面為參照系桌面為參照系 (1) 在小球下落過程中在小球下落過程中, 小球和容器所受的合外力等于小球和容器所受的合外力等于 零零, 因此小球和容器構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒因此小球和容器構(gòu)成的系統(tǒng)動量守恒.mm當小球下落到最低點當小球下落到最低點B時時, 小球的速度方向沿水平向左小球的速度方向沿水平向左. 設(shè)在設(shè)在B點時小球點時小球相對于桌面相對于桌面的速度為的速度為m由于動量守恒由于動量守恒, 容器將向右運動容器將向右運動, 設(shè)容器設(shè)容器相對于桌面相對于桌面的速度為的速度為m) 1 (0mmmm設(shè)向左方向為正設(shè)向左方向為正, 由動量守恒定律可得由動量守恒定律可得/