兩種計數(shù)原理的綜合應(yīng)用

1、1.理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理,能正確區(qū)分“類”和“步”,并能利用兩個原理解決一些簡單的實際問題.2.通過實例總結(jié)出分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理規(guī)律,能根據(jù)具體問題的特征,選擇分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理解決一些簡單的實際問題.3.過程與方法:引導(dǎo)學(xué)生形成 “自主學(xué)習(xí)”“合作學(xué)習(xí)”等良好的學(xué)習(xí)方式,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.先看下面的問題先看下面的問題: :從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長從我們班上推選出兩名同學(xué)擔(dān)任班長, ,有多少種不有多少種不同的選法同的選法? ?把我們的同學(xué)排成一排把我們的同學(xué)排成一排, ,共有多少種不同的排法共有多少種不同的排法? ?要解決這些問題

2、要解決這些問題, ,就要用到分類加法計數(shù)原理與分步就要用到分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理乘法計數(shù)原理. .這節(jié)課這節(jié)課, ,我們從具體例子出發(fā)來進(jìn)一步學(xué)我們從具體例子出發(fā)來進(jìn)一步學(xué)習(xí)、理解這兩個原理習(xí)、理解這兩個原理. .m m1 1+m+m2 2+m+mn n問題1問題2m m1 1m m2 2m mn n分類加法計數(shù)原理做一件事情,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有N= 種不同的方法. 分步乘法計數(shù)原理做一件事情,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2

3、種不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事有N= 種不同的方法. 問題3“分類分類”相互獨(dú)立相互獨(dú)立相對獨(dú)立相對獨(dú)立各個步驟各個步驟理解分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理異同點(diǎn)相同點(diǎn):都是完成一件事的不同方法種數(shù)的問題;不同點(diǎn):分類加法計數(shù)原理針對的是 問題,完成一件事要分為若干類,各類的方法 ,各類中的各種方法也 ,用任何一類中的任何一種方法都可以單獨(dú)完成這件事,是獨(dú)立完成;而分步乘法計數(shù)原理針對的是 問題,完成一件事要分為若干步,各個步驟相互依存,完成任何其中的一步都不能完成該件事,只有當(dāng) 都完成后,才算完成這件事. “分步分步”問題問題4 4完成一件事,分類加法計數(shù)原理、分

4、步乘法計數(shù)原理的選擇分類加法計數(shù)原理的各類方法是 的,用任何一種方法可以完成這件事,而分步乘法計數(shù)原理的各個步驟是 的,必須完成每個步驟,才能完成這件事. 根據(jù)具體問題的特征,正確認(rèn)識分類和分步的特征,才能正確選擇分類 計數(shù)原理或 乘法計數(shù)原理來解決問題. 相互依存相互依存相互獨(dú)立相互獨(dú)立加法加法分步分步1B B2C C集合P=x,1,Q=y,1,2,其中x,y1,2,3,9,且PQ.把滿足上述條件的一對有序整數(shù)對(x,y)作為一個點(diǎn)的坐標(biāo),則這樣的點(diǎn)的個數(shù)是().A.9 B.14C.15D.21【解析】當(dāng)【解析】當(dāng)x=2時時,xy,點(diǎn)的個數(shù)為點(diǎn)的個數(shù)為17=7(個個);當(dāng)當(dāng)x2時時,x=y,

5、點(diǎn)的個數(shù)為點(diǎn)的個數(shù)為71=7(個個),則共有則共有14個點(diǎn)個點(diǎn),故選故選B.3位同學(xué)參加某種形式的競賽,競賽規(guī)則規(guī)定:每位同學(xué)必須從甲、乙兩道題中任選一題作答,選甲題答對得20分,答錯得-20分;選乙題答對得10分,答錯得-10分.若3位同學(xué)的總分為0,則這3位同學(xué)不同得分情況的種數(shù)是().A.3 B.4 C.6 D.831515【解析】由題意總分為【解析】由題意總分為0分二類分二類:第一類得分為第一類得分為20,-10,-10;第二類為第二類為-20,10,10.每類有三種情況每類有三種情況,總共有總共有6種情況種情況.如圖,某電子元件是由3個電阻組成的回路,其中有4個焊點(diǎn)A、B、C、D,若

6、某個焊點(diǎn)脫落,整個電路就不通,現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)電路不通了,那么焊點(diǎn)脫落的可能情況共有種. 【解析】當(dāng)線路不通時【解析】當(dāng)線路不通時,焊點(diǎn)脫落的可能情況共有焊點(diǎn)脫落的可能情況共有2222-1=15種種.4某校學(xué)生會由高一年級5人,高二年級6人,高三年級4人組成.選其中1人為學(xué)生會主席,有多少種不同的選法? 【解析】若當(dāng)選學(xué)生會主席的為高一學(xué)生【解析】若當(dāng)選學(xué)生會主席的為高一學(xué)生,則有則有5種選種選法法;若當(dāng)選學(xué)生會主席的為高二學(xué)生若當(dāng)選學(xué)生會主席的為高二學(xué)生,則有則有6種選法種選法;若當(dāng)選若當(dāng)選學(xué)生會主席的為高三學(xué)生學(xué)生會主席的為高三學(xué)生,則有則有4種選法種選法.根據(jù)加法原理根據(jù)加法原理,不同不同的選法

7、種數(shù)為的選法種數(shù)為N=5+6+4=15.分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理的應(yīng)用把3封信投到4個信箱,所有可能的投法共有多少種?【解析】第【解析】第1封信投到信箱中有封信投到信箱中有4種投法種投法;第第2封信封信投到信箱中也有投到信箱中也有4種投法種投法;第第3封信投到信箱中也有封信投到信箱中也有4種種投法投法.只要把這只要把這3封信投完封信投完,就做完了這件事情就做完了這件事情,由分步乘由分步乘法計數(shù)原理可得共有法計數(shù)原理可得共有43種方法種方法.超市有四個門,某人到超市購物,從其一個門進(jìn),從另一門出,則不同的進(jìn)出方式有多少種?【解析】從四個門選取兩個門作為進(jìn)門和出門【解析】從四個門選取

8、兩個門作為進(jìn)門和出門,有有43=12種方式種方式.用加法原理和乘法原理分析電路中的問題用加法原理和乘法原理分析電路中的問題如圖,電路中共有7個電阻與一個電燈A,若燈A不亮,分析因電阻斷路的可能性共有多少種情況.【解析】每個電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)【解析】每個電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài),圖中從上到下的三圖中從上到下的三條支線路條支線路,分別記為支線分別記為支線a、b、c,支線支線a電阻斷路時有電阻斷路時有R1,R2,R1和和R2斷路斷路3種情況種情況;支線支線b電阻斷路時有電阻斷路時有R3,R4,R3和和R4斷路斷路3種情況種情況;支線支線c電阻斷路的有電阻斷路的有R5,R6,R7,R5和和R

9、6,R5和和R7,R6和和R7,R5、R6和和R7斷路斷路7種情況種情況,因為燈因為燈A不亮不亮,所以所以a、b、c三條支線都出現(xiàn)了電阻斷路三條支線都出現(xiàn)了電阻斷路,因此燈因此燈A不亮的情況共有不亮的情況共有337=63種情況種情況.如圖,電路中共有5個電阻與一個電燈A,若燈A不亮,分析因電阻斷路的可能性共有多少種情況.【解析】當(dāng)【解析】當(dāng)R5斷路時斷路時,燈燈A不亮不亮,此時此時R1,R2,R3,R4分別有分別有2種種情形情形,利用乘法原理利用乘法原理,即有即有2222=16種情況種情況;當(dāng)當(dāng)R5通路時通路時,R1,R2至少一個斷路至少一個斷路,有有3種情形種情形,同時同時R3,R4至少一個

10、斷路至少一個斷路,有有3種情形種情形,利用分步乘法原理利用分步乘法原理,即有即有33=9種情況種情況.根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,燈燈A不亮?xí)r共有不亮?xí)r共有16+9=25種情種情況況. 分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理綜合問題分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理綜合問題把由0,1,2,3,4組成無重復(fù)數(shù)字的所有五位數(shù)從小到大進(jìn)行排列,23140排在第幾個?【解析】第一類【解析】第一類:萬位數(shù)為萬位數(shù)為1的五位數(shù)的個數(shù)為的五位數(shù)的個數(shù)為4321=24;第二類第二類:萬位數(shù)為萬位數(shù)為2、千位數(shù)是、千位數(shù)是0或或1的五位數(shù)的個數(shù)為的五位數(shù)的個數(shù)為2321=12;第三類第三類:萬

11、位數(shù)為萬位數(shù)為2、千位數(shù)是、千位數(shù)是3、百位數(shù)是、百位數(shù)是0的五位數(shù)的個數(shù)為的五位數(shù)的個數(shù)為21=2;第四類第四類:萬位數(shù)為萬位數(shù)為2、千位數(shù)是、千位數(shù)是3、百位數(shù)是、百位數(shù)是1的五位數(shù)分別為的五位數(shù)分別為23104和和23140,所以比所以比23140小的數(shù)共有小的數(shù)共有24+12+2+1=39個個,故從小到大進(jìn)行排列故從小到大進(jìn)行排列,23140排在第排在第40個個.有一項活動,需在3名老師、8名男生和5名女生中選人參加.(1)若只需1人參加,有多少種不同選法?(2)若需老師、男生、女生各一人參加,有多少種不同的選法?(3)若需一名老師和一名學(xué)生參加,有多少種不同的選法?【解析】【解析】(

12、1)分三類分三類:取老師有取老師有3種選法種選法;取男生有取男生有8種選法種選法;取取女生有女生有5種選法種選法,故共有故共有3+8+5=16種選法種選法.(2)(2)分三步分三步:第一步選老師第一步選老師,第二步選男生第二步選男生,第三步選女生第三步選女生,故共有故共有385=120種選法種選法.(3)(3)分兩步分兩步:第一步選老師第一步選老師,第二步選學(xué)生第二步選學(xué)生.對第二步對第二步,又分為兩又分為兩類類:第一類選男生第一類選男生,第二類選女生第二類選女生,故共有故共有3(8+5)=39種選法種選法.B1.如圖,一環(huán)形花壇分成A,B,C,D四塊,現(xiàn)有4種不同的花供選種,要求在每塊里種1

13、種花,且相鄰的2塊種不同的花,則不同的種法總數(shù)為().A.96 B.84C.60 D.48【解析】可依次種【解析】可依次種A、B、C、D四塊四塊,當(dāng)當(dāng)C與與A種同一種花時種同一種花時,有有4313=36種種法種種法;當(dāng)當(dāng)C與與A所種花不同時所種花不同時,有有4322=48種種法種種法,根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得,不同的種法不同的種法種數(shù)為種數(shù)為36+48=84,故選故選B.2.從1到10的正整數(shù)中,任意抽取兩個相加所得的和為奇數(shù)的不同情形的種數(shù)是().A.10B.15C.20D.25【解析】當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù)【解析】當(dāng)且僅當(dāng)偶數(shù)加上奇數(shù)后和為奇數(shù),從而不同情形

14、從而不同情形有有55=25種種,故選故選D.D3.一個乒乓球隊里有男隊員5名,女隊員4名,從中選出男、女隊員各一名組成混合雙打,共有種不同的選法. 【解析】【解析】“完成這件事完成這件事”需選出男、女隊員各一名需選出男、女隊員各一名,可分兩步可分兩步進(jìn)行進(jìn)行:第一步選一名男隊員第一步選一名男隊員,有有5種選法種選法;第二步選一名女隊員第二步選一名女隊員,有有4種選法種選法,共有共有54=20種選法種選法.204.甲、乙、丙三個人踢球,互相傳遞,由甲開始踢出,則經(jīng)過4次傳遞后,足球被踢回甲的踢球傳遞方式有多少種?【解析】第一類【解析】第一類:第第2次傳遞后球在甲的腳下次傳遞后球在甲的腳下,此時第