工程力學(xué)——2-3平面力偶系

1、 23 23 平面力偶系平面力偶系 B OF2d一、力矩 力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的力學(xué)效應(yīng)，稱為力使物體繞某點轉(zhuǎn)動的力學(xué)效應(yīng)，稱為力對該點之矩。力對該點之矩。 1、力對點之矩、力對點之矩 定義：定義：力與力臂的乘積冠以正、負(fù)號定義為力F F對O O點的力矩。O 轉(zhuǎn)動的中心。稱為力矩中轉(zhuǎn)動的中心。稱為力矩中 心，簡稱心，簡稱矩心矩心d 轉(zhuǎn)動中心到力作用線之轉(zhuǎn)動中心到力作用線之間的距離稱為力臂間的距離稱為力臂(注意單位注意單位)表達(dá)式：表達(dá)式：Mo(F) = Fd正負(fù)號規(guī)定：若力使物體繞矩心作逆時針正負(fù)號規(guī)定：若力使物體繞矩心作逆時針轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動力矩取正號轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動力矩取正號,反之取負(fù)號。反之取負(fù)號。F1F

2、3F4問題：圖示力F對O點的力矩應(yīng)取什么符號？ 力矩必須與矩心相對應(yīng)，同一個力對不同點產(chǎn)生的力矩是不同的，因此不明矩心而求力矩是無任何意義的。在表示力矩時，必須表明矩心。 力矩在下列兩種情況下等于零：力等于零或力的作用線通過矩心。 力F F對任一點的矩，不因力F F沿其作用線的移動而改變。F2dO力矩計算 簡支剛架如圖所示，荷載簡支剛架如圖所示，荷載F=15kN，=45 ,尺寸如尺寸如圖。試分別計算圖。試分別計算F對對A、B兩點之矩。兩點之矩。dABF4m1m1m2mo解解: 1、力、力F對對A點的力矩點的力矩。 力臂力臂d = 4m sin = 4m sin45d = 22m-15kN2MA

3、(F)= -F d=2m2= -30kN m2、力、力 F 對對B點的力矩點的力矩。 力臂d = 1m sin = 1m sin45 =221mMB(F)=+F d= +15kN0.52m= 7.5 +2kN m注意：負(fù)號必須標(biāo)注，正號可標(biāo)也可不標(biāo)。一般不標(biāo)注。注意：負(fù)號必須標(biāo)注，正號可標(biāo)也可不標(biāo)。一般不標(biāo)注。2.合力矩定理合力矩定理 力系中合力對一點的矩，等于力系中各分力對同一點之矩的代數(shù)和。 設(shè)某力系為Fi（i=1,2,n），其合力為FR，根據(jù)以上理論，則有表達(dá)式：in21RFF.FFF其中：)()(.)()()(21ionoooRoFMFMFMFMFM由合力投影定理有：證畢)()()(2

4、1FMFMRMooo證明：證明：niiOOFMRM1)()(od=ob+ocoboAoABFMO2)(1ocoAoACFMO 2)(2odoAoADRMO 2)(又ABF4m1m1m2mo 例例1 荷載荷載F=20kNF=20kN，=45 ,=45 ,尺寸如圖。試分別計尺寸如圖。試分別計算算F F對對A A、B B兩點之矩。兩點之矩。Fx=Fcos=20N0.7=14N解解: Fy=Fsin=20N0.7=14N1、力、力F對對A點的力矩點的力矩MA(Fx)= -Fxd=-14kN2= -28kNmMA(Fy)= -Fyd=14kN6= 84kNmMA(F)= MA(Fy) + MA(Fx)

5、= 84kNm - 28kNm=56kNmB點大家求一下點大家求一下例例 2 求圖中荷載對求圖中荷載對A、B兩點之矩兩點之矩(b)解：解：圖（圖（a a）：）： MA = - 82 = -16 kN m MB = 82 = 16 kN m圖（圖（b）：）： MA = - - 42 21 = = -8 k -8 kN m m MB = 421 = 8 kN m(a)例例3 已知：如圖 F、Q、l, 求： 和 解解：用力對點的矩法用力對點的矩法 應(yīng)用合力矩定理應(yīng)用合力矩定理)(FmO)(Qmo sin)(lFdFFmOlQQmo)(ctg)( lFlFFmyxOlQQmo)(0.6m0.4mCBA

6、F300例例4、已知：機(jī)構(gòu)如圖，、已知：機(jī)構(gòu)如圖，F(xiàn) = 10kN，求：求：MA(F) = ?dFxFy解解:方法一方法一:MA(F) = - Fd = - 10 0.6 sin60033236方法二方法二:MA(F) = - Fcos300 0.6 + 0 = - 10 0.6 cos30033236Fx = Fcos300 MA(Fx)33Fy = - Fsin300 MA(Fy) = 0MA(F) = MA(Fx) + MA(Fy) 例5.圖示F=5kN, sin=0.8試求力F對A點的矩.AB2015FAB2015F解:(1)hCD75.188 . 015BCCD =18.750.6

7、= 11.25AC = 20 -11.25 = 8.75h = 8.75 0.8 = 7mo(F) = hF = 7 5 = 35AB2015F(2)FxFyFx = Fcos = 5 0.6 = 3Fy = Fsin = 5 0.8 = 4Dmo(Fx) = - BD Fx = -15 3 = -45mo(Fy) = AD Fy = 20 4 = 80mo(F) = mo(Fx) + mo(Fy) = -45 + 80 = 35 支架如圖所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,30求 對A、B、C三點之矩。FFABCDAdCd解：由定義mNCDFFdFmmNADFFd

8、FmCCAA5730sin)(52230sin)(由合力矩定理mNADFABFADFABFFmyxB48.4830sin30cos)(OxyFA1r2rBd如圖所示，求F對A點的矩。解一：應(yīng)用合力矩定理)cos()cos(sincossinsin)cos(cos)()()(212212112rrFFrFrrFrrFFmFmFmyAxAA解二：由定義cos1rOB cos12rrAB12coscosrrABd)cos()(21rrFFdFmA 練習(xí)練習(xí) 圖示膠帶輪，已知圖示膠帶輪，已知T1=200N, T2=100N, D=160mm, ,求求MB(T(T1 1)+)+MB B(T(T2 2)=

9、?)=?2TB1TmNmmNDTDTFMMiBB880002160)100200(22)(21解：解：3.力矩的平衡條件內(nèi)容：各力對轉(zhuǎn)動中心O點之矩的代數(shù)和等于零，即合力矩為零。公式表達(dá)：0)()(.)()()(21ionoooRoFMFMFMFMFM二、二、力偶力偶 1、什么是力偶、什么是力偶 力學(xué)中把一對等值、反向且不共線的平行力稱為力學(xué)中把一對等值、反向且不共線的平行力稱為力偶。（力偶。（F，F(xiàn)）無法再簡化的簡單力系之一無法再簡化的簡單力系之一 力偶作用面力偶作用面：兩力作用線所決定的平面；：兩力作用線所決定的平面；力偶臂力偶臂：兩力作用線之間的垂直距離，用：兩力作用線之間的垂直距離，用

10、 d 表示；表示；d力偶的三要素：力偶的三要素：1）力偶中力的大?。┝ε贾辛Φ拇笮?）力偶的轉(zhuǎn)向）力偶的轉(zhuǎn)向3）力偶作用面）力偶作用面FdM 力力 偶偶 實實 例例F1F2 力偶矩：力學(xué)中，用力偶的任一力的大小F與力偶臂d的乘積在冠以相應(yīng)的正、負(fù)號，作為力偶使物體轉(zhuǎn)動效應(yīng)的度量，稱為力偶矩，用M表示。M=Fd注：力偶逆時針轉(zhuǎn)動時取正，反之取負(fù)。F = F d：力偶臂：力偶臂力偶矩的單位：力偶矩的單位：N m 、kN m F Fd+力偶無合力，不能與一個單個的力平衡；力偶只能與力偶平衡。力偶無合力，不能與一個單個的力平衡；力偶只能與力偶平衡。力偶只能是物體轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動效果取決于力偶矩。力偶只能是物

11、體轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動效果取決于力偶矩。FF/ a b c d a bF 性質(zhì)性質(zhì)2 2 力偶對其所在平面內(nèi)任一點力偶對其所在平面內(nèi)任一點的矩恒等于力偶矩，而的矩恒等于力偶矩，而 與矩心的與矩心的位置無關(guān)，因此力偶對剛體的效位置無關(guān)，因此力偶對剛體的效應(yīng)用力偶應(yīng)用力偶 矩度量。矩度量。xFdxFFmFmOO)() ()(dFFFdOxAB 只要保持力偶矩大小和轉(zhuǎn)向不變，可以任意改變力偶中力的大小和相應(yīng)力偶臂的長短，而不改變它對剛體的作用效應(yīng)。由上述證明可得下列兩個推論兩個推論： 力偶可以在其作用面內(nèi)任意移動，而不影響它對剛體的作用效應(yīng)。3.力偶的表示方法 用力和力偶臂表示，或用帶箭頭的弧線表示，箭頭表示

12、力偶的轉(zhuǎn)向，M表示力偶的大小。 關(guān)于力偶性質(zhì)的推論關(guān)于力偶性質(zhì)的推論 FF FF 關(guān)于力偶性質(zhì)的推論關(guān)于力偶性質(zhì)的推論 FF FF 關(guān)于力偶性質(zhì)的推論關(guān)于力偶性質(zhì)的推論 FF F / 2F / 2關(guān)于力偶性質(zhì)的推論關(guān)于力偶性質(zhì)的推論 M=Fdk1.1.平面力偶系的簡化平面力偶系的簡化作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。作用在物體同一平面內(nèi)的各力偶組成平面力偶系。m m1 1F F1 1d d1 1，m m2 2F F2 2d d2 2，m m3 3F F3 3d d3 3，P P1 1d=Fd=F 1 1d d1 1，P P2 2d dF F2 2d d2 2，P P3 3d d F

13、F3 3d d3 3F FR RP P1 1P P2 2p p3 3F FR RP P1 1P P2 2P P3 3 三、平面力偶系的簡化與平衡三、平面力偶系的簡化與平衡 MF FR R d d（P P1 1P P2 2P P3 3）d d= = P P1 1d d+ +P P2 2d dP P3 3d d=F=F 1 1d d1 1+ +F F2 2d d2 2F F3 3d d3 3所以所以 Mm m1 1m m2 2m m3 3 若作用在同一平面內(nèi)有個力偶，則上若作用在同一平面內(nèi)有個力偶，則上式可以推廣為式可以推廣為由此可得到如下結(jié)論：平面力偶系可以合成為一合力偶，此合力偶的力平面力偶系

14、可以合成為一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和偶矩等于力偶系中各力偶的力偶矩的代數(shù)和。niinmmmmM121 平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力若合力偶矩等于零，則原力系必定平衡；反之若原力偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到偶系平衡，則合力偶矩必等于零。由此可得到 平面力偶系平衡的必要與充分條件：平面力偶系平衡的必要與充分條件：2. 2.平面力偶系的平衡條件平面力偶系的平衡條件即即M M 0 0注：平面力偶系有一個平衡方程，可以求解一個未知量。注：平面力偶系有一個

15、平衡方程，可以求解一個未知量。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代數(shù)和等于零。 圖示矩形板，邊長分別為a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，試畫出整體和兩板的受力圖。MABMCMCARCRMMABCARBRBRMCR mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 合力偶距平面力偶系平衡 車間內(nèi)有一矩形鋼板，要使鋼板轉(zhuǎn)動，加力F, F, F F 如圖示。試問應(yīng)如何加才能使所要的力最??？ababFF 當(dāng)力偶一定時，只有力偶臂最長所用的力才最小。 圖中

16、梁AB處于平衡，如何確定支座A、B處反力的方向？lM1M2ABM1M2ABFAFB 力偶只能和力偶平衡，A、B兩點的力 應(yīng)構(gòu)成力偶，所以，這兩個力大小相等、方向相反。即A點的水平分力為零，可以不畫。 圖中所示的拉力實驗機(jī)上的擺錘重 G G，懸掛點到擺錘重心C C的距離為l ,擺錘在圖示三個位置時，求重力G G對O O點之矩各為多少？CGl123 o解解: :MO(F) = Fd位置位置1:MO(F) = Gd = 0位置位置2:MO(F) = G GGd=lsinGlsin位置位置3:MO(F) = Gl 剛架上作用著力剛架上作用著力F F, ,分別計算力分別計算力F F對對A A點和點和B

17、B點的力矩。點的力矩。F F、a a、b b為已知。為已知。AFBab Fx Fy解：解： 用定義計算，力臂不易用定義計算，力臂不易確定，所以，用合力矩定理。確定，所以，用合力矩定理。MA(F) = Fx b= bFcosFx=Fcos Fy=Fsin MB(F)= MB(Fx) +MB(Fy) = b Fcos+ a Fsin 例例 圖示結(jié)構(gòu)，求圖示結(jié)構(gòu)，求A A、B B處反力。處反力。解：解：1、取研究對象、取研究對象2、受力分析、受力分析AYBN3、平衡條件、平衡條件mi=P 2aYA l=0lPaYNAB2m i= 0BRARP 2aRB cos l=0cos2lPaRRABAB1m2

18、m3mARBR 求圖示簡支梁的支座反力。AB1m2m3ml解：以梁為研究對象，受力如圖。0:0321mmmlRmA解之得：BARlmmmR321例題.在梁AB上作用一個力偶,其矩為m,梁長為l.自重不計.試求支座A和B的約束反力.45oABlm解:取梁AB為研究對象45oABlmRARB45o45oRA = RB = Rm(RA , RB) = Rlcos 45o mi = 0Rlcos 45o- m = 0R = RA = RB = lm2例題.圖示鉸鏈四連桿機(jī)構(gòu)OABO1處于平衡位置.已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1Nm,各桿自重不計.試求力偶矩m2的大小及桿AB所受的力

19、.OABO1m2m130o解: AB為二力桿OABO1m2m130oSA = SB = SSSSS 取OA桿為研究對象. mi = 0m2 0.6 S = 0(1)取O1B桿為研究對象. mi = 00.4sin30o S - m1 = 0(2)聯(lián)立(1)(2)兩式得: S = 5m2 = 3例題.不計自重的桿AB與DC在C處為光滑接觸,它們分別受力偶矩為m1與m2的力偶作用 ,轉(zhuǎn)向如圖.問m1與m2的比值為多大,結(jié)構(gòu)才能平衡?60o60oABCDm1m2解:取桿AB為研究對象畫受力圖. 桿A B只受力偶的作用而平衡且C處為光滑面約束.則A處約束反力的方位可定.ABCm1RARC mi = 0

20、RA = RC = RAC = aa R - m1 = 0m1 = a R (1) 取桿CD為研究對象.因C點約束方位已定 , 則D點約束反力方位亦可確定.畫受力圖.60o60oDm2BCARDR CRD = RC = RCD = a mi = 0- 0.5aR + m2 = 0m2 = 0.5 aR (2)聯(lián)立(1)(2)兩式得:221mm例題例題 圖示剛架，其上作用三個力偶，其中圖示剛架，其上作用三個力偶，其中 F1= F1 =5KN，m2=20KN.m, m3= 9KN.m, 試求支座試求支座A、B處的反力。處的反力。AB m2m130oF1F1 m3 m2m330o30oFAFB1m1

21、m1mABm1=F1 1=5KN.mm1m1 - m2+ m3+FB d =0 m2m330o30oFAFBABd解：因為作用在剛架上的主動力全是力偶，解：因為作用在剛架上的主動力全是力偶， 則則A、B處的約束反力一定形成力偶。處的約束反力一定形成力偶。 根據(jù)平面力偶系的平衡方程：根據(jù)平面力偶系的平衡方程： mi = 05 - 20+ 9+FB ABsin300 =0解得：解得：FA=FB=2.31kN例例 已知：機(jī)構(gòu)如圖所示，各構(gòu)件自重不計，主動力偶已知：機(jī)構(gòu)如圖所示，各構(gòu)件自重不計，主動力偶M1為已知，求：支座為已知，求：支座A、B的約束反力及主動力偶的約束反力及主動力偶M。ABCDEMM

22、1450a解：解： “BD”BDEM1FEFB M = 0M1 - FE a = 0 FB = FE = M1 / aFBFA“系統(tǒng)系統(tǒng)”系統(tǒng)受力偶作用，又只在系統(tǒng)受力偶作用，又只在A、B兩點受力，則該兩點的力必兩點受力，則該兩點的力必形成一力偶。形成一力偶。 FA = FB = M1 / a M = 0M1 - FB 0 - M = 0 M = M1ABCDEMM1450aFBFA 系統(tǒng)如圖，AB桿上作用矩為M的力偶，設(shè)AC=2R，R為輪C的半徑，各物體的重量及摩擦不計。求繩子的拉力和鉸A對AB桿的約束反力及地面對輪C的反力。MBADDNAN 解：先以AB桿為研究對象，受力如圖。0:0ADN

23、MmA由幾何關(guān)系：RRRAD3)2(22DANRMRMADMN333所以：AMBCED 再以輪C為研究對象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。CDNENTxy0coscos:0TNXD0sinsin:0TNNYD21sinsin,23coscos其中：解之得：RMNNTED33AMBCDENAR討論：本題亦可以整體為研究對象求出：RMNREA33例例已知：a、m，桿重不計。 求：鉸A、C的反力。解解:分別以AB桿(二力桿) 和BC為研究對象求解.由由 M=0, m NC d= 0及 NC = NB = NB 解得解得:AB桿：BC桿：例例 M1=2kNm，OA=r=0.5m，30，求作用于搖桿上力偶矩的

24、大小及鉸鏈O、B處的約束力。解：解：1.先先以圓輪為研究對象. 0sin 1rFMAkN830sin1rMFA由由 M=0,解得解得:（平面力偶系）（平面力偶系）2.再以搖桿為研究對象再以搖桿為研究對象（平面力偶系）（平面力偶系）0sin2rFMAmkN824412 MMkN830sin5 . 0230sin1rMFFFABO由由 M=0,FA= FA = M1 /rsin30解得解得:FO 、 FB的方向如圖所示。ABMOABMO（A）（B）例：例：結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動力偶結(jié)構(gòu)如圖所示，已知主動力偶 M， 哪種情況鉸鏈的約束力小哪種情況鉸鏈的約束力小, ,并確定并確定 約束力的方向（不計構(gòu)

25、件自重）約束力的方向（不計構(gòu)件自重）1 1、研究、研究OAOA桿桿FFFF2 2、研究、研究ABAB桿桿例例: :M1 ,M2。2M1Msin2DNBDM DNADM 1研究研究BD研究研究AC1M2Msin12MADBDM 例例 圖示桿系，已知圖示桿系，已知m, l, ,求求A、B處約束力。處約束力。解：解：1、研究對象、研究對象ADNCR2、研究對象：、研究對象： 整體整體ADNBRlmRNBADBRCRm解：解：1、研究對象、研究對象2、研究對象：、研究對象： 整體整體ADNBRBRCRADNmCRlmlmRNBAD245sin0例題.圖示物體系統(tǒng)中AC = CD = BE = EF = a 且CF = DE . 物體重量不計. 求支座A 和B 的約束反力.ABCDEFm 解:取整體為研究 對象畫受力圖。ABCDEFm RARBdRA = RB = R mi = 0sin3RamRA = RB = R =sin3amANCNBAmANBNCBANamNN2 練習(xí)練習(xí) 下圖中，求下圖中，求 A、C 兩點處的支座反力。兩點處的支座反力。 OA 練習(xí)練習(xí) 試求機(jī)構(gòu)在圖示位置保持平衡時主動力系的關(guān)系。其中試求機(jī)構(gòu)在圖示位置保持平衡時主動力系的關(guān)系。其中 AO=d, AB=l。 BABNOR曲柄曲柄