常微分方程11ppt

1、常微分方程課程簡介常微分方程課程簡介 常微分方程是研究自然科學(xué)和社會科學(xué)中的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟和金融領(lǐng)域中的許多原理和規(guī)律都可以描述成適當(dāng)?shù)某Ｎ⒎址匠?，如牛頓運動定律、萬有引力定律、機械能守恒定律，能量守恒定律、人口發(fā)展規(guī)律、生態(tài)種群競爭、疾病傳染、遺傳基因變異、股票的漲伏趨勢、利率的浮動、市場均衡價格的變化等，對這些規(guī)律的描述、認(rèn)識和分析就歸結(jié)為對相應(yīng)的常微分方程描述的數(shù)學(xué)模型的研究。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)，而且越來越多的應(yīng)用于社會科學(xué)的各個領(lǐng)域。 常微分方程 學(xué)習(xí)常微分方程

2、的目的是用微積分的思想，結(jié)合線性代數(shù)，解析幾何等的知識，來解決數(shù)學(xué)理論本身和其它學(xué)科中出現(xiàn)的若干最重要也是最基本的微分方程問題，使學(xué)生學(xué)會和掌握常微分方程的基礎(chǔ)理論和方法，為學(xué)習(xí)其它數(shù)學(xué)理論，如數(shù)理方程、微分幾何、泛函分析等后續(xù)課程打下基礎(chǔ)；同時，通過這門課本身的學(xué)習(xí)和訓(xùn)練，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模的一些基本方法，初步了解當(dāng)今自然科學(xué)和社會科學(xué)中的一些非線性問題，為他們將來從事相關(guān)領(lǐng)域的科學(xué)研究工作培養(yǎng)興趣，做好準(zhǔn)備。 教材及參考資料教 材：常微分方程，(第二版）（97年國家教委一等獎）， 王高雄等編（中山大學(xué)), 高教出版社。參考書目： 常微分方程,東北師大數(shù)學(xué)系編，高教出版社 常微分方程講義，王

3、柔懷、伍卓群編，高教出版社。 常微分方程及其應(yīng)用，周義倉等編，科學(xué)出版社。 常微分方程穩(wěn)定性理論，許松慶編上?？萍汲霭嫔纭?常微分方程定性理論，張芷芬等編，科學(xué)出版社。第一章第一章 緒論緒論 常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支,是人們解決各種實際問題的有效工具,它在幾何,力學(xué),物理,電子技術(shù),自動控制,航天,生命科學(xué),經(jīng)濟等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,本章將通過幾個具體例子,粗略地介紹常微分方程的應(yīng)用,并講述一些最基本概念.1.1 1.1 微分方程模型微分方程模型 微分方程:聯(lián)系著自變量,未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式. 為了定量地研究一些實際問題的變化規(guī)律,往往是要對所研究的問題進行適當(dāng)?shù)暮喕图僭O(shè),建

4、立數(shù)學(xué)模型,當(dāng)問題涉及變量的變化率時,該模型就是微分方程,下面通過幾個典型的例子來說明建立微分方程模型的過程.例1 鐳的衰變規(guī)律:0,0,.tRt設(shè)鐳的衰變規(guī)律與該時刻現(xiàn)有的量成正比且已知時 鐳元素的量為克 試確定在任意 時該時鐳元素的量解:( ),tR t設(shè) 時刻時鐳元素的量為,)()(dttdRtR對時間的變化律是由于鐳元素的衰變律就:衰變律可得依題目中給出鐳元素的,kRdtdR0)0(RR.)(, 0隨時間的增加而減少是由于這里tRk :解之得kteRtR0)(即鐳元素的存量是指數(shù)規(guī)律衰減的. 將某物體放置于空氣中, 在時刻0t時, 測得它的溫度為,1500Cu10分鐘后測量得溫度為 試

5、決定此物.1001Cu體的溫度 和時間 的關(guān)系.ut例例2 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型Newton 冷卻定律冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo)熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一定的溫度范圍內(nèi)在一定的溫度范圍內(nèi),一個物體的溫度變化速度與這一一個物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比. 設(shè)物體在時刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到 t).(tu.dtdu),(auukdtdu其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻

6、過程的數(shù)學(xué)模型.0k注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.utut解:例例3 R-L-C電路電路 如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關(guān)系. 電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律: 設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后, 電路中在時刻t的電流強度為I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得

7、到 ,CQRIdtdIL. 0)(CQRIdtdILte因為 于是得到,dtdQI .)(122dttdeLLCIdtdILRdtId這就是電流強度I與時間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式. 解:在閉合回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 例4 傳染病模型: 長期以來,建立傳染病的數(shù)學(xué)模型來描述傳染病的傳播過程,一直是各國有關(guān)專家和官員關(guān)注的課題.人們不能去做傳染病傳播的試驗以獲取數(shù)據(jù),所以通常主要是依據(jù)機理分析的方法建立模型.:,假設(shè)條件為時間以天為計量單位不變考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)假設(shè)在疾病傳播期內(nèi)所N).()()()() 1 (titst和別為在總?cè)藬?shù)中所占比例分

8、病人和已感染者健康人群中易感染者在時該.,)2(稱日接觸率的平均人數(shù)是每個病人每天有效接觸解:根據(jù)題設(shè),每個病人每天可使.)( 個健康者變?yōu)椴∪藅s由于病人總?cè)藬?shù)為),(tNi所以每天共有( ) ( ).Ns t i t個健康者被感染于是病人增加率為,NsidtdiN再由初始條件得又因, 1)()( tits)1 (iidtdi0)0(ii思考與練習(xí)1.曲線上任一點的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積都等于常數(shù) ,求該曲線所滿足的微分方程.2a:),(距分別為的切線的橫截距與縱截過點yx.xyyyyx和解:由題目條件有:2)(21axyyyyx2. 求平面上過點求平面上過點(1,3)且每點切線斜率為橫坐標(biāo)且每點切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲倍的曲線所滿足的微分方程線所滿足