常微分方程-曹鴻鈞

1、常微分方程 Ordinary Differential Equation2009-2010學年第一學期曹鴻鈞 第一周 9月1日教材及參考資料 教 材：常微分方程，(第三版）（07年精品教材）， 王高雄等（中山大學), 高教出版社 參考書目： 1 常微分方程, 東北師大數(shù)學系編，高教出版社 2 常微分方程講義，王柔懷、伍卓群編，高教出版社 3 常微分方程及其應用，周義倉等編，科學出版社 4 微分方程定性理論，張芷芬等編，科學出版社。教學安排 第1周第12周，共48學時（第5周四，第6周國慶，實際授課時42學時） 考試安排：在結課后一周考試， 總成績=平時（40%）+期末（60%），有小論文可以加

2、分，每周四課后交作業(yè) 答疑時間：周四晚7：00-9：00，地點7112第一章 緒論常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學的一個重要分支，是人們解決各種實際問題的有效工具，它在幾何、力學、物理、電子技術、航空航天、生命科學、經(jīng)濟領域等都有廣泛的應用隨著計算技術和計算機的快速發(fā)展，常微分方程已經(jīng)滲透到自然科學、社會科學、工程技術等學科的任何一個領域，正發(fā)揮著越來越大的作用動力系統(tǒng) Dynamical system describes the evolution of a state over time /article/History_of_dynamical_s

3、ystems Curator: Dr. Eugene M. Izhikevich, Editor-in-Chief of Scholarpedia, the free peer reviewed encyclopedia第一章 緒論 線性方程、二次方程、高次方程、指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程和方程組 這些方程都是要把研究問題中的已知數(shù)和未知數(shù)之間的關系找出來，列出包含一個未知數(shù)或幾個未知數(shù)的一個或者多個方程式 在實際工作中，常常出現(xiàn)一些特點和以上方程完全不同的問題 比如：某個物體在重力作用下自由下落，要尋求下落距離隨時間變化的規(guī)律 火箭在發(fā)動機推動下在空間飛行，要尋求它飛行的軌道等 研究這些問

4、題所建立的數(shù)學方程不僅與未知函數(shù)有關，而且與未知函數(shù)的導數(shù)有關，這就是我們要研究的微分方程 基本思想: 把研究的問題中已知函數(shù)和未知函數(shù)之間的關系找出來，從列出的包含未知函數(shù)及其導數(shù)的一個或幾個方程中去求得未知函數(shù)的表達式，即求解微分方程 微分方程差不多是和微積分同時先后產(chǎn)生的 牛頓在建立微積分的同時，對簡單的微分方程用級數(shù)來求解 瑞士數(shù)學家雅各布貝努利、歐拉、法國數(shù)學家克雷洛、達朗貝爾、拉格朗日等人又不斷地研究和豐富了微分方程的理論 法國數(shù)學家Poincare及前蘇聯(lián)數(shù)學家Lyapunov等對現(xiàn)代微分方程理論的建立做出了巨大的貢獻 常微分方程的形成與發(fā)展是和力學、天文學、物理學，以及其他科學

5、技術的發(fā)展密切相關的 數(shù)學的其他分支的新發(fā)展，如復變函數(shù)、李群、組合拓撲學等，都對常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響 當前計算機的發(fā)展更是為常微分方程的應用及理論研究提供了非常有力的工具1.1 常微分方程模型 RLC電路 數(shù)學擺 人口模型 傳染病模型 兩生物種群生態(tài)模型 Lorenz方程RL電路基爾霍夫(Kirchhoff)第二定律在閉合回路中，所有支路上的電壓的代數(shù)和等于零RLC電路數(shù)學擺人口模型 馬爾薩斯(Malthus)假設：在人口自然增長的過程中，凈相對增加率（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記為r人口模型的改進 Verhulst：引入常數(shù)Nm（環(huán)境最大容納量），假設：凈

6、相對增長率為)(1 (mNtNrlogistic模型傳染病模型 假設傳染病傳播期間其地區(qū)總人數(shù)不變，為常數(shù)n，開始時染病人數(shù)為x0，在時刻t的健康人數(shù)為y(t)，染病人數(shù)為x(t) 假設單位時間內(nèi)一個病人能傳染的人數(shù)與當時的健康人數(shù)成正比，比例系數(shù)為kSI模型易感染者：Susceptible已感染者：InfectiveSIS模型 對無免疫性的傳染病，假設病人治愈后會再次被感染，設單位時間治愈率為muSIR模型（R：移出者（Removed） 對有很強免疫性的傳染病，假設病人治愈后不會在被感染，設在時刻t的愈后免疫人數(shù)為r(t)，稱為移出者，而治愈率l為常數(shù)兩生物種群生態(tài)模型 意大利數(shù)學家沃特拉(

7、Volterra)建立了一個關于捕食魚與被食魚生長情形的數(shù)學模型 假設在時刻t，被食魚的總數(shù)為x(t)，而捕食魚的總數(shù)為y(t) 假設單位時間內(nèi)捕食魚與被捕食魚相遇的次數(shù)為bxy 捕食魚的自然減少率同它們的存在數(shù)目y成正比Volterra被捕食-捕食模型兩種群競爭模型Lorenz方程Lorenz吸引子，蝴蝶效應對初值的敏感性分形（fractal）吸引盆總結 微分方程反映量與量之間的關系，與時間有關，是一個動態(tài)系統(tǒng) 從已知的自然規(guī)律出發(fā)，考慮主要因素，構造出由自變量、未知函數(shù)及其導數(shù)的關系史，即微分方程，從而建立數(shù)學模型 數(shù)學模型的建立有多種方式 研究微分方程的解和解結構的性質，檢查是否與實際相

8、吻合，不斷改進模型 由微分方程發(fā)現(xiàn)或預測新的規(guī)律和性質 9月3日1.2 基本概念 1.2.1 常微分方程基本概念定義（微分方程）定義（微分方程） 聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)未知函數(shù)導數(shù)導數(shù)（或微分）的關系式稱為微分方程（或微分）的關系式稱為微分方程; 2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd; sin35 )4(2244txdtxddtxd; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu例1：下列關系式都是微分方程微分方程微分方程 如果在一個微分方程中，自變量的個數(shù)只有一個，則這樣的微分方程稱為常微分方程

9、常微分方程;2 ) 1 (xdxdy; 0 (2) ydxxdy; 0 )3(322xdtdxtxdtxd;sin35 )4(2244txdtxddtxd都是常微分方程常微分方程常微分方程如 如果在一個微分方程中,自變量的個數(shù)為兩個或兩個以上,稱為偏微分方程偏微分方程; )5(zyzxz. 0 )6(2222uzyxyuxu 注: 本課程主要研究常微分方程，同時把常微分方程簡稱為微分方程或方程偏微分方程偏微分方程如都是偏微分方程定義定義 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)或微微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)或微分的分的階階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)數(shù)稱為微分方程的階數(shù). . 2 ) 1 (xd

10、xdy是一階微分方程 0 (2) ydxxdy是二階微分方程 0 )3(322xdtdxtxdtxd是四階微分方程 sin35 )4(2244txdtxddtxd微分方程的階微分方程的階如:) 1 (0),dxdyy,F(x,nndxydn階微分方程的一般形式為.,dxdyy,x,0),dxdyy,F(x,是自變量是未知函數(shù)而且一定含有的已知函數(shù)是這里xydxyddxyddxydnnnnnn 2 ) 1 (xdxdy 是線性微分方程 0 (2) ydxxdy sin35 )4(2244txdtxddtxd線性和非線性0),dxdyy,F(x,nndxyd如如.,dxdyy階線性方程則稱其為的一

11、次有理式及的左端為ndxydnn如果方程 是非線性微分方程 如如 0 )3(322xdtdxtxdtxdn階線性微分方程的一般形式111( )( )( )(2)nnnnnd ydya xax yf xdxdx.)(),(),(1的已知函數(shù)是這里xxfxaxan不是線性方程的方程稱為非線性方程微分方程的解定義:,),(滿足條件如果函數(shù)Ixxy;)() 1 (階的連續(xù)導數(shù)上有直到在nIxy, 0)(),(),(,(:)2(xxxxFIxn有對.0),dxdyy,F(x,(x)y上的一個解在為方程則稱Idxydnn)(xy稱為方程的顯示解例.),(0ycosxysinx,y上的一個解在都是微分方程驗

12、證y證明:由于對sinx,y xsinycosx,y(,),x 故對有 yyxsin0 xsin.),(0ysinxy上的一個解在是微分方程故y.),(0yxcosy上的一個解在是微分方程同理y顯式解與隱式解是方程的一個則稱的解為方程所確定的隱函數(shù)如果關系式0),(,0),dxdyy,F(x,Ix(x),y0),(yxdxydyxnn隱式解注:顯式解與隱式解統(tǒng)稱為微分方程的解例如yxdxdy對一階微分方程有顯式解2211.yxyx 和和隱式解:. 122 yx通解與特解定義 如果微分方程的解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該方程的通解例如:為

13、任常數(shù)2121,ccosx,sinxyccc.0y的通解是微分方程 yn階微分方程通解的一般形式為),(1nccxy.,1為相互獨立的任常數(shù)其中ncc 注:使得行列式的某一鄰域存在是指個獨立常數(shù)含有稱函數(shù),),(,),(11nnccxnccxy0),(),()1(2)1(1)1(212121)1(nnnnnnnncccccccccccc.)(kkkdxd表示其中例.62y2y3cy2321的通解是微分方程驗證yyececexxxxxxecece23212cy證明: 由于,4cy2321 xxxececexxxecece2321 8cy故yy2y2y)2(c2321xxxecece)8(c232

14、1xxxecece)4(c22321xxxecece)32(c2321xxxecece6xe )c2cc2c (1111xecccc)22(-2222xecccc23333)228(86.62y2y3cy2321的通解是微分方程故yyececexxx又3 3 1 321321ccccccccc2222264xxxxxxxxxxeeeeeeeeee 0.62y2y3cy2321的解微分方程是故yyececexxx類似可定義方程的隱式通解 如果微分方程的隱式解中含有任意常數(shù),且所含的相互獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同,則稱這樣的解為該 方程的隱式通解以后不區(qū)分顯式通解和隱式通解,統(tǒng)稱為方

15、程的通解隱式通解也稱為“通積分” 在通解中給任意常數(shù)以確定的值而得到的解稱為方程的特解例如.0ycosxysinx,y的特解都是方程y中分別取可在通解cosxsinxy21cc:, 0, 1c21得到c:, 1, 0c21得到csinx,y cosx.y 定義定解條件 為了從通解中得到合乎要求的特解,必須根據(jù)實際問題給微分方程附加一定的條件,稱為定解條件求滿足定解條件的求解問題稱為定解問題 常見的定解條件是初始條件,n階微分方程的初始條件是指如下的n個條件:)1(01)1()1(000,xxnnnydxydydxdyyy時當.1,)1(0)1(000個常數(shù)是給定的這里nyyyxn當定解條件是初

16、始條件時,相應的定解問題稱為初值問題注1:n階微分方程的初始條件有時也可寫為)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy通常記為問題的解的初值問題也稱滿足條件階微分方程求,)(,)(,)(, 0),(:)1(010)1()1(0000CauchyydxxydydxxdyyxydxyddxdyyxFnnnnnn注2:0),(nndxyddxdyyxF)1(010)1()1(0000)(,)(,)(nnnydxxydydxxdyyxy例（P19）.1)0(, 2)0(,045yecy-4x21的特解并求滿足初始條件的通解是方程驗證yyyycexyy45y-4

17、x21)ec (cex)e16c (-4x21cex0-4x21)ec (5cex)ec (4-4x21cex)e4c (5-4x21cex)ec (4-4x21cex解由于且xxxxeeee4442121cccc0.045yecy-4x21的通解是方程故yycex有由初始條件1)0(, 2)0(yy221cc1421cc解以上方程組得1, 321cc的特解為滿足初始條件故方程1)0(, 2)0(045yyyyy-4xe3yxe積分曲線和方向場 積分曲線一階微分方程),(dxdyyxf,(x)y平面上的一條曲線所表示的解xy稱為微分方程的積分曲線.,c)(x,y族稱這族曲線為積分曲線平面上的一

18、族曲線對應而其通解xy方向場),(dxdy,),(,),(,),(,),(yxfDyxyxfyxDDyxf為方程有這種直線段的區(qū)域稱帶點的線段中心在的值為斜率上一個以都畫處內(nèi)每一點在的定義域為設函數(shù)在方向場中,方向相同的點的幾何軌跡稱為等斜線.所規(guī)定的方向場.,),(,),(dxdy為參數(shù)其中的等斜線為方程kkyxfyxf例 研究下列方程的方向場和積分曲線微分方程組駐定與非駐定，動力系統(tǒng) 駐定（自治） 非駐定（非自治）相空間、奇點和軌線 不含自變量、僅由未知函數(shù)組成的空間稱為相空間 積分曲線在相空間中的投影稱為軌線 稱為平衡解（駐定解、常數(shù)解），奇點、平衡點例0)0(, 1)0(),( ,11

19、vuvugudtdvvfvdtduu),sin,(cos)(),( |),()sin,(cos)(),(111122ttttvtutvutttvtuvu垂直等傾線、水平等傾線課外習題 p27：. 2(1、5) p27: 3（1、5、8） p27: 4第二周 9月8日 階數(shù)與次數(shù) 線性與非線性 顯示與隱式 通解與特解 相關與無關第二章 一階微分方程的初等解法2.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程與變量變換yxyedxdy122yxdxdyxyeye定義1形如) 1 . 2()()(yxfdxdy方程,稱為變量分離方程.,)(),(的連續(xù)函數(shù)分別是這里yxyxf),(yxFdxdy一、變量分離

20、方程的求解一、變量分離方程的求解,10分離變量,)()(dxxfydy這樣變量就“分離”開了.)2 . 2()()(cdxxfydy的某一原函數(shù))(1y的某一原函數(shù))(xf.) 1 . 2(),()2 . 2(的解就為所確定的函數(shù)由cxy) 1 . 2()()(yxfdxdy兩邊積分得02寫成將時當) 1 . 2(,0)(y例：122yxdxdydxxydy221Cdxxydy221Cxy331arctan分離變量:兩邊積分:.,)2 . 2(,) 1 . 2(, 0)(,000必須予以補上的通解中它不包含在方程可能的解也是則使若存在yyyy注:例1求微分方程)101 (yydxdy的所有解.

21、解:再積分方程兩邊同除以),101 (yy1)101 (cdxyydy積分得:110lncxyy得再將常數(shù)記為從上式中解出,cy,110 xcey. 0c,100, 0)101 (yyyy和求出方程的所有解為由故方程的所有解為:,110為任常數(shù)cceyx. 0y和110lncxyy解:分離變量后得dxxdyy123兩邊積分得:121ln2cxy整理后得通解為:21)(ln4cxy,)(ln42cx,0,1231無意義在由于函數(shù)其中xxyecc.00之一中有意義或故此解只在xx., 0應補上這個解未包含在通解中此外還有解 y例223ydxdyx求微分方程的通解.例3求微分方程yxpdxdy)(.

22、)(,的連續(xù)函數(shù)是其中的通解xxp解:將變量分離后得dxxpydy)(兩邊積分得:1)(lncdxxpy由對數(shù)的定義有1)(cdxxpey即dxxpceey)(1.)(dxxpce,0, 0,0也包括在上式中即知若在上式中充許也是方程的解此外ycy.,)(為任常數(shù)cceydxxp故方程的通解為1)(cdxxpey例4.1)0(cos2的特解求初值問題yxydxdy解:，xydxdy的通解先求方程cos2得將變量分離時當,0yxdxydycos2兩邊積分得:,sin1cxy因而通解為:,sin1cxy.為任意常數(shù)其中c.,0得到的且不能在通解中取適當也是方程的解此外cy 再求初值問題的通解,1,

23、1)0(cy得代入通解以所以所求的特解為:.sin111sin1xxy二、可化為變量分離方程類型二、可化為變量分離方程類型（I）齊次方程）齊次方程 .,)(222111222111為任意常數(shù)其中的方程形如cbacbacybxacybxafdxdyII齊次線性方程組非齊次線性方程組P44例(I) 形如)5 . 2()(xygdxdy.)(的連續(xù)函數(shù)是這里uug方程稱為齊次方程,求解方法:方程化為引入新變量作變量代換,)(10 xyu ,)(xuugdxdu)(udxduxdxdy這里由于解以上的變量分離方程02.30變量還原例4求解方程)0(2xyxydxdyx解:方程變形為)0(2xxyxyd

24、xdy這是齊次方程,代入得令xyu uu 2即udxdux2將變量分離后得xdxudu2udxdux兩邊積分得:cxu)ln(即為任意常數(shù)ccxcxu, 0)ln(,)(ln(2代入原來變量,得原方程的通解為,0)ln(, 00)ln(,)ln(2cxcxcxxyxdxudu2例6求下面初值問題的解0) 1 (,)(22yxdydxyxy解:方程變形為2)(1xyxydxdy這是齊次方程,代入方程得令xyu 21 udxdux將變量分離后得xdxudu21兩邊積分得:cxuulnln1ln2整理后得cxuu21變量還原得cxxyxy2)(1. 1, 0) 1 (cy可定出最后由初始條件故初值問

25、題的解為) 1(212xyxdxudu21(II) 形如,222111cybxacybxadxdy.,222111為常數(shù)這里cbacba的方程可經(jīng)過變量變換化為變量分離方程.分三種情況討論的情形0121 cc)(2211xygxybaxybaybxaybxadxdy2211為齊次方程,由(I)可化為變量分離方程.的情形022121bbaa則方程可改寫成設,2121kbbaa222111cybxacybxadxdy則方程化為令,22ybxaudxdu)(22ybxaf222122)(cybxacybxak)(22ufba dxdyba22這就是變量分離方程不同時為零的情形與且21212103cc

26、bbaa,00222111cybxacybxa則).0 , 0(),(,解以上方程組得交點平面兩條相交的直線代表xy作變量代換(坐標變換),yYxX則方程化為YbXaYbXadXdY2211為 (1)的情形,可化為變量分離方程求解.解的步驟:,0012221110cybxacybxa解方程組,yx得解方程化為作變換,20yYxXYbXaYbXadXdY2211)(XYg離方程將以上方程化為變量分再經(jīng)變換,30XYu 求解04變量還原05例7求微分方程31yxyxdxdy的通解.解:解方程組0301yxyx, 2, 1yx得代入方程得令2, 1yYxXYXYXdXdY得令,XYu uudXduX

27、112XYXY11將變量分離后得XdXuduu21)1 (兩邊積分得:cXuuln)1ln(21arctan2變量還原并整理后得原方程的通解為.)2() 1(ln12arctan22cyxxy注:上述解題方法和步驟適用于更一般的方程類型.)()(2211222111XYgYbXaYbXafdXdYcybxacybxafdxdy此外,諸如)(cbyaxfdxdy0)()(dyxyxgdxxyyf)(2xyfdxdyx)(2xyxfdxdycbyaxuxyu 2xyu xyu 以及0)(,()(,(ydxxdyyxNydyxdxyxM.,),(變量分離方程均可適當變量變換化為些類型的方程等一次數(shù)可

28、以不相同的齊次函數(shù)為其中yxNM例8求微分方程0)()(22dyyxxdxxyy的通解.解:,xyu 令ydxxdydu則代入方程并整理得0)(1 ()1 (udxxduudxuu即0)1 (22duuxdxu分離變量后得xdxduuu212兩邊積分得cxuu2lnln1變量還原得通解為.ln1cyxxy三、應用舉例三、應用舉例例8、雪球的融化 設雪球在融化時體積的變化率與表面積成比例，且在融化過程中它始終為球體，該雪球在開始時的半徑為6cm，經(jīng)過2小時后，其半徑縮小為3cm，求雪球的體積隨時間變化的關系。解:則表面積為雪球的體積為設在時刻),(),(tstvt)()(tksdttdv根據(jù)球體

29、的體積和表面積的關系得)(3)4()(323231tvts再利用題中條件得引入新常數(shù),3)4(3231k3232313)4(vkdtdv36)2(,288)0(vv,32v分離變量并積分得方程的通解為.)(271)(3tctv由初始條件得3369,636c代入得雪球的體積隨時間的變化關系為.)312(6)(3ttv.4 , 0:t實際問題要求注作業(yè)(9月8日) P42: 1, 3, 5, 7 P43: 2, 4, 69月10日自治（駐定）非自治（非駐定）tedtdx人口模型 馬爾薩斯(Malthus)假設：在人口自然增長的過程中，凈相對增加率（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記

30、為r9月10日 一階微分方程的初等解法 變量分離方程 齊次微分方程 線性微分方程 倍努利微分方程 恰當方程 其它 變量分離 恰當微分方程2.2 線性方程與常數(shù)變易法線性方程與常數(shù)變易法0)()()(xcyxbdxdyxa一階線性微分方程的區(qū)間上可寫成在0)(xa) 1 ()()(xQyxPdxdy的連續(xù)函數(shù)在考慮的區(qū)間上是這里假設xxQxP)(),(變?yōu)閯t若) 1 (, 0)(xQ)2()(yxPdxdy稱為一階齊次線性方程)2(稱為一階非齊線性方程則若) 1 (, 0)(xQ一 一階線性微分方程的解法-常數(shù)變易法解對應的齊次方程01( )(2)dyp x ydx得對應齊次方程解常數(shù)變易法求解

31、02) 1 (),(的解使它為的待定函數(shù)變?yōu)閷⒊?shù)xcxc為任意常數(shù)cdxceyxp,)(則的解為令,) 1 ()()(dxxpexcy) 1 ()()(xQyxPdxdydxxpdxxpexpxcedxxdcdxdy)()()()()(代入(1)得dxxpexQdxxdc)()()(積分得)()()(cdxexQxcdxxp的通解為故 ) 1 (30)3()()()(cdxexQeydxxpdxxp注 求(1)的通解可直接用公式(3)例1 求方程1) 1() 1(nxxenydxdyx通解,這里為n常數(shù)解: 將方程改寫為nxxeyxndxdy) 1(1首先,求齊次方程yxndxdy1的通解從

32、yxndxdy1分離變量得dxxnydy111lnlncxny兩邊積分得故對應齊次方程通解為nxcy) 1( 其次應用常數(shù)變易法求非齊線性方程的通解,代入得為原方程的通解令,) 1)(nxxcynxnnnxexxncxxncxdxxdc) 1() 1)() 1)() 1()(11即xedxxdc)(積分得)(cexcx故通解為為任意常數(shù)),() 1(ccexyxnndxxndxxpxccecey) 1(1)(例2 求方程22yxydxdy通解.解:，y的線性方程原方程不是未知函數(shù)但將它改寫為yyxdydx22 即yxydydx2，yx為自變量的線性方程為未知函數(shù)它是以,故其通解為)()()(c

33、dyeyQexdyypdyyp)(22cdyeyedyydyy。ccyy為任意常數(shù)),ln(2例3 求值問題1) 1 (, 1432yxyxdxdy的解.解:先求原方程的通解)()()(cdxexQeydxxpdxxp) 14(323cdxexedxxdxx)1) 14(323cdxxxx)21ln4(23cxxx3432lnxcxxx代入后得將初始條件1) 1 (y23c故所給初值問題的通解為223ln343xxxxy)1) 14(323cdxxxx方程伯努利二)(Bernoulli形如nyxQyxpdxdy)()(的方程,稱為伯努利方程.。xxQxP的連續(xù)函數(shù)為這里)(),(解法:方程變?yōu)?/p>

34、引入變量變換,110nyz)()1 ()()1 (xQnzxPndxdz求以上線性方程的通解02變量還原03例4 求方程yxxydxdy222的通解.解:, 1,nBernoulli方程這是代入方程得令,2yz 21xzxdxdz解以上線性方程得)(121cdxexezdxxdxx321xcx:2為代入得所給方程的通解將yz 3221xcxy例5 R-L串聯(lián)電路.,由電感L,電阻R和電源所組成的串聯(lián)電路,如圖所示,其中電感L,電阻R和電源的電動勢E均為常數(shù),試求當開關K合上后,電路中電流強度I與時間t之間的關系. 二 線性微分方程的應用舉例電路的電路的Kirchhoff第二定律第二定律:在閉合

35、回路中在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零所有支路上的電壓的代數(shù)和為零. 則電流經(jīng)過電感L, 電阻R的電壓降分別為 ,RIdtdIL.ERIdtdIL解線性方程:解:于是由Kirchhoff第二定律, 得到 設當開關K合上后, 電路中在時刻t的電流強度為I(t),取開關閉合時的時刻為0,. 0)0(I即.LEILRdtdI得通解為:REcetItLR)(故當開關K合上后,電路中電流強度為)1 ()(tLReREtI,0)0(得由初始條件IREcREcetItLR)(作業(yè)P481: 1,3,5,7,9,11,13,152.3 恰當方程與積分因子恰當方程與積分因子 一、恰當方程的定義及條件一

36、、恰當方程的定義及條件則它的全微分為是一個連續(xù)可微的函數(shù)設,),(yxuu dyyudxxudu如果恰好碰見方程0),(),(dyyyxudxxyxu就可以馬上寫出它的隱式解.),(cyxu定義1使得若有函數(shù)),(yxudyyxNdxyxMyxdu),(),(),(則稱微分方程) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM是恰當方程.),() 1 (cyxu的通解為此時如0 ydxxdy0)2()3(322dyxyxdxyyx0)()(dyygdxxf是恰當方程.)(xyd)(23xyyxd)()(ydygxdxfd1 恰當方程的定義需考慮的問題(1) 方程(1)是否為恰當方程?(2) 若(

37、1)是恰當方程,怎樣求解?(3) 若(1)不是恰當方程,有無可能轉化為恰當方程求解?2 方程為恰當方程的充要條件定理1則方程偏導數(shù)中連續(xù)且有連續(xù)的一階域在一個矩形區(qū)和設函數(shù),),(),(RyxNyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM為恰當方程的充要條件是).2(,),(),(xyxNyyxM) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM證明“必要性”設(1)是恰當方程,使得則有函數(shù)),(yxudyyudxxuyxdu),(dyyxNdxyxM),(),(故有),(yxMxu),(yxNyu從而2,Muyy x 2.Nuxx y 從而有都是連續(xù)的和由于,22yxuxyu,22y

38、xuxyu故.),(),(xyxNyyxM“充分性”，xyxNyyxM),(),(若解這個方程得看作參數(shù)把出發(fā)從,)5(y滿足則需構造函數(shù)),(yxu)4(,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu即應滿足)5(),(yxMxu)6(),(yxNyu).(),(),(ydxyxMyxu,)(的任意可微函數(shù)是這里yyyu因此)7(),()(dxyxMyNdyyd,)7(無關的右端與下面證明x的偏導數(shù)常等于零即對x事實上),(dxyxMyNx),(dxyxMyxxN)6(),(yxNyu即同時滿足使下面選擇),6(),(uydyyddxyxMy)(),(N).(),(),(ydxyxMyxu

39、),(dxyxMxyxNyMxN. 0積分之得右端的確只含有于是,)7( ,y,),()(dydxyxMyNy故dxyxMyxu),(),(,),(dydxyxMyN(8)。yxu為恰當方程從而存在即) 1 (,),()7(),()(dxyxMyNdyyd注:若(1)為恰當方程,則其通解為為任常數(shù)ccdydxyxMyNdxyxM,),(),(二、恰當方程的求解二、恰當方程的求解1 不定積分法.,0),(),(10若是進入下一步是否為恰當方程判斷dyyxNdxyxM，ydxyxMyxu)(),(),(20求).(),(30yyxNyu求由例1 驗證方程0)sin2()(dyyxdxyex是恰當方

40、程,并求它的通解.解:( , ),( , )2sin .xM x yey N x yxy這里( , )1M x yy所以故所給方程是恰當方程.滿足由于所求函數(shù)),(yxu, yexux,sin2yxyu積分得對將看作常數(shù)只要將由偏導數(shù)的定義xyeyx,)()(),(ydxyeyxux).(yyxex,),(xyxN).(),(yyxeyxux應滿足的方程為得求偏導數(shù)關于對)(,),(yyyxuyxdyydxsin2)(即ydyydsin2)(積分后得:,cos2)(yy 故.cos2),(yyxeyxux從而方程的通解為.cos2cyyxex2 分組湊微法 采用“分項組合”的方法,把本身已構成

41、全微分的項分出來,再把剩余的項湊成全微分.-應熟記一些簡單二元函數(shù)的全微分.如 xdyydx2yxdyydx2xxdyydx),(xyd),(yxd),(xyd22yxxdyydxxyxdyydx22yxxdyydx|),|(lnyxd),(arctanyxd).(ln21yxyxd例2 求方程0)46()63(3222dyyyxdxxyx的通解.解:2223( , )36,( , )64,M x yxxyN x yx yy這里( , )12M x yxyy所以故所給方程是恰當方程. 把方程重新“分項組合”得0)66(432232ydyxdxxydyydxx即0)33(222243dyxdxy

42、dydx或寫成0)3(2243yxyxd故通解為:。ccyxyx為任常數(shù),32243,),(xyxN例3 驗證方程, 0)1 ()sin(cos22dyxydxxyxx是恰當方程,并求它滿足初始條件y(0)=2的解.解:),1 (),(,sincos),(22xyyxNxyxxyxM這里yyxM),(故所給方程是恰當方程.把方程重新“分項組合”得, 0)(sincos22ydyydyxdxxyxdxx即xd2sin212221yxd221yd, 0 xy2,),(xyxN, 0)(sin2222yyxxd或寫成故通解為:,sin2222cyyxx得由初始條件, 2)0(y, 4c故所求的初值問

43、題的解為:. 4sin2222yyxx02121sin212222ydyxdxd第三周9月15日作業(yè)中存在的問題 積分時常忘記取絕對值 從頭到尾用一個常數(shù)符號 變量代換時用一些常用的常量符號 化簡不徹底，如對數(shù)沒合并，去絕對值時少正負號 習慣用顯函數(shù)表示，化簡過頭 沒有考慮使分母為零的點可能是解P28: 8(1)P43：2（6）P43：2（7）人口模型 馬爾薩斯(Malthus)假設：在人口自然增長的過程中，凈相對增加率（單位時間內(nèi)人口的凈增長數(shù)與人口總數(shù)之比）是常數(shù)，記為r We would like to “solve” the dynamics of the system to dete

44、rmine how the state will evolve in the future (i.e. for t=0)3 線積分法定理1充分性的證明也可用如下方法:,),(),(xyxNyyxM由于由數(shù)學分析曲線積分與路徑無關的定理知:，yxudyyxNdxyxM的全微分為某函數(shù)),(),(),(使即有函數(shù)),(yxu,),(),(),(dyyxNdxyxMyxdu。為恰當方程從而 ) 1 (則取這時,),(,00Ryx),(),(00),(),(),(yxyxdyyxNdxyxMyxuxxdxyxM0),(0,),(0yydyyxN從而(1)的通解為。ccdyyxNdxyxMyyxx為任常

45、數(shù),),(),(000例4 求解方程. 0)2(sin)2cos(2dyexxdxxexyyy解:, 2sin),(,2cos),(2yyexxyxNxexyyxM由于yyxM),(yxex2cos,),(xyxN故所給方程是恰當方程.,),(),(全平面上連續(xù)在由于yxNyxM則故取),0 , 0(),(00yxyxdyyxNdxxM00),()0 ,(xxdx022xyydyexx02)2(sin.2) 1(sin2yexxyy.,2sin2為任常數(shù)ccyexxyy故通解為:.2sin2yexxyy),()0, 0(),(),(),(yxdyyxNdxyxMyxu, 2sin),(2cos

46、),(2yyexxyxNxexyyxM三、積分因子三、積分因子非恰當方程如何求解?對變量分離方程:, 0)()(dxyxfdy不是恰當方程.得方程兩邊同乘以,)(1y, 0)()(1dxxfdyy是恰當方程.xyyxf)(10)(對一階線性方程:, 0)()(dxxQyxPdy不是恰當方程.得方程兩邊同乘以,)(dxxPe, 0)()()()(dxxQyxPedyedxxPdxxP則或左邊( )( )( )P x dxP x dxd eyQ x edx, 0是恰當方程.可見,對一些非恰當方程,乘上一個因子后,可變?yōu)榍‘敺匠?( )( )( )P x dxP x dxep x ex ( )( (

47、 )( )P x dxep x yQ xy1 定義使得如果存在連續(xù)可微函數(shù), 0),(yx0),(),(),(),(dyyxNyxdxyxMyx.) 1 (),(,的一個積分因子是方程則為恰當方程yx例5.,0)32()43(),(222并求其通解的一個積分因子是方程驗證dyyxxdxxyyyxyx解:對方程有),(),(yxMyx),(),(yxNyx332243yxyx24332yxyx) 1 (, 0),(),(dyyxNdxyxM由于yyxMyx),(),(xyxNyx),(),(222126yxyx,),(后為恰當方程故所給方程乘于yx.),(是其積分因子所以yx后得對方程兩邊同乘以

48、yxyx2),(0)32()43(2433322dyyxyxdxyxyx把以上方程重新“分項組合”得0)34()23(2433322dyyxdxyxydyxdxyx即03423ydxydx也即0)(3423yxyxd故所給方程的通解為:。ccyxyx為任常數(shù),34232 積分因子的確定:0),(),(),(充要條件是的積分因子的是方程yxNdxyxMyxxyxNyxyyxMyx),(),(),(),(即)(xNyMyMxN)(xNyMyMxN.0),(),(),(,),(更困難方程一般來說比直接解微分要想從以上方程求出程為未知函數(shù)的偏微分方上面方程是以dyyxNdxyxMyxyx盡管如此,方程

49、)(xNyMyMxN還是提供了尋找特殊形式積分因子的途徑.則的積分因子有關存在僅與如果方程),(),(0),(),(xyxxyxNdxyxM這時方程, 0y)(xNyMyMxN變成dxNxNyMd)()(xNyMdxdN即,有關由于上式左側僅與 x,的函數(shù)的微分所以上式右側只能是x是的積分因子的必要條件賴于有一個僅依從而微分方程xyxNdxyxM0),(),()10(,)(NxNyM.),()10(無關而與的函數(shù)只是若yxx,)()(dxxex則。dyyxNdxyxM一個積分因子是方程0),(),(NxNyMx)()(這里dxxd)( )( , )x N x yx( )( , )( , )(

50、)dxN x yN x yxdxx( )( , )( )x dxN x y ex( , )( )N x yxx( , )( , )() ( )M x yN x yxyx( , )( )N x yxx( , )( )M x yxy( )( , )x M x yy)( , )( , )0 xM x y dxN x y dy故 ( 是方程一個積分因子.3 定理微分方程是的積分因子的充要條件有一個僅依賴于x,)(NxNyM的積分因子為這時有關僅與) 1 (,x,)()(dxxexNxNyMx)()(這里充要條件是的積分因子的有一個僅依賴于微分方程同理y) 1 (,)(MxNyM的積分因子為這時有關僅與

51、) 1 (,y,)()(dyyey.)()(MxNyMy這里例6 求微分方程0)()22(2dyeydxyeyxx的通解.解:,),(,22),(2xxeyyxNyeyyxM這里由于yyxM),(xyxN),(xey2,xe故它不是恰當方程,又由于NxNyM)(xxeyey1有關的積分因子故方程有一個僅與無關它與xy,)(xdxxex)()(dxe1xe后得對方程兩邊同乘以xex )(0)()22(222dyeyedxyeeyxxxx利用恰當方程求解法得通解為.,222為任意常數(shù)ccyeeyxx1)()(NxNyMx 積分因子是求解積分方程的一個極為重要的方法 絕大多數(shù)方程求解都可以通過尋找到

52、一 個合適的積分因子來解決 但求微分方程的積分因子十分困難,需要靈活運用各種微分法的技巧和經(jīng)驗例7 求解方程).0(,)(12yyxyxdxdy解:方程改寫為:,22dxyxydyxdx或:,)(212222dxyxyxd易看出,此方程有積分因子,1),(22yxyx:),(乘改寫后的方程兩邊得以yx,2)(2222dxyxyxd即,2)(2222dxyxyxd,22dxyxd故方程的通解為:.,22為任常數(shù)ccxyx例8 求解方程. 0)(dyxyydx解:,),(,),(xyyxNyyxM這里1),(yyxM, 1),(xyxN故方程不是恰當方程,方法1:MxNyM)(因為y2,有關僅與y

53、的積分因子故方程有一個僅依賴于ydyyey)()(dyye2,12y:12乘方程兩邊得以y. 02ydyyxdyydx即. 0112dyyxdyydxy故方程的通解為:.lncyyx)(y方法2:方程改寫為:,ydyxdyydx容易看出方程左側有積分因子:21y21x或xy1或221yx 或,有關但方程右側僅與y由此得為方程的積分因子故取,12y.2ydyyxdyydx故方程的通解為:.lncyyx方法3:方程改寫為:dxdy yxyxyxy1這是齊次方程,代入方程得令xyu duxudx即,112dxxduuu,1 uu故通解為:,lnln1cxuu變量還原得原方程的通解為:.lncyyx方

54、法4:方程改寫為:, 11xydydx分方程為自變量的一階線性微為未知函數(shù)它是以yx,故方程的通解為:)()()(cdyeyQexdyypdyyp)(11cdyeedyydyy)1(cdyyy),ln(cyy即方程的通解為:.lncyyx作業(yè) P601: （1）,（3）,（5）2：（2），（4） P613，52.4 一階隱方程與參數(shù)表示一階隱方程與參數(shù)表示 )(未能解出或相當復雜y一階隱式方程) 1 (, 0),(yyxF求解采用引進參數(shù)的辦法使其變?yōu)閷?shù)已解出的方程類型.主要研究以下四種類型),() 1 (yxfy ),()2(yyfx , 0),()3(yxF, 0),()4(yyF定義有

55、時使當與上的函數(shù)如果存在定義在對于微分方程,),(),()(),(, 0),(ttytxdxdyyxF, 0)()(),(),(ttttF.0),(),(,)()(的參數(shù)形式解為方程則稱dxdyyxFttytx的參數(shù)形式通解為同樣可定義方程0),(dxdyyxF).,(,),(),(tctyctx的方程或可解出一)(xy、1 形如)2(),(dxdyxfy 方程的解法,。yxf有連續(xù)的偏導數(shù)這里假設),(變?yōu)閯t方程引進參數(shù))2(,10yp )3(),(pxfy 得代入并以求導兩邊對將,)3(20pdxdyx)4(,dxdppfxfp。px的一階微分方程這是關于變量 ,fpdpxfdxp),(c

56、xp(I) 若求得(4)的通解形式為)4(,dxdppfxfp將它代入(3),即得原方程(2)的通解。ccxxfy為任常數(shù)),(,(II) 若求得(4)的通解形式為),(cpx則得(2)的參數(shù)形式的通解為),(cpx),),(pcpfy., 是任意常數(shù)是參數(shù)其中cp)3(),(pxfy (III) 若求得(4)的通解形式為0),(cpx則得(2)的參數(shù)形式的通解為0),(cpx),(pxfy ., 是任意常數(shù)是參數(shù)其中cp附注1:.,了而不再表示只起參數(shù)作用這也表明在通解中的另方面一方面這是習慣所至來替代通常用數(shù)在參數(shù)形式通解中的參ydxdyptp附注2:.,),(,),(,.),(,),(,

57、),(,111這顯然是不對的與數(shù)常中有兩個相互獨立的任而常數(shù)通解中只有一個任意是一階微分方程因為我們可這樣去理解得到分積并進而兩邊關于即看成中的不應把能解比如在求得通解后cccdxcxyyxfycdxcxyxcxdxdydxdypcxp解:則原方程變?yōu)榱? pdxdy)6(,2)(22xxppy求導得兩邊對x,2xpdxdpxdxdppp整理化簡后得方程)7(, 0)2)(1(xpdxdp例1 求解方程.2)(22xdxdyxdxdyy解得(7)的通解為:. cxp將它代入(6)得原方程的通解:)8(,222為任常數(shù)cxcxcy)6(,2)(22xxppy)7(, 0)2)(1(xpdxdp又

58、從02 xp解得(7)的一個解為:,2xp 01dxdp從將它代入(6)得原方程的一個解:.42xy 故原方程的解為:通解:)8(,222為任常數(shù)cxcxcy及一個解:.42xy .)8(,4,4)8(22該點與之相切中的某一條積分曲線在都有積分曲線族處上的每一點且在積分曲線不包含這里通解xyxy的包絡為曲線在幾何中稱曲線)8(42xy 。xy為原方程的奇解在微分方程中稱解42例2.求在第一像限中的一條曲線,使其上每一點的切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積均等于2.解:),(xyy 設所求的曲線為的切線方程為則過曲線上任一點),(yx)(xXyyY,),(為切線上的動點其中YX因此,切線在坐標軸

59、上的,:yyxaa為橫載距,:xyybb為縱載距因所求曲線在第一象限,由題意得2)(21xyyyyx即24)(yxyy:)0(得解以上方程y,2yxyy:得令py ,2pxpy:求導得兩邊對x,1dxdppdxdpxpp即, 0)1(dxdppx,0時當dxdp, cp 有故得通解為:,2ccxy它是直線族.,01時當 px得另一特解為:01 pxpxpy2:得消去參數(shù)p, 1xy這是雙曲線,顯然這才是我們所要求的一條曲線., 0)1(dxdppx,2pxpy0p)1(ppp22)(p2 形如)9(),(dxdyyfx 方程的解法,。yyf有連續(xù)的偏導數(shù)這里假設),(變?yōu)閯t方程引進參數(shù))9(,

60、10dxdyp ),(pyfx 得代入并以求導將上式兩邊對,1,20pdydxy)10(,1dydppfyfp。py的一階微分方程這是關于變量 ,pfyfpdydp1)10(,1dydppfyfppfyfpdydp1若求得(10)的通解形式為0),(cpy則得(9)的參數(shù)形式的通解為., 是任意常數(shù)是參數(shù)其中cp0),(cpy),(pyfx 例3 求解方程. 02)(3ydxdyxdxdy解:,代入方程得設dxdyp 方程變形為:dxdydxdyyx2)(3).0(,23pppyx得代入并以求導上式兩邊對,1,pdydxy,2)()31 (1232pdydppydydpppp即, 023dpp