彈性力學第8章：空間問題的解答.

1、第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答第五節(jié)第五節(jié) 等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉第四節(jié)第四節(jié) 按應力求解空間問題按應力求解空間問題第三節(jié)第三節(jié) 半空間體在邊界上受法向集中力半空間體在邊界上受法向集中力第二節(jié)第二節(jié) 半半空間體受重力及均布壓力空間體受重力及均布壓力第一節(jié)第一節(jié) 按位移求解空間問題按位移求解空間問題第六節(jié)第六節(jié) 扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬 第七節(jié)第七節(jié) 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉 第八節(jié)第八節(jié) 矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉 例題例題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 1. 取u,v,w為基本未知函數。按位移求解按位移求解 2. 將應變用位移來表示

2、，可以引用幾何方程。 在直角坐標系中，按位移求解空間問題，與平面問題相似，即81 按位移求解空間問題按位移求解空間問題 將應力先用應變表示（應用物理方程），再代入幾何方程，也用位移來表示：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中體積應變 ,112 ( , , ; , ,). (a),2 1xyzEuxx y z u v wEwvyz 。zwyvxu按位移求解按位移求解 3. 將式 (a)代入平衡微分方程，得在V內求解位移的基本方程：求解位移的基本方程：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中拉普拉斯算子, 0211122xfuxE( , , ; , ,). (b)x y z u v

3、 w2222222.xyz V V內基本方程內基本方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 4. 將式 代入應力邊界條件，得用位 移表示的應力邊界條件應力邊界條件： ,11222xsEumvunwulfxxyxz ( , ; , ,).x y z u v w(c)(上在s ,suu()(d)us在 上(a)邊界條件 位移邊界條件位移邊界條件仍為:( , ; , ,).x y z u v w第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2） 上的應力邊界條件(c) ；（3） 上的位移邊界條件(d) 。 歸結：按位移求解空間問題按位移求解空間問題，位移 必須滿足： sus按位移求解按位移求解這

4、些條件也是校核位移是否正確的全部條件。（1）V內的平衡微分方程(b) ；wvu,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答優(yōu)點 在空間問題中，按位移求解方法尤為重要： 3. .近似解法中，按位移法求解得到廣泛的 應用。2. .未知函數及方程的數目少。而按應力求 解時，沒有普遍性的應力函數存在。1. .能適用于各種邊界條件。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 按位移求解空間軸對稱問題按位移求解空間軸對稱問題: : 在柱坐標 中，可以相似地導出：位移 應滿足： ),(zzuu ,22210,2 112 (e)10,2(1) 12zzuEufEufz軸對稱問題（1）V內的平衡微分方程，第八章

5、第八章 空間問題的解答空間問題的解答 軸對稱的拉普拉斯算子為2221.SuS其中體積應變;zuuuz軸對稱問題（2） 上的應力邊界條件。 （3） 上的位移邊界條件。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答1、試導出空間問題中上的應力邊界條件 （8-4）。2、試導出空間軸對稱問題中用位移表示的 平衡微分方程（書中式（8-4），并將 上的應力邊界條件 用位移來 表示。 Sfs)(思考題s第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設有半空間體，受自重體力 及邊界的均布壓力q。gfz82 半半空間體受重力空間體受重力 及均布壓力及均布壓力 問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 采用按位移

6、求解： , 0u0,v . (a)ww z 考慮對稱性：本題的任何x面和y面均為對稱面，可設 位移u,v,w應滿足平衡微分方程及邊界條件。 求解方法第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）將位移(a)代入平衡微分方程,前兩式 自然滿足，第三式成為常微分方程，22221dd0.2 112ddEwwgzz2112. (b)21wzABE 求解方程積分兩次, 得第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,1Azgyx,Azgz。0 xyzxyz(c)相應的應力為求解方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在z=0的負z面，應力邊界條件為00,0, (d)().zxzyzzzq ,

7、1(), (e)0.xyzyzzxxyqgzqgz 邊界條件由式(d)求出A，得應力解為第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答位移解為2112. (f )21gqwzBEg 0)(hzw其中B為z向剛體平移，須由約束條件確定。 若z=h為剛性層，則由 可以確定 B 。 若為半無限大空間體，則沒有約束條件可以確定 B ；第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 側面壓力與鉛直壓力之比，稱為側壓側壓力系數力系數。即。1zyzx(g)側壓力系數第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 當 時， 側向變形最大，側向壓力也最大 , 說明物體的剛度極小，接近于流體。 當 時，正應力不引起側向變形。

8、說明物體的剛度極大，接近于剛體。21。zyx0討論：討論：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題1、如果圖中的問題改為平面應力問題， 或平面應變問題，試考慮應如何按位 移求解？第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 2. 若將空間問題的伽遼金位移函數向平面 應變問題簡化，將得到什么形式的表達 式？再轉向平面應力問題，又將得到什 么形式的表達式？并與平面問題的位移 函數相比較（參見“彈性力學簡明教程學 習指導”和第二章教學參考資料）。 3. 試用伽遼金位移函數的表達式(8-9),導 出式(8-10)（參見“彈性力學簡明教程學習 指導”）。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答本

9、題為空間軸對稱問題。應用柱坐標求解， 位移 而 和 應滿足:, 0u uzu 8-3半空間體在邊界上受半空間體在邊界上受 法向集中力法向集中力 問題設有半空間體,在o點受有法向集中力F。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）平衡微分方程（書中（8-4）22210,1 2 (a)10,1 2zuuuz.zuuuz求解條件其中第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在 z=0 的邊界上，除原點o以外的應力 邊界條件為。00, 0zz, 00, 0zz, 0zF; 0d20Fzzz(c)(b)（3）由于 z=0 邊界上o點有集中力F的作用， 取出 z=0至 z=z的平板脫離體，應用

10、圣 維南原理，考慮此脫離體的平衡條件：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,21212zRRzERFu;122122RzERFuz 布西內斯克得出滿足上述全部條件的解答為(d) 由于軸對稱，其余的5個平衡條件均為自然滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,3212322RzzRRRF,221zRRRzRF,2353RFzz253,2zFzR 1222.Rz其中(e)第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 應力特征：應力特征：; 0,應力R。應力 , 0Rzz 和201. (f )zzFuE（3）水平截面上的全應力，指向F作用點O。 （2）水平截面上的應力 與彈性常 數無關。

11、（1）當 當邊界面上任一點的沉陷：沉陷：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 若單位力均勻分布在 的矩形面積上，其沉陷解為： 將F代之為 ，對 積分，便得到書上公式。baybaFdd1dy,分布力第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答1.試由位移函數的表達式(8-11)，導出式 (8-12)。（參見“彈性力學簡明教程學習指導”）2. 試由拉甫位移函數的表達式(8-14)，導出式(8-15)。 （參見“彈性力學簡明教程學習指導”）思考題思考題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答84按應力求解空間問題按應力求解空間問題 按應力求解空間問題的方法：按應力求解空間問題的方法：按應力求解

12、 形變可以通過物理方程用應力表示。位移要通過對幾何方程的積分，才能用形變或應力表示，其中會出現待定的積分函數。2. 其他未知函數用應力表示:1. 取x yz為基本未知函數。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 因此 , 位移邊界條件等用應力表示時，既復雜又難以求解。所以按應力求解通常只解 全部為全部為 應力邊界條件應力邊界條件 的問題().SS第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答3. 在V內導出求應力的方程 :;,222222222222222yxxyxzzxzyyzxyyxzxxzyzyz.2,2,2222yxyxzzxzxzyyzyzyxxzzxyzxyyyzxyzxxxyz

13、xyz從幾何方程消去位移，導出6個相容方程：（2）相容方程（6個）:（1）平衡微分方程（3個）。V內方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 再代入物理方程，導出用應力表示的相容方程。(書中（8-12）。4. 假設全部為應力邊界條件，在 上，應滿足書中式（7-5）。SS 應力邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）V內的3個平衡微分方程；SS 其中：(1),(3) 是靜力平衡條件； (2),(4)是位移連續(xù)條件。 按應力求解歸納為按應力求解歸納為, 應力分量應滿足：按應力求解歸納（4）對于多連體，還應滿足位移單值條件。（3） 上的3個應力邊界條件（假設 全部為應力邊界條件

14、）；（2）V內的6個相容方程；第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）形變滿足相容方程 , 對應的位移存 在且連續(xù)物體保持連續(xù)； 形變不滿足相容方程, 對應的位移 不存在 , 物體不保持連續(xù)。（1）物體滿足連續(xù)性條件, 導出形變和 位移之間的幾何方程, 導出相容方 程。對于相容方程相容方程說明如下：相容方程說明所以相容方程相容方程是位移的連續(xù)性條件位移的連續(xù)性條件。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）相容方程的導出及對(2)的證明，可參見 有關書籍。22d0, (a)dffABxx的解 , 323d0. (b)dffABxcxx的解 , 例如：（4）相容方程必須為6個。相

15、容方程和平衡微 分方程的數目大于未知函數的數目，是 由于微分方程提高階數所需要的。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答式 是由方程 提高階數得出的，但式 增加的解 不是原式 的解。 2cx(b)(a)(b)(a) 幾何 方程中，形變?yōu)?0 階導數；但在相容方程中形變以 2 階導數出現。因為微分方程提高階數會增加解答，所以增加的方程數目正好用來消去增加的解答。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在按應力求解空間問題中，力學家提出了幾種應力函數，用來表示應力并簡化求解的方程。 應力函數 應用這些應力函數，也已求出了一些空問題之解。但這些應力函數不具有普遍性（不是普遍存在的）。第八章第

16、八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題思考題1、試考慮：從空間問題的相容方程，可以導出平 面應變問題的相容方程，卻不能直接導出平面 應力問題的相容方程，為什么？(見例題4)2、在表面均受到法向壓力 q 作用的任意形狀的 空間體，其應力分量是 試證明這些應力分量是該 問題之解 （對于多連體還應滿足位移單值條 件）。 , qzyx zxyz。0 xy第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題扭轉問題也是空間問題的一個特例。8-58-5等截面直桿的扭轉等截面直桿的扭轉根據扭轉問題的特性來簡化空間問題，就建立了扭轉問題的基本理論（1854-1856年，圣維南）。扭轉問題第八章第八章 空間問

17、題的解答空間問題的解答（1）等截面柱體；（2）無體力作用，（3）柱體側面無面力作用， 柱體上,下端面的面力，合成一對力 矩 M。 扭轉問題扭轉問題的提出:; 0zyxfff, 0zyxfff第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 引用按應力求解空間問題的方法應力應滿足3個平衡微分方程，6個相容方程及 上的應力邊界條件。SS 按應力求解第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答因此, 只有 ，代入3個平衡微分方程得 1. 由扭轉問題特性, 因上下端面（ ）上無面力 可設 因側面無任何面力， 可設 面z；0z,zfzyzx,0.xyzxy, 0 xzx。0yxzyzx,0yzy(a), 0zy

18、xfff第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由式(a)前兩式，得出 僅為（x,y）的函數；第三式成為. (b)zxzyxy. (c)xyyxzyzx, 又由偏導數的相容性，存在一個應力函數,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答對比式(b)和(c)，兩個切應力均可用一個扭轉應力函數 表示為),(yx,yzx.zyx)d(第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此得出扭轉應力函數扭轉應力函數 應滿足的方程：應滿足的方程：20.zy, 02zx, 02x 2. 將式（d）代入6個相容方程，前三式和 第六式自然滿足，其余兩式成為代入式（d），得, 02y2, (e)CC為待定常數。相容

19、方程第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答而 得3. 考察側面邊界條件前兩式自然滿足，第三式成為)0, 0(zyxfffn。0szyzxml,ddsyl ,ddsxmddd0.dddSyxysxsS邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答因 在S上為常數。又由于 中的常數不影響應力，所以得 的側面邊界條件側面邊界條件為 0. (f)s, 0,zyxFFF, 0,yxMM.zMM 考察上端面上端面（z=0）的邊界條件。在小邊界z=0上，應用圣維南原理，有第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 在z=0負面上， 只有 。其中 條件自然滿足，而其余3個條件為, 0z0,yxzMMF

20、, 0yF, 0dd0Azzxyx, 0zM0d d.zxzyzAyxxyM , 0 xF, 0dd0yxAzzy(g)zyzx,第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 將式(d)代入，并應用條件(f)，經過運算（見書P.168），式(h)的前兩式自然滿足，而由后一式得出關于 的端端面邊界條件面邊界條件為2d d.AxyM(h)第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（1）A內方程（2）側面S上邊界條件 （3）端面上邊界條件 扭轉問題扭轉問題歸納為求一個扭轉應力函數 ，應滿足應滿足： ; 02 0;s2d d.AxyM歸納第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 注解：yx,（3）扭轉

21、問題中 的變量為 x, y,仍屬 于二維問題。（2）空間問題按應力求解的全部條件均已 考慮并滿足。（1）另一端面上的邊界條件自然滿足。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 求位移分量：求位移分量： 根據上面的應力，代入物理方程，可以求出對應的形變；再代入幾何方程，并進行積分，求出對應的位移為,Kyzu,Kxzv(i)其中 ，為單位桿件長度的扭角。,dzdK求位移第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答22. (j)GK 2. (k)CGK 并且還得出對比式 （e），得出常數 C 的物理意義，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題1. 試考慮：上面建立的分析方法是精確 的理論還

22、是近似的理論，其中提出的 一些假設是否完全成立？ 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答8 86 6扭轉問題的薄膜比擬扭轉問題的薄膜比擬 對于物理現象不同，但數學描述相同的問題，可以應用數學比擬數學比擬方法來求解。薄膜問題薄膜問題 設有一薄膜，張在水平邊界上，并受到氣體的壓力q。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答薄膜斜率在 面分別為薄膜斜率在 面分別為 薄膜只能承受均勻拉力 ，不能承受彎矩，扭矩，剪力和壓力。取出一個微小單元abcd, 各邊上的作用力均為 ，但薄膜的斜率薄膜的斜率不同：TFxy;d,xxzzxxz。yyzzyyzd,TF薄膜問題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的

23、解答平衡條件：，0zFxxzzxyFxzyFTTddddddd d0.TTzzFxFxzyqxyyxy第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 得出薄膜垂度z的方程： 2. (a)TqzF 0. (b)sz22dd. (c)AVzxy, . (d )xyzziixy薄膜在x，y向斜率為薄膜與邊界平面（xy面）之間的2倍體積是薄膜的 邊界條件：薄膜比擬第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題 薄膜問題未知函數A內方程從數學上看，薄膜問題和扭轉問題的數學方程相同，比較如下：)(扭轉應力函數)(薄膜垂度zGK22TFqz2 0s 0sz邊界條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答

24、邊界條件切應力/斜率MyxAdd2VyxzA2dd2yzxyziyzyx xzix扭轉問題 薄膜問題于是求扭轉應力函數 的問題，可以化為求薄膜垂度z的問題：只要使M對應于2V，則,yzxi,xzyi 2.TqGKF第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 薄膜比擬的應用：薄膜比擬的應用：（3）通過薄膜比擬, 提出扭轉應力函數的 假設。（2）通過薄膜比擬, 直接求解薄壁桿件的 扭轉問題。（1）通過薄膜比擬試驗, 求解扭轉問題。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 扭轉問題已歸結為求扭轉應力函數 ， 應滿足：（1）A域中,（2）S上,（3）A域中,2C , 0s2d d.AxyM(a)(b

25、)(c)8 87 7 橢圓截面桿的扭轉橢圓截面桿的扭轉 求的條件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 式 中的C為常數，其特解十分簡單；而式 的通解為調和函數。C 可以由式 求出。 (a)(c)(a)第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 橢圓截面桿受M的扭轉，可以由式(a),(b),(c)求解。 1. 為了滿足式(b) ，可取 22221 , (d)xymab222210.sxyab在橢圓邊界上橢圓截面桿第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答2. 將式(d)代入(a) ，解出3. 再將式(d)及(e)代入式 (c)，求出2222. (e)2()a bmCab22332 . (f

26、)abMCa b 從而得出第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答求出單位長度桿件的扭角：,12222byaxabM,23yabMyzx32.zyMxxa b (g)2233.2abMCKGa b G 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 z 向的位移為2233.xyabwMa b 可見橫截面不保持為平面。只有當a=b 的圓截面時，w=0，才保持為平面。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答對于 的狹矩形截面，從薄膜比擬來看,(1)在邊界條件中，長邊上應嚴格滿足)(ba ba 20; (a)by8 88 8矩形截面桿的扭轉矩形截面桿的扭轉 而短邊(x=a/2)是 次要的，可忽略。狹

27、矩形截面桿1. 狹矩形截面桿狹矩形截面桿 的扭轉 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（2）在方程中，應主要考慮 y 向的導數， 而可忽略 x 向的導數，所以C222d.(b)dCy(b)221.24Cby(a)由式 和 ，可得可簡化為第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）將 代入 求出 所以狹矩形桿的解答為,dd2MyxA(c).63abMC2233.4Mbyab(d)1第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答36,zxMyyab ,32maxabM33.MKab G(f)(ba21, . (g)F x y矩形截面桿2.2.一般矩形截面桿一般矩形截面桿 的扭轉 以狹矩形桿解

28、答為基礎，再迭加一個修正解的方法,進行求解：0zyx第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 應滿足條件是2, 022 , 02s22d d.AxyM; 02 F , 02byF ;432232ybabMFax12d d.AFxyM(h)由上式可導出F應滿足的條件:第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 從式（h）可解出F，再由式（g）得 ，然后求出應力等解答（用雙曲函數和三角函數的級數表示）。書中列出了簡化的結果，見式（8-34）和（8-35）。2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答3. 薄壁桿件薄壁桿件的扭轉),(ba (f)33.MKab G,32maxabM（2）從薄膜比擬

29、可見，當狹矩形的a,b相同 時，直線形和曲線形截面的薄膜是相 似的，它們的 相同。K,（1）薄壁桿件截面都是狹矩形 可以直接引用式 的解答。薄壁桿件第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（3）對于若干個狹矩形組成的構件，33,(1, 2,) .iiiMKia b G3.3iiiiG KMMa bb.總扭矩是各個截面的扭矩之和， 由此解出,33iiiiibaMb33. (i)iiiMKGa ba.各個截面的扭角相同，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答（4）閉口薄壁桿件的扭轉 設閉口薄壁桿的厚度為 ，中心線長為s，中心線包圍的面積為A.應用薄膜比擬，取外邊界 上， 則內邊界上的 不能再

30、任意選擇，應取 ，如圖，相當于有一塊無重鋼板懸掛于邊界上。由薄膜比擬：1s ; 01s hs2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,22AhVM。AMh2扭矩解出切應力yxozxzoyqTFTF hs(b)開口薄壁桿件(a)閉口薄壁桿件,h第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此得出切應力. (j)2MA2s,sindqAsFsThsin.sThd sqAF其中 ，代入得 為了求扭角K, 可考慮內邊界 上無重鋼板的平衡條件：第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由薄膜比擬， 代入上式，求出2,TqGKF2d. (k)4sMsKA G2.4MsKA G當薄壁桿厚度 為常量時，第八

31、章第八章 空間問題的解答空間問題的解答思考題 試比較：矩形中心線的邊長為ab，厚度為的矩形的閉口薄壁桿件,和矩形開口薄壁件的切應力和扭角。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答例題1例題2例題3例題4例題第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答解： 引用“彈性力學簡明教程學習指導”8-2中關于空間位移勢函數 的解法， 應滿足泊松方程 例題1 試證明位移勢函數能解任意彈性體受均布壓力 q 的問題。),(222zyxAC2及邊界條件。 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 取 滿足泊松方程。由式（8-8）從 求出應力分量, 在邊界面上，設法線的方向余弦為l,m,n, 則面力分量是將應力

32、代入3個邊界條件，并求出)(222zyxA,2Azyx0.yzzxxy,lqfx,mqfy.zfnq 2.Aq 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由此，得解答 對于多連體，還應從應力求出位移，并校核多連體中的位移單值條件是否滿足。顯然，位移單值條件是滿足的。, qzyx0.yzzxxy第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 設有無限大彈性體（空間體），在體內一小洞中受有集中力F 的作用，如圖(a)，試用拉甫位移函數 求解應力分量，其中 AR。2122)(zRRzFoz(a)ozzz(b)例題2第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答及邊界條件。 將代入方程，顯然是滿足的。再將代入

33、應力公式（8-16），求出應力分量。 ).1(0222224z其中 解：引用“彈性力學簡明教程學習指導”8- 3中關于拉甫位移函數 的 解法，應滿足重調和方程 第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答 為了校核小洞中受集中力的邊界條件，在點 o 附近切出 一薄板，圖(b)，應用圣維南原理來考慮此薄板的平衡條件。由于應力分量都是軸對稱的，且 對于z=0的面又是反對稱的，只須考慮下列平衡條件：zz z, 02d2)(0Fzzz第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答而,3)21 (533RzRzAz.8(1)FA從而得出各應力分量為代入后得第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答,)21 (

34、)1 (83RzF,3)21 ()1 (8533RzRzFz。3)21 ()1 (8523RzRFz,3)21 ()1 (8523RzRzF第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答其中 而 均為調和函數，滿足),(32101zyxxu),(32102zyxyv),(32103zyxzw,)1 (413210,222201230,0,0,0. 例題3 用代入法證明，下列的位移表達式是無體力時平衡微分方程的解答，第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答由于 都是調和函數，代入無體力的平衡方程均能滿足。H.Neuber 等曾用這一形式的解答求出一批回轉體的解。 解：當無體力時，平衡微分方程是21()0,( , , ).2(1) 12Eux y zx.uvwxyz3210,其中體積應變第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答例題4 平面應力解答的近似性試從空間問題按應力求解的方法，來導出和考察平面應變問題和平面應力問題的基本理論。第八章第八章 空間問題的解答空間問題的解答解： （1）對于平面應變問題平面應變問題，在常截面的很長柱體（可以假設為無限長），只有x,y方向的體力、面力和約束且沿z方向不變的條件下，由于任一橫截面（z面）均為對稱面，可以推論出，第八章第