北方工業(yè)大學(xué)復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)課.

1、第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)知識(shí)點(diǎn)1.知識(shí)點(diǎn)2.課堂練習(xí)：21.1ii 將復(fù)數(shù)化為三角表示式和指數(shù)表示式。解：21,12,arg(1),14iiiii 因?yàn)?22(cos()sin(),14422.1iiiiiei 所以的三角表示式為：的指數(shù)表示式為：知識(shí)點(diǎn)3.課堂練習(xí)：2.(1)(1) ,nniin若試求 的值。解：222 (cossin)2 (cossin),4444nnnnnnii由已知可得，sinsin44nn即2.44nnk4 ,.nk k則Z Z知識(shí)點(diǎn)4.知識(shí)點(diǎn)5.知識(shí)點(diǎn)6.課堂練習(xí)：334.( )(1)f zxiy討論函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性。33,(1) ,ux vy因?yàn)榻猓?23,3(

2、1) ,0,0,uvxyxyuvyx 所以u(píng),v由這四個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，可知在整個(gè)復(fù)平面可微；( )f zi所以只在z點(diǎn)可導(dǎo)，在整個(gè)復(fù)平面上處處不解析。0,1xy柯西黎曼方程在時(shí)成立，知識(shí)點(diǎn)7.課堂練習(xí)：2z-15.1e=z若,求 的值。解：211ln122,zLnk ik i 46.i計(jì)算(1-i)解：44(1)(1)iiLniie1,.2zikk Z Z82ln2.kiee4 ln2(2)4iike解：( )1.131;1Azizii習(xí)題一求下列復(fù)數(shù) 的實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、模與幅角：）351,22zi解：）3Re,2z 5Im,2z 34,2z 35,22zi5arctan2,0, 1,.3

3、Argzkk 成立。等于什么實(shí)數(shù)時(shí)，等式當(dāng)iiyixyx135)3(1,. 21(3)28 ,xi yi 解：原式等價(jià)于根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念，12,38xy 有1.11xy即3.15 ;3)13;ii將下列復(fù)數(shù)化為三角式和指數(shù)式：）215cos()sin()5;22izie解：）33)2cos()sin()2;33izie104.113i 求下列各式的值：）（）；1010221132(cossin)33ii 解：）（）1020202 (cossin)33i221024(cossin)33i512512 3.i 5.1235;zzi指出下列各題中點(diǎn) 的軌跡，并作圖：）1z= x+iy,解：）設(shè)22

4、(2)(3)25;xy為一圓周：, 532iiyx, 5)3(2yix, 5) 3()2(22yx2216.14.zzxy函數(shù)把下列 平面上的曲線(xiàn)映射成 平面上怎樣的曲線(xiàn)？）22221,xyiuivzxyxy解：221.4uv4222222yxyxyvyxxu37.,20arg3zz已知映射求：）區(qū)域在 平面上的像。2,iz= re解：）設(shè)30arg0arg.3zzz映射將區(qū)域映成,)(333iierrew2228.1( );3) ( );f zxyif zxyix y下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何處解析？）1解：）1( )2f zx 僅在直線(xiàn)上可導(dǎo)，在復(fù)平面上處處不解析。,2yvxu, 0,2yuxx

5、u, 1, 0yvxv在復(fù)平面上可微；vu, 00 , 12x條件；上滿(mǎn)足在直線(xiàn)RCxzf21)( )(0,0)f z 僅在上可導(dǎo)，在復(fù)平面上處處不解析。,)322yxvxyu,2,2xyyuyxu,22xyvxyxv在復(fù)平面上可微；vu,22 ,2xyxyxy( )f zCR在原點(diǎn)(0,0)上滿(mǎn)足條件；329.112 ;3);1zizz指出下列函數(shù)的解析性區(qū)域，并求其導(dǎo)數(shù)。）;) 1(2)( 1) 3;23)( 1222zzzfzizzf點(diǎn)外處處解析，除，）在整個(gè)復(fù)平面上解析解：22211.131;2).(1)(1) (1)zzz zzz求下列函數(shù)的奇點(diǎn)：）., 01izz）函數(shù)的奇點(diǎn)是解：

6、1,.zzi 2）函數(shù)的奇點(diǎn)是cos1Imexpexp( )sin(sin1);ie)1sin(sin) 1cos(sin1cosie 1sin1expcos)expexp(ii(1)(1)sin(1)2iiiieeiiieeii211iieie2) 1sin1(cos) 1sin1(cos1121cos21sin11eeieeResin(1)sin1cosh1.i1sinh1cos1cosh1sini第二章 復(fù)變函數(shù)的積分2A991.3113420,1,CPz dzCiiCi習(xí)題二（ ）：求積分的值：） 為從到的直線(xiàn)段；） 為以為頂點(diǎn)的三角形的正向周界。23 3 411311546 ;iiC

7、z dzzi 解：）22)30.Cz dz 由柯西積分定理，21203.()iyxyxxiy dz分別沿直線(xiàn)與拋物線(xiàn)計(jì)算積分的值。.6561)1 ( )()(, 10 ,1101022idtiittdziyxttytxxyi則的參數(shù)方程）沿直線(xiàn)解：.6561)21 ( )()(, 10 ,)2101022222idtitittdziyxttytxxyi則的參數(shù)方程為沿拋物線(xiàn)24.1,1;2);6).224()(2)2CCCCzdzdzdzizzzzz設(shè) 是正向圓周指出下列各積分的值，并說(shuō)明依據(jù)是什么？）11120;2Czzdzz解：）在內(nèi)解析，由柯西積分(柯西 古薩)定理，22212)3 ,1

8、,0;Czizzdzz+2z+4的零點(diǎn)是-1因此在內(nèi)解析+2z+4由柯西 古薩定理，+2z+4126)()(2)2214162.1722CCdzzdziizzziii由柯西積分公式322305.1(3); 2)cos.iizdzzdz 計(jì)算： ）23323331.33iiidz 解： ）(z+3)在整個(gè)復(fù)平面解析，因此(z+3)(z+3)22002cossinsin(2 )sin2 .iizdzzii ）cosz在整個(gè)復(fù)平面解析，因此22247.31,:21;3),:2212;21sin5),:12;9),:1,(1)zizCCCCeedz Czdz Czizzzztzdz Czdz Cztz

9、z沿指定曲線(xiàn)的正向計(jì)算下列各積分：）是常數(shù)。;22212CzziedzzeCze有柯西積分公式得所圍區(qū)域內(nèi)，在在全平面解析，）解：;221)3112eieidzizizedzzeCCiziz;6)12(! 12) 1(12)51222izzidzzzzzC;3 )(sin! 32sin)9304ittzidzztzzC2222338.1,:(1)1(1)(1)cos4,:2(1)CCdzCxyzzzdzCzzz計(jì)算下列積分2）其中，為正向;）其中，為正向。21221211();(1)1!1zCizdzizz 解：2）原式)242()1212( )cos( ) 1(cos(! 22) 1(cos

10、) 1(cos411 , 0)4222130333332121iizzzzidzzzzdzzzzCCzzCC原式閉路定理得，則利用復(fù)合和包含互不相交的圓周為半徑做兩個(gè)互不為圓心，分別以229.( ).1)()(4);3)2(1) ,(0)1.f zuivuxy xxyyvxy f由下列各調(diào)和函數(shù)，求解析函數(shù)第三章 級(jí)數(shù) 開(kāi)式：一些簡(jiǎn)單函數(shù)的泰勒展,!. 10nnznze.z,)!12() 1(sin. 2012nnnnzz.z,)!2() 1(cos. 302nnnnzz.z,11. 40nnzz. 1z,) 1(11. 50nnnzz. 1z習(xí)題三(A)如果收斂，求出極限：是否收斂？下列數(shù)列

11、. 1nz211);3);1ninnnizzeni2221211nnnnnzixiynn解：1), 0lim, 1limnnnnyx. 1limnnz因此，3)cos()sin(),22nnnnnzixiy.發(fā)散因此，沒(méi)有極限，和時(shí)，數(shù)列當(dāng)nnnzyxn112.231;3)() ;2nnnniin判別下列級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂性與收斂性：）111(cossin)22nnnniinn解：1)2sin2(cos11ninnn) 1(121) 1(2111kkkkk收斂。因此都收斂，與111112) 1(2) 1(nnkkkknikk條件收斂。發(fā)散，因此，1111nnnnnninni3)2313lim ()

12、lim()022.nnnni因?yàn)椋栽?jí)數(shù)發(fā)散.!2)4;22. 300nnnnnnznnz）斂半徑：試確定下列冪級(jí)數(shù)的收,22nnnc ）解：. 21lR11121limlim,22nnnnnncnlcn,!2)4ncnn112!limlim0,(1)! 2nnnnnncnlcn.R4.z把下列各函數(shù)展開(kāi)成 的冪級(jí)數(shù)，并指出它們的收斂半徑：2211),(0);3)cos;8).(1)zaazzaz,)() 1(21112110nnnazazazaz）解：. az ,)!2() 1()()!2() 1(cos) 3402202kkkkkkzkzkz.z2118)()(1)1zz100().n

13、nnnznz. 1z05.z求下列各函數(shù)在 處的泰勒展開(kāi)式，并指出收斂半徑：; 1,1)3; 2,31) 1020zzzzz,5)2() 1(5215211521521213110nnnnzzzzz）解：. 52 z,) 1() 1() 1(11()111()1(1)31002nnnnznzzzzz. 11 z7.把下列函數(shù)在指定的圓環(huán)域內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)：32211),022;(2)13),01,022;(2)18),12;()zz zzzzzzzizzi,2)2(2)2()2(121221121)2(1221)2(1)2(1101303333nnnnnnzzzzzzzzz）解：. 220 z

14、,2) 1(2312112312131)232(1)2(110) 3022222222nnnnzzzzzzzzzzzzzzzz時(shí)，當(dāng).2) 1(311202nnnnzz時(shí)，當(dāng)220 z,)2(2)2(21)2(2212)2(2121)221(22112121)221(22121)1(121)11(21)2(120110101022nnnnnnnnnnnnznzznzzzzzzzzzzzzzzzzz8)2zi當(dāng)1時(shí)，)1(1)1(1)(12iizizzizizz)() 1(1(1)11(10nnnniziiziziziiziz.)() 1()(03nnnizni非孤立奇點(diǎn)本性奇點(diǎn)極點(diǎn)可去奇點(diǎn)孤立

15、奇點(diǎn)1.奇點(diǎn)的分類(lèi)：奇點(diǎn)的分類(lèi)： 第四章 知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 2.可去奇點(diǎn)的判定可去奇點(diǎn)的判定(1) 由定義判斷由定義判斷:的羅朗級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)的羅朗級(jí)數(shù)無(wú)負(fù)0z)(zf在在如果如果冪項(xiàng)冪項(xiàng),則則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).(2) 判斷判斷極限極限:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值,則則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).(3) 判斷有界性判斷有界性則則0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn).的某去心鄰域有界的某去心鄰域有界,0z)(zf在在如果如果3.極點(diǎn)的判定方法極點(diǎn)的判定方法在點(diǎn)在點(diǎn) 的某去心鄰域內(nèi)的某去心鄰域內(nèi)0zmzzzzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰

16、域內(nèi)解析的鄰域內(nèi)解析, 且且 )(z 0z. 0)(0 z (1) 由定義判別由定義判別(2) 由定義的等價(jià)形式判別由定義的等價(jià)形式判別)(zf若若).0()()(010mmmCzzCzzC)(1)(zfzg (3)(3)由由以以0z為為m m級(jí)零點(diǎn)判別級(jí)零點(diǎn)判別. .(4) 由極限判別由極限判別.)(lim0 zfzz點(diǎn)的主要部分為：在0Z4.本性奇點(diǎn)的判定方法本性奇點(diǎn)的判定方法(1) 由定義判別由定義判別若若)(zf的羅朗展開(kāi)式中含有的羅朗展開(kāi)式中含有0zz 的負(fù)冪項(xiàng)為無(wú)窮多項(xiàng)的負(fù)冪項(xiàng)為無(wú)窮多項(xiàng).(2) 由極限判別由極限判別0lim( )zzf z不存在，即沒(méi)有有限或無(wú)限的極限zzficC

17、d )(211),(Res0zzf 的的留留數(shù)數(shù)在在0)(zzf),(Res0zzf域域內(nèi)內(nèi)的的洛洛朗朗級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)中中負(fù)負(fù).)(101的的系系數(shù)數(shù)冪冪項(xiàng)項(xiàng) zzc為為中中心心的的去去心心圓圓環(huán)環(huán)在在即即（0)(zzf)(0zfz 為為函函數(shù)數(shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)的一個(gè)孤立奇點(diǎn), 則沿則沿Rzzz 000的的某某個(gè)個(gè)去去心心鄰鄰域域在在內(nèi)包含內(nèi)包含0z的的任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)任意一條簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn) C 的積分的積分 Czzfd)(的值除的值除i 2后所得的數(shù)稱(chēng)為后所得的數(shù)稱(chēng)為.)(0的的留留數(shù)數(shù)在在zzf以以如果如果記作記作5.留數(shù)的定義留數(shù)的定義 6.留數(shù)的計(jì)算方法留數(shù)的計(jì)算方法).()(lim)!1(1)

18、,(01100zfzzznzzfnnnzzddRes級(jí)極點(diǎn)，那么的為如果nzfza)()0(1) 如果如果0z為為)(zf的可去奇點(diǎn)的可去奇點(diǎn), . 0),(Res0 zzf則則(3) 如果如果0z為為的極點(diǎn)的極點(diǎn), 則有如下計(jì)算方法則有如下計(jì)算方法)(zf.)()()2(100czzfzfz朗級(jí)數(shù)求的去心鄰域內(nèi)展開(kāi)成羅在的本性奇點(diǎn)，則需將為如果如果如果 為為 的一級(jí)極點(diǎn)的一級(jí)極點(diǎn), 那末那末0z)(zf).()(lim),(000zfzzzzfzzResb)設(shè)設(shè),)()()(zQzPzf )(zP及及)(zQ在在0z都解析，都解析， 如果如果,0)(,0)(,0)(000 zQzQzP那末那

19、末.)()(),(Res000zQzPzzf c)(zf在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)除有限個(gè)孤內(nèi)除有限個(gè)孤nzzz,21外處處解析外處處解析, C 是是 D內(nèi)包圍諸奇內(nèi)包圍諸奇點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)點(diǎn)的一條正向簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn), 那末那末. ),(Res2d )(1 nkkCzzfizzf立奇點(diǎn)立奇點(diǎn)函數(shù)函數(shù)7.留數(shù)定理留數(shù)定理1z2znzDC. 20d)sin,(cos R8.形如形如的積分的積分 d )sin,(cos20 RizzizzzzRzd21,21122 .),(Res21 nkkzzfiz的有理函數(shù)的有理函數(shù) , 且在且在單位圓周上分母不單位圓周上分母不為零為零 , 滿(mǎn)足留數(shù)定滿(mǎn)足留數(shù)定理的條

20、件理的條件 .zzfzd )(1 包圍在單位圓周包圍在單位圓周內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn)內(nèi)的諸孤立奇點(diǎn).9.形如形如的積分的積分xxR d)(有理函數(shù)有理函數(shù) R(x)的分母至少比分子高兩次的分母至少比分子高兩次,并且分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)并且分母在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn).0Im),(Res2d)(kzkzzRixxR次數(shù)高一次次數(shù)高一次, 并且并且R(z)在實(shí)軸上在實(shí)軸上無(wú)孤立奇點(diǎn)無(wú)孤立奇點(diǎn).R(x)是是x的有理函數(shù)而分母的次的有理函數(shù)而分母的次數(shù)至少比分子的數(shù)至少比分子的, ,)(Re2)(0ImkzkaizaixzezRsixexRd則,)(Re2Recos)(0ImkzkaizzezRsixaxxRd.

21、,)(Re2Imsin)(0ImkzkaizzezRsixaxxRd10.形如形如的積分的積分)0(d)( axexRaix習(xí)題四(A)22351.1sin1;2);(4)1 cos3);zzz zzzz判斷下列函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及類(lèi)型，如果是極點(diǎn)，指出它的級(jí)：）級(jí)極點(diǎn)。是是一級(jí)極點(diǎn)，）解：220)2()2(1)4(112222iizizzzzzz。時(shí)，當(dāng)因?yàn)榧?jí)極點(diǎn)的是)!12() 1(! 5! 311)!12() 1(1sin0,2sin0)22222012333kzzzkzzzzzzzzkkkkk.)!2() 1(! 41! 21)!2() 1(1 (1cos103cos10)35230255

22、5kzzzkzzzzzzzzkkkkk時(shí)，當(dāng)級(jí)極點(diǎn)，因?yàn)榈氖?2.( )1111;6);7)cos;2sin1f zzzzzzz求下列各函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)：）.23)()2(lim2),(Re.21)(lim0),(Re,21)(2, 01202zfzzfszzfzfszzzzfzzzz因此的一級(jí)極點(diǎn)，是）解：級(jí)極點(diǎn)。的是因此，時(shí)，當(dāng)?shù)墓铝⑵纥c(diǎn)是2)(0, 0 )sin( , 0)sin(0., 2, 1, 0,sin1)()60zfzzzzzzkzzzfkzz201Re ( ),0lim( )0,1!1, 2,( sin )0,( 1)Re ( ),lim() ( ).zz kkzks

23、f zz f zzkkzzzks f z kzkf zk 所以，當(dāng)時(shí)，因此是一級(jí)極點(diǎn)，所以，的孤立奇點(diǎn)，是zzfz11cos)(1)7. 0 1),(Re, 0)11()!2() 1(11cos10102zfsczkzzkkk因此時(shí)，當(dāng)232352223.1sin1);4);6);(1)zzzzezdzdzdzzzzz利用留數(shù)理論計(jì)算下列積分：221222221)21,Re ( ),1lim()2,2(2)4.(1)zzzzzzds f zeedzedziee iz被積函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)二級(jí)極點(diǎn)因此解：301Re ( ),0lim( )12!zs f zz f z11Re ( ), 1lim(1)

24、 ( )2zs f zzf z 3521zdzzz112(1)022i4)01.zz 為三級(jí)極點(diǎn)，為一級(jí)極點(diǎn)32sin0.zzdzz為可去奇點(diǎn)，0)6z, 00 ,sinRezzs222220004.1sin1);3);6).5(1)1sin4xxxddxdxxx利用留數(shù)理論計(jì)算下列實(shí)積分：2201111551sin442zdzdziziz解： ）14(2 )(2)zdzzizi44Re ,2(2 )(2)23iizsizizi 為一級(jí)極點(diǎn)，2015sin4d482()33ii 2222220213)(1)2(1)12Re ( ), 21lim()( ).1!44zaixxdxdxxxis f

25、 z iiizif zi20sin6)1xxdxx21sin21xxdxx2ImRe , 1izzeisiz22izz iee第五章 保角映射C0z.yx0)(z)(0tz yx0)(w0w. )(zfw 的的幾幾何何意意義義 )( Arg.10zf ,)(內(nèi)解析內(nèi)解析在區(qū)域在區(qū)域設(shè)設(shè)Dzfw . 0)(,00 zfDz且且)(Arg)(Arg)(Arg000tztwzf 的幾何意義的幾何意義)( . 20zf ,0 irezz 令令 Cyx0)(wyx0)(zs )(0tz 0QQ0ww.)(zfw r0pp0zz.0 ieww )(0zf .lim0szz 的的伸伸縮縮率率在在稱(chēng)稱(chēng)為為曲曲

26、線(xiàn)線(xiàn) 0zC具有兩個(gè)性具有兩個(gè)性在在那末映射那末映射且且0)(,0)(zzfwzf 質(zhì)質(zhì): (1) : (1) 保角性保角性; (2) ; (2) 伸縮率不變性伸縮率不變性. .定理一定理一 , ,)(0內(nèi)內(nèi)一一點(diǎn)點(diǎn)為為內(nèi)內(nèi)解解析析在在區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)DzDzfw 例1部分縮?。康哪囊徊糠址糯?？哪一平面明它們將伸縮率和旋轉(zhuǎn)角，并說(shuō)處的在點(diǎn)與求映射zizewzwz110 定義定義是保角映射在是保角的，或稱(chēng)在變性，那末具有保角性和伸縮率不在的鄰域內(nèi)有定義在設(shè)0000)()(,)(zzfwzzfwzzzfw說(shuō)明說(shuō)明:也稱(chēng)為也稱(chēng)為第一類(lèi)保角映射第一類(lèi)保角映射. , )( 具具有有伸伸縮縮率率不不變

27、變性性如如果果映映射射zfw 但僅保持夾角的絕對(duì)值不變而方向相反但僅保持夾角的絕對(duì)值不變而方向相反, 則稱(chēng)之為則稱(chēng)之為第二類(lèi)保角映射第二類(lèi)保角映射.), 0(均為常數(shù)均為常數(shù)dcbabcaddczbazw 稱(chēng)為稱(chēng)為分式線(xiàn)性映射分式線(xiàn)性映射.定理定理1 分式線(xiàn)性映射 在擴(kuò)充復(fù)平面上是一一對(duì)應(yīng)的，具有保圓性的保角映射。,0,bcaddczbazw且即即分式線(xiàn)性映射具有保對(duì)稱(chēng)性分式線(xiàn)性映射具有保對(duì)稱(chēng)性.定理定理2 . 的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的一對(duì)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的象曲線(xiàn)的象曲線(xiàn) C , ,21也是關(guān)于也是關(guān)于它們的象點(diǎn)它們的象點(diǎn)在分式線(xiàn)性映射下在分式線(xiàn)性映射下ww , , 21那那么么的的一一對(duì)對(duì)對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)點(diǎn)點(diǎn)是是關(guān)關(guān)于

28、于圓圓周周設(shè)設(shè)點(diǎn)點(diǎn)CzzrCo.P.P .設(shè)設(shè)P在在C外外, 從從P作作C的切線(xiàn)的切線(xiàn)PT, 由由T作作OP的垂的垂. , 即互為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)即互為對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與與那么那么交于交于與與線(xiàn)線(xiàn)PPPOPPT 作圖作圖:T.,2rPOOP 規(guī)定規(guī)定: 無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓心無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是圓心O O.定理定理3 3 ).3 , 2 , 1( kwk依次映射成依次映射成 ,321zzzz異的點(diǎn)異的點(diǎn)平面上任意給定三個(gè)相平面上任意給定三個(gè)相在在 ,321wwww相異的點(diǎn)相異的點(diǎn)平面上也任意給定三個(gè)平面上也任意給定三個(gè)在在 ,線(xiàn)性映射線(xiàn)性映射那末就存在唯一的分式那末就存在唯一的分式231321:wwwwwwww .:231321zzzzzzzz 例2; 1, 11, 1)2; 0, 1,1, 1) 1321321321321wiwwzzzwwwzi