高三數(shù)學復習資料-第二章函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

1、第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)第一節(jié)函數(shù)及其表示最新考綱：1.了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域，了解映射的概念；2.在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù)；3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單地應用1函數(shù)與映射的概念問題探究1：映射與函數(shù)有什么區(qū)別？提示：函數(shù)是特殊的映射，二者區(qū)別在于映射定義中的兩個集合是非空集合，可以不是數(shù)集，而函數(shù)中的兩個集合必須是非空數(shù)集2函數(shù)的相關概念(1)函數(shù)的三要素是定義域、值域和對應關系(2)相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)相等問題探究2：如果兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則它們是

2、否為相等函數(shù)？提示：不一定，如函數(shù)f(x)x和函數(shù)g(x)x的定義域和值域均為R，但兩者顯然不是同一函數(shù)3函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法4分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應關系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù)1判斷正誤(在括號內打“”或“×”)(1)函數(shù)f(x)x22x與函數(shù)f(t)t22t是同一個函數(shù)()(2)函數(shù)y1與函數(shù)yx0是相同函數(shù)()(3)若兩個函數(shù)的定義域和值域相同，則這兩個函數(shù)為相同函數(shù)()

3、(4)函數(shù)是特殊的映射()(5)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集()答案(1)(2)×(3)×(4)(5)2下列四組函數(shù)中，表示相等函數(shù)的一組是()Af(x)·，g(x)Bf(x)，g(x)()2Cf(x)，g(x)x1Df(x)|x|，g(t)解析在A中，由可知f(x)的定義域為1，)；由x210，可知g(x)的定義域為(，11，)因為它們的定義域不同，所以A不成立在B中，f(x)|x|，其定義域為R；g(x)()2x，其定義域為0，)它們的解析式和定義域都不同，所以B不成立在C中，f(x)x1，其定義域為x|x1；g(x)x

4、1的定義域為R.因為它們的定義域不同，所以C不成立在D中，g(t)|t|，與f(x)|x|的對應關系和定義域都相同，所以D成立故選D.答案D3(2015·江西重點中學一聯(lián))函數(shù)f(x)lg(3x)的定義域是()A(3，) B(2，3)C2，3) D(2，)解析由題意得解得2<x<3，故選B.答案B4(2016·合肥質檢)已知函數(shù)f(x)(aR)，若ff(1)1，則a()A. B C1 D2解析由題意得f(1)2(1)2，ff(1)f(2)a·224a1，a.故選A.答案A5若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間1，2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的解析式為_解析由圖象可知

5、，當1x<0時，f(x)x1；當0x2時， f(x)x，所以f(x)答案f(x)考點一函數(shù)的表示方法1表示函數(shù)的常用方法有：解析法、列表法、圖象法2解析法就是把變量x，y之間的關系，用一個關系式y(tǒng)f(x)來表示，通過關系式可以由x的值求出y的值列表法是將變量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出二者的關系；圖象法就是把x，y之間的關系繪制成圖象，圖象上每個點的坐標就是相應的變量x，y的值用解析式表示函數(shù)的優(yōu)點是簡明扼要，規(guī)范準確；列表法的優(yōu)點是能鮮明地顯現(xiàn)出自變量與函數(shù)值之間的數(shù)量關系；用圖象表示函數(shù)的優(yōu)點是形象直觀，能清晰呈現(xiàn)函數(shù)的增減變化，點的對稱，最大(或最小)值等性質(1)(20

6、16·河南洛陽期中)下列圖形可以表示函數(shù)yf(x)圖象的是() (2)已知函數(shù)f(x)，若f(a)3，則實數(shù)a_解題指導切入點：函數(shù)的概念；關鍵點：自變量x與函數(shù)值y的對應關系解析(1)本題考查函數(shù)的概念根據函數(shù)的概念，定義域中一個x只能對應一個y，所以排除A，B，C，故選D.(2)由f(a)3，得3，解得a10.答案(1)D(2)10集合A中任意一個x都有唯一確定的值f(x)與之對應，是判斷函數(shù)的關鍵 對點訓練1下列函數(shù)中與函數(shù)y相同的是()Ayx ByxCy Dyx2解析yx(x0)與y對應法則不相同，定義域也不相同，因此兩個函數(shù)也是不同的，A錯誤；yx(x0)與y對應法則是相同

7、的，定義域也是相同的，這兩個函數(shù)是同一個函數(shù)，B正確；y(x0)與函數(shù)y對應法則不同，定義域也不相同，這兩個函數(shù)是不同的，C錯誤；yx2 (x<0)，這個函數(shù)與函數(shù)y(x0)的對應法則是相同的，但它們的定義域不同，所以這兩個函數(shù)不是同一個函數(shù)，D錯誤，故選B.答案B2設函數(shù)f：xx22x是實數(shù)集R到實數(shù)集R的映射，若對于實數(shù)tR，t不存在原象，則t的取值范圍是()A(，1) B(1，)C(，1 D1，)解析令yx22x，則y(x1)211，因為對于實數(shù)tR，t不存在原象，所以t>1，故選B.答案B3已知函數(shù)f(x)，g(x)分別由下表給出，則fg(1)_x123f(x)213g(x

8、)321解析由表知g(1)3，則fg(1)3.答案3考點二求函數(shù)的定義域確定函數(shù)定義域的原則(1)當函數(shù)yf(x)用列表法給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)x的集合(2)當函數(shù)yf(x)用圖象法給出時，函數(shù)的定義域是指圖象在x軸上的投影所覆蓋的實數(shù)的集合(3)當函數(shù)yf(x)用解析式給出時，函數(shù)的定義域是指使解析式有意義的實數(shù)的集合(4)當函數(shù)yf(x)由實際問題給出時，函數(shù)的定義域由實際問題的意義確定確定函數(shù)的定義域是解決函數(shù)問題的關鍵(1)(2015·重慶卷)函數(shù)f(x)log2(x22x3)的定義域是()A3，1 B(3，1)C(，31，) D(，3)(1，)(2)(2015&

9、#183;銀川模擬)已知函數(shù)f(2x1)的定義域為(0，1)，則f(x)的定義域是_解題指導切入點：有意義的x取值范圍；關鍵點：抽象函數(shù)的定義域要看清內、外層函數(shù)間的關系解析(1)由題意，得x22x3>0，解得x>1或x<3，所以函數(shù)f(x)的定義域為(，3)(1，)，故選D.(2)令t2x1，由0<x<1，得1<t<3.f(x)的定義域為(1，3)答案(1)D(2)(1，3)(1)求函數(shù)的定義域，其實質就是以函數(shù)解析式所含運算有意義為準則，列出不等式或不等式組，然后求出它們的解集；(2)已知f(x)的定義域是a，b，求fg(x)的定義域，是指滿足ag

10、(x)b的x的取值范圍，而已知fg(x)的定義域是a，b，指的是xa，b拓展探究(1)本例(2)改為f(x)的定義域為(0，1)，求f(2x1)的定義域，又如何求呢？(2)本例(2)的條件不變，求f(1x)的定義域，如何求？解(1)f(x)的定義域為(0，1)，0<2x1<1，得<x<0.故f(2x1)的定義域為.(2)f(2x1)的定義域為(0，1)，即0<x<1，1<2x1<3，f(x)的定義域為(1，3)由1<1x<3，得2<x<0.f(1x)的定義域為(2，0)考點三分段函數(shù)對于分段函數(shù)給定自變量求函數(shù)值時，應根據

11、自變量的范圍，利用相應的解析式直接求解；若給定函數(shù)值求自變量，應根據函數(shù)每一段的解析式分別求解，但應注意檢驗該值是否在相應的自變量取值范圍之內分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)處理分段函數(shù)問題時，首先要確定自變量的取值屬于哪個區(qū)間段，再選取相應的對應關系，離開定義域討論問題是產生錯誤的重要原因之一 (1)(2015·陜西卷)設f(x)則ff(2)()A1 B C. D(2)(2015·新課標全國卷)已知函數(shù)f(x)且f(a)3，則f(6a)()A B C D解題指導切入點：自變量的取值與解析式的對應關系；關鍵點：分段函數(shù)，分段解決解析(1)f(2)22，ff(2)f1，故選

12、C.(2)因為f(x)f(a)3，所以或解得a7，所以f(6a)f(1)2112，故選A.答案(1)C(2)A解決分段函數(shù)問題的關鍵是“對號入座”，即根據自變量取值的范圍，準確確定相應的對應法則，代入相應的函數(shù)解析式，轉化為一般的函數(shù)在指定區(qū)間上的問題，解完之后應注意檢驗自變量取值范圍的應用總之，解決分段函數(shù)的策略就是“分段函數(shù)，分段解決”，亦即應用分類討論思想解決 對點訓練1(2016·江西吉安一中上學期期中)已知函數(shù)f(x)則f()A4 B C4 D解析因為flog32，所以ff(2)，故選B.答案B2設函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是()A1，2 B0，2C1，)

13、D0，)解析f(x)2或0x1或x>1，故選D.答案D3已知實數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_解析當a>0時，1a<1，1a>1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合題意；當a<0時，1a>1，1a<1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.綜上所述，a的值為.答案方法規(guī)律總結方法技巧1判斷對應是否為A到B的映射，即看A中元素是否滿足“每元有象”和“且象唯一”2在判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)時，要緊扣兩點：一是定義域相同；二是對應法則相同3在求分段函數(shù)的值f(x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域

14、的哪個子集，然后再代入相應的關系式；分段函數(shù)的值域應是其定義域內不同子集上各關系式的取值范圍的并集易錯點睛1判斷A到B的函數(shù)時，A中不同元素可有相同的象，即可以多對一，不可以一對多；B中元素可以無原象，即B中元素可以有剩余2函數(shù)定義域是研究函數(shù)的基礎依據，對函數(shù)性質的討論，必須在定義域上進行，堅持定義域優(yōu)先的原則 課時跟蹤訓練(四)一、選擇題1(2015·蘇州模擬)下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是()Ayx1與yBy與yCy4lg x與y2lg x2Dylg x2與ylg解析yx1與y|x1|的對應法則不同，故不是同一函數(shù)；y(x1)與y(x>1)的定義域不同，故它們不是同一函

15、數(shù)；又y4lg x(x>0)與y2lg x2(x0)的定義域不同，因此它們也不是同一函數(shù)；而ylg x2(x>0)與ylg lg x2(x>0)有相同的定義域、值域與對應法則，故它們是同一函數(shù)故選D.答案D2(2016·泰州模擬)函數(shù)y的定義域為()A(，2) B(2，)C(2，3)(3，) D(2，4)(4，)解析要使函數(shù)有意義，則即解得x>2且x3，故選C.答案C3如右圖，是張大爺晨練時所走的離家距離(y)與行走時間(x)之間的函數(shù)關系的圖象若用黑點表示張大爺家的位置，則張大爺散步行走的路線可能是()解析據圖象可知在第一段時間張大爺離家距離隨時間的增加而增

16、加，在第二段時間內，張大爺離家的距離不變，第三段時間內，張大爺離家的距離隨時間的增加而減少，最后回到始點位置，對比各選項，只有D選項符合條件故選D.答案D4已知函數(shù)f(x)若ff(0)4a，則實數(shù)a等于()A. B C2 D9解析f(0)2012，f f(0)f(2)222a42a.于是由f f(0)4a得42a4aa2.故選C.答案C5已知函數(shù)f(x)滿足f(2x)2f(x)，且當1x<2時， f(x)x2，則f(3)()A. B C. D9解析f(2x)2f(x)，且當1x<2時， f(x)x2，f(3)2f2×.故選C.答案C6(2015·湖北卷)函數(shù)f(

17、x)lg的定義域為()A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6解析依題意知，即所以函數(shù)的定義域為(2，3)(3，4故選C.答案C7若函數(shù)y的定義域為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A. B C. D解析y的定義域為R，mx24mx3恒不為0.當m0時，mx24mx33滿足題意；當m>0時，16m212m<0，解得0<m<；當m<0時，<0，無解綜上，0m<，即m.故選D.答案D8設函數(shù)f(x)若f(2)f(0), f(1)3，則關于x的方程f(x)x的解的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4解析若x0，則f(x)x2bxc，f(2)f

18、(0), f(1)3，解得f(x)當x0時，由f(x)x得，x22x2x，解得x2，x1(舍去)；當x>0時，由f(x)x得，x2.方程f(x)x有2個解，故選B.答案B9(2016·山西大同質檢)已知函數(shù)f(x)的定義域為(0，2，則函數(shù)f()的定義域為()A1，) B(1，3C，3) D(0，)解析根據題意，得0<2，即0<x14，解得1<x3.故選B.答案B10(2015·山東卷)設函數(shù)f(x)若f4，則b()A1 B C. D解析fff.當b<1，即b>時，3×b4，解得b(舍)當b1，即b時，2b4，解得b.故選D.答

19、案D二、填空題11(2015·合肥二次質檢)函數(shù)f(x)ln的定義域是_解析要使函數(shù)有意義，需使得x>2或x<1，所以函數(shù)f(x)的定義域為(，1)(2，)答案(，1)(2，)12(2015·南京模擬)設函數(shù)f(x)則f(9)_解析f(9)f(6)2f(3)4f(0)60268.答案813若集合A1，2，3，k，B4，7，a4，a23a，其中aN*，kN*，f：xy3x1，xA，yB是從定義域A到值域B的一個函數(shù)，則ak_解析由對應法則知14，27，310，k3k1，又aN*，a410，a23a10，解得a2(舍去5)，所以a416，于是3k116，k5，ak7

20、.答案7三、解答題14記f(x)lg(2x3)的定義域為集合M，函數(shù)g(x)的定義域為集合N，求：(1)集合M、N；(2)集合MN，MN.解(1)M，Nx|x3或x<1；(2)MNx|x3，MN.15如圖，點M是邊長為1的正方形ABCD的邊CD的中點當點P在正方形的邊上沿ABC運動時，點P經過的路程為x，APM的面積為y，求y關于x的函數(shù)關系式解利用分段函數(shù)建立關系式當點P在線段AB上，即0<x1時，yx；當點P在線段BC上，即1<x2時，y××1(x1)×1×(2x)×(3x)所以所求函數(shù)關系式為y16已知函數(shù)f(x)若互不

21、相等的實數(shù)x1、x2、x3滿足f(x1)f(x2)f(x3)，求x1x2x3的取值范圍解令x1<x2<x3，作函數(shù)的圖象如圖所示，可知x1<0，x2，x3在對稱直線x3兩側，滿足x2x32×36，要使函數(shù)滿足f(x1)f(x2)f(x3)，則函數(shù)的取值范圍必須為f(3)<f(x)<f(0)，3<f(x)<4，即3<f(x1)<4，3<3x14<4，解得<x1<0，所以<x1x2x3<6.第二節(jié)函數(shù)的值域與解析式最新考綱：1.了解求函數(shù)值域的方法，會求一些簡單函數(shù)的值域；2.會求一些簡單函數(shù)的解析

22、式1函數(shù)的值域(1)在函數(shù)yf(x)中，與自變量x的值相對應的y的值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫函數(shù)的值域(2)基本初等函數(shù)的值域ykxb(k0)的值域是Ryax2bxc(a0)的值域是：當a>0時，值域為；當a<0時，值域為y(k0)的值域是y|yR且y0yax(a>0且a1)的值域是(0，)ylogax(a>0且a1)的值域是Rysin x，ycos x的值域是1，1ytan x的值域是R問題探究：函數(shù)的值域由什么決定？提示：函數(shù)的值域由對應關系和定義域決定2函數(shù)解析式的求法(1)換元法：若已知f的表達式，求f(x)的解析式，通常是令g(x)t，從中解出x(t)，再將g

23、(x)、x代入已知解析式求得f(t)的解析式，即得函數(shù)f(x)的解析式，這種方法叫作換元法，需注意新設變量“t”的范圍(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)類型，可設出所求函數(shù)的解析式，然后利用已知條件列方程(組)，再求系數(shù)(3)消去法：若所給解析式中含有f(x)、f或f(x)、f(x)等形式，可構造另一個方程，通過解方程組得到f(x)(4)配湊法或賦值法：依據題目特征，能夠由一般到特殊或由特殊到一般尋求普遍規(guī)律，求出解析式1判斷正誤(在括號內打“”或“×”)(1)函數(shù)的解析式相同，定義域不同，值域也一定不同()(2)同一函數(shù)的解析式是唯一確定的()(3)函數(shù)y的值域為(，1()(4)函數(shù)y的

24、值域為y|y2()(5)若f()x1，則f(x)x21，xR.()答案(1)×(2)×(3)×(4)(5)×2下列函數(shù)中，值域是(0，)的是()Ay2x By Cylg x Dyx2解析函數(shù)y2x的值域為(0，)；函數(shù)y的值域為0，)；函數(shù)ylg x的值域為R；函數(shù)yx2的值域為0，)，故選A.答案A3若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)1，g(1)5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()Ag(x)2x23x Bg(x)3x22xCg(x)3x22x Dg(x)3x22x解析用待定系數(shù)法，設g(x)ax2bxc(a0)，g(1)1，g(1)5，且圖象過原點，

25、解得g(x)3x22x，故選B.答案B4(2016·西安質檢(一)函數(shù)f(x)的值域為()A1，2 B(，2)C(0，) D(，2)解析當x1時，f(x)logx0，當x<1時，f(x)2x(0，2)，所以該函數(shù)的值域是(，0(0，2)(，2)，故選B.答案B5已知flg x，則f(x)_解析令1t，則x，f(t)lg .f(x)lg ，x(1，)答案lg ，x(1，)考點一求函數(shù)的值域求函數(shù)值域的常用方法：(1)觀察法；(2)換元法；(3)配方法；(4)單調性法；(5)基本不等式法；(6)分離常數(shù)法；(7)數(shù)形結合法(1)求函數(shù)值域，一定要注意到定義域的范圍；(2)利用換元法

26、時，要及時確定新變量的取值范圍求下列函數(shù)的值域：(1)yx22x(x0，3)；(2)y；(3)yx；(4)ylog3xlogx31.解題指導切入點：函數(shù)解析式的特點；關鍵點：采取適當?shù)姆椒?，如配方法、分離常數(shù)法、換元法、單調性法等解(1)(配方法)yx22x(x1)21，y(x1)21在0，3上為增函數(shù)，0y15，即函數(shù)yx22x(x0，3)的值域為0，15(2)(分離常數(shù)法)y1.因為0，所以11，即函數(shù)的值域是y|yR，y1(3)解法一：(換元法)令t，則t0且x，于是yt(t1)21，由于t0，所以y，故函數(shù)的值域是.解法二：(單調性法)函數(shù)yf(x)為增函數(shù)，而其定義域應滿足12x0，

27、即x，所以yf，即函數(shù)的值域是.(4)(基本不等式法)函數(shù)定義域為x|xR，x>0，且x1當x>1時，log3x>0，于是ylog3x12 11；當0<x<1時，log3x<0，于是ylog3x11213.故函數(shù)的值域是(，31，)(1)當所給函數(shù)是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考慮用分離常數(shù)法；(2)若與二次函數(shù)有關，可用配方法；(3)若函數(shù)解析式中含有根式，可考慮用換元法或單調性法；(4)當函數(shù)解析式結構與均值不等式有關，可考慮用均值不等式求解；(5)分段函數(shù)宜分段求解；(6)當函數(shù)的圖象易畫出時，還可借助于圖象求解拓展探究(1)本例中(2)變?yōu)閥

28、，x1，)時，其值域如何求？(2)本例中(2)變?yōu)閥(x>1)時，其值域如何求？解(1)y1，函數(shù)y1在1，)上是增函數(shù)，y11，故該函數(shù)的值域為1，)(2)y(x1)2，x>1，x1>0，(x1)24，y2，故該函數(shù)的值域為2，)考點二求函數(shù)的解析式函數(shù)的解析式是表示函數(shù)的一種方法，對于不是yf(x)的形式，可根據題目的條件轉化為該形式求函數(shù)解析式時要關注定義域(1)已知 f(1)x2，求f(x)；(2)已知f(x)是一次函數(shù)，且滿足3f(x1)2f(x1)2x17，求f(x)的解析式；(3)已知 f(x)滿足2 f(x) f3x，求f(x)解題指導切入點：函數(shù)關系式的結構

29、特點；關鍵點：選擇恰當?shù)姆椒ㄇ蠼猓瑒e忽略函數(shù)的定義域解(1)設1t(t1)，則t1.代入 f(1)x2，得 f(t)t21(t1)， f(x)x21(x1)(2)設f(x)axb，由題意得，3a(x1)b2a(x1)b2x17，即ax3(ab)2(ba)2x17，f(x)2x7.(3)把題目中的x換成，得2 f f(x)，聯(lián)立方程×2得3 f(x)6x，所以 f(x)2x(x0)求函數(shù)的解析式時要充分根據題目的類型選取相應的方法，同時要注意函數(shù)的定義域 對點訓練1已知f(1cos x)sin2x，求f(x)的解析式解f(1cos x)sin2x1cos2x，設1cos xt(0t2)

30、，則cos x1t，f(t)1(1t)2t22t.故f(x)x22x(0x2)2已知f(x)是二次函數(shù)，若f(0)0，且f(x1)f(x)x1，試求f(x)的表達式解設f(x)ax2bxc(a0)，由f(0)0知c0，f(x)ax2bx.又由f(x1)f(x)x1，得a(x1)2b(x1)ax2bxx1，即ax2(2ab)xabax2(b1)x1，故有ab.因此，f(x)x2x.考點三函數(shù)的定義域、值域及解析式的綜合應用函數(shù)的定義域是使函數(shù)有意義的自變量取值的集合，它是函數(shù)不可缺少的部分，函數(shù)的值域是函數(shù)值的集合，它是由函數(shù)的定義域與對應關系確定，函數(shù)解析式是表示函數(shù)的一種方法，對于不是yf(

31、x)的形式，可根據題目的具體條件轉化為該種形式對于求出的解析式，一定要注意定義域的變化解決函數(shù)的綜合問題時，一般采取“定義域優(yōu)先”的原則(1)(2015·山東卷)已知函數(shù)f(x)axb(a>0，a1)的定義域和值域都是1，0，則ab_(2)(2015·福建卷)若函數(shù)f(x)，(a>0，且a1)的值域是4，)，則實數(shù)a的取值范圍是_解題指導切入點：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調性；關鍵點：按a的取值分類討論解析(1)利用指數(shù)函數(shù)的單調性建立關于a，b的方程組求解當a>1時，函數(shù)f(x)axb在1，0上為增函數(shù)，由題意得無解當0<a<1時，函數(shù)f(x)a

32、xb在1，0上為減函數(shù)，由題意得解得所以ab.(2)當x2時，yx64.f(x)的值域為4，)，當a>1時，3logax>3loga24，loga21，1<a2；當0<a<1時，3logax<3loga2，不合題意故a(1，2答案(1)(2)(1，2(1)對定義域、值域的綜合問題，要注意定義域對函數(shù)值域的限制作用即在定義域內用相應方法求值域；(2)若解析式中含有參數(shù)，要注意參數(shù)對函數(shù)值域的影響，即要考慮分類討論；(3)解題時要注意數(shù)形結合思想的應用，即借助圖象確定函數(shù)的值域 對點訓練1(2016·江西宜春期末統(tǒng)考)函數(shù)yx22x3在定義域m，3上的

33、值域為2，6，則m的取值范圍是()A(0，3 B0，3)C1，1 D0，1解析依題意，y(x1)22，令x22x36得x1或x3，結合該函數(shù)的圖象分析得知，m的取值范圍是1，1，選C.答案C2(2016·廣東深圳第二次調研)設函數(shù)f(x)若f(x)的值域為R，則常數(shù)a的取值范圍是()A(，12，)B1，2C(，21，)D2，1解析因為f(x)的值域是R，且兩段函數(shù)都是遞增函數(shù)，所以4a2a2，解得a1或a2，故選A.答案A3若函數(shù)f(x)|log3x|在區(qū)間a，b上的值域為0，1，則ba的最小值為_解析令f(x)0，得x1；令f(x)1，得x或3.因為f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，

34、在(1，)上為增函數(shù)，所以ba的最小值為1.答案方法規(guī)律總結方法技巧1函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，它決定了函數(shù)的值域，并且它是研究函數(shù)性質的基礎，要樹立函數(shù)定義域優(yōu)先意識2函數(shù)值域的幾何意義是對應函數(shù)圖象上點的縱坐標的變化范圍利用函數(shù)幾何意義，數(shù)形結合可求某些函數(shù)的值域易錯點睛1利用配方法、判別式法、基本不等式求值域時，一定注意等號是否成立，必要時注明“”成立的條件2利用換元法求函數(shù)解析式時，切記新元的范圍即為函數(shù)的定義域 課時跟蹤訓練(五)一、選擇題1已知函數(shù)f(x)則f(5)等于()A32 B16 C. D解析f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)21，故選C.答案C2(2016

35、83;濟南質檢)函數(shù)y的定義域是(，1)2，5)，則其值域是()A(，0) B(，2C.2，) D(0，)解析x(，1)2，5)，則x1(，0)1，4)(，0).故選A.答案A3下列函數(shù)中，不滿足f(2x)2f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x1 Df(x)x解析只有C不滿足，f(2x)2x1，而2f(x)2x2，f(2x)2f(x)故選C.答案C4(2016·北京東城第一學期聯(lián)考)若函數(shù)f(sin x)3cos 2x，則f(cos x)()A3cos 2x B3sin 2xC3cos 2x D3sin 2x解析f(sin x)3cos 2x22sin2x

36、，所以f(cos x)22cos2x3cos 2x.故選C.答案C5(2015·河北唐山期中)下列函數(shù)中，值域是(0，)的是()Ay By Cy Dy解析A項，因為5x1>1，所以函數(shù)值域為(0，1)；B，D項的函數(shù)值域為0，)；C項，因為1xR，根據指數(shù)函數(shù)的性質可知函數(shù)的值域為(0，)，故選C.答案C6(2016·西安第一次模擬)設函數(shù)g(x)x22(xR), f(x)則f(x)的值域是()A.(1，) B0，)C. D(2，)解析令x<g(x)，即x2x2>0，解得x<1或x>2.令xg(x)，即x2x20，解得1x2.故函數(shù)f(x)當x

37、<1或x>2時，函數(shù)f(x)>2；當1x2時，函數(shù)ff(x)f(1)，即f(x)0.故函數(shù)f(x)的值域是(2，)故選D.答案D7. (2016·福州質檢)如圖所示，圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為()Ay|x1|(0x2)By|x1|(0x2)Cy|x1|(0x2)Dy1|x1|(0x2)解析由圖象知圖形由兩條線段構成，第一段經過點(0，0)，.設ykx，則k×1，于是yx(0x1)；第二段經過點，(2，0)，設yaxb，則解得a，b3.即yx3(1x2)將兩個函數(shù)解析式合并在一起，即y|x1|.故選B.答案B8(2015·湖南衡陽六校聯(lián)考)已

38、知f，則f(x)()A(x1)2 B(x1)2Cx2x1 Dx2x1解析f1，令t，得f(t)t2t1，即f(x)x2x1.故選C.答案C9已知函數(shù)f(x)1的定義域是a，b(a，bZ)，值域是0，1，則滿足條件的整數(shù)數(shù)對(a，b)共有()A3個 B4個C5個 D6個解析當x0時，函數(shù)f(x)1，令f(x)0即10，解得x2；令f(x)1即11，解得x0，易知函數(shù)在x>0時為減函數(shù)，又由此函數(shù)為偶函數(shù)，得到x<0時的圖象是由x>0時的圖象關于y軸對稱得來的，所以函數(shù)的圖象可畫為如圖，根據圖象可知滿足條件的整數(shù)數(shù)對有(2，0)，(2，1)，(2，2)，(0，2)，(1，2)，共

39、5個，故選C. 答案C10已知函數(shù)f(x)ex1，g(x)x24x3.若存在實數(shù)a使f(a)g(b)，則b的取值范圍為()A2，2 B(2，2)C1，3 D(1，3)解析f(a)的值域為(1，)，由b24b3>1解得2<b<2.故選B.答案B二、填空題11(2015·合肥模擬)函數(shù)y的值域為_解析y.0，y，函數(shù)y的值域為.答案12若函數(shù)ylog2(ax22x1)的值域為R，則a的取值范圍為_解析設f(x)ax22x1，由題意知， f(x)取遍所有的正實數(shù)當a0時， f(x)2x1符合條件；當a0時，則解得0<a1.所以0a1.答案0，113定義在區(qū)間(1，1

40、)上的函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)lg(x1)，則函數(shù)f(x)的解析式為_解析對任意的x(1，1)，有x(1，1)，因為2f(x)f(x)lg(x1)，用x代替x，則2f(x)f(x)lg(x1)，聯(lián)立整理得3f(x)2lg(x1)lg(1x)，所以f(x)lg(x1)lg(1x)(1<x<1)答案f(x)lg(x1)lg(1x)(1<x<1)三、解答題14求下列函數(shù)的值域：(1)y；(2)y；(3)yx1；(4)yx.解(1)y1.由1x21，得0<2，所以1<11.故函數(shù)的值域為(1，1(2)y .由02，得0y.故函數(shù)的值域為.(3)當x>

41、0時，x2，當且僅當x1時取等號，所以x13；當x<0時，x2，當且僅當x1時取等號，所以x11.故函數(shù)的值域為(，13，)(4)設x2cos (0)，則yx2cos 2cos2sin 2sin由0 ，得，所以sin1，2y2，故函數(shù)的值域為2，215已知函數(shù)f(x)(xR)滿足f(x)(a0)，f(1)1，且使f(x)2x成立的實數(shù)x只有一個，求函數(shù)f(x)的解析式解由f(x)(a0), f(1)1，得a2b1又f(x)2x只有一個解，即2x只有一個解，也就是2ax22(1b)x0(a0)只有一個解，所以b1，代入中得a1，所以f(x).16已知二次函數(shù)f(x)ax2bx(a、b是常數(shù)

42、，且a0)滿足條件：f(2)0，且方程f(x)x有兩個相等實根(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在實數(shù)m、n(m<n)，使f(x)的定義域和值域分別為m，n和2m，2n？如存在，求出m、n的值；如不存在，說明理由解(1)方程f(x)x，即ax2bxx，亦即ax2(b1)x0，由方程有兩個相等實根，得(b1)24a×00，b1.由f(2)0，得4a2b0，由、得，a，b1，故f(x)x2x.(2)假設存在實數(shù)m、n滿足條件，由(1)知，f(x)x2x(x1)2，則2n，即n.f(x)(x1)2的對稱軸為x1，當n時，f(x)在m，n上為增函數(shù)于是有即又m<n，故存在實數(shù)

43、m2，n0，使f(x)的定義域為m，n，值域為2m，2n第三節(jié)函數(shù)的單調性與最值最新考綱：1.理解函數(shù)的單調性及其幾何意義，會運用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質；2.理解函數(shù)最大值、最小值及其幾何意義，會運用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的最值1函數(shù)的單調性(1)單調函數(shù)的定義增函數(shù)減函數(shù)定義一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為I.如果對于定義域I內某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1，x2當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當x1<x2時，都有f(x1)>f(x2)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自

44、左向右看圖象是下降的(2)單調區(qū)間的定義若函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，則稱函數(shù)f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，區(qū)間D叫作f(x)的單調區(qū)間問題探究1：函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增與函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為a，b含義相同嗎？提示：含義不同f(x)在區(qū)間a，b上單調遞增并不能排除f(x)在其他區(qū)間單調遞增，而f(x)的單調遞增區(qū)間為a，b意味著f(x)在其他區(qū)間不可能單調遞增2函數(shù)的最值前提設函數(shù)yf(x)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足條件對于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.對于任意xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.結論M

45、為最大值M為最小值問題探究2：函數(shù)的單調性、最大(小)值反映在其函數(shù)圖象上有什么特征？提示：函數(shù)單調性反映在圖象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在圖象上為其最高(低)點的縱坐標的值1判斷正誤(在括號內打“”或“×”)(1)函數(shù)y在定義域上為減函數(shù)()(2)對于函數(shù)f(x)，xD，若x1，x2D，且(x1x2)·f(x1)f(x2)>0，則函數(shù)f(x)在D上是增函數(shù)()(3)函數(shù)yf(x)在1，)上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間是1，)()(4)函數(shù)f(x)log5(2x1)的單調增區(qū)間是(0，)()(5)閉區(qū)間上的單調函數(shù)，其最值一定在區(qū)間端點取到()答案(1)&

46、#215;(2)(3)×(4)×(5)2下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，)上為增函數(shù)的是()Ayln(x2) ByCy Dyx解析函數(shù)yln (x2)是由函數(shù)yln u和ux2復合而成，外函數(shù)yln u和內函數(shù)ux2在原函數(shù)定義域(2，)上都為增函數(shù)，故該復合函數(shù)在(0，)上也為增函數(shù)故選A.答案A3函數(shù)f(x)log3(2x2x)的單調遞減區(qū)間是()A(，1) B(1，)C(，) D(，0)解析因為函數(shù)f(x)的定義域是(，0)(，)，令g(x)2x2x，由復合函數(shù)的單調性可知，原函數(shù)的遞減區(qū)間即為函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間，也即為(，0)故選D.答案D4如果二次函數(shù)f(x)3x22

47、(a1)xb在區(qū)間(，1)上是減函數(shù)，則()Aa2 Ba2 Ca2 Da2解析由1，得a2.故選C.答案C5已知函數(shù)f(x)2|xa|(a為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是_解析函數(shù)f(x)2|xa|可以看作函數(shù)y2u與函數(shù)u|xa|復合而成，外層函數(shù)y2u為增函數(shù)，內層函數(shù)u|xa|有單增區(qū)間a，)若原函數(shù)在1，)上是增函數(shù)，則1，)是a，)的子區(qū)間，即a1，故a的取值范圍是(，1答案(，1考點一函數(shù)單調性的判斷與證明1定義法用定義證明函數(shù)單調性的一般步驟(1)取值：即設x1，x2是該區(qū)間內的任意兩個值，且x1<x2.(2)作差：即f(x2)f(x1)(或f(

48、x1)f(x2)，并通過通分、配方、因式分解等方法，向有利于判斷差的符號的方向變形(3)定號：根據給定的區(qū)間和x2x1的符號，確定差f(x2)f(x1)(或f(x1)f(x2)的符號當符號不確定，可以進行分類討論(4)判斷：根據定義得出結論2導數(shù)法f (x)0(xA)f(x)在A上為增函數(shù)，(使f (x)0的x僅是個別值)；f (x)0(xA)f(x)在A上為減函數(shù)，(使f (x)0的x僅是個別值)應熟記常用函數(shù)的單調性，為函數(shù)的應用提供依據判斷函數(shù)f(x)x(a>0)在(0，)上的單調性，并給出證明解題指導切入點：定義法或導數(shù)法；關鍵點：定義法中對f(x1)f(x2)進行恰當?shù)淖冃?，導?shù)法中求函數(shù)的導數(shù)應準確無誤解解法一：任意取x1>x2>0，則f(x1)f(x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2).當x1>x2>0時，x1x2>0，1<0，有f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故函數(shù)f(x)x(a>0)在(0，)上為減函數(shù)；當x1>x2時，x1x2>0，