“平面向量”教材分析與教學(xué)建議

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上“平面向量”教材分析與教學(xué)建議一、內(nèi)容與要求 (一)本章內(nèi)容 向量這一概念是由物理學(xué)和工程技術(shù)抽象出來的，反過來，向量的理論和方法，又成為解決物理學(xué)和工程技術(shù)的重要工具，向量之所以有用，關(guān)鍵是它具有一套良好的運(yùn)算性質(zhì)，通過向量可把空間圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為向量的運(yùn)算，這樣通過向量就能較容易地研究空間的直線和平面的各種有關(guān)問題。 向量不同于數(shù)量，它是一種新的量，關(guān)于數(shù)量的代數(shù)運(yùn)算在向量范圍內(nèi)不都適用。因此，本章在介紹向量概念時(shí)，重點(diǎn)說明了向量與數(shù)量的區(qū)別，然后又重新給出了向量代數(shù)的部分運(yùn)算法則，包括加法、減法、實(shí)數(shù)與向量的積、向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則等。之后，又將向量與坐標(biāo)聯(lián)系

2、起來，把關(guān)于向量的代數(shù)運(yùn)算與數(shù)量(向量的坐標(biāo))的代數(shù)運(yùn)算聯(lián)系起來，這就為研究和解決有關(guān)幾何問題又提供了兩種方法向量法和坐標(biāo)法。 本章共分兩大節(jié)。第一大節(jié)是“向量及其運(yùn)算”，內(nèi)容包括向量的概念、向量的加法與減法、實(shí)數(shù)與向量的積、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算；線段的定比分點(diǎn)、平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、平移等。 第二大節(jié)是“解斜三角形”。這一大節(jié)可以看成是向量知識的應(yīng)用，內(nèi)容包括正弦定理、余弦定理，解斜三角形應(yīng)用舉例和實(shí)習(xí)作業(yè)等。 正弦定理、余弦定理是關(guān)于任意三角形邊角之間關(guān)系的兩個(gè)重要定理，教科書通過向量的數(shù)量積把三角形的邊與角聯(lián)系起來，推導(dǎo)出了這兩個(gè)定理，并運(yùn)用這兩個(gè)定理初步解決

3、了測量、工業(yè)、幾何等方面的實(shí)際問題，特別在這一大節(jié)中，還安排了一個(gè)實(shí)習(xí)作業(yè)，從而使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生由實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題并加以解決的能力。 為擴(kuò)大學(xué)生的知識面，本章中還安排了兩個(gè)閱讀材料，即“向量的三種類型”和“人們早期怎樣測量地球的半徑”。 本章重點(diǎn)是向量的概念，向量的幾何表示和坐標(biāo)表示，向量的線性運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積，線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，平移公式，解斜三角形等。本章的難點(diǎn)是向量的概念，向量運(yùn)算法則的理解和運(yùn)用等。 (二)本章教學(xué)要求 1.理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念。 2.掌握向量的加法與減法。 3.

4、掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件。 4.了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。 5.掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件。 6.掌握線段的定比分點(diǎn)公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用，掌握平移公式。 7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決斜三角形的計(jì)算問題，通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力。 二、新教材的特點(diǎn)在本章的體現(xiàn) (一)注意知識的系統(tǒng)性與學(xué)生的可接受性相結(jié)合 我們知道，數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，知識

5、的編排要符合邏輯順序的要求，即后面的概念要用前面的概念來定義，后面的命題要用前面的命題來證明。不允許有循環(huán)定義，也不能有循環(huán)證明，只有這樣的邏輯嚴(yán)格性才能保證結(jié)論的正確性和確定性。 1以學(xué)生已有的物理知識和幾何內(nèi)容為背景，直觀介紹向量的內(nèi)容。例如，在引言中用小船的位移引入向量的概念，使學(xué)生明確向量既有大小，又有方向，又如，一開始就介紹向量的幾何表示-有向線段，并將幾何表示貫穿向量運(yùn)算的始終。再如，利用物理中功的概念引入數(shù)量積。向量的數(shù)量積體現(xiàn)了向量的長度和三角函數(shù)之間的一種關(guān)系，特別用向量的數(shù)量積能有效地解決線段垂直的問題。把向量的數(shù)量積應(yīng)用到三角形中，還能解決三角形邊角之間的有關(guān)問題。 2注

6、意向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的對比。學(xué)習(xí)向量運(yùn)算與學(xué)習(xí)數(shù)的運(yùn)算有類似之處：從學(xué)習(xí)順序上看，都是先定義運(yùn)算，再研究運(yùn)算性質(zhì)；從學(xué)習(xí)內(nèi)容來看，向量運(yùn)算具有與數(shù)的運(yùn)算類似的良好性質(zhì)。教科書既注意了向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的聯(lián)系，例如向量的減法類似于數(shù)的減法(定義向量與向量的差為向量與向量的相反向量的和)，又指出向量運(yùn)算與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別，例如向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律。通過對比，力圖使學(xué)生便于理解新知識，又不至于與舊知識混淆。 3教科書通過建立直角坐標(biāo)系，給出了向量的另一種表示式-坐標(biāo)表示式，這樣就使得向量與它的坐標(biāo)建立起了一一對應(yīng)的關(guān)系，然后給出了向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)運(yùn)算，這就為用“數(shù)”的運(yùn)算處理

7、“形”的問題搭起了橋梁, 突出了數(shù)形結(jié)合的思想。教科書在向量坐標(biāo)運(yùn)算的基礎(chǔ)上，還導(dǎo)出了線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段的中點(diǎn)公式。4.對向量的應(yīng)用要求適當(dāng)。本書中除在正文中利用向量推導(dǎo)定比分點(diǎn)公式、平移公式，證明正弦定理、余弦定理以外，不要求學(xué)生獨(dú)立地用向量證明平面幾何題。5將解斜三角形的內(nèi)容安排在平面向量一章中向量及其運(yùn)算的后面，是因?yàn)楸緝詴?，為使學(xué)生了解向量的一些應(yīng)用，正、余弦定理是用向量證明的。這樣安排比較緊湊。6將平面向量安排在高一第二學(xué)期末，便于向量的內(nèi)容在高二年級教科書有關(guān)章節(jié)中加以運(yùn)用。如:平面向量的概念與運(yùn)算很容易推廣到三維空間，乃至n維空間。新大綱安排了利用空間向量作為工具處理

8、傳統(tǒng)的立體幾何的改革方案。學(xué)好平面向量是這項(xiàng)改革的必備條件。(二)注意符合學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律 我們知道，學(xué)生的學(xué)習(xí)，是在教師指導(dǎo)下的一種特殊的認(rèn)識過程，這一認(rèn)識過程也必須遵循從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識又從理性認(rèn)識回到實(shí)踐的過程，這個(gè)過程反映在教學(xué)中，那就是要從實(shí)際事例的分析中，或者對已有知識的分析、推理中，抽象出概念、推導(dǎo)出原理和方法，而后舉例說明這些概念、原理和方法的應(yīng)用。 基于這一思想，教科書內(nèi)容的編排，特別注意知識的發(fā)生過程，對概念、法則、公式、定理等的處理，不是首先呈現(xiàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果，而是先舉出學(xué)生熟悉的實(shí)物、事例、知識，或由學(xué)生動(dòng)手操作，并通過觀察、比較、分析、綜合、抽象、概括，得出結(jié)論。 對

9、這一章中概念的處理，教科書是根據(jù)概念在教科書中的地位、作用及特點(diǎn)，對不同的概念采用不同的處理方式。一些概念是通過例舉反映概念實(shí)質(zhì)的具體的對象，并充分發(fā)揮幾何圖形的直觀的特點(diǎn)，使學(xué)生在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上建立概念，并理解概念的實(shí)質(zhì)，像向量的概念等；一些概念則不僅給出嚴(yán)格的定義，還要分析滿足定義的充要條件，要求學(xué)生理解、記憶，并通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)，讓學(xué)生會(huì)用，像向量數(shù)量積的概念等。 關(guān)于向量運(yùn)算，不像高等數(shù)學(xué)教材那樣，從向量公理的角度引入，而是借助于幾何直觀，并通過與數(shù)的對比引入，這樣便于學(xué)生接受。例如，關(guān)于向量的減法，是在相反向量的基礎(chǔ)上，通過向量的加法定義向量的減法.這一章中的一些例題，教科書不是先給

10、出解法，而是先進(jìn)行分析，探索出解題思路，再給出解法。解題后，有的還總結(jié)出解決該題時(shí)運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法，有的還讓學(xué)生進(jìn)一步考慮相關(guān)的問題。 (三)注意培養(yǎng)學(xué)生的思維能力 這一章教科書特別注意對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，對知識的處理，都盡量設(shè)計(jì)成讓學(xué)生自己觀察、比較、猜想、分析、歸納、類比、想象、抽象、概括的形式，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，例如，平面向量基本定理的引入，先讓學(xué)生思考教科書圖5-15中的向量a與向理e1、e2之間的關(guān)系，聯(lián)想到實(shí)數(shù)與向量的積這一概念，再通過作圖得出最后給出了平面向量基本定理。對于解斜三角形，教科書是這樣引入的：“在初中，我們已會(huì)解直角三角形，就是說，已會(huì)根據(jù)直角三角形中

11、的邊與角求出未知的邊與角。那么，如何來解斜三角形呢?也就是如何根據(jù)斜三角形中已知的邊與角求出未知的邊與角呢?”通過設(shè)問，引起學(xué)生思考。 (四)注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透 在這一章中，從引言開始，就注意結(jié)合具體內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想方法。例如，從帆船在大海中航行時(shí)的位移，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。通過介紹相等向量及有關(guān)作圖的訓(xùn)練，滲透平移變換的思想。 由于向量具有兩個(gè)明顯特點(diǎn)“形”的特點(diǎn)和“數(shù)”的特點(diǎn)，這就使得向量成了數(shù)形結(jié)合的橋梁，向量的坐標(biāo)實(shí)際是把點(diǎn)與數(shù)聯(lián)系了起來，進(jìn)而可把曲線與方程聯(lián)系起來，這樣就可用代數(shù)方程研究幾何問題，同時(shí)也可以用幾何的觀點(diǎn)處理某些代數(shù)問題，因此這部分知識還滲透了數(shù)形結(jié)合的解析幾何思想

12、。 (五) 加強(qiáng)了相關(guān)學(xué)科的聯(lián)系新高中數(shù)學(xué)課程為了有利于精簡教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效益，有利于加強(qiáng)數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的相互聯(lián)系與知識的綜合運(yùn)用，將代數(shù)、幾何等內(nèi)容綜合編排。向量的引入，使高中數(shù)學(xué)各部分內(nèi)容的聯(lián)系加強(qiáng)了。平面向量一章中,為體現(xiàn)這一特點(diǎn),一方面，利用相關(guān)學(xué)科的材料引出有關(guān)的數(shù)學(xué)概念和規(guī)律；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生把數(shù)學(xué)知識應(yīng)用到相關(guān)學(xué)科中。 (六)突出知識的應(yīng)用 (1)加強(qiáng)向量在數(shù)學(xué)知識中的應(yīng)用 平面向量由于具有幾何形式和代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為中學(xué)數(shù)學(xué)知識的一個(gè)交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系多項(xiàng)內(nèi)容的媒介,在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中有廣泛的應(yīng)用。這一章教科書注意突出向量的工具性，很多公式都用向量來推導(dǎo)，如

13、線段的定比分點(diǎn)公式、平面兩點(diǎn)間距離公式、平移公式及正弦定理、余弦定理等。 (2)注意聯(lián)系實(shí)際 我們在這一章中，把聯(lián)系實(shí)際分成三個(gè)層次： 第一層次，在知識的引入上聯(lián)系實(shí)際。例如，向量的概念從帆船航行的位移引入，平面向量的數(shù)量積從力作的功引入。 第二層次，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際生活和生產(chǎn)中的問題。例如，在向量的加法之后，安排了求小船實(shí)際航行的速度的例題。在解斜三角形之后，專門安排了“解斜三角形應(yīng)用舉例”一節(jié)等。 第三層次，安排實(shí)習(xí)作業(yè)。安排實(shí)習(xí)作業(yè)的目的是進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)知識，提高學(xué)生分析問題解決問題的能力、動(dòng)手操作的能力以及用數(shù)學(xué)語言表達(dá)實(shí)習(xí)過程和實(shí)習(xí)結(jié)果的能力，從而增強(qiáng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的意識。

14、 三、教學(xué)中應(yīng)注意的問題 (一)要重視基礎(chǔ)知識的教學(xué)、基本技能的訓(xùn)練和能力的培養(yǎng) 由于這一章是為以后學(xué)習(xí)解析幾何和立體幾何作準(zhǔn)備的，所以教學(xué)時(shí)，一定要讓學(xué)生學(xué)好這一章的知識。而對于基本技能和能力，要遵循學(xué)生的認(rèn)識規(guī)律，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，選擇合適的教學(xué)方法，有目的、有計(jì)劃、分階段地進(jìn)行訓(xùn)練和培養(yǎng)。要隨著學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解的不斷加深，逐步提高對基本技能和能力的要求，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立獲取新知識和正確運(yùn)用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的能力。 (二)要把握好教學(xué)要求 由于這一章是新內(nèi)容，因此教學(xué)時(shí)，一定要把握好教學(xué)要求，按大綱的規(guī)定，我們把這一章知識點(diǎn)歸類如下: 應(yīng)了解的內(nèi)容：共線向量的概念，平面向量的基本定理，用平

15、面向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。 應(yīng)理解的內(nèi)容：向量的概念，兩個(gè)向量共線的充要條件，平面向量坐標(biāo)的概念。 應(yīng)掌握的內(nèi)容：向量的幾何表示，向量的加法與減法，實(shí)數(shù)與向量的積，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量的數(shù)量積及幾何意義，向量垂直的條件，平移公式。 會(huì)運(yùn)用的內(nèi)容：線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，正弦定理，余弦定理，用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問題，及通過解三角形應(yīng)用的教學(xué)，繼續(xù)提高學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。 教學(xué)時(shí)，一定要突出重點(diǎn)、抓住關(guān)鍵、解決難點(diǎn)，以保證這一章的教學(xué)順利。 （三）突出概念、定理的抽象概括過程向量的概念是從物理中位移的概念抽象出來，而成為平面內(nèi)的一自由向量，雖然是抽象的

16、形式符號，依然可以以位移為背景圖象，理解上并不困難。因此教學(xué)時(shí)要注意把握概念的物理意義，理解有關(guān)概念的實(shí)際背景，有助于學(xué)生認(rèn)同新概念的合理性。在概念引入時(shí)，如果回避知識的產(chǎn)生過程，生搬概念從而迅速進(jìn)入解題階段，忽略對問題的感悟進(jìn)而導(dǎo)致對問題的一知半解。例如在向量的加法教學(xué)中，如果一上來就按照課本給出加法的三角形法則，就會(huì)造成學(xué)生的生搬硬套。我的認(rèn)為是直接提出問題：應(yīng)該怎樣定義兩個(gè)向量的加法？你在物理中能找到那些依據(jù)？數(shù)學(xué)與物理的結(jié)合頓時(shí)使同學(xué)們產(chǎn)生一種新鮮感與一股探求的欲望，從而進(jìn)入一種緊張的思維狀態(tài)，在大腦中積極主動(dòng)的搜尋能抽象出兩個(gè)向量加法的實(shí)際背景。經(jīng)過討論很快就達(dá)成共識，有兩種物理原型

17、：位移的求和與力的求和。這樣學(xué)生不僅能正確的表述出怎樣求兩向量的和，而且發(fā)現(xiàn)這兩種方法的一致性。又如在引入數(shù)量積的定義后，我認(rèn)為不要把教材中的五條性質(zhì)逐一講述出來，雖然這樣學(xué)生也能理解的很好，我總覺的新的內(nèi)容新的方法如果你告訴他怎么做，尚不如告訴他為什么這樣做，更不如引導(dǎo)他怎樣去想。而適時(shí)地提出問題：從這個(gè)定義中能得到什么信息從而更好的理解這個(gè)公式呢？引導(dǎo)學(xué)生站在哲學(xué)的高度，運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)，一般與特殊的處理方法去探索發(fā)現(xiàn)，從而促使學(xué)生不僅在探索中證明了諸多性質(zhì)，更重要的是讓學(xué)生感悟到了應(yīng)該如何去發(fā)現(xiàn)。（四）突出數(shù)形結(jié)合的思想在新教材中，向量的運(yùn)算法則以及運(yùn)算律的給出容易使學(xué)生產(chǎn)生向量是屬于代數(shù)

18、內(nèi)容，但向量實(shí)際上又是屬于幾何的范疇的，雖然有時(shí)也會(huì)脫離圖形而進(jìn)行形式運(yùn)算，但所研究的內(nèi)容大都與圖形有關(guān)，所以向量是數(shù)形結(jié)合的一個(gè)典范。學(xué)好向量這一章的內(nèi)容，能進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對代數(shù)幾何關(guān)系的理解，運(yùn)用代數(shù)幾何化，幾何代數(shù)化的方法從多角度思維，對于培養(yǎng)學(xué)生正確的數(shù)學(xué)觀有著重要的作用。例如證明，既可以從數(shù)量積的角度算出，進(jìn)而得到；亦可以從矩形的角度證明該命題。而證法二有利有學(xué)生的思維從直觀形象向抽象過渡，更好的理解該命題。再如對任意向量都有，從三角形三邊關(guān)系上更能看出問題的實(shí)質(zhì)。因此教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)有意識的引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度進(jìn)行思考，避免單一的思維渠道。（五）突出新舊思維矛盾向量運(yùn)算是建立在新

19、的運(yùn)算法則上，向量的運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算不盡相同，在教學(xué)中要注意新舊知識之間的矛盾沖突，及時(shí)讓學(xué)生加以辨別、總結(jié)，利于正確理解向量的實(shí)質(zhì)。例如向量的加法與向量模的加法的區(qū)別，向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)積的區(qū)別，在坐標(biāo)表示中兩個(gè)向量共線與垂直的充要條件的區(qū)別。數(shù)量積的運(yùn)算律這一節(jié)可以這樣安排，作為一種乘法運(yùn)算，可以和實(shí)數(shù)的乘法運(yùn)算做比較，讓學(xué)生回憶實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律有哪些，在向量的乘法運(yùn)算中運(yùn)算律是否也成立？在試圖證明乘法的結(jié)合律時(shí)，大多同學(xué)可能不置可否的認(rèn)為當(dāng)然對，個(gè)別同學(xué)卻認(rèn)為不一定，并且根據(jù)邏輯推理判定等號兩邊的向量不一定共線，從而由弱勢群體最終戰(zhàn)勝了優(yōu)勢群體，靠的是理性而不是無端的猜測。整堂課都是在一

20、種濃郁的研究氛圍中進(jìn)行的，真正做到了使學(xué)生從幕后走到舞臺(tái)前，在動(dòng)態(tài)思維的過程中成為學(xué)習(xí)的主體。（六）突出向量的應(yīng)用意識學(xué)以至用，新教材之所以增加向量的內(nèi)容，不僅是因?yàn)榻滩膬?nèi)容的陳舊而增加新的內(nèi)容以適用形式的需要，更是因?yàn)橄蛄渴墙鉀Q問題的有效的思想方法，它為教材增加了新鮮的血液，使得教材體系更加富有活力，更有利于學(xué)生思維的發(fā)展。由于向量的模就是線段的長度，因此用向量可以解決很多的幾何問題，有時(shí)會(huì)起到意想不到的神奇效果，充分體現(xiàn)了向量解決問題的優(yōu)越性。例如利用向量的?？梢酝茖?dǎo)出兩點(diǎn)之間的距離公式，兩直線平行或垂直的證明可以轉(zhuǎn)化為向量的共線及數(shù)量積為零。在三角函數(shù)這一章里我們證明了兩角差的余弦公式，過程比較復(fù)雜，如果利用數(shù)量積的相關(guān)內(nèi)容來解決卻是那樣的簡潔明了。向量的應(yīng)用是一種新的思想方法,由