第4章 恒定電流的磁場教材

1、第四章 恒定電流的磁場 第四章 恒定電流的磁場 磁場恒定磁場（Magnetostatics)實驗表明：運動電荷或電流電流恒定不隨時間變化對運動電荷或電流有力的作用第四章 恒定電流的磁場 4.1 真空中恒定磁場的基本方程真空中恒定磁場的基本方程*4.2 磁介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程磁介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程*4.3 恒定磁場的邊界條件恒定磁場的邊界條件*4.4 自感和互感自感和互感* 第四章 恒定電流的磁場 4.1 真空中恒定磁場的基本方程真空中恒定磁場的基本方程 主要內(nèi)容：主要內(nèi)容：l 磁磁 通通(量量)密度密度l 磁通密度的散度和磁通連續(xù)性原理磁通密度的散度和磁通連續(xù)性原理l 磁場強度和安

2、培環(huán)路定律磁場強度和安培環(huán)路定律第四章 恒定電流的磁場 4.1.1 磁磁 通通(量量)密度密度 圖圖 4-1 兩電流回路間的相互作用力兩電流回路間的相互作用力R1dl2dl1r2r 設(shè)真空中載有兩個載有設(shè)真空中載有兩個載有線電流線電流 回路回路C1、C2,電流電流I1dl1和和I2dl2分別為分別為C1、C2回路上的電流元，如圖示?；芈飞系碾娏髟?，如圖示。則電流回路則電流回路C1對對C2 作用力作用力F12為為第四章 恒定電流的磁場 1820年, 法國物理學家安培從實驗中總結(jié)出電流回路之間的相互作用力的規(guī)律。) 114()(42112201221 RaldIldIFRCC安培力定律(Amper

3、es force Law )12rrRRRaR第四章 恒定電流的磁場 故定義： 1211014CRRaldIB31102212124RRldIuldIFCC 用場的觀點解釋安培力定律：電流回路之間的相互作用力是通過磁場來傳遞的 。 故力 應(yīng)理解為第一個回路C1在空間產(chǎn)生磁場，第二個回路C2在這一磁場中受力，即12F線電流 其值只取決于電流回路C1的電流分布及源點到場點的距離矢量R，而與電流回路C2無關(guān)。-磁通密度第四章 恒定電流的磁場 )214(4)(20CRRalIdrB畢奧沙伐定律（ Biot - Savart Law ）表示載有恒定電流I的導線在場點(x,y,z)或r處所產(chǎn)生的磁通密度。

4、圖圖4-2 Q點電流元在點電流元在P點產(chǎn)生的場點產(chǎn)生的場rrRdlI0rr),(zyxQ),(zyxP 規(guī)定： r表示源點，r表示場點。如圖4-2示，故有右手螺旋法則。遵循和注：RaBld,第四章 恒定電流的磁場 對體分布的電流)314() (4)(30dVRRrJrBV)414() (4)(30dSRRrJrBSS對面分布的電流 磁通密度B的單位 T（特斯拉，Tesla),或（wb/m2）。工程上，用高斯(Gaussion),1G=10-4T。第四章 恒定電流的磁場 【例4-1】一根長為2l的直導線沿z軸放置，通過z方向的電流為I，求其在周圍產(chǎn)生的磁通密度。 解：如圖，由于導線圓柱對稱，采用

5、圓柱坐標系，則源點的位置坐標為(0,0,z),設(shè)場點的位置坐標為P(,z)。則電流元 到場點的距離矢量zazzazrR)(zy0Idzzxll),(zPzaarR12圖4-3 載流導體產(chǎn)生的磁場zaIdzlId第四章 恒定電流的磁場 故P點的磁通密度為302044RdzaIRaaIdzCRzCBddzzzR2csccot,csc由圖4-3 的幾何關(guān)系得)cos(cos4sin4210021IadaIB故如果導線無限長，則 ，因此有21, 040IaB滿足右手螺旋第四章 恒定電流的磁場 4.1.2 磁通密度的散度及磁通連續(xù)性原理磁通密度的散度及磁通連續(xù)性原理 1.磁通密度的散度)514() (4

6、)1() (4)314() (4)(0030dVRrJdVRrJdVRRrJrBVVV)614(0 B2)1(RaRR對場點作用0)()(rJAAA恒定電流產(chǎn)生的場是無散場或連續(xù)的場。0)(A-B的散度 恒等于零第四章 恒定電流的磁場 磁矢位：)714(AB0)(A0 B 一個散度為零的矢量可用另一個矢量的旋度來表示。恒定磁場中，規(guī)定 - -庫侖規(guī)范0 A 當矢量場的散度和旋度同時確定時，矢量場才唯一確定。)814() (40dVRrJAV-磁矢位)914() (40dSRrJASS)1014(40CRldIA解題技巧：磁矢位的方向與電流方向一致，故當電流分布 已知，先求磁矢位，再求磁通密度。

7、第四章 恒定電流的磁場 【例4-2】求半徑為a的微小電流環(huán)的磁矢位和磁通密度。 解：如圖4-4，因為圓環(huán)及其磁場具有圓對稱性，采用球坐標系，將待求場點P放在yz平面，不失普遍性。 電流環(huán)在P點產(chǎn)生的磁矢位為xyzlId0r)2,(rPrR圖4-4 電流圓環(huán)產(chǎn)生的磁場VRdlIA40其中，)cossin(daaaIadaIlIdyx22sinsin2raarrrR第四章 恒定電流的磁場 球坐標系直角坐標系sin4sin4)cossin)(sinsin1 IaarIaadaararIaAxyx如果ra，則有)sinsin1 (11rarR 若令小電流環(huán)的面積為 的方向與電

8、流的方向呈右手螺旋關(guān)系。故小電流環(huán)的磁矢位為SSIpISpaSmm,2)1114(4sin420220raprIaaArm第四章 恒定電流的磁場 磁偶極子： 比較式(4-1-12)和靜電場中電偶極子的電場表達式可知，二者之間具有對偶性。由此可知，一個微小的電流環(huán)路可以等效為一個磁偶極子。 為磁偶極矩。)1214()sincos2(430aarpABrm小電流環(huán)的磁通密度為SIpm 實驗證實：一根微小的永久磁鐵周圍的磁場分布與微小電流環(huán)周圍的磁場分布是相同的。 即二者具有等效關(guān)系-對此如何解釋呢？永久的磁鐵兩端分別存在正磁荷和負磁荷，這種虛構(gòu)的磁荷帶電量為qm，相隔距離為d便形成一個磁偶極子，其

9、磁矩為pm=qmd,從而也一定等效于電流回路的磁矩pm=IS S。第四章 恒定電流的磁場 如果S為閉合曲面， 則 SSdB)1414(0SVdVBSdB 穿過任意閉合曲面的磁通量等于離開此閉合面的磁通量，即磁通線永遠是連續(xù)的。磁通連續(xù)性原理(或磁場中的高斯定律） 積分式2.磁通連續(xù)性原理通過任一曲面S上的磁通量(Magnetic Flux)為：)1314(SdBS散度定理第四章 恒定電流的磁場 定義：自由空間的磁場強度(Magnetic Intensity)H為 CIldH)1714(安培環(huán)路定律： 磁場強度沿任一閉合路徑的線積分等于閉合路徑所包圍的電流。4.1.3 磁場強度和安培環(huán)路定律磁場

10、強度和安培環(huán)路定律）（或151400HBBHSSSdJSdH)()1814(JH斯托克斯定理恒定電流產(chǎn)生的磁場是有旋的。第四章 恒定電流的磁場 小結(jié)：小結(jié)：1.恒定磁場的基本方程：SSdB0IldHC0 BJH 積分式微分式磁通連續(xù)性原理安培環(huán)路定律2.求磁通密度B有三種方法： 1）根據(jù)定義式； 2）先求磁矢位，再求磁通密度； 3) 由安培定律求解。微分式從磁場求電流分布；積分式從對稱分布的電流求出磁場。 第四章 恒定電流的磁場 【例例4-3】一根的無限長直導線載有電流I，試用安培定律求空間任一點的磁感應(yīng)強度與磁通密度。 解解:由對稱性，該電流產(chǎn)生的磁力線必然是同心圓，如圖4-6。沿每個圓的磁

11、場強度值是相同的，因此對任意半徑，有 IHdHldHC220因此，空間任一點的磁場強度為 磁通密度為IH圖4-6 載流長直導線的磁場aIH2aIB20第四章 恒定電流的磁場 【例例4-4】無限長同軸電纜內(nèi)導體半徑為a，外導體內(nèi)外半徑分別為b和c。電纜中有恒定電流I流過(內(nèi)導體上電流為I，外導體上電流為反方向的I)，求電纜內(nèi)外空間的磁場。的直導線，載有電流I，計算導體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。設(shè)內(nèi)外導體間為空氣。 解解:如圖4-7，同軸電纜結(jié)構(gòu)對稱，磁場必然對稱。即在半徑為的圓柱上磁場只有方向且大小恒定，可用安培環(huán)路定律來計算。因此對任意半徑，有 abc圖4-7 同軸電纜的磁場IldHC第四章 恒定電

12、流的磁場 IHdHldHC220在 a c的區(qū)域內(nèi)0220IIHdHldHC所以0, 0HH即即同軸電纜外的磁場為零。第四章 恒定電流的磁場 【例例1】半徑為a的無限長直導線，載有電流I，計算導體內(nèi)、外的磁感應(yīng)強度。 解解:由對稱性，該電流產(chǎn)生的磁力線必然是同心圓，如圖4-6。沿每個圓的磁場強度值是相同的，因此對任意半徑，有 SCSdJHdHldH220在導線內(nèi)電流均勻分布， 導線外電流為零，則 02aIaJz a a IH圖4-8 載流長直導線的磁場第四章 恒定電流的磁場 當ra時，包圍電流為I2/a2，所以22222aIHaIH當ra時，積分回路包圍的電流為I，則有 故磁通密度為 rIaa

13、IaB22020 a a 22IHIH第四章 恒定電流的磁場 4.1.4 矢矢 量量 泊松方程泊松方程ABAB000 A庫侖規(guī)范JA02磁矢位的泊松方程02 A拉普拉斯方程 在直角坐標系下， 可以展開為（了解）zz2yy2xx2JA;JA;JAJA2第四章 恒定電流的磁場 VzzVyyVxxdVRJAdVRJAdVRJA4,4,4000與靜電場中泊松方程對比，可寫出磁矢位的解：寫成矢量形式：VdVRJA40若磁場由面電流產(chǎn)生時，SSdSRJA40線電流產(chǎn)生的磁矢位為 lRlIdA40第四章 恒定電流的磁場 磁通的計算也可以通過磁矢位表示： )453()(SCSldASdASdB注：每個電流元產(chǎn)

14、生的磁矢位 與此元電流 ， ， 具有相同的方向。AVJdSdJslId 例例 4 - 5 （略）第四章 恒定電流的磁場 螺線管的磁通密度：最大在螺線管線的中心。 抗磁體(Diamagnetic)：感受輕微推斥力的物質(zhì) 順磁體(Paramagnet)：受到輕微力量拉向中心的物質(zhì)- 鐵磁體(Ferromagnetic )：被磁力吸進去的物質(zhì) -4.2 磁磁 介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程非磁性物質(zhì)-例所有的有機化合物和大部分無機化合物例金屬、鋁、銅等。例鐵、磁鐵礦等F鐵=5000F順第四章 恒定電流的磁場 4.2 磁磁 介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程介質(zhì)的磁化、介質(zhì)中的場方程 1

15、. 磁偶極子：分子中的電子以恒速圍繞原子核做圓周運動形成電流，它相當于一個微小電流環(huán)，等效為磁偶極子。 2. 磁矩： I分子電流，電流方向與 方向成 右手螺旋關(guān)系SSIpam圖 4-10 分子磁偶極矩 SmpaI第四章 恒定電流的磁場 3. 物質(zhì)極化過程磁偶極子未加磁場時,各分子磁矩的取向隨機而互相抵消,對外不成磁性。BBsbJ圖4-11 磁偶極子的排列外加磁場作用下，各分子磁矩沿磁場方向排列，加強了加強了原來的磁場原來的磁場。媒質(zhì)中磁偶極子的有序排列，相當于沿媒質(zhì)表面流動的電流(束縛電流或磁化電流）。它在媒質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生一個附加場。第四章 恒定電流的磁場 )224(lim0VpMmV4. 磁化強

16、度定義： 即介質(zhì)內(nèi)單位體積內(nèi)的分子磁矩。它是一個宏觀物理量，定量描述介質(zhì)磁化程度的強弱。 和極化電流計算公式的推導過程相似，由磁矢位的計算公式可以推導處磁化電流表達式，為) 524()424(nMJMJSbb等效體電流密度等效面電流密度其中， 是磁化介質(zhì)表面的外法向。n第四章 恒定電流的磁場 磁化電流具有與傳導電流相同的磁效應(yīng)，故有磁介質(zhì)存在時，場中任一點的 B 是自由電流和磁化電流共同作用在真空中產(chǎn)生的磁場。即)(00MHBMHJJBb對于線性各向同性的磁介質(zhì)， 與 之間的關(guān)系為MH)824(HMmm是一個無量綱常數(shù)，稱為磁化率。第四章 恒定電流的磁場 )924()1 ()(000HHHMH

17、Brmmr1是介質(zhì)的相對磁導率，是一個無量綱數(shù)；r0是介質(zhì)的磁導率，單位和真空磁導率相同，為H/m(亨/米)。本構(gòu)關(guān)系，表示磁化介質(zhì)的磁化特性。第四章 恒定電流的磁場 總結(jié)：總結(jié)： 磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程磁介質(zhì)中恒定磁場基本方程 HBJHB（有旋）（無源）0SCSISdJldHSdB0JA2微分式積分式磁矢位微分方程恒定磁場是有旋無源場,電流是激發(fā)磁場的渦旋源第四章 恒定電流的磁場 例例1 半徑為a、高為L的磁化介質(zhì)柱(如圖 所示)，磁化強度為M0(M0為常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流 和磁化面電流 。 bJSbJ 解解：取圓柱坐標系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合， 磁介質(zhì)的下底面位

18、于z=0處，上底面位于z=L處。此時， ，由式(3 -52)得磁化電流為 zeMM00)(0zbeMMJ第四章 恒定電流的磁場 在界面z=0上，0)(0zzSbeeMnMJ在界面z=L上， 00zzSbeeMnMJ在界面r=a上， eMeeMnMJrzSb00zenzen ren 第四章 恒定電流的磁場 例例2 同軸線的內(nèi)導體半徑為a，外導體的內(nèi)半徑為b，外半徑為c，如圖 所示。設(shè)內(nèi)、外導體分別流過反向的電流I， 兩導體之間介質(zhì)的磁導率為，求各區(qū)域的 、 、 。 同軸線示意圖 HBM 注：以后如無特別聲明，對良導體(不包括鐵等磁性物質(zhì))一般取其磁導率為0。 解：解： 因同軸線為無限長，則其磁場

19、沿軸線無變化， 該磁場只有分量，且其大小只是r的函數(shù)。第四章 恒定電流的磁場 分別在各區(qū)域使用介質(zhì)中的安培環(huán)路定律 ，求出各區(qū)的磁場強度 ， 然后由 求出 和 。 當ra時， 電流I在導體內(nèi)均勻分布，且流向+z方向。由安培環(huán)路定律得 22 aIreH)(ar CSSdJldH222raIrH此區(qū)域的磁導率為0，可得 0,20200HBMaIreHB(r a) (r a) HBMH第四章 恒定電流的磁場 當arb時，與積分回路交鏈的電流為I，該區(qū)磁導率為，可得 ,2,2rIeBrIeHrIeM200(arb) 當bc時，此區(qū)域的 、 、 為零。 HBM第四章 恒定電流的磁場 4.3 恒定磁場的邊

20、界條件恒定磁場的邊界條件 在不同磁介質(zhì)的分界面上，磁場是不連續(xù)的。 和 經(jīng)過界面時會發(fā)生突變。場矢量在不同磁介質(zhì)的界面上的變化規(guī)律叫做邊界條件。 本節(jié)由恒定磁場的基本方程的積分式導出恒定磁場的邊界條件。求解過程和電場邊界條件的解法相似。 BH第四章 恒定電流的磁場 圖4-12 Bn的邊界條件 1.磁通密度 法向分量BHSS由SSdB0假設(shè)圓柱體的高度h0 ，則得nnBB12寫成矢量形式為 0)(12BBn 上式說明磁通密度的法向分量在磁通密度的法向分量在兩種介質(zhì)的分界面上是連續(xù)的兩種介質(zhì)的分界面上是連續(xù)的。標量式第四章 恒定電流的磁場 圖 4-12 Ht的邊界條件 2.磁場強度 切向分量H由介

21、質(zhì)中積分形式的安培環(huán)路定律 得 CSSdJldHSJHHn)(12 上式說明：磁場強磁場強度的切向分量在界面兩度的切向分量在界面兩側(cè)不連續(xù)。除非分界面?zhèn)炔贿B續(xù)。除非分界面上的面電流密度為零。上的面電流密度為零。0SJ若 ，則SJ0)(12HHn或ttHH12第四章 恒定電流的磁場 【例4-6】設(shè)x0的半空間磁導率為0,現(xiàn)有一無限長直電流I沿z軸正向流動，且處在兩種媒質(zhì)的分界面上，如圖示，求兩種媒質(zhì)中的磁通密度和磁化電流的分布。 解解：因為線電流位于兩種媒質(zhì)的分界面上，所以分界面上的磁場方向與分界面垂直。設(shè)在x0的半空間的磁通密度和磁場分別為 。則根據(jù)安培環(huán)路定律： 圖4-13 兩種媒質(zhì)中的磁通

22、密度01B1H2B2HxzI11HB 和22HB 和CIldH第四章 恒定電流的磁場 IHH21 另在兩種媒質(zhì)的交界面上磁通密度的法向分量連續(xù)，即滿足邊界條件： BBB21再利用媒質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系：02211,BHBH故)(00IB 由于導體媒質(zhì)是均勻的，故導體內(nèi)部無磁化電流；在兩種媒質(zhì)的分界面上，磁場與分界面垂直，故沒有磁化電流；但在電流與媒質(zhì)的接觸面上，存在磁化電流Ib，根據(jù)安培定律：)(2)(00bCbIIBIIldBIIrrb11第四章 恒定電流的磁場 4.44.4自自 感感 和互和互 感感 主要內(nèi)容：磁通和全磁通； 磁鏈自感和互感第四章 恒定電流的磁場 1. 磁通和全磁通磁通和全磁通：

23、在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量也是與電流成正比。 如果一個回路是由一根導線密繞成N匝組成，則穿過這個回路的總磁通（稱為全磁通）等于各匝的磁通之和。也就是一個密繞線圈的全磁通等于與單匝線圈交鏈的磁通和匝數(shù)的乘積。第四章 恒定電流的磁場 2. 磁鏈磁鏈：全磁通又稱磁鏈(Magnetic Flux Linkage)。 3.自感自感(Self-Inductance)： 若穿過回路的磁鏈 是由回路本身的電流I產(chǎn)生的，則磁通 與電流I的比值定義為自感。即) 144(ILCSldASdB其中，單位：H（亨利） 自感取決于回路的形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導率形狀、尺寸、匝數(shù)和媒質(zhì)的磁導率，與回路的電流無關(guān)。自感計算的一般步驟：LIBHA設(shè)SB ds第四章 恒定電流的磁場 4. 互感互感 如果兩個彼此靠近的回路C1、C2，電流分別為I1、I2，假設(shè)，用12表示載流回路C1的磁場在回路C2上產(chǎn)生的磁鏈。則12與I1的比值稱為互感，即 同樣可以定義互感M21，即 ）（44411212IM)644(22121IM互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導率和回路的匝