第三章參數(shù)估計第四章假設檢驗回歸

1、第三章 參數(shù)估計2.區(qū)間估計：一般可用在食品及藥品某些主要指標的含量、產品的使用壽命（均值）以及離散程度等數(shù)字特征，用抽樣的樣本去推斷總體的特性。設總體為X,含未知參數(shù)， 是樣本，都是樣本的函數(shù)（不含任何未知參數(shù)），對01,使得，即未知參數(shù)以大概率100（）%落在區(qū)間內，稱（）為置信度（可相信的程度），為的置信區(qū)間，分別為置信上下限。以上過程稱為對的區(qū)間估計，可分為雙側與單側區(qū)間估計。由中心極限定理，大容量的樣本一般都假設總體，對單個正態(tài)總體的未知參數(shù)，作區(qū)間估計，其估計量用及表示。例1:某廠生產一批清漆，為考慮該批清漆的平均干燥時間及離散程度，任取n=9個樣本。測得干燥時間分別為6.0，5.

2、7，5.8，6.5，7.0，6.3，5.6，6.1，5.0小時；設總體的干燥時間服從一般正態(tài)分布，即 。 （1）若=0.36，求總體平均干燥時間的95%的置信區(qū)間；解：1、 總體的方差已知， 對作區(qū)間估計，取統(tǒng)計量及分布： ， 2 、對，查表取， 雙側區(qū)間估計，如圖使，3、 將 代入并解不等式，有： ， 則：，4、 由樣本值： ， 5、可以認為該批產品的平均干燥時間以95%的可能性落在區(qū)間內。（2）1、未知，用代替，取統(tǒng)計量及分布：2、對，雙側區(qū)間估計，取，如圖示，使： 3、將統(tǒng)計量代入，4、代樣本值， 5、可以認為該批產品當方差未知時，平均干燥時間以95%的可能性落在區(qū)間內。（3）求的95%

3、的置信區(qū)間。1、取統(tǒng)計量及其分布， ，2、對，雙側區(qū)間估計， 取，使，如圖：3、代有：4、由樣本值：，5、可以認為該批產品平均干燥時間的方差以95%的可能性落在區(qū)間內。例2、單側區(qū)間估計?？茖W上重大發(fā)現(xiàn)往往是年輕人作出的，美國科學院統(tǒng)計了15世紀到20世紀12名科學偉人。（1）哥白尼 1543年 日心學說 40歲（2）伽利略 1600年 天文學，望遠鏡 34歲 （3）牛頓 1665年 三大定律，微積分 23歲 （4）富蘭克林 1746年 電的本質 40歲（5）拉瓦錫 1774年 氧氣及燃燒本質 31歲 （6）萊爾 1830年 地球的演化過程 33歲 （7）達爾文 1858年 生物進化論 49歲

4、（8）麥克斯維爾 1864年 光 磁 電場 33歲 （9）居里 1896年 放射性 34歲 （10）普朗克 1911年 量子論 43歲 （11）愛因斯坦 1905年 廣義狹義相對論 26歲 （12）薛定諤 1926年 量子論數(shù)學基礎 39歲求：重大發(fā)現(xiàn)偉人年齡的上限。解： 由未知，取統(tǒng)計量及分布：（求年齡的上限用單側區(qū)間估計） ， 基于該統(tǒng)計，數(shù)學最高獎菲爾茲獎（四年頒發(fā)一次），只獎勵給40歲以下的年輕人。第四章 假設檢驗 統(tǒng)計推斷一般分為兩大類：一類是對未知參數(shù)作點估計及區(qū)間估計，另一類是對總體的分布和未知參數(shù)的某些特性作假設檢驗。假設檢驗首先是提出假設，然后根據(jù)假設選取適合的統(tǒng)計量及分布，

5、再用隨機抽樣的樣本去推斷假設的合理性，是拒絕或是接受假設，假設檢驗是概率論中的反證法。1、對參數(shù)的假設檢驗： 其步驟是先對參數(shù)提出原假設，如，檢驗總體的均值。為額定的標準，稱其為原假設，及，稱為備擇或對立假設。由檢驗均值選擇統(tǒng)計量，若方差未知時，選取統(tǒng)計量及其分布：，（稱為檢驗法）對， 取，使為顯著性水平，取等式時為雙側檢驗，取不等式時為單側檢驗。統(tǒng)計推斷的基本原理是：小概率事件在一次隨機試驗中幾乎不會發(fā)生，若小概率事件發(fā)生，則說明假設不真，則有拒絕域或接受域。如：，在為真的條件下，由樣本值去推斷是否在拒絕域內，作出對總體的某些特性是拒絕或是接受的推斷。例1 某鹽業(yè)公司用一臺包裝機包裝精碘鹽，

6、額定標準每袋凈重,隨機抽取,其凈重分別為497、506、518、524、488、511、510、515、512.對，檢驗包裝機工作是否正常。假設每袋的凈重，由經驗得標準差。解： （1），（2）由總體標準差已知，選取統(tǒng)計量及其分布。，（稱為檢驗法）（3）對顯著性水平，查表取，使，拒絕域為 雙側檢驗，（4）由樣本值 當 成立時， ，（5）小概率事件沒有發(fā)生，樣本值不在拒絕域內，接受，即認為包裝機工作正常。說明：在假設檢驗中提出假設時有可能發(fā)生假設錯誤，一般可用區(qū)間估計作驗證。在本例中，。例2：某廠生產某種固體燃料，其燃燒率,額定標準?，F(xiàn)給出一種新的生產方法，任取新方法生產的根產品，測得，樣本標準差

7、,對，檢驗新方法較原方法生產的固體燃料其燃燒率是否有顯著提高。解：（1），（給出反假設，一般否定比肯定更具說服力） ， （2）總體方差未知，檢驗總體，取，（3）對顯著性水平，取 ，單側檢驗（檢驗不等式時為單側檢驗），使,其拒絕域 ， 當成立時，, 則拒絕域 (4)由樣本值 ，=40，, ，(5) 樣本值在拒域內的小概率事件發(fā)生，拒絕，接受，即認為新方法生產的產品燃燒率有顯著性提高。例3：兩個正態(tài)總體的假設檢驗：假設兩個公司生產同類型電子產品，其使用壽命分別為，為檢驗兩個公司的產品質量是否一致。任取=9個樣本，測得，=18個樣本，測得，對顯著性水平，檢驗兩個公司生產的同類電子產品的質量是否有顯著

8、性差異。解：（1） 首先檢驗正態(tài)總體的均值差，1、 ， 或者 ， ， 2、 在條件下，取統(tǒng)計量及其分布： ，（稱為檢驗法）其中，3、 對顯著性水平，查表， 使得 ， 在成立下，拒絕域， 4、由樣本值， ， ， ， ， 5、樣本值不在拒絕域內，小概率事件沒有發(fā)生，即可認為兩家公司產品的壽命沒有顯著性差異。 （2）檢驗產品使用壽命的方差比 1、 ， ，2、 選取統(tǒng)計量及其分布，（稱為檢驗法） 3、 對顯著性水平查表 ， ，使：，拒絕域 ：，或者 ，雙側檢驗， 4、 當 成立時，代樣本值，5、由 ，樣本值不在拒絕域內，接受，即可認為產品使用壽命方差沒有顯著性差異。綜合（1）（2）可以認為兩家公司生產

9、同類產品質量沒有顯著性差異。例4、 據(jù)推測：工作和經歷相類似的人群中，矮個子人的壽命較高個子人壽命長，美國科學院統(tǒng)計了31位自然死亡的總統(tǒng)，其中5位個子矮58， 5位矮個子總統(tǒng)身高從1.651.76m，壽命從6590歲；26位高個子總統(tǒng)從1.771.97m,壽命從5390。 矮、高個子的壽命分別是隨機變量，記為 ， 且 。 解答：，反假設否定更有說服力，在方差相等的條件下，選?。?，不等式檢驗，為單側檢驗，對顯著性水平：，拒絕域；當成立時，由樣本值小概率事件發(fā)生，拒絕，接受推測成立。2、兩類錯誤，假設檢驗作統(tǒng)計推斷是基于小概率事件在一次隨機試驗幾乎不會發(fā)生的原理。但并不說明小概率事件不會發(fā)生。由此假設檢驗作統(tǒng)計推斷時可能發(fā)生兩類錯誤：（1）棄真錯誤 （第一類）P（拒絕|為真時）=，（2）取偽錯誤 （第二類）P（接受|不真時）=，一般控制犯第一類錯誤的概率為，越小有利于假設的成立，但否定，又更有說服力。犯第二類錯誤的概率，越大，有利于假設，如在對犯罪嫌疑人做無罪推斷時。嫌疑人無罪， 嫌疑人有罪（拒絕|為真時）=，（接受|不真時）=，那種情況對社會危害大？經分析：應是第一種。若要使兩類錯誤發(fā)生都較小，可增加樣本的容量n(尋找新證據(jù)以形成證據(jù)鏈)。在生產實際中由0-C準則，以作為樣本容量n選取的參考標準。例5、 工業(yè)產品的抽樣方案：某公司生產了一大批產品、產品質量的主要指標，要