第二章 迭代法和二分法

1、非線性方程非線性方程就是因變量與自變量之間的關(guān)就是因變量與自變量之間的關(guān)系不是線性的關(guān)系，這類方程很多，例如平方系不是線性的關(guān)系，這類方程很多，例如平方關(guān)系、對數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等關(guān)系、對數(shù)關(guān)系、指數(shù)關(guān)系、三角函數(shù)關(guān)系等等。求解此類方程往往很難得到精確解，經(jīng)常等。求解此類方程往往很難得到精確解，經(jīng)常需要求近似解問題。需要求近似解問題。解決此問題的最主要的兩種方法是解決此問題的最主要的兩種方法是迭代法迭代法和和二分法二分法。1、定義、定義迭代法迭代法逐次逼近的方法，在工程技術(shù)上也逐次逼近的方法，在工程技術(shù)上也叫做試算法。從隔根區(qū)間（叫做試算法。從隔根區(qū)間（a0，b0）中的任一）中的任

2、一個初始近似值個初始近似值x0出發(fā)，按照某種格式構(gòu)造一個出發(fā)，按照某種格式構(gòu)造一個序列序列x0，x1，x2，使得這個序列的極限就是使得這個序列的極限就是f(x)=0的跟的跟x*，即，即另一種方法是把方程另一種方法是把方程f(x)=0寫成等價形式寫成等價形式x=(x)，然后令然后令xk+1=(xk) k=0,1,2，lim*,( *)0kkxxf x2、算法核心、算法核心參數(shù)說明：參數(shù)說明：x0開始存放初始值，迭代中存放第開始存放初始值，迭代中存放第k次近次近似值（實型變量，輸入?yún)?shù)）；似值（實型變量，輸入?yún)?shù)）；x迭代中存放第迭代中存放第k+1次近似值，最終存放方次近似值，最終存放方程的跟（實

3、型變量，輸出參數(shù)）；程的跟（實型變量，輸出參數(shù)）；eps根的精度控制量（實型變量，輸出參根的精度控制量（實型變量，輸出參數(shù)）。數(shù)）。 時，認為時，認為xk+1是方程的跟。是方程的跟。1kkxx3、迭代法的收斂性、迭代法的收斂性如果從初值如果從初值x0出發(fā)，按照迭代公式進行迭代計出發(fā)，按照迭代公式進行迭代計算的過程中，算的過程中，xk逐次接近于方程的跟，則稱迭逐次接近于方程的跟，則稱迭代公式是收斂的，否則是發(fā)散的。迭代法可行代公式是收斂的，否則是發(fā)散的。迭代法可行的必要條件是迭代過程必須收斂，收斂越快，的必要條件是迭代過程必須收斂，收斂越快，則其收斂性越好。則其收斂性越好。判別條件判別條件迭代函

4、數(shù)的一階導數(shù)在其定義區(qū)迭代函數(shù)的一階導數(shù)在其定義區(qū)間間a,b內(nèi)的絕對值小于內(nèi)的絕對值小于1，迭代過程收斂，否，迭代過程收斂，否則，則發(fā)散。則，則發(fā)散。加速迭代過程的加速迭代過程的3個因素：個因素：（1）選擇的迭代初值應(yīng)盡量接近于方程的根；）選擇的迭代初值應(yīng)盡量接近于方程的根；（2）迭代函數(shù)一階導數(shù)在迭代區(qū)間的絕對值）迭代函數(shù)一階導數(shù)在迭代區(qū)間的絕對值越小，收斂速度越快；越小，收斂速度越快；（3）所求解方程的原函數(shù)）所求解方程的原函數(shù)f(x)的泰勒展開式中的泰勒展開式中的二階及二階以上的高階導數(shù)的值盡可能小，的二階及二階以上的高階導數(shù)的值盡可能小，以致可以略去不計時，收斂速度越快。以致可以略去不

5、計時，收斂速度越快。迭代法缺點迭代法缺點一是存在迭代過程不收斂的可一是存在迭代過程不收斂的可能性，這將無法求解；二是存在收斂速度極緩能性，這將無法求解；二是存在收斂速度極緩慢的問題，這將導致大大降低效率甚至難于計慢的問題，這將導致大大降低效率甚至難于計算。算。1、定義、定義二分法二分法也稱對分法，是另一種簡單易行的也稱對分法，是另一種簡單易行的求非線性方程數(shù)值解的方法。不僅克服了迭代求非線性方程數(shù)值解的方法。不僅克服了迭代法可能不收斂的缺欠，即在有根區(qū)間用二分法法可能不收斂的缺欠，即在有根區(qū)間用二分法肯定收斂于極值，而且其收斂速度也很快?？隙ㄊ諗坑跇O值，而且其收斂速度也很快。假設(shè)有一個非線性方

6、程假設(shè)有一個非線性方程f(x)=0，x在在a0, b0區(qū)間區(qū)間內(nèi)，當內(nèi)，當f(x)在區(qū)間在區(qū)間a0, b0上單調(diào)連續(xù)，且上單調(diào)連續(xù)，且f(x)在在其區(qū)間其區(qū)間a0, b0的兩個端點處的值異號，即的兩個端點處的值異號，即f(a0)f(b0)0時，則方程在時，則方程在a0, b0區(qū)間內(nèi)有根，區(qū)間內(nèi)有根，且只有一個根且只有一個根x*。2、求單根算法核心、求單根算法核心基本思想基本思想將方程有根區(qū)間將方程有根區(qū)間a0, b0分為兩個分為兩個小 區(qū) 間 （ 稱 二 分 ） ， 取小 區(qū) 間 （ 稱 二 分 ） ， 取 a0， b0的 中 點的 中 點x1=(a0+b0)/2，并計算，并計算f(x1)的值

7、；如果的值；如果f(x1)與與f(a0)同號，則方程的根必在同號，則方程的根必在x1, b0區(qū)間，反之，區(qū)間，反之，f(x1)與與f(a0)異號，則根在異號，則根在a0, x1區(qū)間。通過這區(qū)間。通過這樣的方法找出并確定新的有根區(qū)間樣的方法找出并確定新的有根區(qū)間a1, b1，然，然后再將新的有根區(qū)間二分為兩個小區(qū)間，如此后再將新的有根區(qū)間二分為兩個小區(qū)間，如此繼續(xù)下去，就可得到一個有根區(qū)間套繼續(xù)下去，就可得到一個有根區(qū)間套001122,.,.kkaba babab（1）直至某一小區(qū)間端點處的函數(shù)）直至某一小區(qū)間端點處的函數(shù)f(xk)的絕的絕對值小于給定精度對值小于給定精度1，即，即f(xk) 1

8、式中式中k為尋找中點或二分有根區(qū)間的次數(shù)，為尋找中點或二分有根區(qū)間的次數(shù)，xk為第為第k次二分時的中點值，則有次二分時的中點值，則有xk=ak；或；或xk= bk；（2）或者直至某區(qū)間）或者直至某區(qū)間ak, bk的長度小于給定的長度小于給定的精度的精度2，即跟的絕對誤差限小于，即跟的絕對誤差限小于2， 便可以便可以得到一個滿意的近似值。得到一個滿意的近似值。200*12kkkkkkxxbababa參數(shù)說明：參數(shù)說明：a0，b0求根區(qū)間的下限與上限（實型變量，求根區(qū)間的下限與上限（實型變量，輸入?yún)?shù)）；輸入?yún)?shù)）；eps根的精度控制量，即根的精度控制量，即2（實型變量，（實型變量，輸入?yún)?shù)）；輸

9、入?yún)?shù)）；x，y分別存放近似根及其相應(yīng)的函數(shù)值分別存放近似根及其相應(yīng)的函數(shù)值（實型變量，輸出參數(shù)）；（實型變量，輸出參數(shù)）；f函數(shù)子程序函數(shù)子程序名，表示被求解的方程。名，表示被求解的方程。函數(shù)特點函數(shù)特點始終通過判斷某一有根區(qū)間二分始終通過判斷某一有根區(qū)間二分后的中點函數(shù)值后的中點函數(shù)值f(xk)與求根初始區(qū)間的與求根初始區(qū)間的左端點左端點處函數(shù)值處函數(shù)值f(a0)的乘積的乘積f(xk)f(a0)是否大于零，來是否大于零，來確定下一個有根區(qū)間。確定下一個有根區(qū)間。這里并沒有考慮精度這里并沒有考慮精度1的影響，即沒有考慮某的影響，即沒有考慮某一小區(qū)間內(nèi)端點處的函數(shù)的絕對值是否小于精一小區(qū)間內(nèi)端

10、點處的函數(shù)的絕對值是否小于精度。度。缺點缺點不能判斷某一區(qū)間是否有根或有幾個不能判斷某一區(qū)間是否有根或有幾個根。根。3、求所有單重實根的算法核心、求所有單重實根的算法核心基本思想基本思想需求出區(qū)間需求出區(qū)間a, b上所有的單重上所有的單重實根，滿足兩個求根精度控制量實根，滿足兩個求根精度控制量1或或2。自。自a點點開始，以一個基本步長開始，以一個基本步長h，向右逐次分割出寬，向右逐次分割出寬度為度為h的小區(qū)間的小區(qū)間a0, b0。若小區(qū)間兩端點處的。若小區(qū)間兩端點處的函數(shù)值函數(shù)值f(a0)與與f(b0)異號，則用二分法找出其中異號，則用二分法找出其中存在的一個根；若同號，則繼續(xù)向右分割，重存在

11、的一個根；若同號，則繼續(xù)向右分割，重復上述操作，直至分割的小區(qū)間已超過定義或復上述操作，直至分割的小區(qū)間已超過定義或求根區(qū)間求根區(qū)間a, b為止。為止。步長步長h可以選的小些，以便每個小區(qū)間內(nèi)最多可以選的小些，以便每個小區(qū)間內(nèi)最多只有一個根，這樣并不浪費很多機時，根據(jù)問只有一個根，這樣并不浪費很多機時，根據(jù)問題的性質(zhì)題的性質(zhì)h也沒有必要太小也沒有必要太小。參數(shù)說明：參數(shù)說明：a，b求根區(qū)間求根區(qū)間a, b（實型變量，輸入?yún)?shù)）；（實型變量，輸入?yún)?shù)）；h步長（實型變量，輸入?yún)?shù)）；步長（實型變量，輸入?yún)?shù)）；n估計根的最多個數(shù)（與估計根的最多個數(shù)（與x方次數(shù)有關(guān)，整型變方次數(shù)有關(guān)，整型變量，輸入?yún)?shù)）；量，輸入?yún)?shù)）；ep1函數(shù)值精度控制量函數(shù)值精度控制量1（實型變量，輸入?yún)ⅲ▽嵭妥兞?，輸入?yún)?shù)）；數(shù)）；ep2根的精度控制量根