經(jīng)典高等數(shù)學(xué)課件D12-8一般周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)

1、12. ( )f x 的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)10(cossin)2nnnaabnxnx ( ) f x1.2( )f x 周周期期為為的的函函數(shù)數(shù)的的傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù). .復(fù)習(xí)1( )cosd(0,1,)naf xnxxn 1( )sind(1, 2,)nbf xnxxn 3.收斂定理：收斂定理：周期為周期為2 的函數(shù)的函數(shù)f (x)， 若滿足若滿足狄利克雷狄利克雷充分充分條件條件01( )(cossin)2nnnaf xanxbnx ( )xf x 的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)()()( ).2f xf xs x x 為為f (x)的間斷點(diǎn)，的間斷點(diǎn)，201( )(cossin)2nnnaf xa

2、nx bnx ，1( )cosd(0,1,)naf xnx xn 1( )sind(1,2,)nbf xnx xn x 為為f (x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn)4.正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)(1)奇函數(shù)奇函數(shù)f (x)的傅氏級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)稱為正弦級(jí)數(shù).1( )sinnnf xbnx ， 其中其中01,2,2( )sind()nbf xnx xn (2)偶函數(shù)偶函數(shù)f (x)的傅氏級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)稱為余弦級(jí)數(shù).01( )cos2nnaf xanx ， 其中其中00,1,2( )cosd()naf xnx xn x 為為f (x)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) x 為為f (x)的連續(xù)點(diǎn)的

3、連續(xù)點(diǎn)以上結(jié)論均是對(duì)定義域?yàn)橐陨辖Y(jié)論均是對(duì)定義域?yàn)镽的周期為的周期為2 的函數(shù)的函數(shù)f (x)成立的成立的.3(1) S(x)與與 f (x)的的定義域?yàn)槎x域?yàn)?2) S(x)與與f (x)的的周期性相同且周期相等周期性相同且周期相等. x 為為f (x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)( )( )S xf x (3)S(x)與與f (x)的的奇偶性相同奇偶性相同.(,), 對(duì)定義域?yàn)閷?duì)定義域?yàn)镽的周期為的周期為2 的函數(shù)的函數(shù)f (x)01(cossin)2nnnaanxbnx ( )2.f x 稱稱為為的的以以為為周周期期的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的的傅傅里里葉葉級(jí)級(jí)數(shù)數(shù): :( )2f x 的的以以

4、為為周周期期的的傅傅氏氏級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)的和函數(shù)的和函數(shù) S(x)與與f (x)的的關(guān)系：關(guān)系：41)對(duì)于非周期函數(shù)對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)如果函數(shù) 只在區(qū)間只在區(qū)間 上上有定義有定義,并且滿足狄氏充分條件并且滿足狄氏充分條件,也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù).)(xf, ( ),f xx 周期延拓周期延拓( )F x ( ), ,)f xx (2),f xk 其它其它傅傅里里葉展開(kāi)葉展開(kāi)( ),f x 在在上的傅上的傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù)方法：方法： 在在 0 , 上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法 作作奇奇周期周期延拓延拓 , 展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)為正弦級(jí)數(shù) 作作偶偶周期周期延拓延拓 , 展開(kāi)

5、為余弦級(jí)數(shù)展開(kāi)為余弦級(jí)數(shù)2)對(duì)于非周期函數(shù)對(duì)于非周期函數(shù),如果函數(shù)如果函數(shù) 只在區(qū)間只在區(qū)間 上有定義上有定義,并且滿足狄氏充分條件并且滿足狄氏充分條件,也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù)也可展開(kāi)成傅氏級(jí)數(shù).)(xf,0)(0, 或或具體做法如下：具體做法如下：5( ),0,f xx 1( )F x 周期延拓周期延拓 F (x)1( )F x f (x) 在在 0 , 上展成上展成周期延拓周期延拓 F (x)余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓 xo y正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) f (x) 在在 0 , 上展成上展成xo y ( ),(0,)f xx 0, 0,x (),(, 0)fxx ( ),0,f xx (

6、),(, 0)fxx 61xyo例例1. 將函數(shù)將函數(shù)( )1 (0)f xxx 分別展成分別展成正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù)與與余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先先求正弦級(jí)數(shù)求正弦級(jí)數(shù). 去掉端點(diǎn)去掉端點(diǎn), 將將 f (x) 作作奇周期奇周期延拓延拓,0d( )sinnxfxx 2nb 02(1)sindxnxx 21(1)cosnn ( )F x0d( )sinnxFxx 因此得因此得 121 (1)c( )sionsnF xnnnx (0)x 注意注意: 在端點(diǎn)在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)與給定函數(shù) f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 1x( )f x7

7、(0)x 再求再求余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù).x1y( )1 (0)f xxx 將將則有則有o0a 02(1)dxx na 02(1)cosdxnxx 2022xx 2 202sincossinxnxnxnxnnn 22(cos1)nn 作作偶周期偶周期延拓延拓 ,( )12F x 212(cos1 cos)nnnnx ()x ( )F x( )f x1x ( )( )xF xf x 的的連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義域域8例例2. 2( ),(0), ( )( )(0, )f xxxxS xf x 設(shè)設(shè)是是在在內(nèi)內(nèi)解解: 由題設(shè)可知：由題設(shè)可知：( )S x3()2S 2 以以為周期的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù)

8、為周期的正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)式的和函數(shù),3().2S 求求3()2S 3(2)2S ()2S ()2f 2() 22 24 是是周期周期是是 的的奇奇函數(shù)，函數(shù)，2 2121(11) ( )1(0),( 1).nnf xxxn 分分展展開(kāi)開(kāi)成成余余弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,并并求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)練練：的的和和習(xí)習(xí)(08數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)212214( 1)( )1cos;312nnf xnxn 答答案案：9第八節(jié)第八節(jié)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)一般周期的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 一、以一、以2 l 為周期的函數(shù)的為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)傅里葉展開(kāi) *二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式二、傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式 第十二章 10一、以一、以2

9、 l 為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)為周期的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)周期為周期為 2l 函數(shù)函數(shù) f (x)周期為周期為 2 函數(shù)函數(shù) F(z)變量代換變量代換xzl 將將F(z) 作傅氏展開(kāi)作傅氏展開(kāi) f (x) 的傅氏展開(kāi)式的傅氏展開(kāi)式( )()( )lzf xfF z 01( )cossin2nnnaF zanz bnz 01( )(cossin)2nnnaxxf xanbnll (2 )(2)F zl zf (2 )lzfl ()lzf ( )F z ( 在在 F(z) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處 )(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處),zlx 11因?yàn)橐驗(yàn)?xzl 令令1nal 1( )sindl

10、nlnxbf xxll (0,1, 2,)n (1, 2, 3,)n ( )cosdllnxf xxl 1( )cosdnaF znz z 1( )sindnbF znz z (0,1, 2,)n (1, 2, 3,)n ( )()( )lzf xfF z 12設(shè)周期為設(shè)周期為2l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開(kāi)式為則它的傅里葉展開(kāi)式為01( )cossin2nnnanxnxf xabll (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)其中其中定理定理.1nal 1( )sindlnlnxbf xxll (0,1, 2,)n (1, 2, 3,)

11、n ( )cosdllnxf xxl 13說(shuō)明說(shuō)明:1( )sinnnnxf xbl ( )sind(1, 2,)nnxbf xxnl 其中其中(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)2l0l2)如果如果 f (x) 為周期為為周期為2l的的偶函數(shù)偶函數(shù), 則有則有(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)0( )2af x ( )cosd(0,1, 2,)nnxaf xxnl 其中其中1nna cosnxl 3) 無(wú)論哪種情況無(wú)論哪種情況 ,1 ()().2f xf x 在在 f (x) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) x 處處, 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)收斂于收斂于2l0l1)如果如果 f (x) 為周期

12、為為周期為2l的的奇函數(shù)奇函數(shù), 則有則有 14例例1. 把把展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù)展開(kāi)成正弦級(jí)數(shù).( )(02)f xxx解解: 先先 將將 f (x) 作作奇周期奇周期延拓延拓, 則有則有2oyx0(0,1, 2,)nan2022nbx sind2nxx 22022cossin22nxnxxnn4cosnn 14( 1)(1, 2 ,)nnn 14( )nf x 1( 1)sin2nnxn (02)x思考：在思考：在 x = 2 k 處級(jí)數(shù)收斂于何值處級(jí)數(shù)收斂于何值?15例例2. 設(shè)設(shè)f(x)是周期為是周期為2的周期函數(shù)，它在的周期函數(shù)，它在 上的上的( 1,1 表達(dá)式為表達(dá)式為32, 10( )

13、, 01xf xxx 則則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在的傅里葉級(jí)數(shù)在 處收斂于處收斂于 1x (88 考研考研)32x yO-11-11234-2-3-421 (1 )21(1 )Sff 1 (1 )( 1 )2ff 16 例例3. 設(shè)設(shè)1212, 0( )22 , 1xxf xxx 則則01( )cos,2nnaS xan xx (99 考研考研)5() 2S 解解：34的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)5()2S 5( )2S 1( )2S34 111 ()()222ff ( )(2),f x偶偶周周期期延延由由已已知知知知是是作作后后展展開(kāi)開(kāi)的的 周周期期為為拓拓則則和函數(shù)的周期為和函數(shù)

14、的周期為21721( ),01,( )sin.,4nnf xxxs xbn xx 而而例例設(shè)設(shè) 1 012( )sin d ,1,2,()( ).2nbf xn x x ns 其其中中：，則則為為1111(); (); (); ().2442ABCD 解：解：x yO-112-21-11()sinnns xbn x 由由和和 1 02( )sin dnbf xn x x 和和( )( )(:2)s xf xT 是是由由作作奇奇周周期期延延拓拓后后展展開(kāi)開(kāi)的的正正可可知知弦弦級(jí)級(jí)數(shù)數(shù), ,則則1()2s 則則1( )2s 1( )2f 21( )2 1.4 B18)(zFz55例例5. 將函數(shù)將

15、函數(shù)( )10(515)f xxx展成傅里葉級(jí)數(shù)展成傅里葉級(jí)數(shù).解解: 令令10 ,zx設(shè)設(shè)( )( )(10) (55)F zf xf zzz 將將F(z) 延拓成周期為延拓成周期為 10 的周期函數(shù)的周期函數(shù), 理?xiàng)l件理?xiàng)l件.由于由于F(z) 是奇函數(shù)是奇函數(shù), 故故0(0,1, 2,)nan5025nbz sind5n zz 10( 1)nn (1, 2,)n 則它滿足收斂定則它滿足收斂定110( 1)( )sin5nnnzF zn ( 55)z 110( 1)10sin5nnn xxn (515)x19為正弦為正弦(余弦余弦) 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù). 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 周期為周期為2l 的函數(shù)

16、的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)公式 01( )cossin2nnnan xn xf xabll 其中其中1( )cosdlnln xaf xxll 1( )sindlnln xbf xxll (0,1,)n (1,2,)n 當(dāng)當(dāng)f (x)為奇為奇(偶偶) 函數(shù)時(shí)函數(shù)時(shí),(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)202. 求函數(shù)求函數(shù)f (x)的傅里葉展開(kāi)式的步驟：的傅里葉展開(kāi)式的步驟：第一步：作圖驗(yàn)證第一步：作圖驗(yàn)證f (x)是否滿足收斂定理的條件是否滿足收斂定理的條件.（確定（確定f (x)的收斂域、奇偶性、周期性）的收斂域、奇偶性、周期性）第二步：計(jì)算第二步：計(jì)算f (x)的傅

17、的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù)（用歐拉公式）（用歐拉公式）.,nnab第三步：寫(xiě)出第三步：寫(xiě)出f (x)的傅的傅氏氏級(jí)數(shù)，并注明它在何處收斂于級(jí)數(shù)，并注明它在何處收斂于（f (x)的周期不同，公式也不同）的周期不同，公式也不同）f (x).（特別是對(duì)延拓后的函數(shù)）（特別是對(duì)延拓后的函數(shù)）3. 在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法在任意有限區(qū)間上函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法變換變換延拓延拓214. 什么樣的函數(shù)什么樣的函數(shù)f (x)可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)？可展開(kāi)為傅里葉級(jí)數(shù)？1) 周期為周期為 的函數(shù)的函數(shù).2 ,2l 2) 只定義在只定義在, , )0, ,0, ), ,0)l ll 等上的非周期函數(shù)等上的非周期函數(shù).3) 定義在定義在任意有限區(qū)間上函數(shù)任意有限區(qū)間上函數(shù).5. 需要澄清的幾個(gè)問(wèn)題：需要澄清的幾個(gè)問(wèn)題：(1)只有周期函數(shù)才能展成傅里葉級(jí)數(shù)只有周期函數(shù)才能展成傅里葉級(jí)數(shù).(2)在在 0 , 上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法是唯一的上的函數(shù)的傅里葉展開(kāi)法是唯一的 .(3) 函數(shù)函數(shù)f (x)的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于的傅里葉級(jí)數(shù)處處收斂于f (x) .22思考與練習(xí)思考與練習(xí)計(jì)算傅里葉系數(shù)時(shí)哪些系數(shù)