第6章 微分方程系統(tǒng)求解的偽譜方法 (1)

1、航空航天中的計(jì)算方法航空航天中的計(jì)算方法授課教師：陳琪鋒授課教師：陳琪鋒中南大學(xué)航空航天學(xué)院中南大學(xué)航空航天學(xué)院第第二二部分部分 邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題求解方法求解方法第第6章章 微分方程求解的微分方程求解的偽偽譜法譜法航空航天中的計(jì)算方法Page 42022-5-27內(nèi)容提要內(nèi)容提要6.1譜方法及偽譜法的概念譜方法及偽譜法的概念6.2譜方法與譜方法與Lagrange插值插值6.3正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式6.4最最優(yōu)配點(diǎn)優(yōu)配點(diǎn)分布分布6.5微分微分矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解求解1 John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods (S

2、econd Edition), DOVER Publications, Inc., 2000.Chap.1,3-62 Shen, J., and Tang, T., Spectral and High-Order Methods with Applications（譜方法和高精度算法及其應(yīng)用）（譜方法和高精度算法及其應(yīng)用）, Science Press, Beijing, 2006, Chap.（1.1-1.3；2.1,2.4）.航空航天中的計(jì)算方法Page 52022-5-276.1 譜方法譜方法及偽譜法及偽譜法的概念的概念以以N+1個(gè)個(gè)全局全局基函數(shù)的加權(quán)和近似某一連續(xù)函數(shù)：基函數(shù)的加權(quán)和

3、近似某一連續(xù)函數(shù)：其中其中： 為多項(xiàng)式或三角函數(shù)。為多項(xiàng)式或三角函數(shù)。殘差函數(shù)：殘差函數(shù)：例，二階微分方程求解例，二階微分方程求解殘差為殘差為某種準(zhǔn)則下某種準(zhǔn)則下使使殘差最小殘差最小，確定系數(shù)。，確定系數(shù)。 6.1 譜方法譜方法及偽譜法的及偽譜法的概念概念xx 0( )( )( )Nkkkyyx ( )kx( )ikxkxe Fourier譜方法譜方法xxxxx( )( )( , ( ),( )Ryfyy x 01( ;,)NRxxxx( )( , ( ),( )yfyy 譜方法譜方法航空航天中的計(jì)算方法Page 62022-5-27在與在與未知未知量個(gè)數(shù)相對(duì)的特定點(diǎn)處令殘差為零：配點(diǎn)法量個(gè)數(shù)

4、相對(duì)的特定點(diǎn)處令殘差為零：配點(diǎn)法加權(quán)殘差加權(quán)殘差為零：為零：加權(quán)殘差法加權(quán)殘差法Galerkin法：法： 。12()0,1,2,iNRiNab xx( ) ( )0,1,2,biawRdxiN ( )iw x為權(quán)函數(shù)為權(quán)函數(shù)( )( )iiw xx 采用最佳配點(diǎn)的譜方法，即偽采用最佳配點(diǎn)的譜方法，即偽譜譜法。法。6.1 譜方法譜方法及偽譜法的及偽譜法的概念概念航空航天中的計(jì)算方法Page 72022-5-27譜方法、有限單元法、有限差分法的譜方法、有限單元法、有限差分法的區(qū)別：區(qū)別： 有限單元法有限單元法將區(qū)間分成一些子區(qū)間，在子區(qū)間選擇將區(qū)間分成一些子區(qū)間，在子區(qū)間選擇局部局部多項(xiàng)式基多項(xiàng)式

5、基函數(shù)函數(shù) 有限差分是局部計(jì)算有限差分是局部計(jì)算 譜方法應(yīng)用譜方法應(yīng)用具有高階次的具有高階次的全局全局基函數(shù)在整個(gè)計(jì)算域基函數(shù)在整個(gè)計(jì)算域上上6.1 譜方法譜方法及偽譜法的及偽譜法的概念概念航空航天中的計(jì)算方法Page 82022-5-27偽譜方法精度高、收斂快、存貯省偽譜方法精度高、收斂快、存貯省，適用于問(wèn)題適用于問(wèn)題的幾何的幾何特征平滑特征平滑和規(guī)則和規(guī)則時(shí)時(shí)偽譜偽譜法法的問(wèn)題：的問(wèn)題： 如何選擇最優(yōu)的基如何選擇最優(yōu)的基函數(shù)？函數(shù)？ 如何如何選擇選擇最最優(yōu)的優(yōu)的配配點(diǎn)點(diǎn)？6.1 譜方法譜方法及偽譜法的及偽譜法的概念概念航空航天中的計(jì)算方法Page 92022-5-276.2 譜方法譜方法與

6、與Lagrange插值插值6.2.1 Lagrange插值插值 對(duì)函數(shù)對(duì)函數(shù)f(x)，根據(jù)，根據(jù)N+1個(gè)插值點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造個(gè)插值點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造N次插值次插值多項(xiàng)式近似：多項(xiàng)式近似：其中，插值基函數(shù)：其中，插值基函數(shù)： 任意任意N次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 Lagrange插值形式插值形式 6.2 譜方法譜方法與與Lagrange插值插值x0( )()( )NNiiiPf x Cx 0,( )Nkikk iikxxCxxx ()ijijCx x0( )()( )NNNiiiPPx Cx x 0( )( )NNiiiPx 等價(jià)等價(jià)()()NiiPxf x 航空航天中的計(jì)算方法Page 102022-5-

7、276.2.2 Runge現(xiàn)象現(xiàn)象 對(duì)任意光滑函數(shù)對(duì)任意光滑函數(shù)f(x)，根據(jù)，根據(jù)均勻分布均勻分布的的N+1個(gè)插值點(diǎn)的函個(gè)插值點(diǎn)的函數(shù)值，構(gòu)造數(shù)值，構(gòu)造N次次Lagrange插值近似，誤差隨插值近似，誤差隨N增大趨于增大趨于0？例：例： 21( ),5,51f xxx 兩端點(diǎn)附近的誤差大兩端點(diǎn)附近的誤差大端點(diǎn)端點(diǎn)附近插值點(diǎn)增多，中間可減少附近插值點(diǎn)增多，中間可減少插值插值點(diǎn)點(diǎn)隨均勻分布時(shí)，隨均勻分布時(shí)，誤差隨點(diǎn)數(shù)增多不收斂誤差隨點(diǎn)數(shù)增多不收斂6.2 譜方法譜方法與與Lagrange插值插值航空航天中的計(jì)算方法Page 112022-5-276.3 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式6.3.1 函數(shù)正交性與

8、正交多項(xiàng)式函數(shù)正交性與正交多項(xiàng)式 函數(shù)函數(shù)f(x)與與g(x) 在加權(quán)在加權(quán)Sobolev空間空間 上正交，是指上正交，是指其中其中 為為 上的正值權(quán)函數(shù)。上的正值權(quán)函數(shù)。 正交多項(xiàng)式序列是指一系列的多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式序列是指一系列的多項(xiàng)式 ，滿足，滿足 可規(guī)范化為可規(guī)范化為x的的n次首一多項(xiàng)式：次首一多項(xiàng)式： 6.3 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式 ,:,( ) ( ) ( )0baf gf gx f x g x dx x( )1( )10( )nnnnnnpxaxa ( )x2( , )La b( , )a b 0( )nnpx ( )npx,0ijppforij 航空航天中的計(jì)算方法Page 122

9、022-5-27 任意任意n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式q(x)均可均可表示表示為正交多項(xiàng)式為正交多項(xiàng)式 的線性加權(quán)和：的線性加權(quán)和： 若多項(xiàng)式序列若多項(xiàng)式序列 是正交的，則多項(xiàng)式是正交的，則多項(xiàng)式與任何不高于與任何不高于n次的多項(xiàng)式正交。次的多項(xiàng)式正交。 若若多項(xiàng)式序列多項(xiàng)式序列 是正交的是正交的，則，則多項(xiàng)式多項(xiàng)式的零點(diǎn)的零點(diǎn)是互不是互不相同的實(shí)數(shù)，且位于相同的實(shí)數(shù)，且位于開(kāi)開(kāi)區(qū)間區(qū)間 內(nèi)。內(nèi)。6.3 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式 0( )nnpx x1100( )nnnnqb pbpb p 01,nppp1( )npx 0( )nnpx 1( )npx ( , )a b航空航天中的計(jì)算方法Page 1320

10、22-5-276.3.2 正交多項(xiàng)式的生成正交多項(xiàng)式的生成 根據(jù)正交多項(xiàng)式的定義（首一情況為例）根據(jù)正交多項(xiàng)式的定義（首一情況為例）當(dāng)當(dāng) ， 時(shí)，得到時(shí)，得到Legendre多項(xiàng)式多項(xiàng)式當(dāng)當(dāng) ， 時(shí)，得到時(shí)，得到Chebyshev多項(xiàng)多項(xiàng)式式6.3 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式1010,( )( )bbaappx xdxx dx 0( )1px 11( )p xx1111( )()( )( ),1nnnnnpxxpxpxn( )1x 122( )(1)xx ( )nTx ( )nLx( , )( 1,1)a b ( , )( 1,1)a b 航空航天中的計(jì)算方法Page 142022-5-27Lege

11、ndre多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ：Chebyshev多項(xiàng)式多項(xiàng)式 ：6.3 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式20121131( )1,( ),( )22(1)( )(21)( )( ),1nnnL xL xxL xxnLxnxLxnLxn ( )nTx ( )nLx201211( )1,( ),( )21( )2( )( ),1nnnT xT xxT xxTxxTxTxn航空航天中的計(jì)算方法Page 152022-5-276.3 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式( )nTx( )nLx正交多項(xiàng)式曲線圖：正交多項(xiàng)式曲線圖：航空航天中的計(jì)算方法Page 162022-5-276.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布6.4.1 Gauss求

12、積與求積與Lagrange插值插值 將積分表示為被積函數(shù)在若干點(diǎn)處的函數(shù)值加權(quán)和：將積分表示為被積函數(shù)在若干點(diǎn)處的函數(shù)值加權(quán)和：若適當(dāng)選取若適當(dāng)選取 和和 ，可使公式對(duì)次數(shù)，可使公式對(duì)次數(shù) 2N+1的多項(xiàng)式被積的多項(xiàng)式被積函數(shù)均精確函數(shù)均精確成立，節(jié)點(diǎn)成立，節(jié)點(diǎn) 稱為稱為高斯點(diǎn)高斯點(diǎn)。等價(jià)于將函數(shù)等價(jià)于將函數(shù) f 用用Lagrange插值近似為插值多項(xiàng)式，然后求插值近似為插值多項(xiàng)式，然后求積分。若選用積分。若選用Gauss點(diǎn)插值，能實(shí)現(xiàn)最高精度。點(diǎn)插值，能實(shí)現(xiàn)最高精度。6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布110( )()Niiif x dxf x iix(0,1,)ix iN 最佳配點(diǎn)（插值點(diǎn)）為

13、最佳配點(diǎn)（插值點(diǎn)）為Gauss點(diǎn)點(diǎn)航空航天中的計(jì)算方法Page 172022-5-276.4.2 幾類幾類Gauss點(diǎn)點(diǎn)Gauss求積點(diǎn)求積點(diǎn)對(duì)于帶權(quán)函數(shù)的對(duì)于帶權(quán)函數(shù)的Gauss求積：求積：其中其中Gauss點(diǎn)為點(diǎn)為 正交多項(xiàng)式正交多項(xiàng)式 的零點(diǎn)。的零點(diǎn)。由方程組：由方程組：可唯一解出可唯一解出 ，并且并且6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布0( ) ( )()Nbiiaif xx dxf x (0,1,)iiN ixGauss點(diǎn)不包括兩端點(diǎn)點(diǎn)不包括兩端點(diǎn)a和和b，求解邊值問(wèn)題使用不便，求解邊值問(wèn)題使用不便1np 0( ) ( )(),0Nbkikiaipxx dxpxkN 210( ) ( )

14、(),NbiiNaiq xx dxq xfor allqP 航空航天中的計(jì)算方法Page 182022-5-27Gauss-Radau求積點(diǎn)求積點(diǎn)定義定義：若若采用采用 ，以及多項(xiàng)式，以及多項(xiàng)式 的零點(diǎn)的零點(diǎn) 作作為求積點(diǎn)，稱為為求積點(diǎn)，稱為Gauss-Radau求積求積點(diǎn)。點(diǎn)。由方程組：由方程組：可唯一解出可唯一解出 ，并且，并且6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布(0,1,)iiN 0 xa Gauss-Radau求積求積點(diǎn)包括端點(diǎn)點(diǎn)包括端點(diǎn)a0( ) ( )(),0Nbkikiaipxx dxpxkN 1( )( )( )( )0NNq xpxpxq a 12,Nxxx( ) ()q xxa

15、 20( ) ( )(),NbiiNaiq xx dxq xfor allqP 航空航天中的計(jì)算方法Page 192022-5-27Gauss-Lobatto求積點(diǎn)求積點(diǎn)定義定義：則采用則采用 ， ，以及多項(xiàng)式，以及多項(xiàng)式 的零的零點(diǎn)點(diǎn) 作為求積點(diǎn)，稱為作為求積點(diǎn)，稱為Gauss-Lobatto求積點(diǎn)。求積點(diǎn)。由方程組：由方程組：可唯一解出可唯一解出 ，并且，并且6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布(0,1,)iiN 0 xa Gauss-Lobatto求積點(diǎn)包括端點(diǎn)求積點(diǎn)包括端點(diǎn)a和和b，適用于兩，適用于兩點(diǎn)邊值問(wèn)題點(diǎn)邊值問(wèn)題0( ) ( )(),0Nbkikiaipxx dxpxkN 11(

16、)( )( )( )( )( )0,NNNq xpxpxpxq aq b 121,Nxxx ( ) ()()q xxaxb 210( ) ( )(),NbiiNaiq xx dxq xfor allqP Nxb 航空航天中的計(jì)算方法Page 202022-5-276.4.3 常用正交多項(xiàng)式的常用正交多項(xiàng)式的Gauss點(diǎn)點(diǎn)Chebyshev多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的Gauss點(diǎn)點(diǎn)Chebyshev-Gauss-Lobatto：6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布( , )( 1,1)a b 122( )(1)xx 001,1,cos(11),(11)2NiNiixxxiNNiNNN 航空航天中的計(jì)算方法Pag

17、e 212022-5-27Legendre多項(xiàng)式的多項(xiàng)式的Gauss點(diǎn)點(diǎn)Legendre-Gauss-Lobatto：6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布( , )( 1,1)a b ( )1x 021,1,( ) (11)21(0)(1) ()NiNiNixxxzeros of LxiNiNN NLx Legendre-Gauss-Lobatto點(diǎn)沒(méi)有顯式表達(dá)式，需數(shù)值求解點(diǎn)沒(méi)有顯式表達(dá)式，需數(shù)值求解航空航天中的計(jì)算方法Page 222022-5-27Legendre-Gauss-Lobatto：6.4 最佳配最佳配點(diǎn)點(diǎn)分布分布航空航天中的計(jì)算方法Page 232022-5-276.5 微分微分

18、矩陣矩陣與與兩兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解點(diǎn)邊值問(wèn)題求解6.5.1 微分矩陣的概念微分矩陣的概念偽譜偽譜法將微分方程近似解用法將微分方程近似解用Lagrange插值表示：插值表示：采用采用Gauss點(diǎn)為配點(diǎn)（插值點(diǎn)），在配點(diǎn)處滿足微分方程：點(diǎn)為配點(diǎn)（插值點(diǎn)），在配點(diǎn)處滿足微分方程：需計(jì)算需計(jì)算近似解的各階導(dǎo)數(shù)在配點(diǎn)處的值近似解的各階導(dǎo)數(shù)在配點(diǎn)處的值是配點(diǎn)未知量是配點(diǎn)未知量 的線性函數(shù)。的線性函數(shù)。6.5 微分微分矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解求解x0( )()( )Niiiyy x Cx 0,( )Nkikk iikxxCxxx xxxxx()()(, (),()0,0,1,iiiiiRyfyy

19、iN xx(),(),iiyy ()(1,2,)iy xiN x0()()()Njiijiyy x Cx x0()()()Njiijiyy x Cx 航空航天中的計(jì)算方法Page 242022-5-271階微分矩陣：階微分矩陣：2階階微分矩陣：微分矩陣：6.5 微分微分矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解求解xxxxxx00111()()()()()()NNyyyyDyy xxxxxx00112()()()()()()NNyyyyDyy 可通過(guò)插值公可通過(guò)插值公式微分求解式微分求解航空航天中的計(jì)算方法Page 252022-5-276.5.2 常用偽譜法的微分矩陣常用偽譜法的微分矩陣Che

20、byshev偽譜法的微分矩陣偽譜法的微分矩陣當(dāng)采用當(dāng)采用Chebyshev-Gauss-Lobatto插值插值點(diǎn)時(shí)。點(diǎn)時(shí)。一階微分矩陣一階微分矩陣 各元素的顯示表達(dá)為：各元素的顯示表達(dá)為：高階微分矩陣與一階微分矩陣的關(guān)系：高階微分矩陣與一階微分矩陣的關(guān)系：6.5 微分微分矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解求解 1kjD112( 1),0,2(1)kjkkjjkjkkkkcDjkcxxxDkNx 1120002(1) 6,1,0,2NNkNDDNckNcc 1mmDD 航空航天中的計(jì)算方法Page 262022-5-27Legendre偽偽譜法的微分矩陣譜法的微分矩陣當(dāng)采用當(dāng)采用Legen

21、dre -Gauss-Lobatto插值插值點(diǎn)時(shí)。點(diǎn)時(shí)。一階微分矩陣一階微分矩陣 各元素的顯示表達(dá)為：各元素的顯示表達(dá)為：6.5 微分微分矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題矩陣與兩點(diǎn)邊值問(wèn)題求解求解 1kjD111100()1,()0,0,(1) 4NkkjNjkjkkNNLxDjkLxxxDkNDDN N 航空航天中的計(jì)算方法Page 272022-5-276.5.3 偽譜法求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題偽譜法求解兩點(diǎn)邊值問(wèn)題以以二階系統(tǒng)為例，考慮邊值問(wèn)題：二階系統(tǒng)為例，考慮邊值問(wèn)題：將問(wèn)題的解用將問(wèn)題的解用Lagrange插值近似表示為：插值近似表示為：采用采用Chebyshev-（或或Legendre - ）Gauss-Lobatto插值插值點(diǎn)點(diǎn)，在