高等工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

1、高等工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)高等工程數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)模擬模擬題題鄢煜塵-110-430102A 的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型及相似換矩陣。標(biāo)準(zhǔn)型及相似換矩陣。1、求矩陣求矩陣解：解：P-1AP=J第一步：第一步：求矩陣求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量。1230=2=1AAI設(shè)設(shè) 的的特特征征值值為為 ，則則有有特特征征方方程程：求求解解特特征征方方程程得得到到：，從從 解得解得 1=2對(duì)應(yīng)的特征向?qū)?yīng)的特征向量為：量為：(2 )AI x 1(0,0,1)T 從從 解得解得 2= 3=1 對(duì)應(yīng)的特征對(duì)應(yīng)的特征向量為：向量為：()AI x 2(1,2,-1)T 第二步：第二步：求矩陣求矩陣A的的Jo

2、rdan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型J。 1=2為單根，對(duì)應(yīng)為單根，對(duì)應(yīng)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型J的的Jordan塊為：塊為： 12J 二重特征值二重特征值 2= 3=1 對(duì)應(yīng)對(duì)應(yīng)Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型J的的Jordan塊為：塊為：21101J 因此矩陣因此矩陣A的的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型標(biāo)準(zhǔn)型J為：為：1220000110001JJJ 第三步：第三步：求矩陣求矩陣A的的Jordan變換矩陣變換矩陣P。變換矩陣變換矩陣P中的兩列為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，即：中的兩列為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量，即：1(0,0,1)T 2(1,2,-1)T 和和變換矩陣變換矩陣P中的剩余一列為二重特征值對(duì)應(yīng)的中的剩余一列為二重特征值對(duì)應(yīng)

3、的廣義特廣義特征向量征向量，有：，有：2()AI (0,1, 1)T 求解得到：求解得到：因此矩陣因此矩陣A的的Jordan變換矩陣變換矩陣P為：為： 12010021111PIAAAAAg232)(3451 000 21002A2、求、求其中其中解：解：第一步：第一步：求矩陣求矩陣A的特征值和特征多項(xiàng)式的特征值和特征多項(xiàng)式 f( )。123232=0=1=2( )( )(1)(2)584AIAAAfIAf 設(shè)設(shè) 的的特特征征值值為為 ，解解方方程程得得到到 的的特特征征值值：，的的特特征征多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為：即即：則有：則有： f (A) =0第二步：第二步：求多項(xiàng)式求多項(xiàng)式 g(A)。令令5

4、43( )2321g設(shè)：設(shè)： g() = q()f() + r()并設(shè)：并設(shè)： r() = a2 + b + c由：由： g() = q () f() + q() f () +r() 可以得到待定系數(shù)的方程組：可以得到待定系數(shù)的方程組：(1)14242(2)131144(2)5473abcgaabcgbabgc 21300()()421147354130001g Ar AAAI 因此因此3、討論矩陣冪級(jí)數(shù)、討論矩陣冪級(jí)數(shù) 的收斂性，的收斂性，其中其中 121kkAk3141A解：解： 首先求冪級(jí)數(shù)首先求冪級(jí)數(shù)021kkzk的收斂域。的收斂域。由由,11) 1(1lim22kkk可知收斂半徑可知

5、收斂半徑,1R而當(dāng)而當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 1z對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，對(duì)應(yīng)的數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)因此因此021kkzk的收斂域?yàn)榈氖諗坑驗(yàn)?1,1再求矩陣再求矩陣A的譜半徑，的譜半徑，( )1A 7矩陣冪級(jí)數(shù)收斂矩陣冪級(jí)數(shù)收斂4、已知矩陣、已知矩陣 求求 ，sinA , cosA。 1021AAe解：解：第一步：第一步：求矩陣求矩陣A的特征值的特征值。12=0=1AIAA 設(shè)設(shè) 的的特特征征值值為為 ，解解方方程程得得到到 的的特特征征值值：第二步：第二步：求矩陣函數(shù)的值求矩陣函數(shù)的值。設(shè)所求函數(shù)為設(shè)所求函數(shù)為 f (A), 則有多項(xiàng)式則有多項(xiàng)式 g(A) = aA + bI當(dāng)當(dāng) f (1) = g

6、(1) 且且 f (1) = g (1) 時(shí)有：時(shí)有： f (A) = g(A) (1)(1)、對(duì)于對(duì)于矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) 有：有：Ae200Aeabaeeeee Aeabe(2)(2)、對(duì)于對(duì)于矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)sinA有：有：sin1cos1cos1sin1cos1sin12cos1sin0sin1abaabAa AbI(3)(3)、對(duì)于對(duì)于矩陣函數(shù)矩陣函數(shù) cosA 有：有：cos1sin1sin1sin1cos1cos12sin1cos0cos1abaabAa AbI 5、求解向量矩陣微分方程、求解向量矩陣微分方程0121431( )|1,2TtdXXdtX t555524224442tt

7、ttAttttteeeeeeeee解：解：00()0()55( )( )( )1121112tAtA tttAtA ttttttX te b tegdeedeeee 因此因此106、設(shè)線(xiàn)性變換設(shè)線(xiàn)性變換T在基在基 1=1, -1T, 2=1, 1T下的矩陣表示為下的矩陣表示為 求：求： 1）T在基在基 1=1, 0T, 2=0, 1T下的下的矩陣表示；矩陣表示； 2）T的核與值域；的核與值域； 3）T的特征值與特征向量；的特征值與特征向量；0011A11解：解： 1）設(shè)）設(shè)T在基在基 1=1, 0T, 2=0, 1T下的下的矩陣表示為矩陣表示為B 設(shè)基設(shè)基 1=1, -1T, 2=1, 1T到

8、基到基 1=1, 0T, 2=0, 1T的的過(guò)渡矩陣為過(guò)渡矩陣為P，則有：，則有：B=P-1AP 根據(jù)定義有：根據(jù)定義有：1 01 10 11 1PP 11221122P10101BP AP12 2）設(shè)）設(shè) = 1， 2x1 ,x2T N(T), 則有：則有： T( )= 1， 2Ax1 ,x2T =0 由于由于 1 , 2線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此有：線(xiàn)性無(wú)關(guān)，因此有： Ax1 ,x2T =0 解方程得到解方程得到x1 ,x2T =k1 ,1T , k為任意實(shí)數(shù)。為任意實(shí)數(shù)。 因此，因此， = 1， 2x1 ,x2T= k( 1 + 2 ) 即：即：N(T)=Span( 1 + 2 ) 由于由于r(A)

9、=1, 所以：所以： R(T)= 1， 2A =Span( 2)13 3）A的特征值是的特征值是 1= 0， 2= 1，對(duì)應(yīng)的特征向量為：，對(duì)應(yīng)的特征向量為： k11 , 1T , k20 , 1T 其中其中k1、k2均為任意非零實(shí)數(shù)均為任意非零實(shí)數(shù) 因此因此T的特征值是的特征值是 1= 0， 2= 1，對(duì)應(yīng)的特征向量為：，對(duì)應(yīng)的特征向量為： k1( 1 + 2 )，k2 2 其中其中k1、k2均為任意非零實(shí)數(shù)均為任意非零實(shí)數(shù) 14()1,( )0,t cetcf tothers 12nxxx7、設(shè)某種電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)）、設(shè)某種電子器件的壽命（以小時(shí)計(jì)）T服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密

10、度為：服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為：其中其中 c, (c, 0)為未知參數(shù)。為未知參數(shù)。從一批這種器件隨機(jī)地取從一批這種器件隨機(jī)地取n件進(jìn)行命試驗(yàn)，件進(jìn)行命試驗(yàn)，設(shè)它們的失效時(shí)間依次為設(shè)它們的失效時(shí)間依次為求求 c, 的極大似然估計(jì)的極大似然估計(jì)解：解：似然函數(shù)為似然函數(shù)為()11( , )0,inxciiexcL ，其其它它對(duì)數(shù)似然函數(shù)為對(duì)數(shù)似然函數(shù)為11ln ( , )ln()niiLcnxc 求導(dǎo)方法無(wú)法求參數(shù)求導(dǎo)方法無(wú)法求參數(shù) c 的的MLE是是*11minii ncxx 故使故使 達(dá)到最大的達(dá)到最大的 c 即即 c 的的MLE， ),( L c 取其它值時(shí)，取其它值時(shí)，( ,

11、)0.Lc 對(duì)對(duì)min, ( , )0,icx Lc 且是且是 c 的增函數(shù)的增函數(shù)11()1,min( , )0,niixcinexcLc 其其它它由于由于這時(shí)要用極大似然原則來(lái)求這時(shí)要用極大似然原則來(lái)求 .*11niixcn 即 為 的MLE .*,c ,c 11ln ( , )ln()niiLcnxc ，解得求導(dǎo)并為對(duì)0178、設(shè)一種元件的壽命服從正態(tài)分布（設(shè)一種元件的壽命服從正態(tài)分布（，），若其使），若其使用壽命不低于小時(shí)則為合格品，現(xiàn)從這批該種元用壽命不低于小時(shí)則為合格品，現(xiàn)從這批該種元件中隨機(jī)抽取了件，測(cè)得其平均壽命為小時(shí)，件中隨機(jī)抽取了件，測(cè)得其平均壽命為小時(shí)，如果已知如果已知小

12、時(shí)，問(wèn)在顯著性水平小時(shí)，問(wèn)在顯著性水平下，下，能否認(rèn)為這批元件是合格的？能否認(rèn)為這批元件是合格的？解：檢驗(yàn)假設(shè)：解：檢驗(yàn)假設(shè)：1000 H1:1000拒絕域：拒絕域：01/xn 代入數(shù)據(jù)：代入數(shù)據(jù)：1 0.05950 1000100/25 即：即： -2.51000拒絕域：拒絕域：01/xn代入數(shù)據(jù)：代入數(shù)據(jù)：1 0.012040/25即：即： 2.52.325 不等式成立。不等式成立。假設(shè)假設(shè)H0不成立不成立，質(zhì)量有顯著提高，質(zhì)量有顯著提高xi0.5 -0.8 0.9 -2.8 6.52.31.65.1 -1.9 -1.5yi-0.3 -1.2 1.1 -3.5 4.61.80.52.8 -2.8 0.5201,(0,),1,2,10iiiiYxNi 1210, 01,10、今有、今有10組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：組觀測(cè)數(shù)據(jù)如下：應(yīng)用正態(tài)線(xiàn)性模型應(yīng)用正態(tài)線(xiàn)性模型相互獨(dú)立，求相互獨(dú)立，求的最小二乘估計(jì)。的最小二乘估計(jì)。niiiyEyQ1210)(),(niiixy1210)(解：解：使離差平方和為最小的使離差平方和為最小的01,1121()()()niiiniixxyyxxxy10. 0)(, 0)(110110iniiiniiixxyxy有：有：11、設(shè)某一物體長(zhǎng)度的真實(shí)值設(shè)某一物體長(zhǎng)度的真實(shí)值 未知，未知，用