離散時間信號與系統(tǒng)

1、主講：趙發(fā)勇主講：趙發(fā)勇 zfy_物電學(xué)院物電學(xué)院第一章第一章 離散時間信號和系統(tǒng)離散時間信號和系統(tǒng)教學(xué)目標教學(xué)目標1、了解序列的概念和常用序列及序列的運算、了解序列的概念和常用序列及序列的運算2、掌握序列、掌握序列DTFT變換的定義、性質(zhì)及計算變換的定義、性質(zhì)及計算3、掌握變換的定義、性質(zhì)、計算及收斂域、掌握變換的定義、性質(zhì)、計算及收斂域4、掌握離散時間系統(tǒng)的概念、線性時不變系、掌握離散時間系統(tǒng)的概念、線性時不變系統(tǒng)、差分方程及系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性統(tǒng)、差分方程及系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性5、掌握離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、零極點分、掌握離散時間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)、零極點分析和頻率響應(yīng)析和頻率響應(yīng)6、了解、了解FI

2、R與與IIR系統(tǒng)的基本概念系統(tǒng)的基本概念教學(xué)重點和難點教學(xué)重點和難點1、序列、序列DTFT變換和變換變換和變換2、離散時間系統(tǒng)的線性、時不變、因果性和穩(wěn)、離散時間系統(tǒng)的線性、時不變、因果性和穩(wěn)定性概念及判定定性概念及判定3、基于離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點分析和、基于離散時間系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零極點分析和頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)序列序列: :是一串以序號為自變量的有序數(shù)字的集是一串以序號為自變量的有序數(shù)字的集合寫作：合寫作：x x= = x x( (n n) ) 一一 n n n n為整變量，為整變量，x(nx(n) )是第是第n n項的序列值，序項的序列值，序列值一般是連續(xù)數(shù)值列值一般是連續(xù)數(shù)值( (模

3、擬量模擬量) )，也可以是離，也可以是離散數(shù)值。散數(shù)值。 注意：注意：1.1.序列序列x x( (n n) )不一定代表時間序列，也可能表示不一定代表時間序列，也可能表示頻域、相關(guān)域等其它域上的一組有序數(shù)，但頻域、相關(guān)域等其它域上的一組有序數(shù)，但習(xí)慣上常把它說成是離散時間信號習(xí)慣上常把它說成是離散時間信號2.2.x x( (n n) )只有在整數(shù)上才有定義。只有在整數(shù)上才有定義。1.1 離散時離散時間信號間信號引言引言模擬信號產(chǎn)生離散信號模擬信號產(chǎn)生離散信號 分析如下：對模擬信號分析如下：對模擬信號xa(t)進行等間隔采樣，進行等間隔采樣，采樣間隔為采樣間隔為T，得到，得到 這里這里n取整數(shù)。

4、對于不同的取整數(shù)。對于不同的n值，值， xa(nT)是一是一個有序的數(shù)字序列：個有序的數(shù)字序列： xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)，該，該數(shù)字序列就是時域離散信號。實際信號處理中，數(shù)字序列就是時域離散信號。實際信號處理中，這些數(shù)字序列值按順序放在存貯器中，此時這些數(shù)字序列值按順序放在存貯器中，此時nT代代表的是前后順序。為簡化，采樣間隔可以不寫，表的是前后順序。為簡化，采樣間隔可以不寫，形成形成x(n)信號，即序列。對于具體信號，信號，即序列。對于具體信號，x(n)代表代表第第n個序列值。在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即個序列值。在數(shù)值上它等于信號的采樣值，即 x(n)=xa(nT)，

5、-n1.1離散時離散時間信號間信號引言引言( )(),at nTax tx nTn 1、集合表示、集合表示 集合表示符號為集合表示符號為。如，。如，x(n)是通過觀測得是通過觀測得到的一組離散數(shù)據(jù)，其集合符號表示為到的一組離散數(shù)據(jù)，其集合符號表示為 x(n)=1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.12、用公式表示、用公式表示 x(n)=an -n3、用圖表示、用圖表示 序列也可以用圖形表示。序列也可以用圖形表示。1.1離散時離散時間信號間信號序列的表序列的表示方法示方法1. 單位脈沖序列單位脈沖序列(n) 單位脈沖序列單位脈沖序列也可以稱為也可以稱為單位采樣序列單位采樣序列，離，離散沖激或簡

6、稱沖激。散沖激或簡稱沖激。 作用類似于模擬系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)作用類似于模擬系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)(t)，但不同的是但不同的是(t)在在t=0時，取值無窮大，時，取值無窮大，t0時取時取值為零，對時間值為零，對時間t的積分為的積分為1。單位采樣序列如圖。單位采樣序列如圖所示。所示。 1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列1,()0,nknknk0,00, 1)(nnn. 單位階躍序列單位階躍序列u(n) 單位階躍序列如圖所示。它類似于模擬信號中單位階躍序列如圖所示。它類似于模擬信號中的單位階躍函數(shù)的單位階躍函數(shù)u(t)。(n)與與u(n)之間的關(guān)系如下之

7、間的關(guān)系如下 0( )()( )( )(1)mu nnmnu nu nu(n)01231n1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列0, 00, 1)(nnnu. 脈沖串序列脈沖串序列p(n) 脈沖串序列脈沖串序列為指自變量為任意值都為為指自變量為任意值都為1的的序列。序列。1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列( )()kp nnk或?qū)憺榛驅(qū)憺?= , 1 , 1 , 1 , ( )p n4.矩形序列矩形序列RN(n) 1, 0nN-11, 0nN-1 0 0， 其它其它n n 上式中上式中N N稱為矩形序列的長

8、度。當稱為矩形序列的長度。當N=4N=4時，時，R R4 4(n)(n)的波形如圖所示。矩形序列可用單位階躍的波形如圖所示。矩形序列可用單位階躍序列表示，如下式：序列表示，如下式： R RN N(n(n)=)=u(n)-u(n-Nu(n)-u(n-N) )RN(n)= 1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列5. 實指數(shù)序列實指數(shù)序列 x(n)=anu(n)， a為實數(shù)為實數(shù) 如果如果|a|1，則稱為發(fā)散序列。其波形如圖所示。則稱為發(fā)散序列。其波形如圖所示。 1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列 6. 正弦序列

9、正弦序列 x(n)=sin(n) 式中式中稱為正弦序列的稱為正弦序列的數(shù)字域頻率數(shù)字域頻率，單位是單位是弧度弧度，它表示序列，它表示序列變化的速率變化的速率，或，或者說表示者說表示相鄰兩個序列值之間變化的弧度相鄰兩個序列值之間變化的弧度數(shù)數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號。如果正弦序列是由模擬信號xa(t)采樣采樣得到的，那么得到的，那么 xa(t)=sin(t) xa (t)|t=nT=sin(nT) 為模擬角頻率為模擬角頻率, T為抽樣周期。為抽樣周期。1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列而正弦序列表示為而正弦序列表示為x(n)=sin(n)。因為。因

10、為在數(shù)值上，在數(shù)值上，序列值與采樣信號值相等序列值與采樣信號值相等，因，因此得到數(shù)字頻率此得到數(shù)字頻率與模擬角頻率與模擬角頻率之間的之間的關(guān)系為關(guān)系為 上式具有普遍意義，它表示凡是由模上式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率擬信號采樣得到的序列，模擬角頻率與與序列的數(shù)字域頻率序列的數(shù)字域頻率成線性關(guān)系。由于采成線性關(guān)系。由于采樣頻率樣頻率fs與采樣周期與采樣周期T互為倒數(shù)，也可以表互為倒數(shù)，也可以表示成下式：示成下式： sf1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列7. 復(fù)指數(shù)序列復(fù)指數(shù)序列 x(n)=e(+j)n式中式中為數(shù)字域頻

11、率。為數(shù)字域頻率。設(shè)設(shè)=0，用極坐標和實部虛部表示如下，用極坐標和實部虛部表示如下式：式： x(n)=e jn x(n)=cos(n)+jsin(n) 由于由于n取整數(shù)，下面等式成立：取整數(shù)，下面等式成立： ej(+2M)n= e jn, M=0,1,21.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列一些有用的序列關(guān)系式和表達式總結(jié)一些有用的序列關(guān)系式和表達式總結(jié)1.1離散時離散時間信號間信號1.1.1幾種幾種最常用的最常用的典型序列典型序列 周期序列周期序列：如果對所有：如果對所有n存在一個最小的存在一個最小的正整數(shù)正整數(shù)N，使下面等式成立：，使下面等式成立：

12、 x(n)=x(n+kN), -n0）以形成的新序列；）以形成的新序列； y2（n）=x（nk） 指原序列逐項依次指原序列逐項依次左移左移k位位（k0）以形成的新）以形成的新序列；如序列；如K=3的序列移位如圖的示。的序列移位如圖的示。1.1離散時離散時間信號間信號1.1.3序列序列的運算的運算n: 當前時刻當前時刻n-k: 過去時刻過去時刻n+k: 將將 來來x(n-1)是是x(n)單位延遲，以后用單位延遲，以后用 表示。表示。1z1.1離散時離散時間信號間信號1.1.3序列序列的運算的運算2. 序列相加和相乘序列相加和相乘 x（n）= x1（n） + x2（n）, 同序號的序列值逐同序號的

13、序列值逐項對應(yīng)相加項對應(yīng)相加； y（n）= x1（n） x2（n）, 同序號的序列值逐同序號的序列值逐項對應(yīng)相乘項對應(yīng)相乘。 注意注意(1)只有相同長度的序列才能進行相加和相乘。只有相同長度的序列才能進行相加和相乘。如果需要進行此運算需要在短序列后補零進行。如果需要進行此運算需要在短序列后補零進行。 (2)序列相乘與向量乘法的區(qū)別。序列相乘與向量乘法的區(qū)別。例：例：1.1離散時離散時間信號間信號1.1.3序列序列的運算的運算( ). , . , . ,. , .,( ). , . , . ,. , . , .,x nnx nn122 2 5 5 8 86 6 7 70 140 2 0 5 0

14、80 6 0 7 0 50 15( ). , . , . ,. , . ,( ). , . , . ,. , . , .,x nnx nn122 2 5 5 8 86 6 7 7 00 150 2 0 5 0 80 6 0 7 0 50 15補零后的序列補零后的序列 1.1離散時離散時間信號間信號1.1.3序列序列的運算的運算3、序列的能量與功率、序列的能量與功率序列的能量有限，稱為能量信號；能量序列的能量有限，稱為能量信號；能量無限，但功率有限，稱為功率信號。定義無限，但功率有限，稱為功率信號。定義序列的能量與功率序列的能量與功率| ( )|lim| ( )|nNNnNEx nPx nN22

15、121 1.1離散時離散時間信號間信號1.1.3序列序列的運算的運算4. 實序列的偶部與奇部實序列的偶部與奇部如果對所有的如果對所有的n有有x（n）= x（-n）, 稱為稱為偶對稱序列偶對稱序列； x（n）= -x（-n）, 稱為稱為奇對稱序列奇對稱序列；任何任何序列均可以分解為序列均可以分解為偶對稱序列偶對稱序列與與 奇對稱序列奇對稱序列和的形式和的形式)()()(nxnxnxoe)()(21)(nxnxnxe)()(21)(nxnxnxo說明：此分類在線性相位中使用。說明：此分類在線性相位中使用。1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.1離散離散時間信號

16、時間信號的傅立葉的傅立葉變換變換傅里葉變換傅里葉變換 建立以時間建立以時間t t為自變量的為自變量的“信號信號”與以頻率與以頻率f f為為自變量的自變量的“頻率函數(shù)頻率函數(shù)”( (頻譜頻譜) )之間的某種變換關(guān)系。之間的某種變換關(guān)系。“時間時間”或或“頻率頻率”取連續(xù)還是離散值取連續(xù)還是離散值, ,就形成各種就形成各種不同形式的傅里葉變換對。不同形式的傅里葉變換對。已經(jīng)學(xué)過已經(jīng)學(xué)過1 1、傅里葉級數(shù)、傅里葉級數(shù)( (FS)FS)：連續(xù)時間連續(xù)時間, ,離散頻率的傅里葉離散頻率的傅里葉變換。變換。2 2、傅里葉變換、傅里葉變換(FT)(FT)：連續(xù)時間連續(xù)時間, ,連續(xù)頻率的傅里葉連續(xù)頻率的傅里

17、葉變換。變換。本書將討論另外兩種形式的傅里葉變換：本書將討論另外兩種形式的傅里葉變換： 3 3、序列的傅里葉變換、序列的傅里葉變換(DTFT):(DTFT):離散時間離散時間, ,連續(xù)頻率的連續(xù)頻率的傅里葉變換。傅里葉變換。4 4、離散傅里葉級數(shù)和變換、離散傅里葉級數(shù)和變換(DFT):(DFT):離散時間離散時間, ,離散頻離散頻率的傅里葉變換。率的傅里葉變換。 注：本書中數(shù)字頻率為注：本書中數(shù)字頻率為, ,模擬角頻率為模擬角頻率為 。傅里葉級數(shù)：傅里葉級數(shù)：周期連續(xù)時間信號周期連續(xù)時間信號 非周期離散非周期離散頻譜密度函數(shù)：設(shè)周期為頻譜密度函數(shù)：設(shè)周期為T T的連續(xù)時間函數(shù)的連續(xù)時間函數(shù)x(

18、tx(t) )可可展成傅里葉級數(shù)展成傅里葉級數(shù)X(kX(k0 0),),是離散非周期性頻譜是離散非周期性頻譜, ,表表示為示為: :/( )()()( )( )()TjktTjktkx tX jkX kx t edtTx tX ke00020201變換對：變換對：正變換：正變換：反變換：反變換： x(t)的信號分解，復(fù)正弦基的信號分解，復(fù)正弦基1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.1離散離散時間信號時間信號的傅立葉的傅立葉變換變換 傅立葉變換：傅立葉變換：非周期連續(xù)時間信號非周期連續(xù)時間信號通過連續(xù)付通過連續(xù)付里葉變換里葉變換(FT)得到非周期連續(xù)頻譜密度

19、函數(shù)，得到非周期連續(xù)頻譜密度函數(shù)，表示為表示為:( )()()( )( )()jtjtx tXjXjx t edtx tXjed12變換對：變換對：正變換：正變換：反變換：反變換：1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.1離散離散時間信號時間信號的傅立葉的傅立葉變換變換 DTFT：對于任一：對于任一序列，序列，定義定義該序列的傅立葉變換：該序列的傅立葉變換：( )()()( )( )()jwjwjwnnjwjwnx nX eX ex n ex nX eedw12變換對：變換對：正變換：正變換：反變換：反變換：幾點說明幾點說明序列是離散的，所以變換需要求和；序

20、列是離散的，所以變換需要求和；DTFTDTFT中的中的級數(shù)求和不一定總是收斂的，若級數(shù)求和不一定總是收斂的，若x(nx(n) )絕對可和絕對可和，則該級數(shù)絕對收斂，則該級數(shù)絕對收斂( (充分條件充分條件) )。另外另外, ,平方可和序列的平方可和序列的DTFTDTFT也存在也存在, ,要強調(diào)的是要強調(diào)的是平方可和序列不一定滿足絕對可和的條件。平方可和序列不一定滿足絕對可和的條件。序列傅里葉變換序列傅里葉變換X(eX(ej jw w) )是是的連續(xù)周期函數(shù)，周的連續(xù)周期函數(shù)，周期為期為2 2。1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.1離散離散時間信號時間信號的

21、傅立葉的傅立葉變換變換 由由X(eX(ej jw w) )可以得到可以得到 x(n) 的幅度譜、相位譜及能的幅度譜、相位譜及能量譜，從而實現(xiàn)離散信號的頻域分析；量譜，從而實現(xiàn)離散信號的頻域分析； 可以看出可以看出,時域的離散時域的離散造成頻域的造成頻域的周期延拓周期延拓 ,而而時域的非周期時域的非周期對應(yīng)于對應(yīng)于頻域的連續(xù)。頻域的連續(xù)。DTFT的一些主要性質(zhì)見表的一些主要性質(zhì)見表1.1。1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.1離散離散時間信號時間信號的傅立葉的傅立葉變換變換信號處理中的一類重要處理手段就是將信號通信號處理中的一類重要處理手段就是將信號通過某

22、種變換到另一域中過某種變換到另一域中(物理上），得到變換后的物理上），得到變換后的另一信號（數(shù)學(xué)上），再進行分析。這樣，可以另一信號（數(shù)學(xué)上），再進行分析。這樣，可以得到有關(guān)該信號得到有關(guān)該信號/系統(tǒng)在另一域上的直觀特性，更系統(tǒng)在另一域上的直觀特性，更有利于對信號有利于對信號/系統(tǒng)的分析。系統(tǒng)的分析。對于離散信號來說，變換及域分析具有重對于離散信號來說，變換及域分析具有重要的作用要的作用,類似于連續(xù)域的變換及域分析，是類似于連續(xù)域的變換及域分析，是傅立葉變換的一般形式。傅立葉變換的一般形式。序列變換的定義方法有序列變換的定義方法有（1）直接對離散信號給出定義）直接對離散信號給出定義（2）連續(xù)信

23、號的拉普拉斯變換過渡到變換）連續(xù)信號的拉普拉斯變換過渡到變換。 1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換序列序列x(n)的的Z變換直接定義為變換直接定義為:稱為雙邊稱為雙邊z變換，如果變換，如果n的取值為正整數(shù)，則上的取值為正整數(shù)，則上式變?yōu)閱芜吺阶優(yōu)閱芜匷變換，即變換，即Z變換實際上是變換實際上是級數(shù)求和的公式級數(shù)求和的公式 ，下面將，下面將回顧其討論其收斂域問題?；仡櫰溆懻撈涫諗坑騿栴}。 -nn - X(z)x(n)z n ( )( )-nX zx n z01.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變

24、換變換)( )( )ststX(sx t edtx tX(s e dsj sj12回顧：回顧：模擬信號中的拉氏變換模擬信號中的拉氏變換 。設(shè)連續(xù)信號為。設(shè)連續(xù)信號為x(t),其拉普拉斯變換與逆變換定義為其拉普拉斯變換與逆變換定義為設(shè)對模擬信號進行抽樣，得到離散時間信號為設(shè)對模擬信號進行抽樣，得到離散時間信號為()( )()() ()ssssnnx nTx ttnTx nTtnT1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換 由此可見，由此可見，抽樣序列的抽樣序列的Z變換正是變換正是z=esT時該序時該序列的拉氏變換，即：列的拉氏變換，即：X(s)=X

25、(z) | z= esT()( )()() ()()()()()( )szX(sx=x x X(z)ssTsststsssnstssnsnTsTnnnenx nTx nnnT edtnTtnTedtnTetnTdtx nT ex nT ex n z令）對上述抽樣所得到離散時間信號進行拉氏變換，有對上述抽樣所得到離散時間信號進行拉氏變換，有（2）從抽樣信號的拉氏變換到）從抽樣信號的拉氏變換到z變換變換1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換從抽樣信號的拉氏變換到從抽樣信號的拉氏變換到z z變換變換 S平面到平面到z平面的映射關(guān)系：平面的映射關(guān)系：

26、 sTTjTTjfTeeee/ r e rez)(sTj可得：1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換這時這時Z變換演變?yōu)殡x散序列的傅立葉變換。變換演變?yōu)殡x散序列的傅立葉變換。1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換1.2.5 Z變換與變換與DTFT的的關(guān)系關(guān)系njnjenxeX)()(njnezjenxzXeXj)()()( 序列序列x(n)的的Z變換為變換為: 上面實際上是上面實際上是級數(shù)求和的公式級數(shù)求和的公式，存在收斂問題，存在收斂問題，因此可將對級數(shù)的數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于因此可將對級數(shù)的

27、數(shù)學(xué)分析方法應(yīng)用于z變換的變換的分析。使分析。使X(z)一致收斂的一致收斂的z的取值范圍，叫做的取值范圍，叫做z變換的收斂域變換的收斂域ROC(Region of Convergence)。級數(shù)一致收斂的充要條件是滿足級數(shù)一致收斂的充要條件是滿足絕對可和絕對可和。 可見，可見，z平面的收斂域僅與模平面的收斂域僅與模| z |有關(guān)，而與幅有關(guān)，而與幅角無關(guān)，角無關(guān)，收斂域的邊界一定是圓收斂域的邊界一定是圓。序列。序列x(n)的的z變換的表達式及其收斂域是一個整體，變換的表達式及其收斂域是一個整體，二者共二者共同唯一確定同唯一確定x(n)。 例例1.3，見教材，見教材15面：分析略。面：分析略。-

28、nn - X(z)x(n)z 1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換z z變換收斂域與序列的關(guān)系變換收斂域與序列的關(guān)系 收斂域的確切定義需具體問題具體分析，但它的大體收斂域的確切定義需具體問題具體分析，但它的大體形狀可以根據(jù)某些規(guī)律立刻確定。以下分有限長序列、左形狀可以根據(jù)某些規(guī)律立刻確定。以下分有限長序列、左邊序列、右邊序列和雙邊序列四種情況分析收斂域的形狀。邊序列、右邊序列和雙邊序列四種情況分析收斂域的形狀。1.有限長序列有限長序列2.右邊序列右邊序列1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變

29、換z z變換收斂域與序列的關(guān)系變換收斂域與序列的關(guān)系3 . 左邊序列左邊序列4 . 雙邊序列雙邊序列1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.2 Z變換變換 ( )Re ( )( )Re ( )kmnnz zcknnz zcmX z zdzs X z zjX z zdzs X z zj 111112121.留數(shù)法留數(shù)法 由留數(shù)定理可知由留數(shù)定理可知 為為c內(nèi)的第內(nèi)的第k個極點，個極點， 為為c外的第外的第m個極點，個極點， Res 表示極點處的留數(shù)。表示極點處的留數(shù)。kzmz1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.3 逆逆Z

30、變換變換 Re ( )()( )rrnnZ Zrz zs X z zzzX z z11留數(shù)的求法：留數(shù)的求法： 1、當、當Zr為為一一階極點時的留數(shù)：階極點時的留數(shù)： 2、當、當Zr為為l階階(多重多重)極點時的留數(shù)：極點時的留數(shù)：Re ( )()( )()!rrnz zllnrz zls X z zdzzX z zldz1111111.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.3 逆逆Z變換變換 ()kaxA2.2.部分分式法部分分式法 有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除有理式：數(shù)字和字符經(jīng)有限次加、減、乘、除運算所得的式子。運算所得的式子。 有理分式：含

31、字符的式子做分母的有理式，或有理分式：含字符的式子做分母的有理式，或兩個多項式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真兩個多項式的商。分子的次數(shù)低于分母時稱為真分式。分式。 部分分式部分分式：把：把x的一個實系數(shù)的真分式分解成幾的一個實系數(shù)的真分式分解成幾個分式的和，使各分式具有個分式的和，使各分式具有 或或 的形式的形式 ，其中，其中x2+Ax+B是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項是實數(shù)范圍內(nèi)的不可約多項式，而且式，而且k k是正整數(shù)。這時稱各分式為原分式的是正整數(shù)。這時稱各分式為原分式的“部分分式部分分式”。()kaxbxAxB21.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.3

32、 逆逆Z變換變換3 3. .長除法長除法 ( )( )()()( )( )( )nnX zx n zxzxzxzxzxz201221012 所以在給定的收斂域內(nèi)，把所以在給定的收斂域內(nèi)，把X(z)展為冪級展為冪級數(shù)，其系數(shù)就是序列數(shù)，其系數(shù)就是序列x(n)。 如收斂域為如收斂域為|z|Rx+， x(n)為因果序列，則為因果序列，則X(z)展成展成Z的負冪級數(shù)。的負冪級數(shù)。 若若 收斂域收斂域|Z|Rx-, x(n)必為左邊序列，主必為左邊序列，主要展成要展成 Z的正冪級數(shù)。的正冪級數(shù)。 1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2.3 逆逆Z變換變換1.2.4 Z

33、變換的變換的性質(zhì)性質(zhì)z變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理常變換的許多重要性質(zhì)在數(shù)字信號處理常常用到，見教材表常用到，見教材表1.2ParsvalParsval定理定理|( ) |() |jnx nXed 2212能量信號在時域的總能量等于其頻域的總能量。一般，設(shè)有序列一般，設(shè)有序列x(n)和和y(n),則則Parsval定理為定理為*( )( )( )( /)dcnx n y nX v Yvvvi 1112DTFT時的時的Parsval定理為定理為*( )( )()()jjnx n y nX eYed 121.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2. Parsva

34、l定定理理證：令證：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性：利用復(fù)共軛和復(fù)卷積特性：則則 假設(shè)收斂域滿足：假設(shè)收斂域滿足： Rx-Ry-1Rx+Ry+ 因此，因此， |z|=1 在收斂域內(nèi)，即在收斂域內(nèi)，即w（z）在單位圓上收斂，在單位圓上收斂，w（z）|z=1存在，存在，cyxyxRRzRRdvvvzYvXjnynxZzXnxZ|)/()(21)()(*)(*)(*1dvvvzYvXjnwZzWc1*)/()(21)()(cdvvvYvXjW1*1*)(21)1 (又因又因 因此因此 證畢證畢nznnnynxznynxW)(*)()(*)() 1 (1cndvvvYvXny

35、nx1*1*)(21)( *)(1.2離散時離散時間信號的間信號的傅立葉變傅立葉變換與換與z變換變換1.2. Parsval定定理理1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng) 一個離散時間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序一個離散時間系統(tǒng)在數(shù)學(xué)上的定義是將輸入序列列x(n)x(n)映射成輸出序列映射成輸出序列y(n)y(n)的唯一性變換或運算。的唯一性變換或運算。它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質(zhì)它的輸入是一個序列，輸出也是一個序列，其本質(zhì)是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個運算。是將輸入序列轉(zhuǎn)變成輸出序列的一個運算。 y(ny(n)= )= Tx(nTx(n) ) 對對TT加以種種約束加以種種約束, ,

36、可定義出各類離散時間系可定義出各類離散時間系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)中最重要、最常用的是“線性、線性、時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)”。 x (n) y(n)TT . 離散時間系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)1. 1. 線性系統(tǒng)（滿足迭加原理的系統(tǒng)）線性系統(tǒng)（滿足迭加原理的系統(tǒng)） 若系統(tǒng)的輸入為若系統(tǒng)的輸入為x x1 1（n n）和）和x x2 2（n n）時，輸出）時，輸出分別為分別為y y1 1（n n）和）和y y2 2（n n），）， 如果系統(tǒng)輸入為如果系統(tǒng)輸入為axax1 1（n n）+bx+bx2 2（n n）時，輸）時，輸出為出為ayay1 1（n n）+by+by2 2（n

37、n），其中），其中a a， b b為任意常數(shù)為任意常數(shù)，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。，則該系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的條件為線性系統(tǒng)的條件為 線性系統(tǒng)對信號的處理可應(yīng)用迭加定理。線性系統(tǒng)對信號的處理可應(yīng)用迭加定理。例例1.6，見教材，見教材21面：分析略。面：分析略。( )( )( )( )( )y nT ax nbx nay nby n1212( )( ( ),( )( )y nTx ny nTx n11221.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.1線性線性系統(tǒng)系統(tǒng). .時不變系統(tǒng)時不變系統(tǒng)如果如果則則 （ k k為任意整數(shù)）為任意整數(shù)）即系統(tǒng)的特性不隨時間而變化。即系統(tǒng)的特性不隨時間而變化。線性時不變

38、系統(tǒng)簡稱為：線性時不變系統(tǒng)簡稱為：LTILTI例例1.7，見教材，見教材21面：分析略。面：分析略。( ) ( )() ()y nT x ny nkT x nk1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.2時不時不變系統(tǒng)變系統(tǒng)3. 3. 線性時不變系統(tǒng)及其響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)及其響應(yīng)線性時不變系統(tǒng)線性時不變系統(tǒng)既滿足迭加原理又具有時不變性的系既滿足迭加原理又具有時不變性的系統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。統(tǒng)。線性時不變系統(tǒng)可以用單位脈沖響應(yīng)來表示。任一序列都可表示成各延時單位脈沖序列的加權(quán)和任一序列都可表示成各延時單位脈沖序列的加權(quán)和 如令如令h（n）為系統(tǒng)對單位脈沖序列的響應(yīng)，為系統(tǒng)對單

39、位脈沖序列的響應(yīng)，當系統(tǒng)的輸入當系統(tǒng)的輸入為單位抽樣序列時系統(tǒng)的輸出稱為單位抽樣響應(yīng)。為單位抽樣序列時系統(tǒng)的輸出稱為單位抽樣響應(yīng)。 h（n）=T（n）則系統(tǒng)對任一輸入序列則系統(tǒng)對任一輸入序列x（n）的響應(yīng)為的響應(yīng)為 mmnmxnx)()()(mmnmxTnxTny)()()()(由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理由于系統(tǒng)是線性的，滿足迭加定理 mmnTmxny)()()(1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.3線性線性時不變系時不變系統(tǒng)及其響統(tǒng)及其響應(yīng)應(yīng)又由于系統(tǒng)是時不變的，對移位的單位脈沖的響應(yīng)又由于系統(tǒng)是時不變的，對移位的單位脈沖的響應(yīng)等于單位脈沖響應(yīng)的移位。等于單位脈沖響應(yīng)的移位。 )()(

40、mnhmnT 因此因此 該式表明：對任何線性時不變系統(tǒng)，可完全通過其單該式表明：對任何線性時不變系統(tǒng)，可完全通過其單位脈沖響應(yīng)位脈沖響應(yīng)h h（n n）來表示。這個公式和模擬系統(tǒng)的卷積是來表示。這個公式和模擬系統(tǒng)的卷積是類似的，稱為類似的，稱為離散卷積，或線性卷積離散卷積，或線性卷積。 卷積過程：卷積過程： 對對 h h（ mm）繞縱軸折疊，得繞縱軸折疊，得h h（- -mm）；）； 對對 h h（- -mm）移位得移位得 h h（n-mn-m）；）； 將將 x x( (mm) )和和 h h( (n-mn-m) )所有對應(yīng)項相乘之后相加，得離所有對應(yīng)項相乘之后相加，得離散卷積結(jié)果散卷積結(jié)果

41、y y（n n）。）。 例例1.8，見教材，見教材22面：分析略。面：分析略。mnhnxmnhmxny)(*)()()()(注：只有線性時不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來表示注：只有線性時不變系統(tǒng)才能由單位脈沖響應(yīng)來表示1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.3線性線性時不變系時不變系統(tǒng)及其響統(tǒng)及其響應(yīng)應(yīng)對于一個對于一個LSI系統(tǒng)系統(tǒng),如果它在任意時刻的如果它在任意時刻的輸出只決定于當時的輸入和前過去的輸入輸出只決定于當時的輸入和前過去的輸入,而而與將來的輸入無關(guān)與將來的輸入無關(guān),稱系統(tǒng)為稱系統(tǒng)為因果系統(tǒng)因果系統(tǒng)。 線線性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為性移不變因果系統(tǒng)的充要條件為 h(n)=0，n 0可

42、由卷積公式導(dǎo)出，說明見板書。可由卷積公式導(dǎo)出，說明見板書。對于一個對于一個LSI系統(tǒng)系統(tǒng),如果輸入信號有如果輸入信號有界界,則輸出信號也有界則輸出信號也有界,稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，稱稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，稱為為穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)可由卷積公式導(dǎo)出，說明見板書?？捎删矸e公式導(dǎo)出，說明見板書。( )nh np 1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性與因果性與因果性( )( ) ()ky nh k x n k例：例：分析單位脈沖響應(yīng)為分析單位脈沖響應(yīng)為h（n）=anu（n）的線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。的線性時不變系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。分析：分析：既然，既然，n時，時，h（n）=0，系

43、統(tǒng)是因果的系統(tǒng)是因果的如果如果 |a|1, 則則 如果如果 |a|1 , 則則s ，級數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅級數(shù)發(fā)散。故系統(tǒng)僅在在|a|1時才是穩(wěn)定時才是穩(wěn)定的。的。mkkakhs| )(|11as1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性與因果性與因果性 穩(wěn)定的因果系統(tǒng)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)：既滿足穩(wěn)定性又滿足：既滿足穩(wěn)定性又滿足因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)因果性的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)既是單邊的，又是絕對可和的，即既是單邊的，又是絕對可和的，即 這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實現(xiàn)的又是穩(wěn)這種穩(wěn)定因果系統(tǒng)既是可實現(xiàn)的又是穩(wěn)定工作的，這種系統(tǒng)是最主要的系統(tǒng)。定工作的，這種系統(tǒng)是最

44、主要的系統(tǒng)。nnhnnnhnh| )(|000)()(1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.4系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性的穩(wěn)定性與因果性與因果性概述概述系統(tǒng)的描述和分析方法包括：系統(tǒng)的描述和分析方法包括：時域分析法時域分析法u差分方程和離散卷積差分方程和離散卷積變換域分析法變換域分析法u Z變換（變換（Z變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代變換可將差分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程數(shù)方程 ）:是系統(tǒng)分析與綜合的重要工是系統(tǒng)分析與綜合的重要工具具,其地位和作用類似于連續(xù)域的其地位和作用類似于連續(xù)域的S變換變換uDFT(離散傅立葉變換離散傅立葉變換) 1.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.5系統(tǒng)系統(tǒng)的差分方的差分方程描述程描述對系

45、統(tǒng)的時域分析利用的數(shù)學(xué)工具是差對系統(tǒng)的時域分析利用的數(shù)學(xué)工具是差分方程。分方程。 線性移不變離散時間系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性線性移不變離散時間系統(tǒng)可以用常系數(shù)線性差分方程來描述：差分方程來描述：其中其中 aiai、bibi都是常數(shù)。都是常數(shù)。 離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途：離散系統(tǒng)差分方程表示法有兩個主要用途： 由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)；由差分方程得到系統(tǒng)結(jié)構(gòu)； 求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)；求解系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)； 差分方程和初始條件共同決定系統(tǒng)的瞬態(tài)解。差分方程和初始條件共同決定系統(tǒng)的瞬態(tài)解。 差分方程的求解方法：遞推法、差分方程的求解方法：遞推法、z z變換法變換法()()NMijijb y n i

46、a x nj001.3離散時離散時間系統(tǒng)間系統(tǒng)1.3.5系統(tǒng)系統(tǒng)的差分方的差分方程描述程描述考慮兩個差分方程：考慮兩個差分方程： 上述差分方程分別是上述差分方程分別是一階自回歸差分方一階自回歸差分方程程和和三點加權(quán)平均器三點加權(quán)平均器。下面通過求解此兩個差分方程的單位采下面通過求解此兩個差分方程的單位采樣響應(yīng)觀察兩個系統(tǒng)的區(qū)別樣響應(yīng)觀察兩個系統(tǒng)的區(qū)別( )()( )y nay nx n1( )( ) ()ky nb k x nk201.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.5 FIR系統(tǒng)和系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)系統(tǒng)( )( )()( )h ny nah nn1( )( )(

47、)( )( )( )( )( )( )()( )nhhahahahah nah nna200011012121設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為0，即，即h(-1)=0。同理求得例同理求得例2的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)( )( ), ( )( ), ( )( )hbhbhb001122求例求例1的單位抽樣響應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.5 FIR系統(tǒng)和系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)系統(tǒng)FIR與與IIR系統(tǒng)的概念系統(tǒng)的概念 根據(jù)離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)可根據(jù)離散時間系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)可將系統(tǒng)分為兩大類。將系統(tǒng)分為兩大類。有限沖激響應(yīng)（有限沖激響應(yīng)（FI

48、R:Finite Impulse Response）：）：單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)有有限長的離散限長的離散系統(tǒng)。系統(tǒng)。無限沖激響應(yīng)（無限沖激響應(yīng)（IIR FIR:Infinite Impulse Response ）：）：單位沖激響應(yīng)單位沖激響應(yīng)無無限限長的離散系統(tǒng)。長的離散系統(tǒng)。1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.5 FIR系統(tǒng)和系統(tǒng)和IIR系統(tǒng)系統(tǒng)對于線性移不變離散時間系統(tǒng)有對于線性移不變離散時間系統(tǒng)有: 兩邊取兩邊取DTFT得到得到定義定義 為離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，反映系統(tǒng)性能為離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)，反映系統(tǒng)性能隨頻率變化的情況。隨頻率變化的情況。或者說

49、，輸出序列的傅或者說，輸出序列的傅氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)氏變換等于輸入序列的傅氏變換與頻率響應(yīng)的乘積。的乘積。()()()jjjY eX eH e1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響的頻率響應(yīng)應(yīng)( )( )( )y nx nh n()()()jjjY eH eX e離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)直接定義離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)直接定義 即單位脈沖響應(yīng)的即單位脈沖響應(yīng)的DTFT。由此可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是復(fù)數(shù)，由此可以看出系統(tǒng)的頻率響應(yīng)是復(fù)數(shù)，存在幅度和相位問題存在幅度和相位問題定義系統(tǒng)頻響定義系統(tǒng)頻響H（ejw)的模和幅角分別的模和幅角分

50、別為為幅頻特性和相頻特性。幅頻特性和相頻特性。1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響的頻率響應(yīng)應(yīng)()( )jj nnH eh n e即即系統(tǒng)頻響的性質(zhì)：系統(tǒng)頻響的性質(zhì)： H（ejw) 是是w的連續(xù)函數(shù)，且是的連續(xù)函數(shù)，且是w的周期函的周期函數(shù)，其周期為數(shù)，其周期為2。 如果如果h(nh(n) )是實序列有是實序列有 H（e-jw) = = H*（ejw) 。即幅頻特性偶對稱，。即幅頻特性偶對稱，相頻特性奇對稱。相頻特性奇對稱。1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響的頻率響應(yīng)應(yīng)更一般地，我們用單位脈沖響應(yīng)

51、的更一般地，我們用單位脈沖響應(yīng)的Z變換來變換來描述系統(tǒng)，定義系統(tǒng)函數(shù)為。描述系統(tǒng)，定義系統(tǒng)函數(shù)為。下面從系統(tǒng)的兩種時域描述得出系統(tǒng)函數(shù)的下面從系統(tǒng)的兩種時域描述得出系統(tǒng)函數(shù)的兩種解釋兩種解釋:1.卷積關(guān)系卷積關(guān)系 系統(tǒng)函數(shù)等于輸出、輸入序列系統(tǒng)函數(shù)等于輸出、輸入序列z變換之比變換之比，從從Z域體現(xiàn)了輸出、輸入關(guān)系，所以域體現(xiàn)了輸出、輸入關(guān)系，所以系統(tǒng)函數(shù)系統(tǒng)函數(shù)有有時也被說成是時也被說成是轉(zhuǎn)移函數(shù)轉(zhuǎn)移函數(shù)、傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)或或傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)。( )( )* ( ) z( )( ). ( )Y(z) H(z)X(z)y nx n hnY zX z H z兩 邊 取變 換 ， 得 ：即 ：1.4

52、系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.2系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)( )( )nnH zh n z02. 差分方程差分方程 按輸出按輸出Z變換與輸入序列的變換與輸入序列的z變換之比。變換之比。()()NMijijb y n ia x nj00NiMiiiiizXzazYzb00)()(于是NiiiMiiizbzazXzYzH00)()()(1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.2系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)注意：注意：若用若用H(z)表征一個系統(tǒng)，應(yīng)指明表征一個系統(tǒng)，應(yīng)指明H(z)的收斂域，的收斂域，方能惟一地確定這個系統(tǒng)。方能惟一地確定這個系統(tǒng)。離散時間系統(tǒng)的頻率

53、響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位抽離散時間系統(tǒng)的頻率響應(yīng)定義為系統(tǒng)單位抽樣響應(yīng)的傅立葉變換。取系統(tǒng)函數(shù)樣響應(yīng)的傅立葉變換。取系統(tǒng)函數(shù)H(z)在單在單位圓上的值位圓上的值 :1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.1系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)()( )( )jjjnzenH eh n eH z0零極點概念零極點概念()()( )()()MMrrN MrrNNkkkkz zzzH zggzp zzp11111111 使系統(tǒng)函數(shù)為零的使系統(tǒng)函數(shù)為零的z稱為系統(tǒng)的零點，使系統(tǒng)稱為系統(tǒng)的零點，使系統(tǒng)函數(shù)為趨于無窮的函數(shù)為趨于無窮的z稱為系統(tǒng)的極點?？紤]稱為系統(tǒng)的極點?？紤] zr和和pk分別稱為系統(tǒng)的零

54、點和極點。下面利用分別稱為系統(tǒng)的零點和極點。下面利用零極點概念分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)。零極點概念分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和頻率響應(yīng)。( )( )( )MrrNkkb r zH za k z011對分子分母分別進行因式分解得對分子分母分別進行因式分解得1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零函數(shù)的零極點極點穩(wěn)定性判據(jù)穩(wěn)定性判據(jù)2v一個一個LSILSI系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是其所有的極點系統(tǒng)穩(wěn)定充分必要條件是其所有的極點位于單位圓內(nèi)。位于單位圓內(nèi)。證明證明: :( )Nkkkc zH zzp1LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)為( )Nnkkkh n

55、c p1利用系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)利用系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)1可得可得| ( )|NNnnkkkknkknh nc pcp 0110由系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)由系統(tǒng)穩(wěn)定的判據(jù)1可知可知,級數(shù)收斂要求級數(shù)收斂要求|pk|1,即極點必須在單位圓內(nèi)即極點必須在單位圓內(nèi).1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零函數(shù)的零極點極點n0()()()()()()Mjrjj N MjjrNjkkezH egeH eeep 11|()|MjrjrNjkkezH egep11利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)極零圖極零圖:將將H(z)的零極點畫在的零極點畫在Z平面上得到的圖形

56、平面上得到的圖形.()( )argarg()arg()MNj N Mjjrkrkeezep 111.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零函數(shù)的零極點極點整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極整個系統(tǒng)函數(shù)可以由它的全部零、極點來唯一確定。隨著點來唯一確定。隨著w在單位圓上變化在單位圓上變化,可可以得到系統(tǒng)函數(shù)的模和幅角都在變化以得到系統(tǒng)函數(shù)的模和幅角都在變化,從從而可以估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)而可以估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng).用極點和零點表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點是，用極點和零點表示系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)點是，它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾它提供了一種有效的求系統(tǒng)頻率響應(yīng)的幾何方法。

57、當頻率何方法。當頻率由由02時，這些向量的時，這些向量的終點沿單位圓反時針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此終點沿單位圓反時針方向旋轉(zhuǎn)一圈，由此可估算出整個系統(tǒng)的頻響?？晒浪愠稣麄€系統(tǒng)的頻響。利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)利用零極點估計系統(tǒng)的頻率響應(yīng)1.4系統(tǒng)的系統(tǒng)的頻率響應(yīng)頻率響應(yīng)及其系統(tǒng)及其系統(tǒng)函數(shù)函數(shù)1.4.4系統(tǒng)系統(tǒng)函數(shù)的零函數(shù)的零極點極點 其基本原理是，當單位圓上的其基本原理是，當單位圓上的 ej 點在極點點在極點 d i附近時，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近時，分母向量最短，出現(xiàn)極小值，頻響在這附近可能出現(xiàn)峰值，且極點附近可能出現(xiàn)峰值，且極點 di 越靠近單位圓，極越靠近單位圓，極小值越小，

58、頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當小值越小，頻響出現(xiàn)的峰值越尖銳，當 di 處在單處在單位圓上時，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)位圓上時，極小值為零，相應(yīng)的頻響將出現(xiàn)，這相當于在該頻率處出現(xiàn)無耗（這相當于在該頻率處出現(xiàn)無耗（Q=）諧振，當諧振，當極點超出單位圓時系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對于極點超出單位圓時系統(tǒng)就處于不穩(wěn)定狀態(tài)。對于現(xiàn)實系統(tǒng)，這是不希望的。現(xiàn)實系統(tǒng)，這是不希望的。 對于零點位置，頻響將正好相反，對于零點位置，頻響將正好相反，ej點越接點越接近某零點近某零點 ci ，頻響越低，因此在零點附近，頻響頻響越低，因此在零點附近，頻響出現(xiàn)谷點，零點越接近單位圓，谷點越接近零，出現(xiàn)谷點，零點越接近單位圓，

59、谷點越接近零，零點處于單位圓上時，谷點為零，即在零點所在零點處于單位圓上時，谷點為零，即在零點所在頻率上出現(xiàn)傳輸零點，零點可以位于單位圓以外頻率上出現(xiàn)傳輸零點，零點可以位于單位圓以外，不受穩(wěn)定性約束。，不受穩(wěn)定性約束。 這種幾何方法為我們認識零、極點分布對系這種幾何方法為我們認識零、極點分布對系統(tǒng)性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念統(tǒng)性能的影響提供了一個直觀的概念，這一概念對系統(tǒng)的分析和設(shè)計都十分重要。對系統(tǒng)的分析和設(shè)計都十分重要。零點在單位圓上零點在單位圓上0,0, 處；極點在處；極點在 , , 處處 。 22322302()jHe。 例：例：ImzazazzzH,)(0*xReza)(

60、jeH02總結(jié)：系統(tǒng)零極點與總結(jié)：系統(tǒng)零極點與 |H(ejw)| 的關(guān)系的關(guān)系 極點：極點： 在極點頻率處，在極點頻率處，|H(ejw)| 出現(xiàn)峰值，極點出現(xiàn)峰值，極點離單位圓越近，峰值越大；極點在單位圓上，離單位圓越近，峰值越大；極點在單位圓上，峰值無窮大。峰值無窮大。零點：零點： 在零點頻率處，在零點頻率處，|H(ejw)| 出現(xiàn)谷值，零點離出現(xiàn)谷值，零點離單位圓越近，谷值越低；零點在單位圓上，谷單位圓越近，谷值越低；零點在單位圓上，谷值為零。值為零。幾點說明幾點說明(1).(1). 表示原點處零極點，它到單位圓表示原點處零極點，它到單位圓 的距離恒為的距離恒為1 1，故對幅度響應(yīng)不起作用