第八章：Black-Scholes期權定

1、第八章：Black-Scholes期權定價公式的應用主要內容n 支付紅利的股票的期權n 股指期權和貨幣期權n 期貨期權n 期權頭寸的套期保值支付紅利股票的期權n 現(xiàn)實的股票經(jīng)常是有紅利支付的n 考慮期權時關心的是期權有效期內的紅利n 紅利經(jīng)常是可以被預測的（有效期內）n 對紅利支付的兩種假設n 已知紅利數(shù)額n 已知紅利率n B-S公式不能直接用支付已知紅利數(shù)額nS=PV(Dividend)+PV(ST)n （歐式）期權的實際標的是PV(ST)n 令： D=PV(Dividend)支付已知紅利數(shù)額(cont.)n期權定價（應用B-S公式）：例：支付已知紅利數(shù)額股票的期權價格n假設n 某股票現(xiàn)價3

2、0元，價格波動率30%，1個月和7個月以后分別有2元的股利發(fā)放，考慮以該股票為標的，執(zhí)行價為30元，有效期還有9個月的歐式看漲和看跌期權的價格。n 設此時無風險利率為6%。n 解：n 首先我們來計算期權有效期內紅利的現(xiàn)值：例：支付已知紅利數(shù)額股票的期權價格(cont.)例：支付已知紅利數(shù)額股票的期權價格(cont.)n查表得:n N(d1)=0.4067n N(d2)=0.3100n N(-d2)=1-N(d2)=0.6900n N(-d1)=1-N(d1)=0.5933n 最后，得到期權價格為：支付已知紅利率n對股票紅利支付的另一假設n 連續(xù)紅利率n 紅利隨時間連續(xù)支付，但紅利率（單位時間內

3、紅利/股價）為一已知常數(shù)，記為a n 與連續(xù)復利的概念相似，a為名義年紅利率支付已知紅利率(cont.)n 與支付已知紅利數(shù)額相似n S=PV(Dividend)+PV(ST)n （歐式）期權的實際標的是PV(ST)n 若將所得股利全部重新投資于股票，則期初的1股到期末可得expa(T-t)股，而期初的exp-a(T-t)股到期末可得1股，因此：n PV(ST) = exp-a(T-t)Sn 用exp-a(T-t)S代替B-S公式中的S即可對支付已知紅利率股票的歐式期權定價支付已知紅利率(cont.)n基于以連續(xù)紅利率支付股利的股票的歐式期權的B-S定價公式：股指期權n 期權標的股票指數(shù)n 現(xiàn)

4、金結算n 定價方法n 把指數(shù)看作股票組合的價值n 組合中股票支付的紅利近似的連續(xù)紅利率n 套用支付已知紅利率股票的B-S公式n需估計指數(shù)波動率和紅利率貨幣期權n貨幣期權也稱為外匯期權n 期權持有者擁有以一定的匯率購買或出售某種外匯的權利n 或者說，貨幣期權的持有者擁有按事先商定的匯率將某種貨幣兌換為另一種貨幣的權利n 貨幣期權的定價n 貨幣期權的標的是一種外國貨幣n 外國貨幣實際上就相當于一種支付已知紅利率股票，其紅利率就是外幣的無風險利率n 套用支付已知紅利率股票的B-S公式即可貨幣期權的定價公式用遠期匯率表示看漲與看跌的貨幣期權n 看漲期權n 有權以約定的匯率（以本幣）購買外匯n 看跌期權

5、n 有權以約定的匯率出售外匯（換取本幣）n 考慮以下兩個期權n 以B貨幣為本幣的購買A貨幣的看漲期權n 以A貨幣為本幣的出售B貨幣的看跌期權n它們的價值應相等（期權規(guī)模要相等）例：看漲與看跌的貨幣期權n 期權合約An 期權持有者可以以1英鎊對1.6美元的匯率用美元購買62.5萬英鎊n 看漲期權，其價格用B-S公式中的看漲期權定價公式計算n 期權合約Bn 期權持有者可以以1美元對0.625英鎊的匯率出售100萬美元n 看跌期權，其價格用B-S公式中的看跌期權定價公式計算n 兩個期權比較n 上述兩個期權都規(guī)定期權持有者有權將100萬美元換成62.5萬英鎊，如果兩個期權的到期日相等的話，它們的價格也

6、應該是相等的例：看漲與看跌的貨幣期權(cont.)例：看漲與看跌的貨幣期權(cont.)期貨期權n 期貨期權合約的標的期貨合約n 期貨期權的執(zhí)行n 期權持有者將獲得一個期貨頭寸和數(shù)額相當于期貨當前價與期權執(zhí)行價之間差額的現(xiàn)金。n 期權出售者得到對應的一個期貨頭寸，并付出一筆現(xiàn)金。n 因為期貨是每日結算的，期權執(zhí)行時能得到的期貨合約的協(xié)議價一定是當時的期貨價，而期權合約規(guī)定的是得到一份事先確定的協(xié)議價的期貨合約，因此，協(xié)議價和當時的期貨價之間的差額就用現(xiàn)金支付。例：期貨期權n 在CBOE交易的S&P500指數(shù)期貨期權n 期權的標的物是一份S&P500指數(shù)期貨合約，該指數(shù)期貨合約的

7、規(guī)模是$250乘以指數(shù)。n 考慮一執(zhí)行價為1100點的S&P500指數(shù)期貨看漲期權合約。n 如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價為1160點的話，則該期權將被執(zhí)行，期權持有者將得到一個S&P500指數(shù)期貨的多頭頭寸和現(xiàn)金：(1160-1100)x$250=$15,000n 而如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價低于1100點的話，則該期權不會被執(zhí)行。例：期貨期權(cont.)n 再考慮一執(zhí)行價為1100點的S&P500指數(shù)期貨看跌期權合約。n 如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價為1060點的話，則該期權將被執(zhí)行，期權持有者將得到一個S&

8、P500指數(shù)期貨的空頭頭寸和現(xiàn)金：(1100-1060)x$250=$10,000n 而如果在到期日，S&P500指數(shù)期貨價高于1100點的話，則該期權不會被執(zhí)行。n 期權持有者在執(zhí)行期權后，如果不想繼續(xù)保持其期貨頭寸，可以立即無費用地平倉期貨期權的特點n 期貨期權的到期日n 一般來說，期貨期權合約的到期日通常比標的期貨合約的最早交割日早幾天或同時n 期貨期權與直接期權的比較n 對歐式期權，到期日相同時，兩者相同n 對美式期權可能略有不同n 期貨期權的優(yōu)點n 期貨期權更易于交割n 期貨的價格更具權威性期貨期權的定價n 風險中性世界中期貨價格的增長率n 期貨價格的期望增長率為零n 與支付

9、連續(xù)紅利率股票的比較n 紅利率a使股價增長率降低到r-an 期貨價格的變化等同于紅利率為r的股票價格的變化n 套用支付已知紅利率股票的B-S公式n 紅利率等于無風險利率r期貨期權定價公式例：期權的風險n 設：n 某股票當前價25元n 以該股票為標的，三個月后到期，執(zhí)行價為25的歐式看漲期權價格為2元n 假如到期時股價的可能范圍為20到35元n 若投資股票n 投資收益率的可能范圍在-20%到+40%之間n 若投資期權的話n 投資收益率在-100%到+400%之間期權的購買者n期權的收益波動性很大（見上例）n 以投機為目的購買期權n 風險大n 以保值為目的購買期權n 風險對沖n 相當于購買保險期權

10、的出售者n 風險很大n 收入有限n （或有）支出可能無限n 期權的出售者n 一般是銀行或金融機構n 它們對客戶提供保險n 在場外交易（OTC）中，金融機構出售非標準化的期權，其空頭頭寸往往面臨巨大的風險，這種空頭頭寸無法通過在期權交易所購買相應的期權合約來對沖n 金融機構必須采取措施對它面臨的風險進行管理，或者說對持有的期權頭寸進行套期保值抵補期權頭寸n 考慮一個金融機構出售了上面例子中的期權n 設期權標的為10萬股股票n 獲得期權費20萬元n 如果股價上升到35元，將支出100萬元n 希望采取措施來套期保值n 抵補期權頭寸策略（Covered Position）n 為了抵消股票價格上升帶來的

11、損失，在賣出期權的同時買入（ 10萬股）股票，作為保險n 抵補期權頭寸策略的問題止損策略（Stop-loss Strategy）n 理想：n 若到期時股票價格高于執(zhí)行價，則手中持有股票可交割，若低于執(zhí)行價，則手中沒有股票，也不必交割n 基本思路n 出售了一個看漲期權以后，當股票價格高于執(zhí)行價時就持有股票，當股票價格低于執(zhí)行價時就不持有股票止損策略示意圖止損策略的問題n 止損策略的表面結果n 履約成本小于期權價（有時為零）n 原因：止損策略的成本n 買賣價差n 必須等股價略微超出執(zhí)行價，即S=K+時才能買入股票，同樣，出售股票的決策也要等到股價略微低于執(zhí)行價，即S=K-時才能作出n 一進一出，在

12、每一股股票上就損失n 的取值是否越小越好呢？n 實際操作n 每隔一段時間觀測一次n 若發(fā)現(xiàn)股價已超出執(zhí)行價，則買入股票n 若股價已低于執(zhí)行價，則賣出股票n 間隔時間短近似相當于的取值比較小，間隔時間長近似相當于的取值比較大例：止損策略示例n 設：金融機構出售了1份看漲期權n 獲得期權費20萬元n 期權標的為10萬股股票n 股票當前價為25元n 期權執(zhí)行價為25元n 金融機構采用止損策略n 不考慮交易費用和貼現(xiàn)n 可能結果如下：例：止損策略示例 I例：止損策略示例 IIDelta套期保值n一種衍生證券的Delta定義為該衍生證券的價格變化對其標的資產(chǎn)價格變化的比率。n 對于一個以股票為標的的衍生

13、證券，若其價格用f表示，則其Delta表示為：n或 當股價變化很小時：Delta套期保值(cont.)n 按照Delta的定義，它實際上是衍生證券（組合）價格對標的資產(chǎn)價格的敏感度，如果Delta等于零，則衍生證券（組合）的價格不隨標的資產(chǎn)價格而變n Delta套期保值n 構造一個組合，使它的Delta等于零n 例如n 以某股票為標的資產(chǎn)的一種衍生證券，其Delta記為，對一份該衍生證券的空頭頭寸，購入份標的股票，則整個頭寸的Delta為零。整個頭寸的價值將不隨標的股票的價格而變。Delta套期保值(cont.)n 歐式看漲期權 和看跌期權的Delta：nn Delta套期保值的操作n 連續(xù)調整n 與二叉樹模型中的比較n Delta套期保值的實際效