機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)(第五版)課件

1、 1. 1.課程的最終成績(jī)構(gòu)成：考試成績(jī)（課程的最終成績(jī)構(gòu)成：考試成績(jī)（70%70%）+ +平時(shí)成績(jī)（平時(shí)成績(jī)（20%20%）+ +實(shí)驗(yàn)（實(shí)驗(yàn)（30%30%）2. 2.實(shí)行點(diǎn)名制度，曠課一次平時(shí)成績(jī)扣實(shí)行點(diǎn)名制度，曠課一次平時(shí)成績(jī)扣5 5分。請(qǐng)假需要正式假條。分。請(qǐng)假需要正式假條。3. 3.按時(shí)、按質(zhì)、按量、獨(dú)立完成作業(yè)，發(fā)現(xiàn)大量抄襲的情況，只有看到的按時(shí)、按質(zhì)、按量、獨(dú)立完成作業(yè)，發(fā)現(xiàn)大量抄襲的情況，只有看到的 第一本作業(yè)有成績(jī)，其余就算沒(méi)交。作業(yè)一次不交平時(shí)成績(jī)扣第一本作業(yè)有成績(jī)，其余就算沒(méi)交。作業(yè)一次不交平時(shí)成績(jī)扣5 5分。分。4. 4.課堂上不許大聲說(shuō)話，有問(wèn)題請(qǐng)舉手或下課討論；上課過(guò)

2、程中，手機(jī)不課堂上不許大聲說(shuō)話，有問(wèn)題請(qǐng)舉手或下課討論；上課過(guò)程中，手機(jī)不 許響，響一次平時(shí)成績(jī)扣許響，響一次平時(shí)成績(jī)扣5 5分。分。5. 5.上課請(qǐng)積極回答問(wèn)題，回答問(wèn)題正確平時(shí)成績(jī)加上課請(qǐng)積極回答問(wèn)題，回答問(wèn)題正確平時(shí)成績(jī)加5 5分，回答錯(cuò)誤平時(shí)成績(jī)分，回答錯(cuò)誤平時(shí)成績(jī) 加加1 1分。分。 優(yōu)化設(shè)計(jì)是20世紀(jì)60年代初，在電子計(jì)算機(jī)技術(shù)廣泛應(yīng)用的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的一門(mén)新的設(shè)計(jì)方法。它是以電子計(jì)算機(jī)為計(jì)算工具，利用最優(yōu)化原理和方法尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)的一門(mén)先進(jìn)設(shè)計(jì)技術(shù)。 優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)：根據(jù)給定的設(shè)計(jì)要求和現(xiàn)有的設(shè)計(jì)條件，應(yīng)用專(zhuān)業(yè)理論和優(yōu)化方法，在計(jì)算機(jī)上滿足給定設(shè)計(jì)要求的許多可行方案中，按給定

3、的目標(biāo)自動(dòng)地選出最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)：在滿足一定約束的前提下，尋找一組設(shè)計(jì)參數(shù)，使機(jī)械產(chǎn)品單項(xiàng)設(shè)計(jì)指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)的過(guò)程。 緒論：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)：機(jī)械設(shè)計(jì)理論+優(yōu)化方法得到設(shè)計(jì)參數(shù)的指在一定條件指在一定條件( (各種設(shè)計(jì)因素各種設(shè)計(jì)因素) ) 影響下影響下所能得到的最佳設(shè)計(jì)值。所能得到的最佳設(shè)計(jì)值。 （相對(duì)概（相對(duì)概念）念）機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法包括：機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)方法包括：1)解析法: 主要是利用微分學(xué)和變分學(xué)的理論，適應(yīng)于解決小型和簡(jiǎn)單的問(wèn)題；2)數(shù)值計(jì)算方法: 使利用已知的信息，通過(guò)迭代計(jì)算來(lái)逼近最優(yōu)化問(wèn)題的解，因此它的運(yùn)算量很大，直到計(jì)算機(jī)出現(xiàn)后才得以實(shí)現(xiàn)。 傳統(tǒng)設(shè)計(jì)

4、傳統(tǒng)設(shè)計(jì)：在調(diào)查分析的基礎(chǔ)上，參考同類(lèi)產(chǎn)品通過(guò)估算、經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比或試驗(yàn)等方法來(lái)確定初始方案，然后通過(guò)計(jì)算各個(gè)參數(shù)是否能滿足設(shè)計(jì)指標(biāo)的要求，如果不符合要求就憑借經(jīng)驗(yàn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行修改，反復(fù)進(jìn)行分析計(jì)算性能檢驗(yàn)參數(shù)修改，直到符合設(shè)計(jì)指標(biāo)為止。 優(yōu)化設(shè)計(jì)優(yōu)化設(shè)計(jì)：借助計(jì)算機(jī)技術(shù)，應(yīng)用一些精度較高的力學(xué)的數(shù)值分析方法（如有限元法等）進(jìn)行分析計(jì)算，并從大量的可行設(shè)計(jì)方案中尋找到一種最優(yōu)的設(shè)計(jì)方案。 優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比有以下三點(diǎn)特點(diǎn)：優(yōu)化設(shè)計(jì)與傳統(tǒng)設(shè)計(jì)相比有以下三點(diǎn)特點(diǎn)： 設(shè)計(jì)的思想是最優(yōu)設(shè)計(jì)，需要建立一個(gè)能夠正確反映實(shí)際設(shè)計(jì)問(wèn)題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型； 設(shè)計(jì)的方法是優(yōu)化方法，一個(gè)方案參數(shù)的調(diào)整是計(jì)算機(jī)沿著使方案更好

5、的方向自動(dòng)進(jìn)行的，從而選出最優(yōu)方案； 設(shè)計(jì)的手段是計(jì)算機(jī)，由于計(jì)算機(jī)的運(yùn)算速度快，分析和計(jì)算一個(gè)方案只需要幾秒甚至千分之一秒，因而可以從大量的方案中選出“最優(yōu)方案”。 機(jī)械優(yōu)化設(shè)計(jì)包括： 1）建立優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型 2）選擇恰當(dāng)?shù)膬?yōu)化方法 3）編程求解最優(yōu)的設(shè)計(jì)參數(shù)本課程的研究?jī)?nèi)容： 優(yōu)化的原理與算法本課程分為八章進(jìn)行討論：第一章，介紹優(yōu)化設(shè)計(jì)的基本概念；第二章，介紹優(yōu)化設(shè)計(jì)算法中用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，為后面幾章的學(xué)習(xí)打好基礎(chǔ)；第三、四、五、六章分別介紹一位搜索、無(wú)約束優(yōu)化、線性規(guī)劃和約束優(yōu)化的原理與算法，這些都是本課程學(xué)習(xí)的重點(diǎn)；第七章，介紹多目標(biāo)及離散變量?jī)?yōu)化方法；第八章，介紹幾種機(jī)械優(yōu)

6、化設(shè)計(jì)的實(shí)例，說(shuō)明如何應(yīng)用優(yōu)化方法解決機(jī)械設(shè)計(jì)問(wèn)題。 1）模糊優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)2）面向產(chǎn)品創(chuàng)新設(shè)計(jì)的優(yōu)化技術(shù)3）廣義優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)4）產(chǎn)品全壽命周期的優(yōu)化設(shè)計(jì)技術(shù)5）CAD/CAPP/CAM集成系統(tǒng)中的優(yōu)化技術(shù)6）智能優(yōu)化算法7）多學(xué)科綜合優(yōu)化 如圖所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成，如圖所示的人字架由兩個(gè)鋼管構(gòu)成， 其頂點(diǎn)受外力其頂點(diǎn)受外力2F=32F=310105 5N N。 人字架的跨度人字架的跨度2B=152cm2B=152cm， 鋼管壁厚鋼管壁厚T=0.25cmT=0.25cm， 鋼管材料的彈性模量鋼管材料的彈性模量E=2.1E=2.110105 5MpaMpa， 材料密度材料密度=7.8=7.8

7、10103 3kg/mkg/m3 3， 許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力 y y= 420MPa= 420MPa。 求在鋼管求在鋼管壓應(yīng)力壓應(yīng)力 不超過(guò)許用壓應(yīng)力不超過(guò)許用壓應(yīng)力 y y 和和失穩(wěn)臨界應(yīng)力失穩(wěn)臨界應(yīng)力 e e的條件下，的條件下， 人字架的人字架的高高h(yuǎn) h和鋼管和鋼管平均直徑平均直徑D D，使鋼管，使鋼管總質(zhì)量總質(zhì)量m m為最小為最小。人字架的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題歸納為求x=D hT 使質(zhì)量m(x)min滿足強(qiáng)度約束條件和穩(wěn)定約束條件ex)(yx)(L1222122442222()I()()48A()rRD=r+RT=R-reFLF BhFhhEIFLAIRrTDARrTD鋼管所受的壓力壓桿失穩(wěn)的

8、臨界壓力其中， 是鋼管截面慣性矩是鋼管截面面積和 分別是鋼管的內(nèi)半徑和外半徑而12221222221222122222222()()8()()()()8()eeyFF BhATDhFE TDABhF BhTDhF BhE TDTDhBh鋼管所受的壓應(yīng)力是鋼管的臨界應(yīng)力是根據(jù)強(qiáng)度約束條件有根據(jù)穩(wěn)定約束條件有1222122222( , )22()( , )()( , )2( )yyym D hALTD BhD hF BhDm D hThF Bhm hh 人字架總質(zhì)量剛好滿足強(qiáng)度條件導(dǎo)出代入式中得到2222*22()(1)01527622D6.4348.47yyyydmF dBhFBdhdhhhhB

9、cmcmFDcmTFBmkg 求導(dǎo)解得代入 表達(dá)式得等值線越往里，函數(shù)值越小;等值線愈稀疏說(shuō)明目標(biāo)函數(shù)值的變化愈慢；無(wú)約束時(shí),等值線族的共同中心就是函數(shù)的極小值。等值線（面）：等值線（面）：函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值依次為一系列常數(shù)的值依次為一系列常數(shù)c ci i時(shí)，變時(shí)，變量量x x取得的一系列值的集合。取得的一系列值的集合。求極值就是求等值線的中心！求極值就是求等值線的中心！等值線（面）：等值線（面）：函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的值依次為一系列常數(shù)的值依次為一系列常數(shù)c ci i時(shí)，變時(shí)，變量量x x取得的一系列值的集合。取得的一系列值的集合。二維設(shè)計(jì)問(wèn)題，等值線為平面曲線。對(duì)于三維設(shè)計(jì)問(wèn)

10、題，其等值函數(shù)是一個(gè)面，叫做等值面；對(duì)于n 維設(shè)計(jì)問(wèn)題則為等值超越曲面。 12221222122222222( , )2()min( )()( )()()8()yyem D hTD BhxF BhTDhxF BhE TDTDhBh人字架總質(zhì)量滿足強(qiáng)度約束條件即滿足穩(wěn)定約束條件即由圖中數(shù)據(jù)得：由圖中數(shù)據(jù)得：D D* *=6.43cm=6.43cm，h h* *=76cm=76cm，在極值點(diǎn)處，在極值點(diǎn)處m m* *=8.47kg=8.47kg 一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題一般包括三個(gè)部分：一個(gè)優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題一般包括三個(gè)部分： 1. 1.需要合理選擇的一組獨(dú)立參數(shù)，稱(chēng)為需要合理選擇的一組獨(dú)立參數(shù)，稱(chēng)為設(shè)計(jì)變量設(shè)

11、計(jì)變量； 2. 2.需要最佳滿足的設(shè)計(jì)目標(biāo)，這個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)變量的需要最佳滿足的設(shè)計(jì)目標(biāo)，這個(gè)設(shè)計(jì)目標(biāo)是設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，稱(chēng)為函數(shù)，稱(chēng)為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)； 3. 3.所選擇的設(shè)計(jì)變量必須滿足一定的限制條件，稱(chēng)為所選擇的設(shè)計(jì)變量必須滿足一定的限制條件，稱(chēng)為約束約束條件條件（或稱(chēng)設(shè)計(jì)約束）。（或稱(chēng)設(shè)計(jì)約束）。優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型的：設(shè)計(jì)變量、目：設(shè)計(jì)變量、目標(biāo)函數(shù)和約束條件。標(biāo)函數(shù)和約束條件。 在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)在設(shè)計(jì)過(guò)程中進(jìn)行選擇并最終必須確定的各項(xiàng)獨(dú)立獨(dú)立參數(shù)，參數(shù)，稱(chēng)為設(shè)計(jì)變量。稱(chēng)為設(shè)計(jì)變量。 設(shè)計(jì)變量向量：設(shè)計(jì)變量向量：12Tnxx xx設(shè)計(jì)

12、常量：參數(shù)中凡是可以根據(jù)設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)常量：參數(shù)中凡是可以根據(jù)設(shè)計(jì)要求事先給定事先給定的，稱(chēng)為設(shè)計(jì)常量的，稱(chēng)為設(shè)計(jì)常量 。設(shè)計(jì)變量：需要在設(shè)計(jì)過(guò)程中設(shè)計(jì)變量：需要在設(shè)計(jì)過(guò)程中優(yōu)選的參數(shù)優(yōu)選的參數(shù)，稱(chēng)為設(shè)計(jì)變量。，稱(chēng)為設(shè)計(jì)變量。連續(xù)設(shè)計(jì)變量：有界連續(xù)變化的量。連續(xù)設(shè)計(jì)變量：有界連續(xù)變化的量。離散設(shè)計(jì)變量：表示為離散量。離散設(shè)計(jì)變量：表示為離散量。優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)：優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)：設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如設(shè)計(jì)變量的數(shù)目稱(chēng)為優(yōu)化設(shè)計(jì)的維數(shù)，如有有n(n=1n(n=1，2 2，)個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為個(gè)設(shè)計(jì)變量，則稱(chēng)為n n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。維設(shè)計(jì)問(wèn)題。 任意一個(gè)任意一個(gè)特定的向量特定的向量都可以說(shuō)是一

13、個(gè)都可以說(shuō)是一個(gè)“設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)”。 設(shè)計(jì)空間：設(shè)計(jì)空間：由由n n個(gè)設(shè)計(jì)向量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱(chēng)作設(shè)計(jì)個(gè)設(shè)計(jì)向量為坐標(biāo)所組成的實(shí)空間稱(chēng)作設(shè)計(jì)空間。空間。 一個(gè)一個(gè)“設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)”，就是設(shè)計(jì)空間中的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以看，就是設(shè)計(jì)空間中的一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)可以看成是設(shè)計(jì)變量向量的端點(diǎn)（始點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)），稱(chēng)這個(gè)成是設(shè)計(jì)變量向量的端點(diǎn)（始點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)），稱(chēng)這個(gè)點(diǎn)式點(diǎn)式設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)點(diǎn)。設(shè)計(jì)空間的維數(shù)設(shè)計(jì)空間的維數(shù)（設(shè)計(jì)的自由度設(shè)計(jì)的自由度）：設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)）：設(shè)計(jì)變量愈多，則設(shè)計(jì)的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度的自由度愈大、可供選擇的方案愈多，設(shè)計(jì)愈靈活，但難度亦愈大、求解亦愈復(fù)雜。亦愈大

14、、求解亦愈復(fù)雜。 含有含有210210個(gè)設(shè)計(jì)變量的為個(gè)設(shè)計(jì)變量的為小型小型設(shè)計(jì)問(wèn)題；設(shè)計(jì)問(wèn)題； 10501050個(gè)為個(gè)為中型中型設(shè)計(jì)問(wèn)題；設(shè)計(jì)問(wèn)題； 5050個(gè)以上個(gè)以上的為的為大型大型設(shè)計(jì)問(wèn)題。設(shè)計(jì)問(wèn)題。約束條件：約束條件：在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，對(duì)設(shè)計(jì)變量取值時(shí)的限制取值時(shí)的限制條件條件，稱(chēng)為約束條件或設(shè)計(jì)約束，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。，稱(chēng)為約束條件或設(shè)計(jì)約束，簡(jiǎn)稱(chēng)約束。 等式約束：等式約束： 等式約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束嚴(yán)格（降低設(shè)計(jì)自由度）等式約束對(duì)設(shè)計(jì)變量的約束嚴(yán)格（降低設(shè)計(jì)自由度）不等式約束：不等式約束： 要求設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中約束曲面要求設(shè)計(jì)點(diǎn)在設(shè)計(jì)空間中約束曲面 的一側(cè)的一側(cè) （包

15、括曲面本身）（包括曲面本身） ( )0h x ( )0g x ( )0g x ( )0(1,2, )kh xkl( )0(1,2,)jgxjm目標(biāo)函數(shù)（評(píng)價(jià)函數(shù)）：目標(biāo)函數(shù)（評(píng)價(jià)函數(shù)）：在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，把設(shè)計(jì)目在優(yōu)化設(shè)計(jì)中，把設(shè)計(jì)目標(biāo)（設(shè)計(jì)指標(biāo)）用標(biāo)（設(shè)計(jì)指標(biāo)）用設(shè)計(jì)變量的函數(shù)形式表示設(shè)計(jì)變量的函數(shù)形式表示出來(lái)，這個(gè)出來(lái)，這個(gè)函數(shù)就叫做目標(biāo)函數(shù)，用它可以評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，函數(shù)就叫做目標(biāo)函數(shù)，用它可以評(píng)價(jià)設(shè)計(jì)方案的好壞，所以它又被稱(chēng)作評(píng)價(jià)函數(shù)。所以它又被稱(chēng)作評(píng)價(jià)函數(shù)。12( )( ,)nf xf x xx12( )( ,)minnf xf x xx12( )( ,)maxnf xf x xx12

16、( )( ,)minnf xf x xx 單目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題：?jiǎn)文繕?biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題：在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以在最優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題中，可以只有一只有一個(gè)個(gè)目標(biāo)函數(shù)。目標(biāo)函數(shù)。多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題：多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問(wèn)題：當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函多個(gè)目標(biāo)函數(shù)數(shù)時(shí)，這種問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。時(shí)，這種問(wèn)題稱(chēng)為多目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題。 1112221212( )( ,)( )( ,)( )( ,)nnqqnf xf x xxfxfx xxfxfx xx1122( )( )( ).( )qqf xW f xW fxW fxWq：加權(quán)因子，是個(gè)非負(fù)系數(shù)。 1212( )( ,)min(

17、)0(1,2, )( )0(1,2,)Tnnkjxx xxf xf x xxh xklgxjm求設(shè)計(jì)變量使目標(biāo)函數(shù)且滿足約束條件和約束優(yōu)化問(wèn)題約束優(yōu)化問(wèn)題無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：k=j=0min( ),nf xxR優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型min( ),. .( )0(1,2, )( )0(1,2,)nkjf x xRst h xklgxjm 建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，在計(jì)算機(jī)上求得的解，就稱(chēng)為建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，在計(jì)算機(jī)上求得的解，就稱(chēng)為優(yōu)優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解化問(wèn)題的最優(yōu)解，它包括：，它包括：1 1）最優(yōu)方案（最優(yōu)點(diǎn)）最優(yōu)方案（最優(yōu)點(diǎn)）：2 2）最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值：*12,

18、Tnxx xx*()min( )f xf x建立數(shù)學(xué)模型要求建立數(shù)學(xué)模型要求： 1 1）希望建立一個(gè)盡可能）希望建立一個(gè)盡可能完善完善的數(shù)學(xué)模型，的數(shù)學(xué)模型，精精確確的表達(dá)實(shí)際問(wèn)題；的表達(dá)實(shí)際問(wèn)題； 2 2）力求所建立的數(shù)學(xué)模型盡可能的）力求所建立的數(shù)學(xué)模型盡可能的簡(jiǎn)單簡(jiǎn)單，方，方便計(jì)算求解。便計(jì)算求解。例：現(xiàn)用薄板制造一體積例：現(xiàn)用薄板制造一體積5m5m3 3，長(zhǎng)度不小于，長(zhǎng)度不小于4m4m的無(wú)上蓋的立的無(wú)上蓋的立方體貨箱。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的方體貨箱。要求該貨箱的鋼板耗費(fèi)量最少，試確定貨箱的長(zhǎng)、寬和高的尺寸。（寫(xiě)出該長(zhǎng)、寬和高的尺寸。（寫(xiě)出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問(wèn)題的

19、數(shù)學(xué)模型）例：有一塊薄板，寬度為例：有一塊薄板，寬度為24cm24cm，長(zhǎng)度為，長(zhǎng)度為100cm100cm，制成如圖所，制成如圖所示的梯形槽，問(wèn)斜邊長(zhǎng)示的梯形槽，問(wèn)斜邊長(zhǎng)l l和傾角和傾角 為多大時(shí)，梯形槽的容積最為多大時(shí)，梯形槽的容積最大。（寫(xiě)出該大。（寫(xiě)出該優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型）優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋?zhuān)簝?yōu)化問(wèn)題的幾何解釋?zhuān)簾o(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題：目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)就是等值面的中心；：目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)就是等值面的中心；等式約束優(yōu)化問(wèn)題等式約束優(yōu)化問(wèn)題：設(shè)計(jì)變量：設(shè)計(jì)變量x x的設(shè)計(jì)點(diǎn)必須在的設(shè)計(jì)點(diǎn)必須在所表示的面或線上，為起作用約束。所表示的面或線上，為起作用約束。不等式約束

20、優(yōu)化問(wèn)題不等式約束優(yōu)化問(wèn)題：可行點(diǎn)：可行點(diǎn) 非可行點(diǎn)非可行點(diǎn) 邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)( )0h x ( )0g x ( )0g x ( )0g x優(yōu)化問(wèn)題的幾何解釋?zhuān)簝?yōu)化問(wèn)題的幾何解釋?zhuān)簲?shù)學(xué)解析法：數(shù)學(xué)解析法：把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來(lái)后，用數(shù)學(xué)解析法（如微分法、變分法等）來(lái)把優(yōu)化對(duì)象用數(shù)學(xué)模型描述出來(lái)后，用數(shù)學(xué)解析法（如微分法、變分法等）來(lái)求出最優(yōu)解。求出最優(yōu)解。圖解法：圖解法：直接用作圖的方法來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出直接用作圖的方法來(lái)求解優(yōu)化問(wèn)題，通過(guò)畫(huà)目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)的圖形，求出最優(yōu)解。特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀，但僅限于最優(yōu)解。特點(diǎn)是簡(jiǎn)單、直觀，但僅限于n2n2的低維優(yōu)化問(wèn)

21、題的求解。的低維優(yōu)化問(wèn)題的求解。 數(shù)值迭代法：數(shù)值迭代法：依賴(lài)于計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算特點(diǎn)而產(chǎn)生的，它具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反依賴(lài)于計(jì)算機(jī)的數(shù)值計(jì)算特點(diǎn)而產(chǎn)生的，它具有一定邏輯結(jié)構(gòu)并按一定格式反復(fù)迭代計(jì)算，逐步逼近優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的一種方法。不僅可以用于求解復(fù)迭代計(jì)算，逐步逼近優(yōu)化問(wèn)題最優(yōu)解的一種方法。不僅可以用于求解復(fù)雜函復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化解，還可以用于處理沒(méi)有數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。數(shù)的優(yōu)化解，還可以用于處理沒(méi)有數(shù)學(xué)解析表達(dá)式的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。 000102. .44)(min2413222121122211xXgxXgxxXgxxXgt sxxxXf例例1 1：求下列二維優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解：

22、求下列二維優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解 圖解法圖解法 000102. .44)(min2413222121122211xXgxXgxxXgxxXgt sxxxXf05 . 0)(12xxXh2221) 2() 2()(minxxXf0)(11xXg22( )0g Xx04)(22213xxXgs.t.X2O（2，2）h (X)g1(X)g3(X)X1g2(X)練習(xí)練習(xí)1：求下列二維優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解：求下列二維優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)解練習(xí)練習(xí)2：已知優(yōu)化問(wèn)題：已知優(yōu)化問(wèn)題2221) 5() 2()(minxxXf 221212123142.1602000st g XxxgXxxgXxgXx 畫(huà)出此優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)

23、等值線和約束曲線，并確定畫(huà)出此優(yōu)化問(wèn)題的目標(biāo)函數(shù)等值線和約束曲線，并確定（1）可行域的范圍（用陰影畫(huà)出）可行域的范圍（用陰影畫(huà)出）（2）在圖中標(biāo)出無(wú)約束最優(yōu)解）在圖中標(biāo)出無(wú)約束最優(yōu)解 和約束最優(yōu)解和約束最優(yōu)解（3）若加入等式約束）若加入等式約束 在圖中標(biāo)出約束最優(yōu)解在圖中標(biāo)出約束最優(yōu)解 021xxXh 11,XfX 22,XfX 33,XfXg2(X)g1(X)g3(X)g4(X)X1X2ABCh (X)o數(shù)值迭代法的基本步驟：數(shù)值迭代法的基本步驟：數(shù)值迭代法的核心：數(shù)值迭代法的核心： 1 1）建立搜索方向）建立搜索方向d dk k 2 2）計(jì)算最佳步長(zhǎng)）計(jì)算最佳步長(zhǎng) k k 3 3）如何判斷

24、是否找到最優(yōu)點(diǎn)）如何判斷是否找到最優(yōu)點(diǎn)迭代法的基本思想：迭代法的基本思想：步步逼近、步步下降步步逼近、步步下降數(shù)值迭代法的迭代終止準(zhǔn)則數(shù)值迭代法的迭代終止準(zhǔn)則（ 是充分小的正數(shù)，且是充分小的正數(shù)，且00）1. 1.點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則：點(diǎn)距足夠小準(zhǔn)則： 當(dāng)相鄰兩個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的移動(dòng)距離已達(dá)到充分小時(shí)。當(dāng)相鄰兩個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的移動(dòng)距離已達(dá)到充分小時(shí)。2. 2.函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則：函數(shù)下降量足夠小準(zhǔn)則： 當(dāng)函數(shù)值的下降量充分小時(shí)，也就是前后兩個(gè)迭代點(diǎn)間函當(dāng)函數(shù)值的下降量充分小時(shí)，也就是前后兩個(gè)迭代點(diǎn)間函數(shù)的目標(biāo)函數(shù)值充分接近時(shí)。數(shù)的目標(biāo)函數(shù)值充分接近時(shí)。11kkxx13()()kkf xf x14()()()kk

25、kf xf xf x12(i=1,2, )kkiixxn數(shù)值迭代法的迭代終止準(zhǔn)則：數(shù)值迭代法的迭代終止準(zhǔn)則：3. 3.函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則：函數(shù)梯度充分小準(zhǔn)則： 根據(jù)極值存在的必要條件（函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件根據(jù)極值存在的必要條件（函數(shù)極值點(diǎn)的必要條件是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度的模為零），則迭代點(diǎn)的函數(shù)是函數(shù)在這一點(diǎn)的梯度的模為零），則迭代點(diǎn)的函數(shù)梯度的模充分小時(shí)，可以作為迭代的終止準(zhǔn)則。梯度的模充分小時(shí)，可以作為迭代的終止準(zhǔn)則。15()kf x 一個(gè)多元函數(shù)可用一個(gè)多元函數(shù)可用偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念來(lái)研究函數(shù)沿各坐標(biāo)方向的概念來(lái)研究函數(shù)沿各坐標(biāo)方向的變化率。的變化率。 二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：二元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)：

26、10201201020101201020011102021020022( ,)(,),lim,limxxxxf x xx xxf xx xf xxfxxf xxxf xxfxx一個(gè)二元函數(shù)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)是0120102010120210200( ,)(,),limdxf x xx xxdf xx xxf xxfdd 稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處沿某一方向的變化率為該函數(shù)沿此方向的方向?qū)?shù)，公式可以表示為21o1x2x10 x20 x0X1x2xd偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與與方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)之間的之間的數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系：00010120210200101201020101101202101202021212,lim,lim

27、,(,)limcoscosdxddxxf xx xxf xxfddf xx xf xxxxdf xx xxf xx xxxdffxx 0001212coscosxxxfffxxd 多元函數(shù)的方向?qū)?shù)：多元函數(shù)的方向?qū)?shù)：0000012012112i(,)xcoscoscoscoscosnnniixnixxxxinf x xxdfffffxxxxdd 元函數(shù)在點(diǎn)處沿方向 的方向?qū)?shù)可以表示成：其中，是方向 與坐標(biāo)軸x 方向之間夾角的余弦。例：例：21212012112212( )( ,),1 14436Tf xf x xx xxdddd設(shè)目標(biāo)函數(shù)求點(diǎn)處沿和兩個(gè)方向的方向?qū)?shù)。向量 的方向?yàn)椋?，?/p>

28、量 的方向?yàn)椋海?010120122( ,)(),Txxfxfff x xxf xfxxx二元函數(shù)在點(diǎn) 處的梯度是0012102( ,)cos()cosxff x xxdf xd 二元函數(shù)在點(diǎn) 處的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)處的梯度與方向單位向量的內(nèi)積。方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系：000()() cos(, )Txff xdf xf dd 0010120122( ,)(),Txxfxfff x xxf xfxxx二元函數(shù)在點(diǎn) 處的梯度是 1 1）梯度是一個(gè)向量；）梯度是一個(gè)向量； 2 2）梯度方向是方向?qū)?shù)最大的方向，即函）梯度方向是方向?qū)?shù)最大的方向，即函數(shù)值變化最快（函數(shù)值變化率最大

29、）的方向數(shù)值變化最快（函數(shù)值變化率最大）的方向 ； 3 3）梯度方向是等值面（線）的法線方向）梯度方向是等值面（線）的法線方向 。000012102001212( ,)(,)nnTnxnxf x xxxxxxfxffffxf xxxxfx函數(shù)在點(diǎn)處的梯度是220121212,4250 0Tf x xxxxxx求二元函數(shù)在點(diǎn)處函數(shù)變化率最大的方向和數(shù)值。例題：例題：00110222201200244()222()2 52()51()5xxfxxf xfxxfff xxxf xpf x 解：解： 函數(shù)變化率最大的方向就是梯度方向，用單位向量 表示，函數(shù)變化率最大的數(shù)值就是梯度的模 。p 22121

30、21212,4253 22 2TTf x xxxxxxx求二元函數(shù)在點(diǎn)和點(diǎn)處的梯度，并作圖表示。例題：例題：020002200( )1( )()()()2()f xxxf xf xfxxfxxxxxxxx 在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式：其中，000000121020222221210201211222212112211102220(,)(,)1(,)(,)22xxxxxf x xxxxffffff x xf xxxxxxxxxxxx xxxxxxxx 在點(diǎn)處的泰勒展開(kāi)式：其中，二元函數(shù)：二元函數(shù)：二元函數(shù)泰勒展開(kāi)式的矩陣形式：二元函數(shù)泰勒展開(kāi)式的矩陣形式： 00222112110122222122212

31、0001212xxTTffxx xxxfff xf xxxxxxxffxxxf xf xxx G xx 00121020( ,)(,)G xf x xxxx是函數(shù)在點(diǎn)處的海賽矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣對(duì)稱(chēng)矩陣泰勒展開(kāi)式的矩陣形式：泰勒展開(kāi)式的矩陣形式：0001( )2TTf xfxfxxx G xx 0012Tnxffff xxxx 是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度是函數(shù)在該點(diǎn)的梯度多元函數(shù)的海賽矩陣：多元函數(shù)的海賽矩陣：22221121222202122222212nnnnnfffxx xx xfffG xxxxxxfffxxxxx 3322012121( )3391 1Tf xxxxxxx將函數(shù)在點(diǎn)處用泰勒展開(kāi)的方法

32、簡(jiǎn)化成一個(gè)二次函數(shù)。例：例：0001( )2TTf xf xf xxx G xx 多次函數(shù)（高次函數(shù)）多次函數(shù)（高次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）泰勒二次泰勒二次近似式近似式221211221212( )( ,)2,21( )2TTf xf x xaxbx xcxdxexfxabdXABCfxbcef xX AXB XC若令則多次函數(shù)（高次函數(shù)）多次函數(shù)（高次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）二次函數(shù)（低次函數(shù)）泰勒二次泰勒二次近似式近似式二次二維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：二次二維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：22112212( )28910f xxx xxxx例：將寫(xiě)成向量及矩陣形式

33、。二次二次n維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：維函數(shù)用向量和矩陣的表示方法：1211111121122122212( )( )( ,) , nnnnijijkkijkTTnnnnnnnf xnf xf x xxa x xb xcX AXB XCaaaxxaaaXAxaaa若是 維函數(shù)，則可按下式化為向量及矩陣形式：式中：12,nbbBCcb()()()();TTTTf XB XX Bf XB XX BB （1）函數(shù)的梯度為()()()2;TTfXXXfXXXX （2）函數(shù)的梯度為11()()();22 (A)TTfXXAXfXXAXAX （3）函數(shù)的梯度為為是對(duì)稱(chēng)矩陣1()21 ()()2TTTT

34、fXXAXB XCfXXAXB XCAXB （ 4） 對(duì) 于 一 般 二 次 函 數(shù)， 梯 度 為12211111,()( ,)Tijn nnnnnnnTijijiiiijijijiijj iAaxx xxxx Axa x xa xa x x 設(shè)是方陣，是列向量，則 與矩陣A的二次型是00A0A00ATTTxx Axx Axxx Ax如果對(duì)于任意，有二次型成立，則矩陣 為正定矩陣；若二次型，則矩陣 為半正定矩陣；相反，如果對(duì)于任意，有，則矩陣 負(fù)定。矩陣正定與負(fù)定的判定：矩陣正定與負(fù)定的判定：正定：正定：矩陣矩陣A A正定的條件是正定的條件是A A的的各階主子式大于零各階主子式大于零；負(fù)定：負(fù)

35、定：矩陣矩陣A A負(fù)定的條件是負(fù)定的條件是各階主子式負(fù)、正相間各階主子式負(fù)、正相間。*12*12()()()0,0,0()()()(),0nTnf xf xf xxxxf xf xf xf xxxx，即梯度 *G xG x海賽矩陣正定（負(fù)定），即的各階主子式均大于零（或負(fù)、正相間）*1212( )( ,)( ,)Tnnf xf x xxxx xx多元函數(shù)在點(diǎn)處取得極值必要條件必要條件充分條件充分條件 12*12*( )( ,)( ,)nTnf xf x xxxx xxG xG x多元函數(shù)在點(diǎn)處取得極小值的充要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)的剃度為0，且海賽矩陣正定，即的各階主子式均大于零。 12*12*(

36、 )( ,)( ,)nTnf xf x xxxx xxG x多元函數(shù)在點(diǎn)處取得極大值的充要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)的剃度為0，且海賽矩陣負(fù)定，即各階主子式負(fù)、正相間。4222112121( )245,4f xxx xxxx證明函數(shù)在點(diǎn)（2 ）處具有極小值。例：例： 當(dāng)極值點(diǎn)當(dāng)極值點(diǎn)x x* *能使能使f f（x x* *）在）在整個(gè)可行域中整個(gè)可行域中為最小值（最大為最小值（最大值）時(shí)，即在整個(gè)可行域中對(duì)任一值）時(shí)，即在整個(gè)可行域中對(duì)任一 x x都有都有f f（x x）ff（x x* *）（或者（或者f（x）f（x*） ）時(shí)，則）時(shí)，則x x* * 就是全局極小點(diǎn)（全局極就是全局極小點(diǎn)（全局極大點(diǎn)）

37、。大點(diǎn)）。全局極值點(diǎn)（最優(yōu)點(diǎn)）：全局極值點(diǎn)（最優(yōu)點(diǎn)）： 若若f f（x x* *）為）為局部可行域中局部可行域中的極小值（極大值）而不的極小值（極大值）而不是整個(gè)可行域中的最小值（或最大值）時(shí)，則稱(chēng)是整個(gè)可行域中的最小值（或最大值）時(shí)，則稱(chēng)x x* *為局為局部極小點(diǎn)（局部極大點(diǎn)）。部極小點(diǎn)（局部極大點(diǎn)）。 局部極值點(diǎn)（相對(duì)極值點(diǎn)）：局部極值點(diǎn)（相對(duì)極值點(diǎn)）： 一個(gè)下凸的函數(shù)，它的極值點(diǎn)只有一個(gè)，并且該點(diǎn)既一個(gè)下凸的函數(shù)，它的極值點(diǎn)只有一個(gè)，并且該點(diǎn)既是局部極值點(diǎn)也是全局極值點(diǎn)，我們就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)具有是局部極值點(diǎn)也是全局極值點(diǎn)，我們就稱(chēng)這個(gè)函數(shù)具有凸性。凸性。 函數(shù)的凸性（單峰性）：函數(shù)的凸性（

38、單峰性）： 設(shè)設(shè)R R是一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），若連接其中任意兩點(diǎn)是一個(gè)點(diǎn)集（或區(qū)域），若連接其中任意兩點(diǎn)x x1 1和和x x2 2的直線都屬于的直線都屬于R R，則稱(chēng)這種集合，則稱(chēng)這種集合R R是一個(gè)凸集。是一個(gè)凸集。 凸集：凸集：121201(1)RxRxRxxyR如果對(duì)于一切，及一切滿足的實(shí)數(shù) ，點(diǎn)，則稱(chēng)集合 是凸集。凸集的性質(zhì)：凸集的性質(zhì)：1AaAaA |,2ABabABaAbB |,3Ax xa aAABx xab aA bB若 是一個(gè)凸集， 是一個(gè)實(shí)數(shù)， 是凸集 中的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，即，則集合還是凸集。若 和 是凸集， 、 分別是凸集 、 中的動(dòng)點(diǎn)，即，則集合還是凸集。任何一組凸集的交集還

39、是凸集。 具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值，具有凸性（表現(xiàn)為單峰性）或只有唯一的局部最優(yōu)值，即全局最優(yōu)值的函數(shù)，稱(chēng)為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。即全局最優(yōu)值的函數(shù)，稱(chēng)為凸函數(shù)或單峰函數(shù)。 凸函數(shù)：凸函數(shù)：1212121212R01Rxx( )(1)()(1) ()R( )(1)()(1) ()fxf xfxxf xf xf xfxxf xf x設(shè)f(x)是一個(gè)凸集 上的函數(shù)，如果對(duì)任何實(shí)數(shù)（）以及對(duì) 中任意兩點(diǎn) 和恒有，則函數(shù)f(x)就是定義在凸集 上的一個(gè)凸函數(shù)。如果將上式中的等號(hào)去掉而寫(xiě)成嚴(yán)格的不等式：則稱(chēng) （ ）為嚴(yán)格凸函數(shù)。 1 1若若f (x)f (x)為定義在凸集為定義在凸集R

40、 R上的一個(gè)凸函數(shù)，且上的一個(gè)凸函數(shù)，且 是一個(gè)正數(shù)（是一個(gè)正數(shù)（00），則），則f (x)f (x)也必是定義在凸集也必是定義在凸集R R上的上的凸函數(shù)凸函數(shù)。 2 2定義在凸集定義在凸集R R上的兩個(gè)凸函數(shù)上的兩個(gè)凸函數(shù)f f 1 1 (x) (x)和和f f 2 2 (x) (x) ，其和，其和f (x) = f (x) = f f 1 1 (x) + f (x) + f 2 2 (x)(x) 也一定是該凸集上的一個(gè)也一定是該凸集上的一個(gè)凸函數(shù)凸函數(shù)。 3 3若若f f 1 1 (x) (x) 、f f 2 2 (x)(x)是定義在凸集是定義在凸集R R上的兩個(gè)凸函數(shù)，上的兩個(gè)凸函數(shù)，

41、和和 為兩個(gè)任意正為兩個(gè)任意正數(shù)，則函數(shù)數(shù)，則函數(shù)f f 1 1 (x) +f (x) +f 2 2 (x)(x) 仍是仍是R R上的上的凸函數(shù)。凸函數(shù)。 4 4若定義在凸集若定義在凸集R R上的一個(gè)凸函數(shù)上的一個(gè)凸函數(shù)f (x)f (x)有有兩個(gè)最小點(diǎn)兩個(gè)最小點(diǎn)x x1 1和和x x2 2則這兩點(diǎn)處的則這兩點(diǎn)處的函數(shù)值函數(shù)值f (xf (x1 1) ) 和和f (xf (x2 2) ) 必相等必相等，否則，其中較大的點(diǎn)就不是，否則，其中較大的點(diǎn)就不是f (x)f (x)的最小點(diǎn)了。的最小點(diǎn)了。 5 5若若x1和和x2是定義在凸集是定義在凸集R R上的一個(gè)凸函數(shù)上的一個(gè)凸函數(shù)f (x)f (x

42、)的的兩個(gè)最小點(diǎn)兩個(gè)最小點(diǎn)，則其，則其連接連接線段上的一切點(diǎn)線段上的一切點(diǎn)必為必為f (x)f (x)的的最小點(diǎn)最小點(diǎn)。凸函數(shù)的性質(zhì)：凸函數(shù)的性質(zhì)：凸性條件：凸性條件： 12212111f xR1RR1,f xRxxR()()()()2f xR1RR1f xRf xRf xHessianG xTf xf xxxf x若為定義在上且具有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，而 又是內(nèi)部的一個(gè)凸集 則為 上的凸函數(shù)的充分必要條件為：對(duì)任意兩點(diǎn) 、，不等式恒成立。若為定義在上的一個(gè)函數(shù)，而 又是內(nèi)部的一個(gè)凸集。設(shè)在 上有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù)，則在 上為凸函數(shù)的充分必要條件為：函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)矩陣，即矩陣處處半正定。22121

43、21212( )10460D|,1,2if xxxx xxxxxxi 證明函數(shù)在，上是凸函數(shù)。例：例：2212( )()f xxx 試判斷函數(shù)的凸性。例：例：凹函數(shù)：凹函數(shù)：1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x凸函數(shù)凸函數(shù)下凸下凸有極小值有極小值上凸上凸有極大值有極大值凹函數(shù)凹函數(shù)1212( )(1)()(1) ()f xfxxf xf x凸規(guī)劃：凸規(guī)劃：目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)與與約束條件約束條件均為均為凸函數(shù)凸函數(shù)的優(yōu)化問(wèn)題稱(chēng)為凸規(guī)劃。的優(yōu)化問(wèn)題稱(chēng)為凸規(guī)劃。 001, |( )()2 |( )01,2, 3jRx f xf xRx gxjm）若給定點(diǎn)x 則集合是凸集。）凸規(guī)

44、劃的可行域是凸集。）凸規(guī)劃的任何局部最優(yōu)解就是全局最優(yōu)解。凸規(guī)劃的性質(zhì)凸規(guī)劃的性質(zhì) min( ). . ( )0 (1,2,)kf xst h xkm消元法降維法拉格朗日乘子法升維法12()xx12(,)0h xx12(,)f xx2()F x（二維）（二維）（一維）（一維）1212min( ,). . ( ,)0 f x xsth x x二元函數(shù)（一個(gè)等式約束）：二元函數(shù)（一個(gè)等式約束）：1212min( ,). . ( ,)0 (1,2, )nknf x xxsth x xxkl1112221212(,)(,)(,)llnllnllllnxxxxxxxxxxxx12min(,)llnF x

45、xx（ n-l n-l 維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題維無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題 ）1212min( ,). . ( ,)0 (1,2, )nknf x xxsth x xxkl*1(, )()()0lkkkF xf xh x 1( , )( )( )lkkkF xf xh x12 ,Tl 極值必要條極值必要條件件*1(, )()()0lkkkF xf xh x 極值必要條極值必要條件件幾何意義：幾何意義： 在等式約束的極值點(diǎn)上，目標(biāo)函數(shù)的在等式約束的極值點(diǎn)上，目標(biāo)函數(shù)的負(fù)梯度負(fù)梯度等于各等于各約束函數(shù)梯度約束函數(shù)梯度的的線性組合線性組合。1212221212,2360,45h x xxxfx xxx用拉格朗日乘子法

46、計(jì)算約束條件是的情況下，目標(biāo)函數(shù)的極值點(diǎn)。例：例：求解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題求解不等式約束優(yōu)化問(wèn)題的的基本思想基本思想： 將將不等式不等式約束條件變成約束條件變成等式等式約束條件。約束條件。具體做法具體做法： 引入引入松弛變量松弛變量。松弛變量松弛變量 12 min. . 0 0f xstgxaxgxxb一元函數(shù)一元函數(shù)f(x)f(x)在給定區(qū)間在給定區(qū)間a,ba,b上的極值優(yōu)化問(wèn)題上的極值優(yōu)化問(wèn)題 ： 1200gxaxgxxb 22111112221211,0,0hx agxaaxahx bgxbxbb 2211121121,F x a bfxaxaxbb 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)： 2211

47、121121,F x a bfxaxaxbb 拉格朗日函數(shù)：拉格朗日函數(shù)：1200極值條件極值條件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx極值條件極值條件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx1212120dgdgdfdfdxdxdxdx*()axb*()xa*()xb極值條件極值條件 121211221200,00,0dgdgdfdxdxdxgxgx |0,1,2jJ xj gxj起作用約束的下標(biāo)集合： 000jjj JjjdgdfdxdxgxjJjJ多元函數(shù)多元函數(shù)不等式不等式優(yōu)化問(wèn)題模型：優(yōu)化問(wèn)題模型：min( ). . ( )0

48、 (1,2,)jf xstgxjm*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm極值條件庫(kù)恩庫(kù)恩塔克條件塔克條件*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm極值條件庫(kù)恩庫(kù)恩塔克條件塔克條件*01,2,.,00jjj Jiijjf xgxinxxgxjJjJ*1*01,2,.,01,2,.,01,2,.,mjjjiijjjf xgxinxxgxjmjm極值條件庫(kù)恩庫(kù)恩塔克條件塔克條件*0jjjJfxgx 在約束極小值點(diǎn)在約束極小值點(diǎn)x x* *處，處，函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的負(fù)梯度一定可的負(fù)梯

49、度一定可以表示成所有起作用約以表示成所有起作用約束在改點(diǎn)的梯度（法向束在改點(diǎn)的梯度（法向量）的非負(fù)線性組合。量）的非負(fù)線性組合。 庫(kù)恩塔克條件的幾何意義（二維）：庫(kù)恩塔克條件的幾何意義（二維）：庫(kù)恩塔克條件的幾何意義（二維）：結(jié)論：結(jié)論： 1212k1212x0,0kkkkkkkkkf xg xg xf xg xg xf xg xg x1)在 極 值 點(diǎn) 處和以 及是 線 性 相 關(guān) 的 ， 或 者 說(shuō)可 以 看 做 是和的 線 性 組 合 。2)如 果 點(diǎn) 是 極 小 點(diǎn) ， 那 么 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 梯 度一 定 位 于 兩 個(gè) 約 束 函 數(shù)的 梯 度和形 成 的 夾 角 內(nèi) ， 或

50、者 說(shuō) 它 們 的 線 性 組 合 系 數(shù) 是 正 的 。 min( ). . ( )0(1,2,) ( )0(1,2, )jkf xstgxjmh xkl同時(shí)具有等式和不等式約束的優(yōu)化問(wèn)題： 101,2,.,00ljkjkj JkiiijjghfinxxxgxjJjJ庫(kù)恩庫(kù)恩塔克條件：塔克條件：庫(kù)恩庫(kù)恩塔克條件舉例：塔克條件舉例：*2221221122231KT1,0min( )2,s.t. ( )10 ( )0 ( )0Txf xxxxRg xxxgxxgxx 試用條件判定點(diǎn)是否是下面優(yōu)化問(wèn)題的極值點(diǎn)。庫(kù)恩庫(kù)恩塔克條件舉例：塔克條件舉例：131122132min( ). . ( )(1)0

51、 ( )0 ( )0f xxstg xxxgxxgxx 試分析約束優(yōu)化問(wèn)題：的約束最優(yōu)解及其庫(kù)恩塔克條件。(畫(huà)出目標(biāo)函數(shù)的等值線和可行域)：對(duì)于：對(duì)于單個(gè)變量單個(gè)變量（一維問(wèn)題一維問(wèn)題）的直接探索（搜索）的直接探索（搜索 或?qū)げ椋??；驅(qū)げ椋?。多維多維問(wèn)題的數(shù)值迭代法問(wèn)題的數(shù)值迭代法1(0,1,2,)kkkkxxdk1()()()minkkkkkf xf xd 每步為每步為一維一維搜索搜索*()0 1 1）解析法解析法：2 2）數(shù)值解法數(shù)值解法的基本思想：確定的基本思想：確定 * *所在的搜索區(qū)間，所在的搜索區(qū)間， 然后根據(jù)區(qū)間消去原理不斷縮小區(qū)間，然后根據(jù)區(qū)間消去原理不斷縮小區(qū)間， 從而獲得從

52、而獲得 * *的數(shù)值近似解。的數(shù)值近似解。函數(shù)在該區(qū)間只有函數(shù)在該區(qū)間只有一個(gè)極值點(diǎn)一個(gè)極值點(diǎn)。12xxx12()( )()f xf xf x“高高低低高高”（進(jìn)退法（進(jìn)退法/成功失敗法）：成功失敗法）：12x x x 12( )( )( )f xf xf x“高高低低高高”的基本步驟：的基本步驟：10210112212320332332123132300122312231.()()(),2hhyfyfyyhyfyyyyyyyyyhhyyyy 選定初始點(diǎn) ，初始步長(zhǎng) ，計(jì)算點(diǎn)，然后比較函數(shù)值和的大小。2.若，則試探方向正確，計(jì)算點(diǎn)和，比較 和 的大小。如果，則形成，找到所需的區(qū)間，即；如果，則

53、需要繼續(xù)向前搜索，這時(shí)候令，同時(shí)令，開(kāi)01231313 , min(,),max(,)hyyya b 始新一輪的試探（這時(shí)候的是原來(lái)的二倍，步長(zhǎng)加長(zhǎng)了），直到找到時(shí)，新的搜索區(qū)間是。的基本步驟：的基本步驟：1200121233313112122323122320333.,()yyhhyyyyyyyyyhff 若，則試探方法錯(cuò)誤，需要反向，即令，并且將和交換，同時(shí)交換 和 ，在程序中，如果用替換，則另一個(gè)函數(shù)值就沒(méi)有了，所以加入和 做中間變量，即：；。然后得到新的和后，用新的向前推出（這里的已經(jīng)反向了）。這時(shí)就得到了新的三個(gè)點(diǎn)，以及三個(gè)試探點(diǎn)的函數(shù)231231313 , min(,),max(,

54、)yyyyya b 值，則繼續(xù)前面的比較 與 ，直至找到時(shí)，新的搜索區(qū)間是。的程序流程圖：的程序流程圖：例：例：210( )710 , 01f xxxa bh試用進(jìn)退法確定函數(shù)的一維優(yōu)化的初始搜索。其中，設(shè)初始點(diǎn)，初始搜索步長(zhǎng)。通過(guò)通過(guò)外推法外推法，我們可以確定一個(gè)包含一元函數(shù)極值點(diǎn)的，我們可以確定一個(gè)包含一元函數(shù)極值點(diǎn)的搜索區(qū)間搜索區(qū)間，為了進(jìn)一步找到極小點(diǎn)，我們需要不斷的縮小，為了進(jìn)一步找到極小點(diǎn)，我們需要不斷的縮小搜索區(qū)間，消去不可能包含極小點(diǎn)的區(qū)間，使區(qū)間在縮小搜索區(qū)間，消去不可能包含極小點(diǎn)的區(qū)間，使區(qū)間在縮小的過(guò)程中逐步向極小點(diǎn)靠攏，最后縮小到極小點(diǎn)附近一個(gè)的過(guò)程中逐步向極小點(diǎn)靠攏，

55、最后縮小到極小點(diǎn)附近一個(gè)極小的領(lǐng)域內(nèi)。極小的領(lǐng)域內(nèi)。 這個(gè)時(shí)候，如果我們規(guī)定一個(gè)足夠小的正數(shù)這個(gè)時(shí)候，如果我們規(guī)定一個(gè)足夠小的正數(shù) ，稱(chēng)為收斂，稱(chēng)為收斂精度。則當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度達(dá)到足夠小，即精度。則當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)度達(dá)到足夠小，即 取該區(qū)間取該區(qū)間的中點(diǎn)的中點(diǎn) 作為極值點(diǎn)，這才能完成整個(gè)一維作為極值點(diǎn)，這才能完成整個(gè)一維搜索搜索 。kkba*1()2kkxab：不斷縮小區(qū)間所用的原理。：不斷縮小區(qū)間所用的原理。 包括：包括：1）直接法直接法：直接比較試選點(diǎn)的函數(shù)值；：直接比較試選點(diǎn)的函數(shù)值； 2）間接法間接法：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的變化信息。：利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)值的變化信息。111111 , ()( )a bababf

56、 af b假定在搜索區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn) 和 ，且，并計(jì)算和，可能出現(xiàn)三種情況：11111111111. ()( ) ,2. ()( ), 3. ()( ),f af ba bf af ba bf af ba b，由于函數(shù)的單峰性，極小點(diǎn)一定在內(nèi)；，極小點(diǎn)一定在內(nèi)；，極小點(diǎn)一定在內(nèi)。111111 , ()( )a bababf af b假定在搜索區(qū)間內(nèi)任取兩點(diǎn) 和 ，且，并計(jì)算和，可能出現(xiàn)三種情況：1111111.()( ) ,2.()( ), f af ba bf af ba b若，則取為縮短后的搜索區(qū)間；若，則取為縮短后的搜索區(qū)間。 , ,( )a bxfx假定在搜索區(qū)間內(nèi)取一點(diǎn) 并計(jì)算它的導(dǎo)數(shù)

57、值，可能出現(xiàn)三種情況：*1. ( )0 , 2. ( )0 , 3. ( )0fxx bfxa xfxxx，則新區(qū)間是；，則新區(qū)間是；，則在此點(diǎn)就是極小點(diǎn)。x fxabxx0 x fxabxx0 fxxabx0： 縮短后的新區(qū)間長(zhǎng)度（0 1）縮短前的原區(qū)間長(zhǎng)度：它是按照：它是按照某種給定的規(guī)律某種給定的規(guī)律來(lái)確定區(qū)間內(nèi)插入點(diǎn)來(lái)確定區(qū)間內(nèi)插入點(diǎn)的位置的。插入點(diǎn)位置的確定是為了使區(qū)間縮短的更快，的位置的。插入點(diǎn)位置的確定是為了使區(qū)間縮短的更快，而而不管函數(shù)值的分布規(guī)不管函數(shù)值的分布規(guī)律。它律。它包括包括：黃金分割法（：黃金分割法（0.6180.618法）、裴波納契（法）、裴波納契（Fibonacc

58、iFibonacci）法等。）法等。：這種方法是根據(jù)某點(diǎn)處的某些：這種方法是根據(jù)某點(diǎn)處的某些信息（如信息（如函數(shù)值函數(shù)值、一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)等）來(lái)構(gòu)造一個(gè)等）來(lái)構(gòu)造一個(gè)差值函數(shù)差值函數(shù)來(lái)逼近原來(lái)的函數(shù)，用來(lái)逼近原來(lái)的函數(shù)，用插值函數(shù)的極小點(diǎn)插值函數(shù)的極小點(diǎn)作為作為區(qū)間的插入點(diǎn)。它區(qū)間的插入點(diǎn)。它包括包括：二次差值法、三次插值法等。：二次差值法、三次插值法等。通過(guò)比較單峰區(qū)間內(nèi)通過(guò)比較單峰區(qū)間內(nèi)兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)的的函數(shù)值函數(shù)值，不斷舍棄，不斷舍棄單峰區(qū)間的左端或者右端的一部分，使區(qū)間按照單峰區(qū)間的左端或者右端的一部分，使區(qū)間按照固定區(qū)間固定區(qū)間縮短率縮短率（=0.618=0.

59、618）逐步縮短，直到極小點(diǎn)所在的區(qū)間縮）逐步縮短，直到極小點(diǎn)所在的區(qū)間縮短到短到給定的誤差范圍給定的誤差范圍內(nèi)，而得到內(nèi)，而得到近似最優(yōu)解近似最優(yōu)解。 每次區(qū)間縮短都取每次區(qū)間縮短都取相等相等的的區(qū)間縮短率區(qū)間縮短率（ ），同時(shí)插入點(diǎn)距離兩個(gè)端點(diǎn)有），同時(shí)插入點(diǎn)距離兩個(gè)端點(diǎn)有對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)性。 0.61812()0.618()()0.618()bbabbaabaaba121211221 , 2 , ()0.618() ()0.618()()()a ba bbbabbaabaabayfyf）給定初始單峰區(qū)間和收斂精度 ，將 賦值為0.618；）在區(qū)間內(nèi)，取兩個(gè)內(nèi)分點(diǎn)和，并計(jì)算其函數(shù)值： 和，122

60、21221211111211211213 , ,()(), , ,yybyybbayfyybbay ）比較函數(shù)值大小，根據(jù)區(qū)間消去法原理縮短區(qū)間：若，則極小點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi)，即為新區(qū)間,則為新區(qū)間內(nèi)的第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，即令，而另一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)可按下式算出，它的函數(shù)值為；若，則極小點(diǎn)必在區(qū)間內(nèi)，即為新區(qū)間，則為新區(qū)間內(nèi)的第一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)，即令2222(),()yabayf，而另外一個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)可以按下式給出。212*4315()()2yybabyxabyf x）進(jìn)行迭代終止條件檢驗(yàn)，檢查區(qū)間是否縮短到足夠小和函數(shù)值是否收斂到足夠近，即和，如果不滿足條件，則轉(zhuǎn)到第 ）步；滿足條件則繼續(xù)執(zhí)行下一步。）輸出最優(yōu)解和最優(yōu)函