第八章 多元函數(shù)微分學(xué)

1、第一次月考考點第一次月考考點: :1.1. 討論多元函數(shù)在某點處的連續(xù)性；討論多元函數(shù)在某點處的連續(xù)性；2.2. 求多元函數(shù)在某點處的偏導(dǎo)數(shù)；求多元函數(shù)在某點處的偏導(dǎo)數(shù)；3.3. 討論多元函數(shù)在某點處的可微性；討論多元函數(shù)在某點處的可微性；4.4. 隱函數(shù)求偏導(dǎo)；隱函數(shù)求偏導(dǎo)；5.5. 求二元函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)；求二元函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)；6.6. 求多元函數(shù)的全微分；求多元函數(shù)的全微分；7.7. 求多元函數(shù)的極值、最值、條件極值；求多元函數(shù)的極值、最值、條件極值；8.8. 求曲線的切線和法平面；求曲線的切線和法平面；9.9. 求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)；求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)；10.10.求多元函數(shù)的

2、梯度；求多元函數(shù)的梯度；11.11.直角坐標(biāo)系下二重積分的計算；直角坐標(biāo)系下二重積分的計算；12.12.極坐標(biāo)系下二重積分的計算；極坐標(biāo)系下二重積分的計算；13.13.交換累次積分順序；交換累次積分順序；14.14.二重積分的分區(qū)域積分；二重積分的分區(qū)域積分； 15.15.二重積分的對稱性二重積分的對稱性第八章第八章 多元函數(shù)微分學(xué)多元函數(shù)微分學(xué) 知識總結(jié)知識總結(jié)1 1多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念2 2多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分與方向?qū)?shù)多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分與方向?qū)?shù)3 3多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法4 4多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用5 5多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)

3、的極值和最值一一. . 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念1. 區(qū)域區(qū)域2. 多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念3. 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限4. 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性1) 函數(shù)函數(shù)連續(xù)在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2) 閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉域上的多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):有界定理有界定理 ;最值定理最值定理 ; 介值定理介值定理3) 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù)解解: 設(shè)設(shè) P(x , y) 沿直線沿直線 y = k x 趨于點趨于點 (0, 0) ,22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在

4、點在點 (0, 0) 的極限的極限.),(yxf故則有則有21kkk 值不同極限不同值不同極限不同 !在在 (0,0) 點極限不存在點極限不存在 .例例. 討論函數(shù)討論函數(shù) 例例. 證明證明),(yxf)0 , 0(),(,22yxyxyx)0 , 0(),(,0yx在全平面連續(xù)在全平面連續(xù).證證:,)0 , 0(),(處在yx),(yxf為初等函數(shù)為初等函數(shù) , 故連續(xù)故連續(xù).又又220yxyxyxyx222222221yxyx2221yx 2200limyxyxyx0)0 , 0(f故函數(shù)在全平面連續(xù)故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得由夾逼準(zhǔn)則得二二.多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分與方向?qū)?shù)多元函

5、數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)、微分與方向?qū)?shù)1.多元初等函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)多元初等函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù)0(, )( , ) ( , )limxxf xx yf x yfx yx 求 f x (x, y)時, 只須將 y 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可. 求 f y (x, y)時, 只須將 x 看作常數(shù),用一元函數(shù)求導(dǎo)公式求即可.補補: 六類基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式六類基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式 )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xa

6、axln1 )(ln xx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x2. 2. 求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法求一點處偏導(dǎo)數(shù)的方法 先代后求先代后求: 先求后代先求后代: 利用定義利用定義:xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(00000000000(,)(,) ( , )|xxxyfxyfx y0),(dd0 xxyxfx00(,)xfxy例如：分段函數(shù)分段點例如：分段函數(shù)分段點例如：初等函數(shù)定義區(qū)域的內(nèi)點例如：初等函數(shù)定義區(qū)域的內(nèi)點例如：上述兩種例子情況均可、函數(shù)式復(fù)雜例如：上述兩種例子情況均可、函數(shù)式復(fù)雜法一:

7、例例: :0,00,),(222222yxyxyxyxyxfzd(0, 0)( , 0)0dxff xxxd(0, 0)(0,)0dyffyyy00函數(shù)在原點各偏導(dǎo)數(shù)都存在,但在該點不連續(xù)不連續(xù).注意：注意：: (0,0) (0,0)xyff求和0(,0)(0,0) (0,0)limxxfxffx 000lim=0 xx 0(0,)(0,0) (0,0)limyyfyffy 000lim=0yy 法二:例例 . 求求223yyxxz解法解法1:xz)2, 1 (xz解法解法2:) 2, 1(xz在點在點(1 , 2) 處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù). .) 2, 1(yz,32yx yzyx23 ,82

8、312)2, 1 (yz72213462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy72yz(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)d(0,0,0)dxyzffxfyfz例例. 設(shè),coscoscos1coscoscos),(zyxxzzyyxzyxf.d)0 , 0 , 0(f求解解: ( ,0,0)3cosxf xx(0,0,0)03cosxxfxx41利用輪換對稱性 , 可得1(0,0,0)(0,0,0)4yzff)dd(d41zyx3.3. 求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法 逐次求導(dǎo)法逐次求導(dǎo)法注注: 混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下相等混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下相等.) (y

9、1: nnzxy例11nnxz4. 微分00( , )(,)zf x yxy在點是否可微的步驟：z( , )( , )xyfx yxfx yy zd( , )d( , )dxyfx yxfx yy22)()(yx)( o判斷二元函數(shù)判斷二元函數(shù)00000(,)(,)(3) 0 xyzfxyxfxyy 看是否成立0000(2) (,) (,)xyfxyfxy求、注：若有一個不存在則一定不可微(1) 檢驗函數(shù)是否連續(xù),若不連續(xù)一定不可微例：如果例：如果( , )f x y在（在（0,0）處連續(xù)，那么下列命題）處連續(xù)，那么下列命題( , )(0,0)22( , )(0,0)( , )(0,0)2(

10、, )(0,0)( , )( )lim( , )(0,0)|( , )( )lim( , )(0,0)( , )( )( , )(0,0)lim|( , )()( , )(0,0)limx yx yx yx yf x yAf x yxyf x yBf x yxyf x yCf x yxyf x yDf x yx若極限存在，則在處可微若極限存在，則在處可微若在處可微，則極限存在若在處可微，則極限2y存在正確的是（正確的是（ ）答案：答案：B（2012考研題）考研題）0,00,)(),(2222232222yxyxyxyxyxf提示提示: 利用 ,222yxyx2122)(41),(yxyxf)0

11、,0(0),(lim00fyxfyx故f 在 (0,0) 連續(xù);, 0), 0()0 ,(yfxf又因(0,0)(0,0)0 xyff所以知在點(0,0) 處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 , 但不可微 . 例例. 證明證明:而)0 , 0(f,00時，當(dāng)yx22)0 , 0()()(yxf22222)()( )()(yxyx0所以 f 在點(0,0)不可微 !232222)()( )()(yxyx在點 (0,0) 可微 .在點 (0,0) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在,續(xù),證證: 1)故函數(shù)在點 (0, 0) 連續(xù) ; 但偏導(dǎo)數(shù)在點 (0,0) 不連 例: 證明函數(shù)222yx 所以(0,0)0.yf 2)221sin

12、,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)xyx yf x yxyx y2210sinxyxyxy( , )(0,0)lim( , )0(0,0)x yf x yf( ,0)0,(0, )0f xfy(0,0)0(0,0)0.xyff在點(0,0)不連續(xù) ;同理 ,在點(0,0)也不連續(xù).3)( , )(0,0),x y 當(dāng)時22222 32211( , )sincos()xx yfx yyxyxyxy( , )(0,0),P x yyx當(dāng)點沿射線趨于時( ,)(0,0)330lim( , )11lim(sincos)2 |2 2 |2 |xx xxfx yxxxxx( , )x

13、fx y( , )yfx y4) 下面證明可微 :( , )(0,0)f x y 在(0,0)(0,0)xyffxfy 01sin0 xyx ( , )(0,0).f x y在可微5. 5. 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度 三元函數(shù)三元函數(shù) ),(zyxf在點在點),(zyxP方向?qū)?shù)為方向?qū)?shù)為:coscoscosffffxyzlr 二元函數(shù)二元函數(shù) ),(yxf在點在點),(yxPcoscosfffxylrzfyfxff,grad梯度為梯度為:方向?qū)?shù)為方向?qū)?shù)為:梯度為梯度為:grad,fffxy 關(guān)系關(guān)系:0gradff llu u rr例例. 設(shè)是曲面n在點 P(1, 1, 1 )處指

14、向外側(cè)的法向量,解解: 方向余弦為,142cos,143cos141cos而PxuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向?qū)?shù).Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在點P 處沿求函數(shù)nn8,1414PPuuyz 6. 重要關(guān)系:偏導(dǎo)存在偏導(dǎo)存在函數(shù)可微函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)方向?qū)?shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 可微函數(shù)),(yxfz 在),(00yx可微的充分條件是( );),(),()(00連續(xù)在yxyxfA),(),(, ),()(00yxyxfyxfByx在的某鄰域內(nèi)存在 ;yyxfxyxfzCyx),(),

15、()(0)()(22yx當(dāng)時是無窮小量 ;22)()(),(),()(yxyyxfxyxfzDyx0)()(22yx當(dāng)時是無窮小量 .例. 選擇題D三三. 多元函數(shù)微分法多元函數(shù)微分法1.1.多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)2.2.多元復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)3.3.隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法自變量個數(shù)自變量個數(shù) = 變量總個數(shù)變量總個數(shù) 方程總個數(shù)方程總個數(shù)自變量與因變量由所求對象判定自變量與因變量由所求對象判定注注: 一定要分清楚誰是自變量一定要分清楚誰是自變量 1.1.多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)(1). 根據(jù)函數(shù)結(jié)構(gòu)的示意圖分析復(fù)合結(jié)構(gòu)根據(jù)函數(shù)

16、結(jié)構(gòu)的示意圖分析復(fù)合結(jié)構(gòu),確定自確定自變量、中間變量及其關(guān)系變量、中間變量及其關(guān)系(2). 正確使用鏈?zhǔn)椒▌t正確使用鏈?zhǔn)椒▌t,寫出求導(dǎo)公式寫出求導(dǎo)公式“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,單路全導(dǎo)單路全導(dǎo),叉路偏導(dǎo)叉路偏導(dǎo)”(3).注意正確使用求導(dǎo)符號注意正確使用求導(dǎo)符號 例例. ) )1 , 1(, 1() 1 (ff1)(dd3xxx1)1 , 1 ( f1dd)(32xxx3),(,(1xxfxf ),(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 1x 351, 1)1 , 1(f,),(,()(xxfxfx ,2) 1 , 1 (xf求.1)(dd3xxx),(yxfz 在點)1

17、 , 1(處可微 , 且設(shè)函數(shù),3) 1 , 1 (yf解解: 由題設(shè)23)32( (2001考研考研),1),(2xyyxf,2),(21xyxfxy例. 已知求.),(22xyyxf解解: 由1),(2xxf兩邊對 x 求導(dǎo), 得02),(),(2221xxxfxxfxxxf2),(211),(22xxf則稱它為 k 次齊次函數(shù). 證明 k 次齊次函數(shù)滿足),(),(),(),(321zyxkfzyxf zzyxf yzyxf x證:兩邊對 t 求偏導(dǎo).( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z例. 若f (x, y, z) 恒滿足關(guān)系式1123( , ,)( , ,)

18、( , ,)( , , )kxf u v wyfu v wzf u v wktf x y z同乘以 t, 得123( , ,)( , ,)( , ,)( , , )kuf u v wvfu v wwf u v wk t f x y z得及由條件,),(),(tzwtyvtxuzyxfttztytxfk123( , ,)( , ,)( , ,)( , ,)uf u v wvfu v wwf u v wkf u v w( ,)( , , )kf tx ty tzt f x y z ,utx vty wtz記2.2.多元復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)多元復(fù)合函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)注：注： 考察重點是內(nèi)層具體、外層抽象的

19、函數(shù)考察重點是內(nèi)層具體、外層抽象的函數(shù) 一階偏導(dǎo)數(shù)仍然是復(fù)合函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)仍然是復(fù)合函數(shù) 混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下可以合并混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下可以合并 為書寫簡便可以采取記號簡記為書寫簡便可以采取記號簡記(,( )zf xy yg x例例. 設(shè) 偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)，且在x=1處取得極值g(1)=1,求其中函數(shù) f 具有二階連續(xù)21,1xyzx y 解解:由由g(x)可導(dǎo)且在可導(dǎo)且在x=1處取極值所以處取極值所以 (1)0g,( )uxy vyg x設(shè)( )uvzyfyg x fx2( )uvzzyfyg x fx yy 21,1(1,1)(1,1)(1,1)xyuuuuvzfffx

20、y (2011考研考研)( )( )( )vvuvvg x fyg x xfg x f( )uuuuvfy xfg x f隱函數(shù)求導(dǎo)方法：隱函數(shù)求導(dǎo)方法：方法方法1. 利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則方程兩邊直接關(guān)于利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則方程兩邊直接關(guān)于自變量求導(dǎo)自變量求導(dǎo) ,要把因變量看成自變量的函數(shù)要把因變量看成自變量的函數(shù)方法方法2. 利用隱函數(shù)定理的求導(dǎo)公式利用隱函數(shù)定理的求導(dǎo)公式3.3.隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法注：兩種求導(dǎo)方法中方程所確立的隱函數(shù)中因注：兩種求導(dǎo)方法中方程所確立的隱函數(shù)中因變量的地位是不一樣的變量的地位是不一樣的例例. 設(shè),04222zzyx解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)0422xzx

21、zzxzxz2 22zxxz222)( 2xz222xzz0422xz2)(1xz322)2()2(zxz.22xz求再對 x 求導(dǎo)解法解法2 利用公式設(shè)zzyxzyxF4),(222則xzFzxF 兩邊對 x 求偏導(dǎo))2(22zxxxz2)2()2(zxzxz322)2()2(zxz2zxzx2方法1.方程 F(x2+y2+z2, sinxy)=0兩邊對 x 求偏導(dǎo). 其中 z 是 x 的函數(shù), y看作常量.F 1 (2x+2z zx ) + F2 cosxy y = 0,2cos2121zFxyFyxFzx解得:,2cos2121zFxyFxyFzy例. 設(shè)方程F(x2+y2+z2, si

22、nxy)=0, FC1, 求. ,yzxz解：方法2: 方程左邊是x, y, z的復(fù)合函數(shù)，令從而,2cos2121zFxyFyxFxz1212cos2zFxyFxyFyz222( , , )(,sin)G x y zF xyzxy122cosxGxFyxyF 122cosyGyFxxyF 12zGzF 練習(xí)：練習(xí)：設(shè), ),(zyxzyxfz求.zx ( , , )(,)F x y zzf xyz xyz設(shè)xz1f xz 12f xzyxzyxz21fzyf211fyxf 解法解法1 利用隱函數(shù)求導(dǎo)解法解法2 利用公式xzFzxF 21fzyf211fyxf,)(xuuf例例:設(shè)設(shè), )(u

23、fz 方程方程)(uuxytdtp )(確定確定 u 是是 x , y 的函數(shù)的函數(shù) ,)(, )(可微其中uuf)(),(utp連續(xù)連續(xù), 且且, 1)( u求求.)()(yzxpxzyp解解:xzyuufyz)(xuuxu)()(xpyuuyu)()(ypxu)(1)(uxpyu)(1)(uyp)(uf yzxpxzyp)()(yuxpxuyp)()(0)()(xzzxyy及,2 yxeyx例：例：.ddxu求分別由下列兩式確定 :又函數(shù)),(zyxfu 有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù) , 設(shè)解解: 兩個隱函數(shù)方程兩邊對 x 求導(dǎo), 得321)sin()(1ddfzxzxefxyfxuxuzyxx x

24、0)()(yxyyxyeyxxezxzx )sin()1 (z,xyy)sin()(1zxzxezx,dsin0tttezxx(2001考研考研)解得因此2. 求曲線在切線及法平面求曲線在切線及法平面(關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住切向量抓住切向量) 1. 求曲面的切平面及法線求曲面的切平面及法線四四. .多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用(關(guān)鍵關(guān)鍵: 抓住法向量抓住法向量)空間光滑曲面0),(:zyxF曲面 在點2) 隱式情況 .的法向量法向量),(000zyxM1. 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線000000000(,),(,),(,)xyznF xyzF xyzF xyzr空間光滑

25、曲面),(:yxfz 1) 顯式情況.法向量法向量(, 1)xynffr 例例. 證明曲面證明曲面0),(ynzymxF與定直線平行與定直線平行,.),(可微其中vuF證證: 曲面上任一點的法向量曲面上任一點的法向量,1F, )()(21nFmF )2F取定直線的方向向量為取定直線的方向向量為,m,1)n則則(定向量定向量)故結(jié)論成立故結(jié)論成立 .的所有切平面恒的所有切平面恒(n(l,0nl上求一點 , 使該點處的法線垂直于例例. 在曲面yxz ,093zyx并寫出該法線方程 .解解: 設(shè)所求點為, ),(000zyx則法線方程為000zzyyxx利用113100 xy得3,1,3000zyx

26、平面0y0 x1000yxz 法線垂直于平面點在曲面上2. 2. 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面 1) 參數(shù)式方程.)()()(:tztytx空間光滑曲線切向量:空間光滑曲線( ):( , )yf xzg x y2) 與柱面交線.空間光滑曲線0),(0),(:zyxGzyxF3) 面交式曲線.000( ),( ),( )Stttu r切向量:12Snnu ru r u u r1. 1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件判別駐點是否為極值點 ., ),(yxfz ( , )0( , )0 xyfx yfx y例如對二元

27、函數(shù)五五. .多元函數(shù)的極值和最值多元函數(shù)的極值和最值例例. 求 222,xyf x yxe的極值。解：先求函數(shù)的駐點.2222222,(1)0,0 xyxyxyfx yx efx yxye 解得函數(shù)為駐點為 1,01,0或222222322222(3 ),(1),(1)xyxxxyxyxyyyAfxx eBfy xeCfx ye20,0BACA121,0fe在1,0 點：取極大值20,0BACA12( 1,0)fe 在1,0點：取極小值（2012考研題）考研題）例例. 求 的極值。（2013考研題）考研題）3,()3x yxf x yye答案答案:134 (1,).3fe 有極小值2.2.

28、最值應(yīng)用問題最值應(yīng)用問題 最值可疑點: 駐點和 邊界上的最值點特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )第二步 根據(jù)問題的實際意義確定最值:唯一的駐點一定是最值點第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件) 實際問題的最值實際問題的最值:3. 3. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法轉(zhuǎn)化為無條件極值問題條件極值問題.(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法求一元函數(shù)的無條件極值問題)(0),(xyyx 中解出從條件)(,(xxfz求法求法：( , )0,x y例如在條件下的極值求函數(shù)),(yxfz 引入輔助函數(shù)( , )( , )( , )0 xxxL x yfx yx y( , )( , )( , )0yyyLx yfx yx y( , )0 x y( , )( , )( , )L x yf x yx y推廣推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx( , , )( , , )( , , )( , , )L x y zf x y zx y zx y z( , , )( , , )( ,