數(shù)值分析-1誤差

1、Company name數(shù)數(shù) 值值 分分 析析徐徐 映映 紅紅第一章第一章 誤差誤差 /* Error */1 誤差的背景介紹誤差的背景介紹 /* Introduction */1. 來源與分類來源與分類 /* Source & Classification */ 從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型 模型誤差模型誤差 /* Modeling Error */ 通過測量得到模型中參數(shù)的值通過測量得到模型中參數(shù)的值 觀測誤差觀測誤差 /* Measurement Error */ 求近似解求近似解 方法誤差方法誤差 (截斷誤差截斷誤差 /* Truncation Erro

2、r */ ) 機(jī)器字長有限機(jī)器字長有限 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */1 Introduction: Source & Classificationdxex 102 近近似似計計算算: :例例大家一起猜？大家一起猜？ dxe2x1011 / e解法之一解法之一：將將 作作Taylor展開后再積分展開后再積分2xe 91!4171!3151!21311)!4!3!21(10864210dxxxxxdxe2xS4R4 /* Remainder */,104 Sdxe2x取取則則 111!5191!414R稱為稱為截斷誤差截斷誤差 /* Truncation Er

3、ror */005091!414.R 這這里里7430024010333014211013114.S 0010200050. | 舍入誤差舍入誤差 /* Roundoff Error */ |006000100050102.dxe-x 的的總總體體誤誤差差計計算算= 0.747 由截去部分由截去部分/* excluded terms */引起引起由留下部分由留下部分/* included terms */引起引起1 Introduction: Spread & Accumulation2. 傳播與積累傳播與積累 /* Spread & Accumulation */例：例：蝴蝶

4、效應(yīng)蝴蝶效應(yīng) 紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風(fēng)和日麗的北京就刮起臺風(fēng)來了？！就刮起臺風(fēng)來了？！NYBJ以上是一個以上是一個病態(tài)問題病態(tài)問題 /* ill-posed problem*/關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學(xué)家去頭痛吧！關(guān)于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學(xué)家去頭痛吧！1 Introduction: Spread & Accumulation.210110,n,dxexeIxnn 例：計算例：計算11 nnInI 公式一：公式一：注意此公式注意此公式精確精確成成立立632120560111100.edxeeIx 記為記為*0I8000105

5、0 .IIE則初始誤差則初始誤差111111110010 nI)e(ndxexeIdxexennnn391414231519594249414122764807131632896000121030592000111088128000101.367879440111415*13*14*12*13*11*12*10*11*9*10*0*1.II.II.II.II.II.II.II ? ! !What happened?!1 Introduction: Spread & Accumulation考察第考察第n步的誤差步的誤差nE| )1()1( |*11* nnnnnnInIIIE| !01

6、En|Enn 我們有責(zé)任改變。我們有責(zé)任改變。造成這種情況的是造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法不穩(wěn)定的算法 /* unstable algorithm */迅速積累，誤差呈遞增走勢。迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動可見初始的小擾動801050| .E)1(1111nnnnInIInI 公式二：公式二：注意此公式與公式一注意此公式與公式一在理論上在理論上等價等價。方法：先估計一個方法：先估計一個IN , ,再反推要求的再反推要求的In ( n N )。11)1(1 NINeNNNINNeI 11)1(121*可取可取0* NNNIIEN, ,時時當(dāng)當(dāng)1 Introduction: Spre

7、ad & Accumulation632120560)1(11367879440)1(210838771150)1(1110773517320)1(1210717792140)1(1310668702200)1(1410638169180)1(151042746233016116121*1*0*2*1*11*10*12*11*13*12*14*13*15*14*15.II.II.II.II.II.II.II.eI 取取 We just got lucky?1 Introduction: Spread & Accumulation考察反推一步的誤差：考察反推一步的誤差：|1)1

8、(1)1 (1|*1NNNNENININE 以此類推，對以此類推，對 n 6 log6，即，即 n 6，應(yīng)取，應(yīng)取 * = 3.14159。3 函數(shù)的誤差估計函數(shù)的誤差估計 /*Error Estimation for Functions*/問題問題：對于：對于 y = f (x)，若用，若用 x* 取代取代 x，將對，將對y 產(chǎn)生什么影響？產(chǎn)生什么影響？分析分析：e*(y) = f (x*) f (x) e*(x) = x* xMean Value Theorem= f ( )(x* x)x* 與與 x 非常接近時，可認(rèn)為非常接近時，可認(rèn)為 f ( ) f (x*) ，則有：，則有：|e*(

9、y)| | f (x*)|e*(x)|即：即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過產(chǎn)生的誤差經(jīng)過 f 作用后被放大作用后被放大/縮小了縮小了| f (x*)|倍。故稱倍。故稱| f (x*)|為為放大因子放大因子 /* amplification factor */ 或或 絕對條件數(shù)絕對條件數(shù) /* absolute condition number */.3 Error Estimation for Functions*)()(*| )(|xfyey*er *)(*| )(|xxex*er )(*)(*)(*)(*)(*)(xexfxfxxxxxfxxxxfxfr 相對誤差條件數(shù)相對誤差條件數(shù) /* rela

10、tive condition number*/ f 的條件數(shù)在某一點(diǎn)是的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小小大大，則稱，則稱 f 在該點(diǎn)是在該點(diǎn)是好條件的好條件的 /* well-conditioned */ 壞條件的壞條件的 /* ill-conditioned */。注：關(guān)于多元函數(shù)注：關(guān)于多元函數(shù) 的討論，請參閱教的討論，請參閱教材第材第8頁。頁。).,(21nx,x,xfy 4 幾點(diǎn)注意事項幾點(diǎn)注意事項 /* Remarks */1. 避免相近二數(shù)相減避免相近二數(shù)相減例：例：a1 = 0.12345，a2 = 0.12346，各有，各有5位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 而而 a2 a1 = 0.00001，

11、只剩下，只剩下1位有效數(shù)字。位有效數(shù)字。 幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：幾種經(jīng)驗(yàn)性避免方法：;xxxx ;1lnlnln xxx當(dāng)當(dāng) | x | 1 時：時：;2sin2cos12xx .6121112xxxex更多技巧請同學(xué)們自己查找文獻(xiàn)。更多技巧請同學(xué)們自己查找文獻(xiàn)。4 Remarks2. 避免小分母避免小分母 : 分母小會造成浮點(diǎn)溢出分母小會造成浮點(diǎn)溢出 /* over flow */3. 避免大數(shù)避免大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)例：用單精度計算例：用單精度計算 的根。的根。010)110(992 xx精確解為精確解為110291 x,x 算法算法1 1：利用求根公式利用求根公式aacbbx242 在計算機(jī)內(nèi)

12、，在計算機(jī)內(nèi)，109存為存為0.1 1010，1存為存為0.1 101。做加法時，做加法時，兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即兩加數(shù)的指數(shù)先向大指數(shù)對齊，再將浮點(diǎn)部分相加。即1 的指數(shù)部分須變?yōu)榈闹笖?shù)部分須變?yōu)?010，則：，則：1 = 0.0000000001 1010，取，取單精度時就成為：單精度時就成為： 109+1=0.10000000 1010+0.00000000 1010=0.10000000 1010大數(shù)大數(shù)吃吃小數(shù)小數(shù)024,102422921 aacbbxaacbbx4 Remarks算法算法2：先解出先解出 再利用再利用9211024)( aacbbsignbx11010991221 xacxacxx求和時求和時從小到大從小到大相加，可使和的誤差減小。相加，可使和的誤差減小。例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算例：按從小到大、以及從大到小的順序分別計算1 + 2 + 3 + + 40 + 1094. 先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。先化簡再計算，減少步驟，避免誤差積累。一般來說，計算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為一般來說，計算機(jī)處理下列運(yùn)算的速度為 exp ,5. 選用穩(wěn)定的算法。選用穩(wěn)定的算