李同林 彈塑性力學(xué) 第六章平面問題極坐標(biāo)解答

1、第六章 平面問題極坐標(biāo)解答61 平面問題基本方程的極坐標(biāo)表示 極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間的關(guān)系式如圖61所示。 ； （a） 1. 平衡微分方程我們在物體中取一單位厚度的微分體abcd，如圖62所示，其在，方向的體力分量分別為，。該微分單元體abcd的中心角為，內(nèi)半徑為r，外半徑為r+dr。 列出平衡方程和，即 （b） （c）由于是個小量，故取，及，并略去三階以上微量，整理后可得： （61）式（61）第一式中及項(xiàng)為面積增大及方向變化而引起的，第二式中的項(xiàng)則兩者兼有之。再由（C為微分體形心），并略去高階微量，將再次證得剪應(yīng)力互等定理成立：。 2. 幾何方程 在極坐標(biāo)中，用u，v分別代表點(diǎn)的徑向位移和切

2、向位移，即為極坐標(biāo)的位移分量。用、分別代表徑向正應(yīng)變和切向正應(yīng)變，用、代表剪應(yīng)變。它們都是位置坐標(biāo)，的函數(shù)。圖63 根據(jù)小變形條件，位移均為微量，在導(dǎo)出的過程中都略去高階微量，不計的偏轉(zhuǎn)對其長度的影響。于是由圖63可得微元體的各應(yīng)變分量。 （d） （e） （f）在上幾式中，由于故，故，于是在計算中均可略去。因此，用極坐標(biāo)表示的幾何方程則為： ； ； （62）式（62）第二式中項(xiàng)為徑向位移使半徑增大而引起的弧長增大部分；第三式的項(xiàng)為由于切向位置移動使徑向半徑偏斜而引起的整體剛性角位移，應(yīng)予減去。 3. 本構(gòu)方程（Hooke定律） 由于極坐標(biāo)系也是正交坐標(biāo)系，所以用極坐標(biāo)表示的Hooke定律與用直

3、角坐標(biāo)表示的形式不變。顯然由于局部一點(diǎn)的坐標(biāo)仍是一個直角坐標(biāo)系。因而只需將用直角坐標(biāo)系表示的公式中的x、y分別換成、即可。于是有： （1）平面應(yīng)力問題 （63）用應(yīng)力分量表示應(yīng)變分量，則為： ； （64） （2）平面應(yīng)變問題： （65）若用應(yīng)力分量表示應(yīng)變分量，則為： ； ； （66） 4. 極坐標(biāo)中的應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 平面問題直角坐標(biāo)系中，當(dāng)無體積力、或體積力為常量時，由式（515）及式（518），可用應(yīng)力或應(yīng)力函數(shù)表示的連續(xù)性方程分別為 和 （g）下面我們將上列方程變換成用極坐標(biāo)表示的形式。據(jù)式（a）得： ； （h）現(xiàn)求應(yīng)力函數(shù)對x及y的微分： ； （i）按照式（i）和（j），則有

4、（j）可得出的二階偏微分：也即： (k)應(yīng)用上式（k）中第一及第二式相加，并利用三角公式得 （l）因此，按照上式，在極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可表示為下式： （67）此式即為極坐標(biāo)中平面問題的雙調(diào)和方程。若將此式展開，可得： （68）此外根據(jù)坐標(biāo)的幾何條件式（62），采用導(dǎo)出直角坐標(biāo)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的方法，則可以得出以應(yīng)變表示的所應(yīng)滿足的應(yīng)變協(xié)調(diào)方程為： （69）為在極坐標(biāo)中將各應(yīng)力分量用應(yīng)力函數(shù)表示，可使x軸與r軸重合，y軸與軸重合（參考圖61），也就是使= 0，則： （m）應(yīng)用式（k），并令式中= 0，得 （610）若將上式代入平衡方程（61）將自動滿足。這就是極坐標(biāo)中用應(yīng)力函數(shù)表示

5、應(yīng)力分量的表達(dá)式。62 平面問題的極坐標(biāo)解法極坐標(biāo)軸對稱問題一、求解步驟與應(yīng)力邊界條件 在極坐標(biāo)中，彈性力學(xué)邊值問題的解法仍然歸結(jié)為尋求一個應(yīng)力函數(shù)，它除了必須滿足雙調(diào)和方程式（67）以外，還應(yīng)由式（610）求得的應(yīng)力分量滿足應(yīng)力邊界條件。 根據(jù)極坐標(biāo)的基本方程，其求解問題（應(yīng)力法）的步驟為： 1）確定體力面力； 2）選取以待定系數(shù)表示的應(yīng)力函數(shù)； 3）寫出應(yīng)力分量的表達(dá)式，根據(jù)應(yīng)變協(xié)調(diào)方程和應(yīng)力邊界條件確定待定常數(shù)。二、軸對稱平面問題如果應(yīng)力分布對稱于o點(diǎn)且垂直于平面的垂直軸： z 軸，應(yīng)力分量不依賴于，而只是r的函數(shù)，則稱為應(yīng)力分布軸對稱問題。由于對稱， 必定是零。這時平衡微分方程式（61

6、）變?yōu)椋海ú挥嬻w力） （611）當(dāng)應(yīng)力分布軸對稱的同時，如果位移也是軸對稱的，則稱為完全軸對稱問題。對于平面問題則為完全軸對稱平面問題。由于軸對稱，這時有， 于是幾何方程式（62）變?yōu)椋?； ； = 0 （612）對于應(yīng)力分布軸對稱或完全軸對稱問題，其應(yīng)力分量都由式（610）得： ； ； （613）同時，雙調(diào)和方程（67）可以簡化為 （614）這是一個變系數(shù)微分方程，也稱為Euler方程。將方程（614）化為常系數(shù)性微分方程，可引入一個新的參數(shù)t，并令： 于是可得： （a） （b） （c） （d）將上列各式代入式（614）則有： （e）其特征方程為： ，或 （f）這個方程有兩個重根，則K =

7、0，K = 2，與重根對應(yīng)的積分為： ， ； ， ；所以式（a）的通解為 （g）將代入，則上述通解可改寫為： （615）將式（615）代入應(yīng)力分量表達(dá)式（613）得， （616）式中的待定系數(shù)A，B，C可根據(jù)具體問題所給定的邊界條件予以確定。下節(jié)我們舉厚壁圓筒問題為例。63 厚壁圓筒問題的彈性解考察一厚壁圓筒，管內(nèi)外沿軸向受均勻分布徑向壓力和（圖65），其內(nèi)外半徑分別為a 和b 。厚壁筒一般認(rèn)為 ba1.1 。管子長度很長，以致可以認(rèn)為離兩端足夠遠(yuǎn)處的應(yīng)力和應(yīng)變分布沿長度方向沒有差異。由對稱性可知，原來的任一橫截面變形后仍保持平面，沿管軸z向可以假定沒有位移，即w = 0。又由于構(gòu)件外形及載荷

8、對稱于筒軸z，因而應(yīng)力與應(yīng)變的分布對稱于圓筒中心軸線。則每一點(diǎn)的位移僅有徑向位移u，而環(huán)向位移v = 0，且u僅是坐標(biāo)r的函數(shù)。于是厚壁筒問題是一個完全軸對稱的平面應(yīng)變問題。其應(yīng)力分量可由式（616）來確定，而式中的特定系數(shù) A、B、C 可由下述邊界條件來確定，即： ； （a）代入上式有： ； （b）上式中有三個待定系數(shù)，而只有兩個邊界條件。因?yàn)檫@是一個多連域問題，還應(yīng)考查位移單值條件。由環(huán)向位移v = 0，且徑向位移u與極角無關(guān)，所以幾何方程式（62）可簡化為式（612）： ； ； （c）將平面應(yīng)變的物理方程代入上式，則有 （d）再將應(yīng)力分量的表達(dá)式（616）代入上式（d）的第一式，并對其積

9、分得： （e）式中的D為積分常數(shù)。將式（617）再代入式（e）的第二式，則有： （f）比較式（e）與式（f），可以看出由它們算得的同一點(diǎn)的位移u是不相同的，這說明對多連域出現(xiàn)了位移的多值解答。顯然根據(jù)位移的單值性條件，則必須使上述兩位移表達(dá)式一致，因此必有B = 0，D = 0。由此，徑向位移表達(dá)式，可寫為 （617）把B = 0代入式（616），則應(yīng)力分量為 ； ； （g）以B = 0代入邊界條件式（c）可解得： ； （h）把A、C值代入式（h），并由，則得承受內(nèi)、外均勻壓力的厚壁圓筒的應(yīng)力公式解為（Lame公式）： （618）把A、C值代入式（617）得到平面應(yīng)變軸對稱問題的徑向位移公式：

10、 （619）如果為厚壁圓環(huán)，即平面應(yīng)力問題，則應(yīng)力分量為：其徑向位移公式推導(dǎo)方法相似，而徑向位移公式則變?yōu)椋?（620）在實(shí)際問題中最常見的是只有內(nèi)壓的情況，如壓力油缸、高壓容器、油氣井和煤層氣井的水力壓裂等都屬于這種情況。這時在公式（618）中，令，得到應(yīng)力公式為： （621）式中的r值恒滿足arb，所以此時：0，永為壓應(yīng)力；0，永為拉應(yīng)力。它的分布情況如圖66所示。 關(guān)于油氣井和煤層氣井水力壓裂的力學(xué)機(jī)理分析和對水力壓裂臨界深度值影響的研究，請參閱相關(guān)文獻(xiàn)。從圖66的應(yīng)力分布圖可以看出，當(dāng)厚壁圓筒僅受內(nèi)壓時，在內(nèi)表面應(yīng)力和都達(dá)到最大值，且為異號。這在設(shè)計上是十分不利的。由下節(jié)強(qiáng)度分析可知，

11、如厚壁筒為提高強(qiáng)度而增加壁厚，則收效甚微。因此工程上為了使應(yīng)力合理分布，常用組合圓筒方法。所謂組合圓筒就是將兩個或多個圓筒用熱壓配合或壓入配合法套在一起，這種裝配應(yīng)力與內(nèi)壓力引起的工作應(yīng)力疊加，可大大提高圓筒的承載能力。這種組合圓筒的問題具有廣泛的實(shí)際意義，如夾層炮筒、輪軸套合以及壓力隧道等的設(shè)計均采用此種方法。64 厚壁圓筒問題的彈塑性解 本節(jié)將討論不可壓縮理想彈塑材料只受內(nèi)壓的厚壁圓筒問題的彈塑性解答?，F(xiàn)設(shè)厚壁圓筒問題仍屬平面應(yīng)變狀態(tài)，由于在理想塑性情況，按屈服條件和平衡方程聯(lián)合求解，可求出應(yīng)力分量的塑性解答，無需使用變形條件和本構(gòu)關(guān)系。這種問題屬于“靜定”問題，是塑性力學(xué)的最簡單問題。一

12、、彈性解（）： 當(dāng)內(nèi)壓力，且不大時，整個厚壁筒處于彈性狀態(tài)，由式（622）應(yīng)力分量為 ； ； （a）從上式，可以看出當(dāng)=0.5時，。因此，。當(dāng)p逐漸增大，圓筒開始屈服時，應(yīng)力應(yīng)該滿足屈服條件。把式（a）代入Mises條件： （b）得 （c）圓筒首先在r = a處屈服，這時的壓力，即為彈性極限載荷： （622）當(dāng)時，由此可知，在彈性無限空間內(nèi)的圓柱形孔洞受內(nèi)壓時（如隧道），其內(nèi)表面開始屈服時的壓力值與內(nèi)孔的半徑無關(guān)。實(shí)際上，對于厚壁來說，比較小，只加大筒的外半徑b，并不會明顯提高圓筒的彈性極限壓力。例如當(dāng)時，。而當(dāng) 時，只提高彈性極限荷載約 。因此，不能只是加大筒的厚度來提高厚壁筒的強(qiáng)度。如采用

13、兩個或兩個以上的圓筒以過盈配合的方法構(gòu)成組合厚壁筒，其應(yīng)力分布將比單一的整體厚壁筒合理。二、彈塑性解（）：當(dāng)內(nèi)壓力達(dá)到時，在圓筒的內(nèi)壁開始產(chǎn)生塑性變形。隨著p的增大，將在靠近內(nèi)壁處形成塑性區(qū)。由于對稱，彈塑性區(qū)交界線必為一個半徑為某一數(shù)值c的圓。于是圓筒分為兩個環(huán)狀區(qū)域（見圖67）：arc為塑性區(qū)；crb為彈性區(qū)。如略去體力，在塑性區(qū)平衡方程為 （d）將Mises屈服條件（b）代入（d）為得 ； （e）式中A為積分常數(shù)，由邊界條件定出。當(dāng) 時，因此： （f）上式（f）代入式（b），得： （g）在彈塑性交界處r = c處的應(yīng)力為： （h） 因而，對于外層彈性區(qū)來說，就是作用到該區(qū)內(nèi)側(cè)的徑向壓力，

14、此時問題轉(zhuǎn)化為外半徑為b，內(nèi)半徑為c的圓筒，受內(nèi)壓力作用的彈性極限問題，見圖67。也即按式622，將a換成c，換為得： （i）因而在r = c處，必連續(xù)，由式（i）與（h）相等，可得 （623）這是彈塑性交界線c應(yīng)滿足的方程，此乃一超越方程，當(dāng)給定p時，可用數(shù)值法求出c值。當(dāng)c和算出后，容易由彈性公式計算出彈性區(qū)的應(yīng)力。綜上所述，塑性區(qū)（arc）的應(yīng)力解為： ； ； （624）三、塑性解（）：當(dāng)載荷繼續(xù)增加時，塑性區(qū)逐漸向外擴(kuò)大。當(dāng)其前沿一直擴(kuò)展到圓筒的外側(cè)時，整個圓筒全部進(jìn)入塑性狀態(tài)，這種狀態(tài)稱為塑性極限狀態(tài)。在極限狀態(tài)以前，由于有外側(cè)彈性區(qū)的約束，圓筒內(nèi)側(cè)塑性區(qū)的變形與彈性變形為同量級。從

15、極限狀態(tài)開始，圓筒將開始產(chǎn)生較大的塑性變形，成為無約束性流動。極限狀態(tài)是從正常工作狀態(tài)轉(zhuǎn)向喪失工作能力的一種臨界狀態(tài)，與之對應(yīng)的載荷，稱為（塑性）極限荷載，用Ps表示。由（623），使c = b，得ps為： （625） 本節(jié)計算過程中采用了Mises條件，如采用Tresca條件，則屈服條件為：（當(dāng)時，Mises條件為）在所有公式中將換成即可。65 半無限平面體問題對于地基土體承受建筑物作用和大尺寸薄板邊界受作用于板的中面載荷等問題，均屬于半無限平面體受載問題。以下按平面應(yīng)力問題來討論，其結(jié)果同樣可轉(zhuǎn)化到平面應(yīng)變問題。我們先從楔形尖頂承受載荷作用這一問題著手。一、楔形尖頂承受載荷P作用 如圖69

16、所示楔形截面的長柱（取單位厚度的柱體研究），在頂端受均布垂直荷載P力的作用。可根據(jù)量綱分析，選取應(yīng)力函數(shù)為： （a）上式滿足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 ，且由式（610），得： ； ； （b）顯然上述應(yīng)力分量，滿足在楔形體的外緣邊上無外力作用的邊界條件，且的分布對稱于x軸，M點(diǎn)的應(yīng)力隨r增大而減小?，F(xiàn)在我們來確定待定常數(shù)A。為此我們?nèi)∫话霃綖閞的弧形面mn，其上的分布應(yīng)力的合力應(yīng)與P力相平衡，得： （c）代入式（b），積分得 ，所以 ； ； （627）在上式中r0，。這說明，在楔頂載荷P作用點(diǎn)處應(yīng)力無窮大，此解答不適用。但根據(jù)圣維南原理除去在作用點(diǎn)附近的一個小扇形區(qū)，其解答仍然不失為精確解。二、半無限平面體

17、邊界上承受載荷P作用現(xiàn)在來考察一半無限大板，在其水平邊界AB上受力P的作用，見圖610。取板厚為單位厚度，P為均勻分布在單位厚度上的力。1. 應(yīng)力：利用式（626），設(shè) ，則可得到上述問題應(yīng)力解答 ； （628）這個解滿足邊界AB上除力P作用點(diǎn)o外，沒有其他外力的作用的條件。 設(shè)作直徑為d的圓周，圓心在x軸上，與y軸相切于o點(diǎn)，見圖610，對于這圓周上任一點(diǎn)M，。從式（628）得 （d）由此可知，除荷載作用點(diǎn)外，此圓上各點(diǎn)的應(yīng)力均相等，即此圓為徑向應(yīng)力等值軌跡線。在光彈性試驗(yàn)中稱為等差線（等色線），線上各主應(yīng)力之差相等。 上述用極坐標(biāo)系表示的各應(yīng)力分量轉(zhuǎn)變到直角坐標(biāo)系上去： （629）當(dāng) =

18、0時，應(yīng)力 為最大，這時r = x，則 （e）當(dāng)時，應(yīng)力為最大，其值為 （f）這些應(yīng)力的大小分布情況如圖612所示。2. 位移：現(xiàn)在來求位移分量。將廣義虎克定律和幾何方程代入式（627）得 （g）將式（g）的第一式積分，得： （h）將式（h）代入（g）的第二式，并積分得： （i）將式（h）、（i）代入（g）的第三式，簡化并乘以r后得： （j）上式前兩項(xiàng)只是r的函數(shù)，方括號中各項(xiàng)只是的函數(shù)，而r、又是互不依賴的兩個變量，因此要上式（j）成立，必有下列兩個方程： （k）式中K為常數(shù)。解微分方程（k）得 （l）其中K、A、B、C均為任意常數(shù)，可由問題的約束條件與對稱性來確定。先將式（l）分別代入式（

19、h）、（i）得 （m）下面我們來確定式中常數(shù)A、B、C。 （1）首先，我們假定半無限平面體受到約束，不能沿x或y方向作剛體位移。又由于問題的對稱性，因而在對稱軸（x軸）上各點(diǎn)沒有側(cè)向位移，即：在 = 0處，v = 0。于是根據(jù)式（m）第二式得：A + Cr = 0，因?yàn)榇耸街械膔可以是任意值，故欲使此式成立，必有： A = 0 ； C = 0 （n） （2） 從實(shí)際位移情況，我們假設(shè)在x軸上距o點(diǎn)足夠遠(yuǎn)的h處無豎向位移，即徑向位移u = 0。將 = 0，r = h以及A = 0代入式（m）第一式得 （o）將所求得積分常數(shù)代入式（m），得各位移分量為 （629）請注意半無限平面體內(nèi)各點(diǎn)位移分量符

20、號及其正方向，如圖613所示?，F(xiàn)在我們應(yīng)用上式（629）來求自由邊界AB上各點(diǎn)的豎向位移（即所謂沉陷量）。于是有 （630）當(dāng)r = 0，得v，因此必須假定力P作用點(diǎn)附近區(qū)域被小半徑的圓柱面切去，而不予考慮。邊界AB上各點(diǎn)豎向位移的大略圖線，如圖614所示，其中所示的漸近線為x軸的對數(shù)曲線。還應(yīng)當(dāng)指出，一般為了實(shí)際應(yīng)用的目的（例如在土力學(xué)中，求地基的沉陷），我們可以取自由邊界上的一點(diǎn)作為基點(diǎn)（如圖614中的B點(diǎn)），求任意點(diǎn)M對該點(diǎn)的相對位移（即相對沉陷量），消去h得： （p）即 （631）對于平面應(yīng)變問題，將上述平面應(yīng)力問題所得結(jié)果的位移分量公式中的E、換為，即可。例如在平面應(yīng)變情況下，式（6

21、31）應(yīng)改寫為 （632）三、半無限平面體邊界上承受分布載荷q作用由以上結(jié)果不難利用疊加原理推廣到半無限平面體上邊界有多個載荷或分布載荷作用的情況。設(shè)在上邊界有分布載荷作用（圖615），則由圖得出：，于是有： （q）以qdy代替式（628）中的P，便得到qdy作用下各點(diǎn)之應(yīng)力。如載荷從a均勻分布到b，且q為常數(shù)，則任一點(diǎn)的應(yīng)力由下列公式確定： （633）以上為彈性解。為以后引出塑性平面應(yīng)變問題，在此作進(jìn)一步討論：如令，見圖615，則根據(jù)二維空間的主應(yīng)力計算可得 ； （r）對于不可壓縮材料，平面應(yīng)變問題，其垂直半無限體方向（即z向）的應(yīng)力，（因?yàn)閷ΨQ）必為主應(yīng)力。且有： （s）由此可見數(shù)值上等于

22、與的平均值，故必為中間主應(yīng)力。則知，由此得最大剪應(yīng)力 （634）當(dāng)時，最大剪應(yīng)力達(dá)最大值。 當(dāng)外載荷不斷增加，則必將當(dāng)荷載達(dá)到某一數(shù)值時，在介質(zhì)中的某一點(diǎn)處，開始出現(xiàn)塑性區(qū)。由式（634）可知，材料的屈服首先在a、b兩點(diǎn)發(fā)生，并且由于應(yīng)力集中，a、b點(diǎn)的實(shí)際應(yīng)力將高出于計算應(yīng)力數(shù)倍（圖616），材料在此處首先屈服。這一問題的進(jìn)一步塑性分析及極限狀態(tài)的討論請參閱第十二章。66 圓孔孔邊應(yīng)力集中在工程結(jié)構(gòu)中，經(jīng)常要求在構(gòu)件中加工開孔。由于孔口的存在破壞了材料的連續(xù)性，從而引起了在孔邊應(yīng)力局部增大的現(xiàn)象，這就是材料力學(xué)中介紹過的應(yīng)力集中。應(yīng)力集中對于構(gòu)件的強(qiáng)度，特別是對交變應(yīng)力下的持久極限產(chǎn)生嚴(yán)重的

23、影響。彈性力學(xué)的方法可以對孔邊應(yīng)力集中作定量的計算。本節(jié)討論左右邊界受均勻拉力作用帶孔平板的應(yīng)力集中問題。設(shè)孔為圓形，半徑為a，且半徑a遠(yuǎn)小于板的長度與寬度，故可將該平板作為無限大平板處理。然后再討論相對有限大平板解的精確性（圖617）。 由圣維南原理可知，在遠(yuǎn)離小孔的地方，孔邊局部應(yīng)力集中的影響將消失。對于無孔板來說，板中應(yīng)力為： ； ； （a）與之相應(yīng)的用極坐標(biāo)的應(yīng)力函數(shù)則為： （b）現(xiàn)在參照上述無孔板來選取一個應(yīng)力函數(shù)，使它適用于有孔板。用極坐標(biāo)表示的應(yīng)力函數(shù)為： （c）將式（d）代入應(yīng)變協(xié)調(diào)方程 ，即（67），得： （d）因上式要求對所有的 均應(yīng)滿足，則 ，故有： （e）上式（e）第一式為歐拉線性方程，已于軸對稱問題中解得，則由式（615）得通解為： （f）上式（e）第二式也為歐拉線性方程?，F(xiàn)采用特解法，設(shè)其特解為，于是有： （g） （h）其特征方程為：，因而得：， ， ， 。于是得式（e）第二式的通解為： （i）則由式（c）得： （j）代入式（610）求得應(yīng)力分量為： （k）上式中的常數(shù)?？梢愿鶕?jù)下列條件確定： （1）當(dāng)r 時，應(yīng)力應(yīng)保持有限值，不能無限制地增長，因此、項(xiàng)前的系數(shù)應(yīng)為零，即：。 （2）當(dāng)時，則有： ； ； （l） （3）應(yīng)力函數(shù)在r足夠大時，給出的應(yīng)力應(yīng)與無孔時應(yīng)力函數(shù)給出的應(yīng)力相同。而由 確定的應(yīng)力