解線性方程組的解法

1、關(guān)于解線性方程組的解法第一頁，共28頁幻燈片2 線性方程組是線性代數(shù)中最重要最基本的內(nèi)容之一，是解決很多實際問題的的有力工具，在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟管理的許多領(lǐng)域（如物理、化學(xué)、網(wǎng)絡(luò)理論、最優(yōu)化方法和投入產(chǎn)出模型等）中都有廣泛應(yīng)用. 第一章介紹的克萊姆法則只適用于求解方程個數(shù)與未知量個數(shù)相同，且系數(shù)行列式非零的線性方程組. 本章研究一般線性方程組，主要討論線性方程組解的判定、解法及解的結(jié)構(gòu)等問題，還要討論與此密切相關(guān)的向量線性相關(guān)性等. 其主要知識結(jié)構(gòu)如下：第二頁，共28頁幻燈片3線性方程組 通解基礎(chǔ)解系解的結(jié)構(gòu)極大線性無關(guān)組線性相關(guān)、線性無關(guān)線性表示、線性組合向量解的關(guān)系階梯陣，得同解方程組求解方

2、法：消元法，有非零解，只有零解，無解，有無窮多解，有唯一解解的判定)()()()()()()()()(AAAOAxAAAAAAAxnrnrrrnrrnrr第三頁，共28頁幻燈片43.1 消元法第一章討論了含n個方程的n元線性方程組的求解問題.下面我們討論一般的n元線性方程組(system of linear equations)mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111（3.1） 寫成矩陣形式為Ax 其中mnamamaaaaaaann212222111211Amnbbbxxx2121, x第四頁，共28頁幻燈片5分別稱為方程組（3.1

3、）的系數(shù)矩陣(coefficient matrix)、未知量矩陣和常數(shù)項矩陣. 當(dāng) 時，稱 為n元齊次線性方程組；當(dāng) 時，稱 為n元非齊次線性方程組. 并稱T)0 , 0 , 0( OOAx O Ax mnnbbbmnamamaaaaaaa21212222111211),(AA為方程組（3.1）的增廣矩陣(augmented matrix). 因為一個線性方程組由它的系數(shù)和常數(shù)項完全確定，所以線性方程組與它的增廣矩陣是一一對應(yīng)的.如果 可以使（3.1）中的每個等式都成立，則稱 為線性方程組（3.1）的一個解(solution). 線性方程組（3.1）的解的全體稱為它的解nncxcxcx,221

4、1Tnccc),(21x第五頁，共28頁幻燈片6集(solution set). 若兩個線性方程組的解集相等，則稱它們同解(same solution). 若線性方程組（3.1）的解存在，則稱它有解或相容的. 否則稱它無解或矛盾的. 解線性方程組實際上先要判斷它是否有解，在有解時求出它的全部解. 消元法是求解線性方程組的一種基本方法，其基本思想是通過消元變形把方程組化成容易求解的同解方程組. 在中學(xué)代數(shù)里我們學(xué)過用消元法求解二元或三元線性方程組，現(xiàn)在把這種方法理論化、規(guī)范化、并與矩陣的初等變換結(jié)合起來，使它適用于求解含更多未知量或方程的線性方程組. 為此，先看一個例子.第六頁，共28頁幻燈片7

5、例1 解線性方程組452462213232131321xxxxxxxx) 3() 2() 1 (解 原方程組 2451323232321)1 (2)3()1 ()2(xxxxxxx) 5 () 4() 1 (183562233231)4(4)5()4()1(xxxxx)7()4()6(65333231)7(31)6(21xxxxx619321)9()4()9()8(xxx)9()4()8(顯然原方程組與最后的方程組（叫階梯形方程組）同解，所以原方程組有唯一解 6, 1, 9321xxx第七頁，共28頁幻燈片8 由此不難發(fā)現(xiàn)，在求解線性方程組的過程中，可以對方程組反復(fù)施行以下三種變換： 1. 交

6、換兩個方程的位置； 2. 用一個非零數(shù)乘某個方程的兩邊； 3. 把一個方程的倍數(shù)加到另一個方程上.稱它們?yōu)榫€性方程組的初等變換. 顯然：線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性. 在例1的求解過程中，我們只對方程組的系數(shù)和常數(shù)項進行了運算，對線性方程組施行一次初等變換，就相當(dāng)于對它的增廣矩陣施行一次相應(yīng)的初等行變換，用方程組的初等變換化簡線性方程組就相當(dāng)于用矩陣的初等行變換化簡它的增廣矩陣. 下面我們將例1的求解過程寫成矩陣形式：第八頁，共28頁幻燈片9 21405110131245246202131213122rrrrA 610051103101183005110620231232131

7、214rrrrrr 6100101090013231rrrr所以原方程組有唯一解 6, 1, 9321xxxT)6, 1, 9(x即第九頁，共28頁幻燈片10一般地，不妨設(shè)線性方程組（3.1）的增廣矩陣可通過適當(dāng)?shù)某醯刃凶儞Q化為階梯形矩陣000000000000000001000100011122121111rrrnrrnrnrddccdccdccA因而由初等行變換不改變矩陣的秩可知：線性方程組（3.1）的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 的秩分別為AA第十頁，共28頁幻燈片11rr)(A.0, 10,)(11時當(dāng)時，當(dāng)rrdrdrr A與 由線性方程組的初等變換不改變線性方程組的同解性可知：線性方程組（

8、3.1）與階梯形方程組1112211221111110rrnrnrrrrnnrrnnrrddxcxcxdxcxcxdxcxcx（3.2） 同解，且其解有三種情形：情形1，當(dāng) ，即 時，方程組（3.1）無解.情形2，當(dāng) ，即 時，方程組（3.1）有唯一解01rd)()(AArrnrdr, 01nrrr)()(AATnddd),(21x第十一頁，共28頁幻燈片12情形3，當(dāng) ，即 時，方程組（3.2）可變成nrdr, 01nrrr)()(AAnrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111其中 在相應(yīng)數(shù)域上可任意取值，稱為自由未知量，以下我們在實數(shù)域

9、R上討論，任意給定自由未知量一組值： 代人可求得 的相應(yīng)值，把這兩組數(shù)合并起來就得到方程組（3.1）的一個解，因此方程組（3.1）有無窮多個解，其一般解為 nrrxxx,21rnnrrkxkxkx,2211rxxx,21第十二頁，共28頁幻燈片13nrnrrrrrnnrrnnrrxcxcdxxcxcdxxcxcdx11211222111111（ 為自由未知量） nrrxxx,21或rnnrrnnrrrrrnnrkxkxkckcdxkckcdx1111111!111),(1Rrnkk 綜上所述，我們可得以下重要定理.第十三頁，共28頁幻燈片14定理3.1（線性方程組有解判別定理） 線性方程組 有

10、解的充要條件是它的系數(shù)矩陣 與增廣矩陣 等秩，即 Ax A),(AA ),()()(AAArrr推論3.1（解的個數(shù)定理） （1）n元線性方程組 有唯一解的充要條件是 .Ax nrr),()(AA（2）n元線性方程組 有無窮多解的充要條件是 . 此時它的一般解中含 個自由未知量.Ax nrrr),()(AArn（3）n元線性方程組 無解的充要條件是 .Ax ),()(AArr 由于上述討論并未涉及常數(shù)項 的取值，因此對 時的n元齊次線性方程組mbbb,21021mbbb第十四頁，共28頁幻燈片15000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa(

11、3.3) 即 ，顯然有 ，由定理3.1可得下述定理.OAx )()(AArr定理3.2 （1）n 元齊次線性方程組 只有零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣 的秩 .（2）n元齊次線性方程組 有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣 的秩 .OAx OAx nr)(Anr)(AAA推論3.2 （1）n 個方程的n元齊次線性方程組只有零解的充要條件是它的系數(shù)行列式 .（2）n個方程的n元齊次線性方程組 有非零解的充要條件是它的系數(shù)行列式 .OAx 0AOAx 0A第十五頁，共28頁幻燈片16（3） 若n元齊次線性方程組中方程個數(shù)m小于未知量個數(shù)n，則它必有非零解.書例 解線性方程組215928232342532

12、432143214214321xxxxxxxxxxxxxxx解 對方程組的增廣矩陣 作初等行變換，有 A215921823213104251321A 2661200133600133600513211413122rrrrrr第十六頁，共28頁幻燈片170000000000613211002321021231232461212rrrrrrr所以同解方程組為613212321243421xxxxx一般解為434212161321223xxxxx（ 為自由未知量） 42,xx123150063130063130012626第十七頁，共28頁幻燈片18或1122132423122213162xkkxk

13、xkxk),(21Rkk注 自由未知量的選取不唯一，如例2中， 可化為A00000000003131200320121A所以一般解為343212313232xxxxx（ 為自由未知量） 32,xx第十八頁，共28頁幻燈片19例3解線性方程組.2875342622321321321 xxxxxxxxx解 2817534216122),(bA 3 4 21 0 9 6 0 31 91 17 0 3 4 21 0 32 0 31 8 10 3 4 21 31 8 10 62 13 0 0 解得唯一解.23 x,32 x,11 x第十九頁，共28頁幻燈片20例4解線性方程組解 322122351311

14、321),(bA . 3222, 2353, 132432143214321xxxxxxxxxxxx 1 13 21 20000104501132110 45 0 1 0 45 0 最后一個為矛盾方程組,20 故方程組無解.第二十頁，共28頁幻燈片21例5t 為何值時線性方程組 解 324622432132131txxxtxxxtxx有解? 并求解. 324162214101tttA,100023210101 ttt 3421023210101ttt當(dāng)當(dāng)1 t時時，2)()( ArAr, , 方程組有無窮多解。第二十一頁，共28頁幻燈片22例6解線性方程組 解.0334506220323054

15、32154325432154321 xxxxxxxxxxxxxxxxxxx這是一個齊次線性方程組，且方程個數(shù)小于未知個數(shù)，故必有非零解。只需對系數(shù)矩陣施以初等行變換。 13345622103112311111A 143253rrrr 62210622106221011111第二十二頁，共28頁幻燈片23 62210622106221011111,00000000006221011111 2332rrrr24rr 123.ccc其中 、 、 任意取值求得全部解為 35cx 3212622cccx 24cx 13cx 32115cccx 第二十三頁，共28頁幻燈片24例7下面的線性方程組當(dāng)a、b為

16、何值時有解？在有解解的情況下，求出全部解。 bxxxxaxxxxxxxxxxxx4321432143214321574227212 baA511742272111111112 1426601439903133021111ba第二十四頁，共28頁幻燈片25 1426601439903133021111ba,800005000013111021111 ba當(dāng)當(dāng)8, 5 ba時時，有有解解。 此時一般解為 241321221311321cxcxccxcx.21任意任意、，其中，其中cc第二十五頁，共28頁幻燈片26例8當(dāng)a、b為何值時，線性方程組解 4234321321321xbxxxbxxxxax無解?有唯一解?有無窮多解?有無窮多解時求出全部解。 1211111bbaA , )1( ab12010111bba 當(dāng)當(dāng)1