平面向量的應(yīng)用資料

1、平面向量的應(yīng)用1.向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問題.(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：abab(b0)x1y2x2y10.(2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)aba·b0x1x2y1y20.(3)求夾角問題，利用夾角公式cos (為a與b的夾角).2.平面向量在物理中的應(yīng)用(1)由于物理學(xué)中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解與合成與向量的加法和減法相似，可以用向量的知識(shí)來解決.(2)物理學(xué)中的功是一個(gè)標(biāo)量，這是力F與位移s的數(shù)量積.即WF&#

2、183;s|F|s|cos (為F與s的夾角).3.平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯平面向量作為一個(gè)運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).1.判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)若，則A，B，C三點(diǎn)共線.()(2)解析幾何中的坐標(biāo)、直線平行、垂直、長(zhǎng)度等問題都可以

3、用向量解決.()(3)實(shí)現(xiàn)平面向量與三角函數(shù)、平面向量與解析幾何之間的轉(zhuǎn)化的主要手段是向量的坐標(biāo)運(yùn)算.()(4)在ABC中，若·<0，則ABC為鈍角三角形.(×)(5)作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力F1和F2的夾角為，且|F1|3，|F2|5，則F1F2的大小為.()(6)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有三個(gè)定點(diǎn)A(2，1)，B(0,10)，C(8,0)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足：t()，tR，則點(diǎn)P的軌跡方程是xy10.()2.(2013·福建改編)在四邊形ABCD中，(1,2)，(4,2)，則該四邊形的面積為_.答案5解析·0，ACBD.四邊形ABCD的面積S|·|

4、××25.3.已知a，b，c為ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，向量m(，1)，n(cos A，sin A).若mn，且acos Bbcos Acsin C，則角A，B的大小分別為_和_.答案解析由mn得m·n0，即cos Asin A0，即2cos0，<A<，A，即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cccsin C，所以sin C1，C，所以B.4.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_.答案y28x (x0)解析由題意得，又，·0，

5、即·0，化簡(jiǎn)得y28x (x0).5.河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_.答案2 m/s解析如圖所示小船在靜水中的速度為2 m/s.題型一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用例1如圖所示，四邊形ABCD是正方形，P是對(duì)角線DB上的一點(diǎn)(不包括端點(diǎn))，E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，且四邊形PFCE是矩形，試用向量法證明：PAEF.思維啟迪正方形中有垂直關(guān)系，因此考慮建立平面直角坐標(biāo)系，求出所求線段對(duì)應(yīng)的向量，根據(jù)向量知識(shí)證明.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，DP(0<<)，則A(0,1)，P(，)

6、，E(1，)，F(xiàn)(，0)，(，1)，(1，)，| ，| ，|，即PAEF.思維升華用向量方法解決平面幾何問題可分三步：(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)通過向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(1，2)，B(2,3)，C(2，1).(1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)；(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(t)·0，求t的值.解(1)(3,5)，(1,1)，求兩條對(duì)角線的長(zhǎng)即求|與|的大小.由(2,6)，得|2，由(4,4)，得

7、|4.(2)(2，1)，(t)··t2，易求·11，25，由(t)·0得t.題型二平面向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用例2已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p與q是共線向量.(1)求A的大??；(2)求函數(shù)y2sin2Bcos取最大值時(shí)，B的大小.思維啟迪向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡(jiǎn)單的組合.如本題中的條件通過向量給出，根據(jù)向量的平行得到一個(gè)等式.因此這種題目較為簡(jiǎn)單.解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin

8、A，ABC為銳角三角形，A60°.(2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos 2Bcos 60°sin 2Bsin 60°1cos 2Bsin 2B1sin(2B30°)，當(dāng)2B30°90°，即B60°時(shí)，函數(shù)取最大值2.思維升華解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題的關(guān)鍵，準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問題解決.ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量m(ab，sin C

9、)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，則角B的大小為_.答案解析mn，(ab)(sin Bsin A)sin C(ac)0，又，則化簡(jiǎn)得a2c2b2ac，cos B，0<B<，B.題型三平面向量在解析幾何中的應(yīng)用例3已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線l：x8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，且()·()0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求·的最值.思維啟迪(1)直接利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算代入；(2)將·轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的函數(shù)，求函數(shù)的最值.解(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y).由()·

10、()0，得|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡(jiǎn)得1.所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為1.(2)，又0.·22x2(y1)2116(1)(y1)21y22y16(y3)219.2y2.當(dāng)y3時(shí)，·的最大值為19，當(dāng)y2時(shí)，·的最小值為124.綜上：·的最大值為19；·的最小值為124.思維升華平面向量與平面解析幾何交匯的題目，涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線和圓、直線和橢圓中最值等問題，解決此類問題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手，這也是解決解析幾何問題的基本方法坐標(biāo)法.已知點(diǎn)P(0，3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿

11、足·0，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解設(shè)M(x，y)為所求軌跡上任一點(diǎn)，設(shè)A(a,0)，Q(0，b)(b>0)，則(a,3)，(xa，y)，(x，by)，由·0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)(x，(yb)，把a(bǔ)代入，得(x)3y0，整理得yx2(x0).題型四平面向量在物理中的應(yīng)用例4在長(zhǎng)江南岸渡口處，江水以 km/h的速度向東流，渡船的速度為25 km/h.渡船要垂直地渡過長(zhǎng)江，則航向?yàn)開.思維啟迪題中涉及的三個(gè)速度(向量)：江水速度、渡船的速度、船實(shí)際過江的速度，三個(gè)速度的關(guān)系是本題的核心.答案北偏西30°解析如圖所示

12、，渡船速度為，水流速度為，船實(shí)際垂直過江的速度為，依題意知|，|25.，··2，·0，25×cos(BOD90°)()20，cos(BOD90°)，sinBOD，BOD30°，航向?yàn)楸逼?0°.思維升華在使用向量解決物理問題時(shí)要注意：(1)認(rèn)真分析物理問題，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；(2)通過抽象、概括，把物理問題轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問題；(3)利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問題，并獲得這個(gè)向量的解；(4)利用這個(gè)結(jié)果，對(duì)原物理現(xiàn)象作出合理解釋，即用向量知識(shí)圓滿解決物理問題.質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3(

13、單位：牛頓)的作用而處于平衡狀態(tài)，已知F1，F(xiàn)2成60°角，且F1，F(xiàn)2的大小分別為2和4，則F3的大小為_.答案2解析方法一由已知條件F1F2F30，則F3F1F2，F(xiàn)FF2|F1|F2|cos 60°28.因此，|F3|2.方法二如圖，|2|F1|2|F2|22|F1|F2|cos 60°12，則|2|2|2，即OF1F2為直角，|F3|2 2.方法與技巧1.向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問題.2.以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類綜合問題

14、.通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法.3.向量的兩個(gè)作用：載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)學(xué)問題；工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.失誤與防范1.注意向量夾角和三角形內(nèi)角的關(guān)系，兩者并不等價(jià).2.注意向量共線和兩直線平行的關(guān)系；兩向量a，b夾角為銳角和a·b>0不等價(jià).一、填空題1.已知在ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC_.答案150°解析·<0，BAC為鈍角，又SABC|a|b|sinBAC.s

15、inBAC，BAC150°.2.在ABC中，()·|2，則ABC的形狀一定是_三角形.答案直角解析由()·|2，得·()0，即·()0,2·0，A90°.又根據(jù)已知條件不能得到|，故ABC一定是直角三角形.3.已知|a|2|b|，|b|0且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是_.答案解析由已知可得|a|24a·b0，即4|b|24·2|b|·|b|cos 0，cos ，又0，.4.已知點(diǎn)A(2,0)、B(3,0)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足·x2，則點(diǎn)

16、P的軌跡是_.答案拋物線解析(2x，y)，(3x，y)，·(2x)(3x)y2x2，y2x6.5.若函數(shù)yAsin(x)(A>0，>0，|<)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，M，N分別是這段圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，且·0(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則A等于_.答案解析由題意知M(，A)，N(，A)，又·×A20，A.6.(2013·天津)在平行四邊形ABCD中，AD1，BAD60°，E為CD的中點(diǎn).若·1，則AB的長(zhǎng)為_.答案解析在平行四邊形ABCD中，取AB的中點(diǎn)F，則，又，·()·()2·

17、·2|2|cos 60°|21×|21.|0，又|0，|.7.在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若··1，那么c_.答案解析由題意知··2，即···()22c|.8.已知在平面直角坐標(biāo)系中，O(0,0)，M(1,1)，N(0,1)，Q(2,3)，動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足不等式0·1,0·1，則z·的最大值為_.答案3解析(x，y)，(1,1)，(0,1)，·xy，·y，即在條件下，求z2x3y的最大值，由線性規(guī)劃知識(shí)，當(dāng)x0，y1時(shí)，

18、zmax3.二、解答題9.已知ABC中，C是直角，CACB，D是CB的中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE2EB，求證：ADCE.證明建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0)，則B(0，a)，E(x，y).D是BC的中點(diǎn)，D(0，).又2，即(xa，y)2(x，ay)，解得x，ya.(0，)(a,0)(a，)，(，a)，·(a)×a×a2a20.，即ADCE.10.已知A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,0)，B(0,3)，C(cos ，sin )，其(，).(1)若|，求角的值.(2)若·1，求tan()的值.解(1)(cos 3，sin )，(cos ，sin

19、 3)，|，|.由|得sin cos ，又(，)，.(2)由·1，得(cos 3)cos sin (sin 3)1，sin cos ，sin()>0.由于<<，<<，cos().故tan().備用題1.如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BC，則· _.答案解析··()··，因?yàn)镺AOB，所以在上的投影為|，所以·|×|2，同理·|×|，故·2.2.已知向量m，n的夾角為，且|m|，|n|2，在ABC中，mn，m3n，D為BC邊的中點(diǎn)，則|_.

20、答案1解析由題意知：|2m2n|mn|1.3.如圖，已知平面上直線l的方向向量e，點(diǎn)O(0,0)和A(1，2)在l上的投影分別是O1和A1，則e，其中_.答案2解析|e|，|，|·cose，··2.4.已知直線xya與圓x2y24交于A、B兩點(diǎn)，且|，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_.答案±2解析如圖所示，以O(shè)A、OB為邊作平行四邊形OACB，則由|得，平行四邊形OACB是矩形，.由圖象得，直線yxa在y軸上的截距為±2.5.已知直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90°，AD2，BC1， P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則|3|的最小值為_.答案5解析方法一以D為原點(diǎn)，分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)DCa，DPx.D(0,0)，A(2,0)，C(0，a)，B(1，a)，P(0，x)，(2，x)，(1，ax)，3(5,3a4x)，|3|225(3a4x)225，|3|的最小值為5.方法二設(shè)x(0<x<1).(1x)，x，(1x).3(34x)，|3|