人教版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)全等三角形單元培優(yōu)測(cè)試卷

1、-X八年級(jí)數(shù)學(xué)全等三角形解答題壓軸題(難)1 .已知0P平分ZAOB, ZDCE的頂點(diǎn)C在射線0P上，射線CD交射線0A于點(diǎn)F,射線CE交射線0B于點(diǎn)G.(1) 如圖1,若CD_LOA, CE_LOB,請(qǐng)直接寫出線段CF與CG的數(shù)呈：關(guān)系；(2) 如圖2,若ZAOB=120e, ZDCE二ZAOC,試判斷線段CF與CG的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理 由【答案】(1) CF二CG； (2) CF二CG,見解析【解析】【分析】(1)結(jié)論CF=CG,由角平分線性質(zhì)定理即可判斷.結(jié)論：CF二CG,作CM1.0A于CN_LOB于N,證明 CMF'CNG,利用全等三角形 的性質(zhì)即可解 決問(wèn)題.【詳解】解：(

2、1)結(jié)論：CF=CG；證明：VOP 平分 ZAOB, CF ± OA, CG J_ 0B,CF二CG (角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等)；過(guò)點(diǎn) C 作 CM_LOA, CNXOB,TOP平分ZAOB, CM ± OA, CN _L OB, ZAOB二220叫 . CM=CN （角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的 距離相等），A ZAOC二ZBOC二60八（角平分線的性質(zhì)），VZDCE=ZAOC, Z AOC= Z BOC= Z DCE=605, ZMCO=905-605 二 30 簽 ZNC0=905-605 =30. . ZMCN=305+30-二605,AZMCN二ZDCE,I

3、 ZMCF=ZMCN-ZDCN, ZNCG 二 ZDCE-ZDCN,AZMCF二ZNCG,在 AMCF 和 ZkNCG 中,ZCMF 二乙 CNGCM = CN乙 MCF 二乙 NCGAAMCFlNCG (ASA), CF=CG (全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等)：【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握角平 分線的性質(zhì)的應(yīng)用，熟練證明三角形全等.2.如圖1,在正方形ABCD中，P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上，且PA 二 PE, PE 交 CD 于 F(1)證明：POPE；(2)求z CPE的度數(shù)：(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD

4、,苴他條件不變，當(dāng)Z ABC二120。時(shí)，連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.圖1【答案】(1)證明見解析(2) 90°圖2 AP二CE【解析】【分析】、根據(jù)正方形得出AB=BC, ZABP二ZCBP=45° ,結(jié)合PB二PB得出 ABP "CBP,從而得 出結(jié)論； (2)、根拯全等得出 ZBAP=ZBCP, ZDAP二ZDCP,根據(jù) PA二PE 得出 ZDAP二ZE,即 ZDCP二ZE,易得答案； 、首先證明AABP和ACBP全等,然后得出PA二PC,ZBAP二ZBCP,然后得出ZDCP二ZE,從而得出ZCPF二ZEDF=60°

5、,然后得出AEPC是等邊三角形，從而 得出AP二CE.【詳解】、在正方形 ABCD 中，AB=BC, ZABP二ZCBP二45° ,在 AABP 和 ACBP 中，又 V PB=PB AAABP"ACBP (SAS) , /. PA=PC, VPA=PE, PC=PE；(2)、由(1知.AABP'CBP, . ZBAP二ZBCP, AZDAP=ZDCP, PA 二 PE, ZDAP 二 ZE, ZDCP 二 ZE, VZCFP=ZEFD (對(duì)頂角相等)，A180° - ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - ZE, 即ZCPF二ZED

6、F二90° ： (3)、AP = CE理由是：在菱形 ABCD 中，AB 二 BC, ZABP=ZCBP,在 ZkABP 和 ACBP 中，又 T PB=PB ZkABP 仝 ZCBP (SAS), ' PA 二 PC, ZBAP 二 ZDCP,VPA=PE, ' POPE. ZDAP 二 ZDCP, V PA=PC AZDAP=ZE, . ZDCP=ZE VZCFP=ZEFD (對(duì)頂 角相等)，A1800 - ZPFC - ZPCF=180° - ZDFE - ZE, 即ZCPF二ZEDF=180° - ZADC=180° - 120&

7、#176; =60° , AAEPC 是等邊三角形，/. PC=CE, AAP二CE 考點(diǎn)：三角形全等的證明3.如圖，在AABC中，ZC=90% AC=BC=4cm,點(diǎn)£ )是斜邊A3的中點(diǎn)點(diǎn)E從點(diǎn)3出發(fā)以 lcm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)以一圮的速度沿射線CA方向運(yùn)動(dòng)，規(guī)左當(dāng)點(diǎn)E 到終點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，連接DE、DF (2) 當(dāng)x=I且點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的速度也是lcm/s時(shí)，求證：DE二DF；(3) 若動(dòng)點(diǎn)F以3cm/s的速度沿射線C4方向運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)E、點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，如果存 在 某個(gè)時(shí)間”，使得AADF的而積是A5DEW積的兩倍，請(qǐng)你求出時(shí)間的值.

8、4【答案】(1) 8; (2)見解析： m或4【解析】【分析】(!)直接可求AABC的面積；(2) 連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求：ZA二ZB二ZACD二ZDCB=45即BD 二 CD,且 BE=CF,即可證CDLZkBDE,可得 DE 二 DF；(3) 分AADF的面積是ABDE的而積的兩倍和ABDE與AADF的而積的2倍兩種情況討論，根 據(jù)題意列出方程可求X的值.【詳解】 解：VSaabc=- xACxBC2/ SAABC二一x4x4=8 (cm2)故答案為：8如圖：連接CDVAC=BC, D 是 AB 中點(diǎn)/. CD 平分 ZACB又 VZACB=90° Z A二 Z

9、B= Z ACD= Z DCB=45° ' CD - BD依題意得：BE=CFAlt A CDF 與 ABDE 中BE = CF< ZB = ZDCABD = CDAACD廠ABDE (SAS) ' DE 二 DF (3)如圖：過(guò)點(diǎn) D 作 DM J_ BC 于點(diǎn) M,DN ± AC 于點(diǎn) N,VAD=BD, ZA=ZB=45°. ZAND=ZDMB=90° AAADMABDM (AAS)ADN=DMP| Saadf=2Sabde 1 1一xAFxDN=2x xBExDM2 2A |4-3x|=2x.4/. Xl=4t X2二一4綜

10、上所述：x二一或4【點(diǎn)睛】 本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，全等三角形的性質(zhì)和判左，利用分類思想解決問(wèn)題是本題的 關(guān)鍵.4.如圖，在“IBC中，ZBAC=90° , AB = AC, AE是過(guò)A點(diǎn)的一條直線，且B、C在AE的異側(cè)，3D_L4E于D, CEJ_4E于E(1)求證：BD = DE + CE.(2)若將直線AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖的位置時(shí)(BD<CE),其余條件不變，問(wèn)3D與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)予以證明.【答案】(1)見解析：(2) BD=DE-CE,理由見解析.【解析】【分析】(1)根據(jù)已知利用AAS判泄ABD9/CAE從而得到BD=AE, AD=CE,因?yàn)锳E二AD+

11、DE,所 以BD- DE+CE：(2)根據(jù)已知利用AAS判上ABD9/kCAE從而得到BD=AE, AD=CE,因?yàn)锳D+AE 二 BD+CE,所以 BD=DE-CE.【詳解】解：(1) V ZBAC=90° , BD ± AE, CE ± AE,AZBDA二ZAEC=90%V ZABD+ZBAE=90 ZCAE+ZBAE=90°AZABD=ZCAEtTAB 二 AC,在 ZkABD 和 ACAE 中,ZBDA = ZAEC< ZABD = ZCAEAB = ACAAABDACAE (AAS),ABD二AE, AD 二 CE,TAE 二 AD+DE

12、,由可知點(diǎn)E在ZACB的平分線上，當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條直線，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出CN=1 (AC + CD),根據(jù)CD的長(zhǎng)度計(jì)算出CE的長(zhǎng)度即 2可.【詳解】解：(1) ZC = 90° , AC = 3, BC = 7=1aCxBC = 1x3x7 =八，故答案為：一2(2)連接CE,過(guò)點(diǎn)E作EM _L AC于點(diǎn)M,作EN ± BC于點(diǎn)N.A ZEMA二Z END 二 90° ,又 V ZACB=90%AZMEN=90AZMED+Z DEN 二 90° , ZADE是等腰宜角三角形AZAED=90° t AE=DEA Z

13、AEM+Z MED 二 90° , ZAEM=Z DEN 在 ZkAEM 與 ADEN 中，ZEMA二Z END 二 90° , ZAEM二Z DEN, AE=DEAAAEMADEN (AAS) ME=NE 點(diǎn)E在ZACB的平分線上，即CE是ZACB的平分線£(3)由可知，點(diǎn)E在ZACB的平分線上, 直線，VAAEM"ADEN AM 二 DN,即 AC-CM=CN-CD在 RtZkCME 與 RtZkCNE 中，CE=CE, ME二NE, ARtACME"RtACNE (HL)當(dāng)點(diǎn)D向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E的路徑為一條 CM 二 CN. . CN=g

14、 (AC + C£ »,又 VZMCE二ZNCE=45% ZCME=90° , CE= y/2CN 二遲(AC + CD), 2當(dāng) AC=3, CD=CO二 1 時(shí)，/TCE 二豐(3 + I)= 2 返當(dāng) AC=3, CD=CB=7 時(shí)，CE=f (3 + 7) = 5jJ 點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為：5忑-2忑=3忑、【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的綜合證明題，涉及角平分線的判龍，幾何中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，全等三角形的 性質(zhì)與判定，解題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用上述知識(shí)點(diǎn).6.如圖1,在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=CD=5 cm, BC=12 cm,點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/s的 速度沿BC 向

15、點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts.(1) PC=_cm：(用含t的式子表示)(2)當(dāng) t 為何值時(shí)，ABP9ADCP?.(3)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以vcm/s的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn) 動(dòng)，是否存在這樣的v值，使得某時(shí)刻AABP與以P, Q, C為頂點(diǎn)的直角三角形全等？若存 在，請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(2)(12 2/)；(2) / = 3；(3)存在，“二2 或【解析】【分析】(1)根據(jù)P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度可得BP的長(zhǎng)，再利用BC的長(zhǎng)減去BP的長(zhǎng)即可得到PC的長(zhǎng):(2) 先根據(jù)三角形全等的條件得出當(dāng)BP二CP,列方程求解即得；(3) 先分兩種情況：當(dāng)

16、BP=CQ, AB=PC 時(shí)，AABPAPCQ：或當(dāng) BA=CQ, PB=PC 時(shí)，AABPNQCP,然后分別列方程計(jì)算出t的值，進(jìn)而計(jì)算出v的值.【詳解】解：（1）當(dāng)點(diǎn)P以2cm/s的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)BP = 2tCHI , BC - ncmPC = BC-BP = （2-2t） cm故答案為：（12-力）（2） : ZBP 三 DCP . BP = CP - 2z=12-2r解得f=3.（3） 存在，理由如下： 當(dāng) BP=CQ, AB=PC 時(shí)，ZABP 竺 ZkPCQ,PC二AB二5.BP=BC-PC=12-5=7 . * BP = Item2t=7解得t=3. 5.CQ

17、=BP=7,則 3. 5v=7解得V=2.當(dāng) B4 二 CQ, PB = PC 時(shí)，AABP = OCP , BC - 2cmBP = CP = -BC = 6cm 2J BP 二 Item2/ = 6解得f=3CO - 3vcm / AB = CO = 5cm3V 二 5（TV 3綜上所述，當(dāng)v=2nJcv=一時(shí)，”BP與以p, Q, C為頂點(diǎn)的直角三角形全等.3【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判左及性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是將動(dòng)態(tài)情況化為某一狀態(tài)情況，并以這一狀態(tài)為等量關(guān)系建立方程求解.7.(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖(1),已知：在三角形AABC中，加IC二夕0X8= 47直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A, BD_

18、L直線/, CE_L直線/,垂足分別為點(diǎn)以 £ ,試寫出線段BZXDE和CE之間的數(shù) 量關(guān)系為.(2) 思考探究：如圖(2),將圖(1)中的條件改為：在AABC中，二三點(diǎn)都在直線/上，并且ZBD4=ZAEC = ZBAC=a,英中a為任意銳角或鈍角.請(qǐng) 問(wèn)(i)中結(jié) 論還是否成立？若成立，請(qǐng)給出證明：若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.(3) 拓展應(yīng)用：如圖(3) , D、£是。.4 £三點(diǎn)所在直線川上的兩動(dòng)點(diǎn)，(DAE三 點(diǎn)互不重合)，點(diǎn)尸為血IC平分線上的一點(diǎn)，且AABF與AACF均為等邊三角形，連 接BD. CE,若ZBDA = ZAEC = ZBAC,試判斷AD

19、3; F的形狀并說(shuō)明理由.圖(2) 圖(3)【答案】3)DE=CE+BD；(2)成立，理由見解析；(3) ADEF為等邊三角形，理由見解析.【解析】【分析】(1) 利用已知得出ZCAE二ZABD,進(jìn)而根據(jù)AAS證明AABD與ACAE全等，然后進(jìn)一步求 解即可；(2) 根據(jù) ZBD4 = ZAEC = ZBAC = a 得出 ZCAE=ZABD,在 AADB 與 ACEA 中，根拯 AAS 證明二 者全等從而得出AE二BD, AD=CE,然后進(jìn)一步證明即可；(3) 結(jié)合之前的結(jié)論可得AADB與ACEA全等，從而得出BD二AE, ZDBA=ZCAE,再根據(jù)等邊三 角形性質(zhì)得出ZABF二ZCAF=6

20、0然后進(jìn)一步證明ADBF與AEAF全等，在此基礎(chǔ)上 進(jìn)一步證明求解 即可.【詳解】(1) :做_直線/, CE_L直線AZBDA=ZAEC=90AZBAD+ZABD=90° ,V ZBAC=90° ,AZBAD+ZCAE=90° ZCAE 二 ZABD,氐否BD與ACAE中,TZABD ZZ ZCAE, ZBDA二ZAEC, AB 二 AC,AAABD"ACAE(AAS), BD 二 AE, AD 二 CE,VDE=AD+AE, DE - CE+BD, 故答案為：DE - CE+BD：(2) (1)中結(jié)論還仍然成立，理由如下： ZSDA = ZAEC =

21、 ABAC = a,ZDBA+ZBAD=ZBAD+ZCAE=1800 -a, ZCAE二ZABD,在Aadb與Acea中,V ZABD二ZCAE, ZADB二ZCEA, AB=AC, AADBACEA (AAS), AE=BD, AD=CE, BD+CE=AE+AD=DE,即：DE 二 CE+BD,(3) ADEF為等邊三角形,理由如下：由可知:AADB"ACEA, BD=EA, ZDBA二ZCAE, 4ABF與AACF均為等邊三角形，A ZABF=ZCAF=60° , BF=AF, ZDBA+ ZABF= ZCAE+CAF,AZDBF二ZFAE.在ZkDBF 與 ZkEA

22、F 中，VFB二FA, ZFDB=ZFAE, BD=AE,AADBF"AEAF(SAS), DF=EF, ZBFD二ZAFE,A ZDFE= ZDFA+ ZAFE= ZDFA+ ZBFD=60° , .ZDEF為等邊三角形.【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形性質(zhì)與判左的綜合運(yùn)用，熟練掌握相關(guān)概念是解題關(guān)鍵.8.如圖，在邊長(zhǎng)為4的等邊AABC中，點(diǎn)D從點(diǎn)A開始在射線AB上運(yùn)動(dòng)，速度為1個(gè)單位/ 秒，點(diǎn)F同時(shí)從C出發(fā)，以相同的速度沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)D作DE _L AC,連結(jié)DF交射線 AC于點(diǎn)G(2)當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否始終有DG二GF?若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由。聰明的

23、斯揚(yáng)同學(xué)通過(guò)測(cè)量發(fā)現(xiàn).當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，EG的長(zhǎng)始終等于AC的一半，他想當(dāng) 點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)到圖2的情況時(shí)，EG的長(zhǎng)是否發(fā)生變化?若改變，說(shuō)明理由：若不變，求出EG的長(zhǎng)?！敬鸢浮?1)(2)見詳解：(3)不變.3解析】【分析】(1)設(shè)AD二x,則BD二4-x, BF二4+x 當(dāng)DF_LAB時(shí)，通過(guò)解直角ZXBDF求得x的值，易 得t的值：(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DH BC交AC于點(diǎn)H,構(gòu)建全等三角形：DHG9AFCG,結(jié)合全等 三角形的 對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)和圖中相關(guān)線段間的和差關(guān)系求得DG二GF；(3過(guò) F 作 FH-LAC,可證 ADENCFH,得 DE 二 FH, AC 二 EH,再證 GDE“G

24、FH> 可得 EG 二GH,即可解題.【詳解】解：設(shè) AD=x,則 BD=4-x, BF=4+x.當(dāng) DF1AB 時(shí)，V ZB二60.ZDFB=30%ABF=2BD,即 4+x=2 (4-x ),4解得X二y,/4故 t=:3(2)如圖1,過(guò)點(diǎn)D作DH BC交AC于點(diǎn)H,則ZDHG=ZFCG圖i ZABC是等邊三角形，AAADH是等邊三角形，AAD=D H.又 AD=CF,ADH 二 FC. 在 ADHG 與 AFCG 中，ZDGH=ZFGC< ZDHG=ZFCG ,DH=FCAADHG"AFCG (AAS), DG=GF；A(3)如圖 2,過(guò) F 作 FH_LAC, 在

25、AADE和山陽(yáng)中，'ZAED= ZFHC=90o< ZA= ZFCH ,AD=CFAAADE"ACFH (AAS), DE二FH, AE=CHt AC 二 EH,在AGDE和GFH中.ZDEG=ZFHG<ZDGE=ZFGH AAGDEAGFH (AAS),DE=FH EG 二 GH,1 1AEG二-EH二-AC 2 2【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，需要掌握全等三角形的判左，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性 質(zhì)，本題中求證 GDENGFH是解題的關(guān)鍵.9.如圖，及8c是等邊三角形，點(diǎn)D在邊AC上(點(diǎn)D不與A,C重合)，點(diǎn)E是射線BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)8. C重

26、合),連接QE,以DE為邊作作等邊三角形ADEF,連接CF.(1)如圖當(dāng)DE的延長(zhǎng)線與43的延長(zhǎng)線相交，且C,F在直線QE的同側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)D 作 DGHAB, DG 交 BC 于點(diǎn)、G,求證：CF = EG；(2)如圖2,當(dāng)£ >E反向延長(zhǎng)線與A3的反向延長(zhǎng)線相交，且C,F在直線DE的同側(cè) 時(shí)，求證：CD = CE+CF；(3)如圖3,當(dāng)DE反向延長(zhǎng)線與線段A3相交，且C,F在直線£ )£的異側(cè)時(shí)，猜想CD、CE、CF之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】證明見詳解；證明見詳解：=3-CE理由見詳解.【解析】【分析】由AABC是等邊三角形，Q%48/ZCDG=Z

27、A=60° , ZACB=60° , |CG是 等邊三角形，易 證AGDE竺ACDF (SAS),即可得到結(jié)論：(2)過(guò)點(diǎn)D作DG AB交BC于點(diǎn)G,易證A GDE2 CDF (SAS),即可得到結(jié)論：(3)過(guò)點(diǎn)D作DG/AB交BC于點(diǎn)G,易證A GDE2 CDF (SAS),即可得到結(jié)論.【詳解】(1) VAABC是等邊三角形，DGHAB,.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° , ACDG是等邊三角形， .DG=DC.V ADEF是等邊三角形， DE二DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZGDF=ZEDF-ZGDF,即：ZGDE二ZCD

28、F,右 SA GDE 和a CDF 中 >DE = DF ZGDE = ZCDF ,DG = DCAGDE八aCDF(SAS),：,CF = EG；(2)過(guò)點(diǎn)D作DGAAB交BC于點(diǎn)G,如圖2,V加紀(jì)是等邊三角形，DGAB.ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° ,ACDG是等邊三角形，:.DG=DC ZDEF是等邊三角形， DE二DF, ZEDF=60c ,A ZCDG-ZCDE=ZEDF-ZCDE,即：ZGDE=ZCDF,右GDE 和 4 CDF 中DE = DF ZGDE = ZCDF ,DG = DC AGDE2ACDF (SAS) CD = CG =

29、CE+GE = CE+CF(3) CF = CD + CE,理由如下： 過(guò)點(diǎn)D作DG/7AB交BC于點(diǎn)G,如圖3, VAABC是等邊三角形，DGHAB, :,ZCDG=ZA=60° , ZACB=60° ,ACDG是等邊三角形， .DG=DC=GC. / 4?牛是等邊三角形，.DE=DF, ZEDF=60° ,A ZCDG+ZCDE=ZEDF+ZCDE,即：ZGDE=ZCDF,在 A GDE 和Zx CDF 中,DE = DF. ZGDE = ZCDF ,DG = DC AGDE2ACDF (SAS)CF : GE=GC+CE=CD+CE.圖3【點(diǎn)睛】本題主要考查等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)泄理，添加輔助線，構(gòu)造全等三角 形，是解題的關(guān)鍵.10. 綜合與實(shí)踐：我們