第十一章 相關(guān)分析

1、職教學院 劉春雷E-mail：教育統(tǒng)計學12第十一章 相關(guān)分析第一節(jié)第一節(jié) 相關(guān)的意義相關(guān)的意義第二節(jié)第二節(jié) 積差相關(guān)積差相關(guān)第三節(jié)第三節(jié) 等級相關(guān)等級相關(guān)第四節(jié)第四節(jié) 質(zhì)與量的相關(guān)質(zhì)與量的相關(guān)第五節(jié)第五節(jié) 品質(zhì)相關(guān)品質(zhì)相關(guān)3第一節(jié) 相關(guān)的意義平均數(shù)、標準差是對平均數(shù)、標準差是對單變量單變量進行描述的特征量。進行描述的特征量。若對若對兩個變量兩個變量之間變化關(guān)系進行描述，需要用之間變化關(guān)系進行描述，需要用相關(guān)量相關(guān)量。例如：智力與學習成績的關(guān)系；某一試題的得分與試卷總分例如：智力與學習成績的關(guān)系；某一試題的得分與試卷總分之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。4一、相關(guān)的概念一、相關(guān)的概念相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系兩個

2、變量之間兩個變量之間不精確不精確、不穩(wěn)定不穩(wěn)定的變化關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。的變化關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系兩個變量值是一一對應(yīng)、精確穩(wěn)定的變化關(guān)系。兩個變量值是一一對應(yīng)、精確穩(wěn)定的變化關(guān)系。兩個變量間的變化關(guān)系，表現(xiàn)在：兩個變量間的變化關(guān)系，表現(xiàn)在：變化方向上變化方向上密切程度上密切程度上第一節(jié) 相關(guān)的意義5一、相關(guān)的概念一、相關(guān)的概念變化方向：變化方向：1、正相關(guān)正相關(guān)兩個變量的變化兩個變量的變化方向一致方向一致，即一個變量值變，即一個變量值變大（?。r，另一個變量值也隨之變大（?。?。大（?。r，另一個變量值也隨之變大（小）。如：智商與學習成績的關(guān)系（在非智力因素相同的情況下）。如：智商

3、與學習成績的關(guān)系（在非智力因素相同的情況下）。2、負相關(guān)負相關(guān)兩個變量的變化兩個變量的變化方向相反方向相反，即一個變量值變，即一個變量值變大（?。r，另一個變量值也隨之變小（大）。大（?。r，另一個變量值也隨之變?。ù螅Ｈ纾航忸}能力與解題時間長短的關(guān)系。如：解題能力與解題時間長短的關(guān)系。3、零相關(guān)零相關(guān)（無相關(guān)）（無相關(guān)）兩個變量值變化方向無一定規(guī)律，兩個變量值變化方向無一定規(guī)律，即一個變量值變大時，另一個變量值可能變大也可能變小，即一個變量值變大時，另一個變量值可能變大也可能變小，并且變大、變小的機會趨于相等。并且變大、變小的機會趨于相等。第一節(jié) 相關(guān)的意義6一、相關(guān)的概念一、相關(guān)的概念密

4、切程度密切程度無論兩個變量的變化方向是否一致無論兩個變量的變化方向是否一致1、強相關(guān)（高度相關(guān)）、強相關(guān)（高度相關(guān)）密切程度高；密切程度高；2、中度相關(guān)、中度相關(guān)密切程度一般；密切程度一般；3、弱相關(guān)或低度相關(guān)、弱相關(guān)或低度相關(guān)密切程度弱。密切程度弱。第一節(jié) 相關(guān)的意義7二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)用來描述兩個變量之間變化用來描述兩個變量之間變化方向方向及及密切密切程度的數(shù)字特征程度的數(shù)字特征量稱為量稱為相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)。用。用r表示。表示。取值范圍取值范圍 -1到到+1之間，即之間，即0|r|1。正負號及絕對值的大小正負號及絕對值的大小表明兩個變量之間變化的表明兩個變量之間變化的方向方向及及密切

5、程度密切程度。r=1 完全正相關(guān)完全正相關(guān)r=-1完全負相關(guān)。完全負相關(guān)。第一節(jié) 相關(guān)的意義8二、相關(guān)系數(shù)二、相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的值，僅僅是一個相關(guān)系數(shù)的值，僅僅是一個比值比值。不是由相等單位度量而來，即不是由相等單位度量而來，即不等距不等距，也不是百分比，也不是百分比，因此，因此，不能不能直接作加、減、乘、除運算。直接作加、減、乘、除運算。相關(guān)系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化相關(guān)系數(shù)只能描述兩個變量之間的變化方向方向及及密切密切程度，程度，并并不能不能揭示兩者之間的內(nèi)在揭示兩者之間的內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系本質(zhì)聯(lián)系。存在相關(guān)的兩個變量，也存在相關(guān)的兩個變量，也不一定不一定存在因果關(guān)系。存在因果關(guān)系。第一節(jié)

6、相關(guān)的意義9一、概念及其適用范圍一、概念及其適用范圍1、積差相關(guān)的概念、積差相關(guān)的概念當兩個變量都是當兩個變量都是正態(tài)連續(xù)正態(tài)連續(xù)變量，而且兩者之間呈變量，而且兩者之間呈線性線性關(guān)關(guān)系時，表示這兩個變量之間的相關(guān)稱為系時，表示這兩個變量之間的相關(guān)稱為積差相關(guān)積差相關(guān)。2、積差相關(guān)的適用條件、積差相關(guān)的適用條件第一，兩個變量第一，兩個變量都都是由測量獲得的是由測量獲得的連續(xù)連續(xù)性數(shù)據(jù)。性數(shù)據(jù)。第二，兩個變量的總體第二，兩個變量的總體都都呈呈正態(tài)正態(tài)分布，或接近正態(tài)分布，至分布，或接近正態(tài)分布，至少是單峰對稱的分布（判斷總體是否呈正態(tài)分布可用卡方檢少是單峰對稱的分布（判斷總體是否呈正態(tài)分布可用卡方

7、檢驗）。驗）。第二節(jié) 積差相關(guān)102、積差相關(guān)的適用條件、積差相關(guān)的適用條件第三，必須是第三，必須是成對成對數(shù)據(jù)，而且數(shù)據(jù)，而且每對每對數(shù)據(jù)之間相互數(shù)據(jù)之間相互獨立獨立。第四，兩個數(shù)據(jù)之間呈第四，兩個數(shù)據(jù)之間呈線性線性關(guān)系（可由相關(guān)散布圖的關(guān)系（可由相關(guān)散布圖的形狀形狀來來決定）。決定）。第五，要第五，要排除共變因素排除共變因素的影響。例如，不能用智力不同的學的影響。例如，不能用智力不同的學生的學習成績來考查兩門學科之間的相關(guān)情況。生的學習成績來考查兩門學科之間的相關(guān)情況。第六，樣本容量第六，樣本容量n30，計算出的積差相關(guān)系數(shù)才具有有效意，計算出的積差相關(guān)系數(shù)才具有有效意義。義。第二節(jié) 積差

8、相關(guān)11一、概念及其適用范圍一、概念及其適用范圍3、積差相關(guān)系數(shù)的定義公式、積差相關(guān)系數(shù)的定義公式協(xié)方差協(xié)方差是兩個變量離差乘積之和除以是兩個變量離差乘積之和除以n所得之商。所得之商。第二節(jié) 積差相關(guān)nYYXXCOV協(xié)方差是積差相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)。協(xié)方差是積差相關(guān)系數(shù)的基礎(chǔ)。離差乘積之和的大小，能反映兩個變量之間的關(guān)系。離差乘積之和的大小，能反映兩個變量之間的關(guān)系。兩個離差乘積和為兩個離差乘積和為正正，且數(shù)值較大，說明兩個變量的，且數(shù)值較大，說明兩個變量的變化方向一致，且關(guān)系密切；變化方向一致，且關(guān)系密切；兩個離差乘積和為兩個離差乘積和為負負，且數(shù)值較大，說明兩個變量的，且數(shù)值較大，說明兩個變量的

9、變化方向相反，但關(guān)系密切；變化方向相反，但關(guān)系密切；兩個離差乘積和趨于兩個離差乘積和趨于0 0，說明，說明無相關(guān)無相關(guān)。12一、概念及其適用范圍一、概念及其適用范圍3、積差相關(guān)系數(shù)的定義公式、積差相關(guān)系數(shù)的定義公式但但協(xié)方差協(xié)方差是帶有具體單位的是帶有具體單位的絕對絕對數(shù)量，數(shù)量，不能與單位不同的資料相比較。不能與單位不同的資料相比較。為使協(xié)方差變成為使協(xié)方差變成相對相對數(shù)，數(shù)，可將兩個離差除以相應(yīng)的可將兩個離差除以相應(yīng)的標準差標準差，使之變成兩個使之變成兩個標準分標準分數(shù)，數(shù)，然后將兩個標準分數(shù)的乘積之和除以然后將兩個標準分數(shù)的乘積之和除以n，便為積差相關(guān)，便為積差相關(guān)系數(shù)系數(shù)r。第二節(jié) 積

10、差相關(guān)13一、概念及其適用范圍一、概念及其適用范圍3、積差相關(guān)系數(shù)的定義公式、積差相關(guān)系數(shù)的定義公式積差相關(guān)系數(shù)積差相關(guān)系數(shù)就是兩個變量就是兩個變量標準分數(shù)標準分數(shù)乘積之和除以乘積之和除以n所得之商。所得之商。第二節(jié) 積差相關(guān)YXYXnYYXXnYYXXrX XX X變量的樣本標準差變量的樣本標準差Y YY Y變量的樣本標準差變量的樣本標準差14二、積差相關(guān)系數(shù)的計算方法二、積差相關(guān)系數(shù)的計算方法1、用原始數(shù)據(jù)計算、用原始數(shù)據(jù)計算第二節(jié) 積差相關(guān)nYYnXXnYXXY/r2222XYXYX X與與Y Y兩個變量每對觀察值的乘積之和兩個變量每對觀察值的乘積之和X XX X變量的觀察值的總和變量的

11、觀察值的總和Y YY Y變量的觀察值的總和變量的觀察值的總和X X2 2X X變量的觀察值平方之和變量的觀察值平方之和Y Y2 2Y Y變量的觀察值平方之和變量的觀察值平方之和15表表11.4 10個學生初一（個學生初一（X）與初二（）與初二（Y）數(shù)學分數(shù)積差相關(guān)系數(shù)計算表）數(shù)學分數(shù)積差相關(guān)系數(shù)計算表第二節(jié) 積差相關(guān)序號序號XYX2Y2XY174767427627476271757127527175372717227127271468706827026870576767627627676673797327927379767656726526765870777027727077965626526

12、2265621074727427227472總和總和71072350520525415146716第二節(jié) 積差相關(guān)780. 010/7235254110/7105052010/72371051467/r222222nYYnXXnYXXY二、積差相關(guān)系數(shù)的計算方法二、積差相關(guān)系數(shù)的計算方法1 1、用原始數(shù)據(jù)計算、用原始數(shù)據(jù)計算17三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)不具有等距的單位不具有等距的單位，不可以直接相加減。，不可以直接相加減。但在研究中，常需要計算幾個但在研究中，常需要計算幾個相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)的的平均數(shù)平均數(shù)。方法一方法一：將相關(guān)系數(shù)將相關(guān)系數(shù)r

13、轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成等距等距單位的單位的Zr值，值，可用統(tǒng)計學家可用統(tǒng)計學家費舍費舍的的Zr轉(zhuǎn)換法轉(zhuǎn)換法，其轉(zhuǎn)換公式為：其轉(zhuǎn)換公式為：第二節(jié) 積差相關(guān)rrZrrZrr11lg1513. 111ln21或18三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并方法二：方法二：不必計算，可直接查不必計算，可直接查r與與Zr轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換表。因因Zr的分布的分布無論總體相關(guān)系數(shù)無論總體相關(guān)系數(shù)的大小的大小及樣本容量及樣本容量n的大小，的大小，都近似都近似正態(tài)正態(tài)分布，故分布，故Zr是是等距等距的。的。第二節(jié) 積差相關(guān)19三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并例如例如為了考察數(shù)學與物

14、理兩門學科成績的相關(guān)程度，從北京、上海、廣州各為了考察數(shù)學與物理兩門學科成績的相關(guān)程度，從北京、上海、廣州各隨機抽取某年全國統(tǒng)一高考的隨機抽取某年全國統(tǒng)一高考的數(shù)學數(shù)學與與物理物理試卷計算出的積差相關(guān)系數(shù)如試卷計算出的積差相關(guān)系數(shù)如表表11.5，求三個城市數(shù)學與物理高考成績相關(guān)系數(shù)的平均數(shù)。，求三個城市數(shù)學與物理高考成績相關(guān)系數(shù)的平均數(shù)。表表11.5 某年高考數(shù)學與物理成績?nèi)齻€相關(guān)系數(shù)平均數(shù)計算表某年高考數(shù)學與物理成績?nèi)齻€相關(guān)系數(shù)平均數(shù)計算表第二節(jié) 積差相關(guān)市別市別nn-3rZr(n-3)Zr北京北京113113-30.5150.570(113-3)0.570=62.70上海上海552552-

15、30.4980.546(552-3) 0.546=299.754廣州廣州8080-30.5630.637(80-3) 0.637=49049總和總和736411.50320三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并（1）將各相關(guān)系數(shù)）將各相關(guān)系數(shù)r轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成Zr即利用即利用r與與Zr轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換表根據(jù)根據(jù)r值尋找相應(yīng)的值尋找相應(yīng)的Zr值，如北京數(shù)學與值，如北京數(shù)學與物理高考成績的相關(guān)系數(shù)物理高考成績的相關(guān)系數(shù)r=0.515，其，其Zr=0.570。第二節(jié) 積差相關(guān)市別市別nn-3rZr(n-3)Zr北京北京113113-30.5150.570(113-3)0.570=62.7

16、0上海上海552552-30.4980.546(552-3) 0.546=299.754廣州廣州8080-30.5630.637(80-3) 0.637=49049總和總和736411.50321三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并（2）求）求Zr的的平均數(shù)平均數(shù)Zr其計算其計算公式公式為為第二節(jié) 積差相關(guān)33nZnZrr559. 0736503.411rZ市別市別nn-3rZr(n-3)Zr北京北京113113-30.5150.570(113-3)0.570=62.70上海上海552552-30.4980.546(552-3) 0.546=299.754廣州廣州808

17、0-30.5630.637(80-3) 0.637=49049總和總和736411.50322三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并三、相關(guān)系數(shù)的等距轉(zhuǎn)換及其合并（3）將）將Zr轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成r仍用仍用r與與Zr轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換表，本例與本例與Zr=0.559相對應(yīng)的相對應(yīng)的r=0.507，即三個城市某年高考數(shù)學與物理成績相關(guān)系數(shù)的即三個城市某年高考數(shù)學與物理成績相關(guān)系數(shù)的平均數(shù)平均數(shù)是是0.507。第二節(jié) 積差相關(guān)23四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（一）相關(guān)系數(shù)的（一）相關(guān)系數(shù)的抽樣分布抽樣分布從兩個從兩個正態(tài)連續(xù)正態(tài)連續(xù)變量的總體中，隨機抽取變量的總體中，隨機抽取n對對數(shù)據(jù)，算數(shù)據(jù)，算得

18、一個樣本相關(guān)系數(shù)得一個樣本相關(guān)系數(shù)r值，隨后將這些數(shù)據(jù)還回兩個總體中值，隨后將這些數(shù)據(jù)還回兩個總體中去，去，再從中隨機抽取再從中隨機抽取n對對數(shù)據(jù)，又可以計算出數(shù)據(jù)，又可以計算出一個樣本一個樣本的的r值，值，這樣反復抽下去，就會有這樣反復抽下去，就會有一切可能一切可能個樣本的個樣本的r值，值，這一切可能個樣本這一切可能個樣本r值的值的頻數(shù)分布頻數(shù)分布，就構(gòu)成一個實驗性，就構(gòu)成一個實驗性的的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r的抽樣分布的抽樣分布。第二節(jié) 積差相關(guān)24四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（一）相關(guān)系數(shù)的（一）相關(guān)系數(shù)的抽樣分布抽樣分布相關(guān)系數(shù)抽樣分布的相關(guān)系數(shù)抽樣分布的形態(tài)形態(tài)，隨總體

19、隨總體相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)和樣本和樣本容量容量n的大小而變化。的大小而變化。當當=0時，樣本時，樣本r的抽樣分布呈的抽樣分布呈正態(tài)正態(tài)；當當0時，而時，而n相當大時（如相當大時（如n=50），），r的抽樣分布接近于的抽樣分布接近于正正態(tài)態(tài)。當當0時，而時，而n相當小時（如相當小時（如n=6），），r的抽樣分布呈的抽樣分布呈偏態(tài)偏態(tài)。當當很大時（如很大時（如=0.8），即使），即使n較大，較大，r的抽樣分布也呈的抽樣分布也呈偏態(tài)偏態(tài)。第二節(jié) 積差相關(guān)25四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（一）相關(guān)系數(shù)的（一）相關(guān)系數(shù)的抽樣分布抽樣分布根據(jù)根據(jù)樣本樣本相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)r對對總體總體相關(guān)系

20、數(shù)相關(guān)系數(shù)進行進行推斷推斷是以是以r的抽樣分布的抽樣分布正態(tài)性正態(tài)性為轉(zhuǎn)移的，為轉(zhuǎn)移的，正態(tài)分布正態(tài)分布只有當總體相關(guān)系數(shù)為只有當總體相關(guān)系數(shù)為零零，或者接近于零，或者接近于零，樣本樣本容量容量n相當大（相當大（n50或或n30）時，）時，r的抽樣分布才接近于的抽樣分布才接近于正態(tài)正態(tài)分布。分布。第二節(jié) 積差相關(guān)26四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗四、相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（二）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的（二）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的基本原理基本原理根據(jù)根據(jù)樣本樣本數(shù)據(jù)計算出來的相關(guān)系數(shù)數(shù)據(jù)計算出來的相關(guān)系數(shù)r，存在，存在抽樣誤差抽樣誤差。因此，還因此，還不能不能根據(jù)根據(jù)|r|的大小，對的大小，對X與與Y之間關(guān)系

21、的密切程度作之間關(guān)系的密切程度作出判斷，出判斷，還要看還要看r在以在以=0為中心的為中心的抽樣分布抽樣分布上出現(xiàn)的上出現(xiàn)的概率概率如何。如何。第二節(jié) 積差相關(guān)27（二）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的基本（二）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的基本原理原理如果從如果從=0的總體中，隨機抽取的的總體中，隨機抽取的r在抽樣分布上出現(xiàn)的概率在抽樣分布上出現(xiàn)的概率較較大大，則則r和和=0的的無顯著性差異無顯著性差異。這時，即使。這時，即使|r|較大，也不能較大，也不能認為認為X與與Y是相關(guān)的；是相關(guān)的；反之，如果從反之，如果從=0的總體中，隨機抽取的的總體中，隨機抽取的r在抽樣分布上出現(xiàn)在抽樣分布上出現(xiàn)的概率較的概率較小小，則

22、則r和和=0有有顯著性差異顯著性差異。這時，即使。這時，即使|r|較小，也應(yīng)認為較小，也應(yīng)認為X與與Y是相關(guān)的；是相關(guān)的；這時才能根據(jù)樣本這時才能根據(jù)樣本|r|的大小來說明的大小來說明X與與Y相關(guān)關(guān)系的密切相關(guān)關(guān)系的密切程度如何。程度如何。第二節(jié) 積差相關(guān)28（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法步驟及方法1、H0：=0條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗對于總體相關(guān)系數(shù)對于總體相關(guān)系數(shù)=0的零假設(shè)進行顯著性檢驗時，又可分的零假設(shè)進行顯著性檢驗時，又可分為兩種情況：為兩種情況：1）當）當n50的情況的情況當當n50時，時，r的抽樣分布接近于的抽樣分布

23、接近于正態(tài)正態(tài)分布，其分布，其標準誤標準誤為：為：第二節(jié) 積差相關(guān)112nrSrr r兩個變量的積差相關(guān)系數(shù)；兩個變量的積差相關(guān)系數(shù)；n n樣本的容量樣本的容量29（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法1、H0：=0條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗1）當）當n50的情況的情況例如例如150個個6歲男童體重和屈臂懸體的相關(guān)系數(shù)為歲男童體重和屈臂懸體的相關(guān)系數(shù)為r=-0.35，問從，問從總體來說，總體來說，6歲男童體重和屈臂懸體之間是否存在相關(guān)？歲男童體重和屈臂懸體之間是否存在相關(guān)？檢驗的步驟：檢驗的步驟：（1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H0：=0

24、 H1：0第二節(jié) 積差相關(guān)30檢驗的步驟：檢驗的步驟：（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值由于由于n=15050，r的抽樣分布接近于的抽樣分布接近于正態(tài)正態(tài)，則檢驗統(tǒng)計量為：，則檢驗統(tǒng)計量為：第二節(jié) 積差相關(guān)2221111011rnrnrrnrrZ87. 435. 01115035. 02Z31檢驗的步驟：檢驗的步驟：（3）確定檢驗的形式）確定檢驗的形式進行雙側(cè)檢驗。進行雙側(cè)檢驗。（4）統(tǒng)計決斷）統(tǒng)計決斷根據(jù)雙側(cè)根據(jù)雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，由于由于|Z|=4.87*2.58=Z0.01，則，則P0.01，于是在于是在0.01顯著性水平上拒絕顯著性水平上拒絕

25、H0而接受而接受H1。其結(jié)論：樣本相關(guān)系數(shù)其結(jié)論：樣本相關(guān)系數(shù)r=-0.35與總體零相關(guān)與總體零相關(guān)有極其顯著性差有極其顯著性差異異?；蛘哒f，?；蛘哒f，r=-0.35的樣本不是來自于的樣本不是來自于=0的總體。從而說，的總體。從而說，6歲男童體重與屈臂懸體之間存在著歲男童體重與屈臂懸體之間存在著負相關(guān)負相關(guān)。第二節(jié) 積差相關(guān)32（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法1、H0：=0條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗1）當）當n50的情況的情況2）當）當n50的情況的情況當當n50時，關(guān)于時，關(guān)于=0的零假設(shè)，可用的零假設(shè)，可用費舍費舍提出的

26、提出的t統(tǒng)計量來統(tǒng)計量來檢驗相關(guān)系數(shù)的顯著性。檢驗相關(guān)系數(shù)的顯著性。第二節(jié) 積差相關(guān))2(122ndfrnrt33例如：本章表例如：本章表11.1的資料，的資料，10個學生初一數(shù)學分數(shù)與初二數(shù)個學生初一數(shù)學分數(shù)與初二數(shù)學分數(shù)的相關(guān)系數(shù)學分數(shù)的相關(guān)系數(shù)r=0.78，問從總體上來說，初一與初二數(shù)，問從總體上來說，初一與初二數(shù)學分數(shù)是否存在相關(guān)？學分數(shù)是否存在相關(guān)？檢驗的步驟：檢驗的步驟：（1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H0：=0 H1：0（2）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值由于由于n=103.355=t(8)0.01，則，則P0.765=r(8)0.01，則，則P0.01，于，于是在是

27、在0.01顯著性水平上拒絕顯著性水平上拒絕H0，而接受，而接受H1。第二節(jié) 積差相關(guān)36表表11.6 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)顯著性統(tǒng)計決斷規(guī)則（顯著性統(tǒng)計決斷規(guī)則（單側(cè)或雙側(cè)單側(cè)或雙側(cè)）第二節(jié) 積差相關(guān)|r|與臨界值的比較與臨界值的比較P值值檢驗結(jié)果檢驗結(jié)果顯著性顯著性|r|r(df)0.05P0.05保留H0接受H1不顯著r(df)0.05|r|r(df)0.010.01P0.05在0.05顯著性水平上拒絕H0接受H1顯著（*）|r|r(df)0.01P0.01在0.01顯著性水平上拒絕H0接受H1極其顯著（*）37（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法1、H0：

28、=0條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗1）當）當n50的情況的情況2）當）當n50的情況的情況2、H0：=0條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗當當0時，時，r的抽樣分布不呈正態(tài)而呈的抽樣分布不呈正態(tài)而呈偏態(tài)偏態(tài)?？刹榭刹閞與與Zr轉(zhuǎn)換表轉(zhuǎn)換表，將，將r轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成Zr，而而Zr的分布無論的分布無論的大小的大小及及n的大小的大小都近似于都近似于正態(tài)正態(tài)。第二節(jié) 積差相關(guān)38（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法（三）相關(guān)系數(shù)顯著性檢驗的步驟及方法2、H0：=0條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗條件下，相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗例如：例如：29個學生幾何期中與期末考試

29、成績的個學生幾何期中與期末考試成績的r=0.30，問全年級幾何，問全年級幾何期中與期末考試成績的相關(guān)系數(shù)是否為期中與期末考試成績的相關(guān)系數(shù)是否為0.64？檢驗步驟：檢驗步驟：（1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H0：=0.64 H1：0.64（2）將）將r轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成Zr ，轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成Z查表，與查表，與r=0.300相對應(yīng)的相對應(yīng)的Zr=0.310， 與與=0.64相對應(yīng)的相對應(yīng)的Z=0.758。第二節(jié) 積差相關(guān)39檢驗步驟：檢驗步驟：（3）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值）選擇檢驗統(tǒng)計量并計算其值由于由于Zr的抽樣分布呈的抽樣分布呈正態(tài)正態(tài)分布，則檢驗統(tǒng)計量為分布，則檢驗統(tǒng)計量為第二節(jié) 積差相關(guān)331nZZn

30、ZZZrr代入數(shù)據(jù)，則代入數(shù)據(jù)，則Z=-2.2840檢驗步驟：檢驗步驟：（4）確定檢驗形式）確定檢驗形式采用雙側(cè)檢驗。采用雙側(cè)檢驗。（5）統(tǒng)計決斷）統(tǒng)計決斷根據(jù)雙側(cè)根據(jù)雙側(cè)Z檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，由于由于Z0.05=1.962.28*2.58=Z0.01，則，則0.01P0.05P0.05，根據(jù)雙側(cè)，根據(jù)雙側(cè)Z Z檢驗統(tǒng)檢驗統(tǒng)計決斷規(guī)則，應(yīng)保留計決斷規(guī)則，應(yīng)保留H H0而拒絕而拒絕H H1。其結(jié)論為：甲乙兩班語文和英語兩個相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系其結(jié)論為：甲乙兩班語文和英語兩個相關(guān)系數(shù)樣本相關(guān)系數(shù)數(shù)r r1與與r r2沒有顯著性差異沒有顯著性差異?；蛘哒f，?；蛘哒f，r r1與與r r2

31、來自于同一個來自于同一個總體?？傮w。45等級相關(guān)等級相關(guān)是指以是指以等級次序排列等級次序排列或以等級次序表示的變量或以等級次序表示的變量之間的相關(guān)。之間的相關(guān)。主要包括主要包括斯皮爾曼斯皮爾曼二列二列等級相關(guān)；肯德爾和諧系數(shù)等級相關(guān)；肯德爾和諧系數(shù)多列多列等級相關(guān)。等級相關(guān)。第三節(jié) 等級相關(guān)46一、斯皮爾曼等級相關(guān)一、斯皮爾曼等級相關(guān)（一）概念及其適用范圍（一）概念及其適用范圍等級相關(guān)等級相關(guān)當兩個變量值以當兩個變量值以等級次序等級次序排列或以等級次序表排列或以等級次序表示時，兩個相應(yīng)總體并示時，兩個相應(yīng)總體并不一定不一定呈呈正態(tài)正態(tài)分布，樣本分布，樣本容量容量也也不一不一定定大于大于30，表

32、示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為等級相關(guān)。，表示這兩個變量之間的相關(guān)，稱為等級相關(guān)。等級秩序性分數(shù)等級秩序性分數(shù)根據(jù)某種標準對某項成績所評定的根據(jù)某種標準對某項成績所評定的等級等級，或，或按某種指標的優(yōu)劣程度所排列的按某種指標的優(yōu)劣程度所排列的名次名次等，均屬于等級秩等，均屬于等級秩序性分數(shù)。序性分數(shù)。第三節(jié) 等級相關(guān)47計算等級相關(guān)系數(shù)計算等級相關(guān)系數(shù)不要求總體呈正態(tài)分布不要求總體呈正態(tài)分布也不要求也不要求n30，所以應(yīng)用范圍較，所以應(yīng)用范圍較廣廣。不適用不適用若兩個變量的原始資料若兩個變量的原始資料都都是是較精確較精確的度量資料（一般采的度量資料（一般采用積差相關(guān)）用積差相關(guān)）則則不不必化成必

33、化成較粗略較粗略的等級資料，否則會失掉很多信息。的等級資料，否則會失掉很多信息。適用于適用于原始資料本身就屬于原始資料本身就屬于等級等級資料，或者資料，或者難難以判斷資料所屬總體呈何種以判斷資料所屬總體呈何種分布分布形態(tài)。形態(tài)。第三節(jié) 等級相關(guān)48（二）相關(guān)系數(shù)的計算（二）相關(guān)系數(shù)的計算計算等級相關(guān)系數(shù)的公式為計算等級相關(guān)系數(shù)的公式為第三節(jié) 等級相關(guān)16122nnDrRr rR R 等級相關(guān)系數(shù)等級相關(guān)系數(shù)D D 兩個變量兩個變量每對每對數(shù)據(jù)等級（不是指原始的等級）之差數(shù)據(jù)等級（不是指原始的等級）之差N N 樣本的容量樣本的容量49例如：例如：10名高三學生是學習潛在能力（簡稱學能）測驗名高三

34、學生是學習潛在能力（簡稱學能）測驗(X)與自學能力測與自學能力測驗成績驗成績(Y)如表，問兩者相關(guān)情況如何？如表，問兩者相關(guān)情況如何？表表11.7 10名學生學習潛能與自學能力測驗成績等級相關(guān)計算表名學生學習潛能與自學能力測驗成績等級相關(guān)計算表第三節(jié) 等級相關(guān)學生學生序號序號學習潛能學習潛能自學能力自學能力等級差數(shù)等級差數(shù)D差數(shù)平方差數(shù)平方D2X等級等級Y等級等級190132-112842211137635300471575.5-0.50.25571587.5-2.56.2567156411769787.5-0.50.25868875.52.56.2596691010-111064109911

35、總和總和1850分析：分析：雖然雖然X變量可視為變量可視為正態(tài)連續(xù)正態(tài)連續(xù)變量，但變量，但Y變量是按某種標準評變量是按某種標準評定的定的等級等級（自學能力強，等級數(shù)越小），故兩者之間的關(guān)系（自學能力強，等級數(shù)越?。?，故兩者之間的關(guān)系只好用等級相關(guān)表示。等級相關(guān)系數(shù)的計算步驟如下：只好用等級相關(guān)表示。等級相關(guān)系數(shù)的計算步驟如下：第一步，賦予等級。第一步，賦予等級。分別將兩個變量的成績從優(yōu)到劣分別將兩個變量的成績從優(yōu)到劣賦予等級賦予等級，最優(yōu)者賦予，最優(yōu)者賦予1，或者最劣者賦予，或者最劣者賦予1。賦予等級時，兩個變量賦予等級時，兩個變量方向要一致方向要一致，中間依次遞增。，中間依次遞增。若有相同等

36、級分數(shù)時，可用它們?nèi)粲邢嗤燃壏謹?shù)時，可用它們所占等級位置的平均數(shù)所占等級位置的平均數(shù)作為它們的等級。如：作為它們的等級。如：3個個71分，所占等級位置數(shù)分別為分，所占等級位置數(shù)分別為4、5、6，其平均數(shù)為，其平均數(shù)為5，則它們的等級數(shù)均為，則它們的等級數(shù)均為5。第三節(jié) 等級相關(guān)51分析：分析：第一步，賦予等級。第一步，賦予等級。第二步，計算兩個變量每對數(shù)據(jù)所賦予的第二步，計算兩個變量每對數(shù)據(jù)所賦予的等級數(shù)之差等級數(shù)之差D，及，及差數(shù)的平方之和，即差數(shù)的平方之和，即D2。第三步，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入等級相關(guān)的計算公式，則第三步，將有關(guān)數(shù)據(jù)代入等級相關(guān)的計算公式，則第三節(jié) 等級相關(guān)891. 01101

37、01861161222nnDrR52（三）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗（三）相關(guān)系數(shù)的顯著性檢驗10個學生學習潛能在能力與自學能力測驗成績相關(guān)系數(shù)為個學生學習潛能在能力與自學能力測驗成績相關(guān)系數(shù)為0.891，問從總體上說，兩者是否存在相關(guān)？，問從總體上說，兩者是否存在相關(guān)？方法一：方法一：等級等級相關(guān)與相關(guān)與積差相關(guān)系數(shù)積差相關(guān)系數(shù)檢驗方法相同檢驗方法相同檢驗的步驟：檢驗的步驟：（1）提出假設(shè)）提出假設(shè)H0 0：=0 H1 1：0第三節(jié) 等級相關(guān)53檢驗的步驟：檢驗的步驟：（2）計算檢驗統(tǒng)計量的值）計算檢驗統(tǒng)計量的值由于由于n=103.355=t(8)0.01(8)0.01，則，則P0.765= r(

38、8)0.01(8)0.01，則，則P0.794= rR(10)0.01R(10)0.01，則，則P0.01，于是在于是在0.01顯著性水平上拒絕顯著性水平上拒絕H0 0而接受而接受H1 1 第三節(jié) 等級相關(guān)57二、肯德爾和諧系數(shù)二、肯德爾和諧系數(shù)（一）概念及其適用范圍（一）概念及其適用范圍肯德爾和諧系數(shù)肯德爾和諧系數(shù)當當多個多個（兩個以上兩個以上）變量值以等級次序）變量值以等級次序排列或以等級次序表示，描述這幾個變量之間的排列或以等級次序表示，描述這幾個變量之間的一致性一致性程度程度（即相關(guān)）的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。（即相關(guān)）的量，稱為肯德爾和諧系數(shù)。常用來表示常用來表示幾個評定者幾個評定者

39、對同一組學生學習成績評定的一對同一組學生學習成績評定的一致性程度，致性程度，或同一個評定者對同一組學生的學習成績用等級或同一個評定者對同一組學生的學習成績用等級先后先后評評定定多次多次之間的一致性程度。之間的一致性程度。第三節(jié) 等級相關(guān)58二、肯德爾和諧系數(shù)二、肯德爾和諧系數(shù)（一）概念及其適用范圍（一）概念及其適用范圍（二）相關(guān)系數(shù)的計算（二）相關(guān)系數(shù)的計算1、無相同等級無相同等級的情況的情況當同一位評定者對所有被評事物的評定當同一位評定者對所有被評事物的評定無無相同等級時，其肯相同等級時，其肯德爾和諧系數(shù)的計算公式為德爾和諧系數(shù)的計算公式為第三節(jié) 等級相關(guān)nnKSSrRW32121rW W肯

40、德爾和諧系數(shù)K評定者的人數(shù)；或同一評定者對同一組被評事物先后評定次數(shù)n被評定事物的個數(shù)RK個評定者對同一被評事物所給予的等級之和SSR RR的離差平方和， 即SSR=R2-(R)2/n59例如：例如：4位教師對位教師對6個學生作為競賽的名次排列次序如表個學生作為競賽的名次排列次序如表11.8所示，問評定的一致性程度如何？所示，問評定的一致性程度如何？表表11.8 4位教師對位教師對6個學生作文競賽名次排列的肯德爾和諧系數(shù)計算表個學生作文競賽名次排列的肯德爾和諧系數(shù)計算表第三節(jié) 等級相關(guān)學生學生n=6評定者評定者K=4RR2123413421101022431311112321341010246

41、56522222512429926565622222總和總和841370SSR R=R2-(R)2/n=1370-842/6=194將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式，于是將有關(guān)數(shù)據(jù)代入公式，于是4 4位評分者位評分者對對6 6個學生作為競賽等級評定的相關(guān)程個學生作為競賽等級評定的相關(guān)程度為：度為： 693. 06641211941212232nnKSSrRW60二、肯德爾和諧系數(shù)二、肯德爾和諧系數(shù)（二）相關(guān)系數(shù)的計算（二）相關(guān)系數(shù)的計算2、有相同等級有相同等級的情況的情況當同一位評定者對所有被評事物的評定當同一位評定者對所有被評事物的評定有有相同等級時，可對相同等級時，可對肯德爾和諧系數(shù)進行肯德爾和諧系數(shù)進行校正校正，校正公式為：，校正公式為：第三節(jié) 等級相關(guān)T=(m3-m)/12m相同等級的個數(shù)TKnnKSSrRW3212161例例2同一位教師對同一位教師對5份研究生入學考試政治試卷根據(jù)標準先后份研究生入學考試政治試卷根據(jù)標準先后3次等級評定結(jié)果如表次等級評定結(jié)果如表1