第九章 方差分析.

1、第九章第九章 方差分析方差分析李金德李金德第一節(jié)第一節(jié) 方差分析的基本原理和步驟方差分析的基本原理和步驟n思考：思考：n1.如果想要分析如果想要分析A總體和總體和B總體平均數(shù)的差異，可以總體平均數(shù)的差異，可以用什么方法來檢驗？用什么方法來檢驗？n2.如果想要分析如果想要分析A、B、C三個總體平均數(shù)的差異，又三個總體平均數(shù)的差異，又該用什么方法來證明？該用什么方法來證明？n如果是兩個總體，用如果是兩個總體，用Z和和t檢驗。檢驗。n那是不是三個總體那是不是三個總體A、B、C的比較就是拿的比較就是拿A和和B做比做比較，然后那較，然后那A與與C做比較，然后再拿做比較，然后再拿B和和C做比較？做比較？一

2、、方差分析的基本原理：綜合的一、方差分析的基本原理：綜合的F檢驗檢驗n方差分析主要處理兩個以上的平均數(shù)之間的差異檢查方差分析主要處理兩個以上的平均數(shù)之間的差異檢查問題，需要檢驗的虛無假設(shè)就是問題，需要檢驗的虛無假設(shè)就是“任何一對任何一對平均數(shù)平均數(shù)”之間是否有顯著性差異，因此虛無假設(shè)為，樣本所屬之間是否有顯著性差異，因此虛無假設(shè)為，樣本所屬的所有總體的平均數(shù)都相等。的所有總體的平均數(shù)都相等。n一般把這個假設(shè)稱為一般把這個假設(shè)稱為“綜合虛無假設(shè)綜合虛無假設(shè)“,表達式為：表達式為：n方差分析最關(guān)鍵的步驟就是變異的分解。方差分析最關(guān)鍵的步驟就是變異的分解。3210:H看一個例子看一個例子9-1：不同

3、噪音強度下解數(shù)學(xué)題犯錯頻次：不同噪音強度下解數(shù)學(xué)題犯錯頻次噪音（分貝）噪音（分貝）K=3強（強（100（A)中（中（50）（）（B） 無（無（C）1641n=41452125210631352jX67. 6tX圖圖9-1 數(shù)據(jù)變異示意圖數(shù)據(jù)變異示意圖強噪音組強噪音組 中噪音組中噪音組 無噪音組無噪音組 13jX5jX2jX67. 6tX（一）數(shù)據(jù)變異文字層面上的分解（一）數(shù)據(jù)變異文字層面上的分解n從數(shù)據(jù)可知：不僅組與組之間數(shù)據(jù)存在不同，而且同從數(shù)據(jù)可知：不僅組與組之間數(shù)據(jù)存在不同，而且同一組被試內(nèi)部也存在著不同。一組被試內(nèi)部也存在著不同。n1.前者稱前者稱組間變異，因聽了不同的噪音而不同。組間

4、變異，因聽了不同的噪音而不同。n2.后者稱后者稱組內(nèi)變異，因個案本身的不同而造成的不同。組內(nèi)變異，因個案本身的不同而造成的不同。n3.而每個數(shù)據(jù)之間的差異叫做而每個數(shù)據(jù)之間的差異叫做總變異?？傋儺?。n可以知道：總變異可以知道：總變異=組間變異組間變異+組內(nèi)變異組內(nèi)變異n一般而言一般而言:n1.組間變異是我們想要的結(jié)果，即實驗條件產(chǎn)生了作組間變異是我們想要的結(jié)果，即實驗條件產(chǎn)生了作用才會令各組之間的數(shù)值存在差異。用才會令各組之間的數(shù)值存在差異。它越大越好！它越大越好！n2.組內(nèi)變異不是我們研究的目的，但是需要分解它，組內(nèi)變異不是我們研究的目的，但是需要分解它，借助它分析實驗是否成功。組內(nèi)變異其實

5、是實驗的誤借助它分析實驗是否成功。組內(nèi)變異其實是實驗的誤差。差。它越小越好！它越小越好！n3.問題來了：問題來了：組間差異多大，組內(nèi)差異多小才好？組間差異多大，組內(nèi)差異多小才好？（二）數(shù)據(jù)變異的數(shù)學(xué)層面的分解（二）數(shù)據(jù)變異的數(shù)學(xué)層面的分解n1.數(shù)學(xué)上如何表示變異？數(shù)學(xué)上如何表示變異？n總變異的數(shù)學(xué)意義是每一原始分數(shù)（總變異的數(shù)學(xué)意義是每一原始分數(shù)（ ）與總平均數(shù)）與總平均數(shù)（ ）的離差，記為：）的離差，記為：n組間變異的數(shù)學(xué)意義是每一組的平均數(shù)（組間變異的數(shù)學(xué)意義是每一組的平均數(shù)（ ）與總平）與總平均數(shù)的離差，記為：均數(shù)的離差，記為：n組內(nèi)變異的數(shù)學(xué)意義是每一組內(nèi)部的原始分數(shù)與其組組內(nèi)變異的數(shù)

6、學(xué)意義是每一組內(nèi)部的原始分數(shù)與其組平均數(shù)（平均數(shù)（ ）的離差，記為：）的離差，記為：tXijXjXjXjijXXtjXX)(tijXXn2. 先看某一個數(shù)據(jù)的情況先看某一個數(shù)據(jù)的情況 n分析可知，分析可知，任一個數(shù)據(jù)（任一個數(shù)據(jù)（ ）與總平均數(shù)的差異等）與總平均數(shù)的差異等于他與本組平均數(shù)（于他與本組平均數(shù)（ ）之差加上小組平均數(shù)與總）之差加上小組平均數(shù)與總平均數(shù)（平均數(shù)（ ）的差。即）的差。即：n例如：例如：jXtXtjjijtijXXXXXX）（）（代入公式7.66-1313-107.66-10,67.6,13,1041tjXXXijXn3.再看總變異的分解及計算再看總變異的分解及計算n根據(jù)

7、變異的可加性，任何一個原始分數(shù)都有：根據(jù)變異的可加性，任何一個原始分數(shù)都有：n對容量為對容量為n的某一小組而言，則有：的某一小組而言，則有：n為了使平方和不為為了使平方和不為0，須做代數(shù)的處理，即有：，須做代數(shù)的處理，即有：tjjijtijXXXXXXnitjjijnitijXXXXXX112121nitjjijnitijXXXXXXn對公式做整理對公式做整理n利用平均數(shù)離差和等于零，上式可以簡化為利用平均數(shù)離差和等于零，上式可以簡化為n對于對于K組數(shù)據(jù)，把開組相加，可得：組數(shù)據(jù)，把開組相加，可得： 2121nitjjijnitijXXXXXX21221tjnijijnitijXXnXXXX

8、kjtjkjnijijkjnitijXXnXXXX12112121nSS表示平方和，表示平方和，SST表示總平方和，指實驗產(chǎn)生的表示總平方和，指實驗產(chǎn)生的總變異；總變異；SSB表示組間平方和，指不同實驗處理造成表示組間平方和，指不同實驗處理造成的變異；的變異；SSW表示組內(nèi)平方和，指實驗誤差（個體表示組內(nèi)平方和，指實驗誤差（個體差異）造成的誤差。差異）造成的誤差。WBTkjtjBkjnijijWkjnitijTSSSSSSXXnSSXXSSXXSS 則令令12112121;n在在SST一定的情況下，一定的情況下，SSB所占比例越大，則所占比例越大，則SSW的的值就越小，值就越小，相應(yīng)的相應(yīng)的S

9、SB與與SSW的比值就會越大，的比值就會越大，如果如果足夠大到某個臨界值的話我們就可以認為總平方和足夠大到某個臨界值的話我們就可以認為總平方和SST的變異主要是來自的變異主要是來自SSB，即組間變異。，即組間變異。n如果變異主要來自組間，則可以認為實驗條件的不同如果變異主要來自組間，則可以認為實驗條件的不同確實造成了被試錯誤的頻次的不同。這就是方差分析確實造成了被試錯誤的頻次的不同。這就是方差分析的基本原理。的基本原理。n4.如何檢驗比值的差異（如何檢驗比值的差異（F）n方差分析中組內(nèi)方差和組間方差分別可以表示為：方差分析中組內(nèi)方差和組間方差分別可以表示為：n MSB=SSB/dfBn MSw

10、=SSw/dfwn其中：其中：dfB為組間自由度為組間自由度=k-1n dfw為組內(nèi)自由度為組內(nèi)自由度=k(N-1)n dfT=dfB+dfwn因為主要關(guān)心因為主要關(guān)心MSB是否顯著大于是否顯著大于MSW，當當MSB小于小于MSW時，無需檢驗。因此總是將組間方差放在分子位時，無需檢驗。因此總是將組間方差放在分子位置，進行置，進行單側(cè)檢驗單側(cè)檢驗，即：，即：n F= MSB / MSWnF1, 且落入到臨界區(qū)域，說明組間方差夠大了。且落入到臨界區(qū)域，說明組間方差夠大了。二、方差分析的基本過程與步驟二、方差分析的基本過程與步驟n（一）求平方和（一）求平方和n（二）計算自由度（二）計算自由度n（三）

11、計算均方（方差）（三）計算均方（方差）n（四）計算（四）計算F值值n（五）查（五）查F表進行表進行F檢驗并做決斷檢驗并做決斷n（六）列方差分析表（六）列方差分析表以表以表9-1為例為例n（一）求平方和（一）求平方和n總平方和：總平方和：n組間平方和：組間平方和：n組內(nèi)平方和：組內(nèi)平方和：nkXXXXSSkjnitijT22121 nkXnXXXnSSkjtjB2212 nXXSSSSXXSSBTkjnijijW22112表格表格9-1的計算的計算噪音噪音k=3強強中中無無XX2XX2XX21625641611n=41419652524121445252410100636395269620102

12、8182704400642X以表以表9-1為例為例67.282126400816128081643)82052()18102619(2222 nkXXSST67.25812640079243)82052()464440042704(222nkXnXSSB2479281622 nXXSSWn（二）自由度的分解（二）自由度的分解n總自由度為總?cè)萘繙p去總自由度為總?cè)萘繙p去1。本例有。本例有12個數(shù)據(jù)，所以：個數(shù)據(jù)，所以：n dfT=12-1=11n組間自由度為組數(shù)（組間自由度為組數(shù)（k）減）減1，本例有，本例有3個組，所以：個組，所以：n dfB=3-1=2n組內(nèi)自由度為總?cè)萘繙p組數(shù)或用總自由度減去

13、組間自組內(nèi)自由度為總?cè)萘繙p組數(shù)或用總自由度減去組間自由度，即有：由度，即有：dfW=dfT-dfB=11-2=9n（三）計算均方（三）計算均方n均方是平方和除以自由度均方是平方和除以自由度n組間均方：組間均方：MSB=SSB/dfB=258.67 / 2=129.34n組內(nèi)均分：組內(nèi)均分：MSw=SSw/dfw=24 / 9=2.67n（四）計算（四）計算F值值nF= MSB / MSW=129.34 / 2.67=48.44n（五）查（五）查F分布臨界值做出判斷分布臨界值做出判斷n當當dfB=2, dfW=9，設(shè)定，設(shè)定p=0.01，n查表查表F0.01（2,9）=8.02，檢驗值是，檢驗值

14、是F=48.448.02F0.01（2,9）=8.02n（六）陳列方差分析表（六）陳列方差分析表變異來源變異來源平方和平方和自由度自由度均方均方Fp組間組間258.672129.3448.440.01組內(nèi)組內(nèi)2492.67總變異總變異282.6711課堂練習(xí)課堂練習(xí)ABC355236147n1.計算計算SST，SSB，SSWn2.計算計算MSB，MSWn3.檢驗檢驗F三、方差分析的基本假定三、方差分析的基本假定1.總體正態(tài)分布總體正態(tài)分布2.變異的相互獨立性變異的相互獨立性3.各實驗處理內(nèi)方差要一致（最重要）各實驗處理內(nèi)方差要一致（最重要）四、方差分析中的方差齊性檢驗四、方差分析中的方差齊性檢

15、驗n方差齊性檢驗就是檢驗各總體方差是否一致的統(tǒng)計方方差齊性檢驗就是檢驗各總體方差是否一致的統(tǒng)計方法。其虛無假設(shè)是假設(shè)各個總體的方差相等（即無顯法。其虛無假設(shè)是假設(shè)各個總體的方差相等（即無顯著差異）或是各個樣本方差來自相同的總體，其表達著差異）或是各個樣本方差來自相同的總體，其表達方式記為：方式記為：22322210:nHn方差齊性檢驗的方法方差齊性檢驗的方法哈特萊（哈特萊（Hartley）檢驗法）檢驗法2max2maxmaxSSF1max ndfn對表對表9-1的方差齊性的檢驗的方差齊性的檢驗1建立假設(shè)建立假設(shè)2322210:H存在差異至少有兩個總體的方差:1Hn2.計算各組的方差計算各組的方

16、差5144/5269622AS66. 0144/2010222BS66. 0144/81822CSn3.計算計算Fmax的值和決策的值和決策，即方差齊性。接受虛無假設(shè)時的值，因為附表沒有取查附表因為兩組樣本相同）當）（）（0,3df4df5 .155( 31, 3k5 . 766. 0505. 0maxmax05. 0maxmaxHFFFndfF第二節(jié)第二節(jié) 完全隨機設(shè)計的方差分析完全隨機設(shè)計的方差分析n簡介：簡介：n完全隨機設(shè)計方差分析就是對單因素組間設(shè)計的方差完全隨機設(shè)計方差分析就是對單因素組間設(shè)計的方差分析。分析。n在這種實驗設(shè)計中，只有一個實驗變量，這個實驗變在這種實驗設(shè)計中，只有一個

17、實驗變量，這個實驗變量有多個水平，每個被試只接受一種實驗處理。量有多個水平，每個被試只接受一種實驗處理。一、各實驗處理組樣本容量相同一、各實驗處理組樣本容量相同n各個樣本容量相等時意味著對于每一種實驗處理它們各個樣本容量相等時意味著對于每一種實驗處理它們的被重復(fù)次數(shù)相同，或者說被試相同。的被重復(fù)次數(shù)相同，或者說被試相同。n如例如例9-1，每一種學(xué)習(xí)方法均重復(fù)了，每一種學(xué)習(xí)方法均重復(fù)了4次。次。例題：例題：9-2n有人研究自尊與對個人表現(xiàn)的反饋類型之間的關(guān)系。有人研究自尊與對個人表現(xiàn)的反饋類型之間的關(guān)系。讓讓15名被試參加一項知識測驗，每組各名被試參加一項知識測驗，每組各5個被試。在個被試。在積

18、極反饋組，不管被試在測驗中實際表現(xiàn)如何，都告積極反饋組，不管被試在測驗中實際表現(xiàn)如何，都告訴他們水平很高。對消極反饋組的被試，告訴他們表訴他們水平很高。對消極反饋組的被試，告訴他們表現(xiàn)很差。對控制組的被試，不管測驗分數(shù)如何，都不現(xiàn)很差。對控制組的被試，不管測驗分數(shù)如何，都不提供任何反饋信息。最后讓所有的被試都參加一個自提供任何反饋信息。最后讓所有的被試都參加一個自尊測驗，測驗總分為尊測驗，測驗總分為10分，得到的分數(shù)越高，表示自分，得到的分數(shù)越高，表示自尊心越強。實驗結(jié)果如下表所示，試檢驗不同反饋類尊心越強。實驗結(jié)果如下表所示，試檢驗不同反饋類型與自尊之間的關(guān)系如何？型與自尊之間的關(guān)系如何？(

19、p273)原始數(shù)據(jù)與計算的中間結(jié)果如下表原始數(shù)據(jù)與計算的中間結(jié)果如下表n1.計算平方和計算平方和 3033.4333.733000.52555533.4367.48100.52567.481555222222 SSSSSSXXSSXXSSXXSSBWWBTTnnknnk或者n2.計算自由度計算自由度n3.計算均方計算均方12)15(3)1(21311151nkkNdfdfdfWBT50.21200.3067.21233.43dfSSMSdfSSMSwwwbbbn5.列出方差分析表列出方差分析表二、各實驗處理組樣本容量不相同二、各實驗處理組樣本容量不相同n例例9-3：n用不同強度的光做視覺反應(yīng)時

20、（毫秒）實驗，光照強用不同強度的光做視覺反應(yīng)時（毫秒）實驗，光照強度分別為度分別為1、2、3三個等級，被試隨機分成三組，隨三個等級，被試隨機分成三組，隨機分配分別做某一種光強的反應(yīng)時實驗。由于某些原機分配分別做某一種光強的反應(yīng)時實驗。由于某些原因，各組人數(shù)沒能相同。下表是不同光強被試視反應(yīng)因，各組人數(shù)沒能相同。下表是不同光強被試視反應(yīng)時測試結(jié)果。試問從表中結(jié)果能否得出不同強度光的時測試結(jié)果。試問從表中結(jié)果能否得出不同強度光的反應(yīng)時有顯著不同？反應(yīng)時有顯著不同？(p275)n解：建立虛無假設(shè)和備擇假設(shè)解：建立虛無假設(shè)和備擇假設(shè)32113210:HH下表是原始數(shù)據(jù)及計算的中間結(jié)果：下表是原始數(shù)據(jù)及

21、計算的中間結(jié)果：光強等級光強等級1 光強等級光強等級2 光強等級光強等級3 C C X2 X X2 X X2 150 22500 190 36100 200 40000 220 48400 230 52900 240 57600 190 36100 170 28900 260 67600 170 28900 260 67600 180 32400 240 57600 250 62500 190 36100 200 40000 170 28900 280 78400 180 32400 280 78400 190 36100 220 48400 S S 1350 265900 19600 439

22、800 1350 312100 n 7 9 6 X2 1822500 3841600 1822500 n1.計算平方和計算平方和58.99095130375044.42684414.26035761822500938416007182250073.987072224660135019601350101780031210043980026590022224660 nXXXiNX 27.3072773.987072101780042.2684858.990951101780085.387873.98707258.990951222222 NNXXSSnXXSSXnXSStiwibn2.計算自由度計

23、算自由度n3.計算均方計算均方1922121122213dfdfdfdfdfbtwtb08.14131942.2684843.1839285.3878dfSSMSdfSSMSwwwbbbn4.計算計算F值值n5.統(tǒng)計決策統(tǒng)計決策n查查F值表，值表， ，計算得到的，計算得到的F值小于值小于0.05水水平的臨界值，平的臨界值，p0.05。接受。接受H0，說明三種光強下的，說明三種光強下的視覺反應(yīng)時沒有顯著差異。視覺反應(yīng)時沒有顯著差異。 37.108.141343.1939MSMSwbF52.3)19,2(05.0F課堂練習(xí)課堂練習(xí)n在一項記憶實驗中，研究者將實驗對象分為三組分別在一項記憶實驗中，研

24、究者將實驗對象分為三組分別用不同的記憶方式記憶英語單詞，實驗結(jié)果如下表所用不同的記憶方式記憶英語單詞，實驗結(jié)果如下表所示。試問三種記憶方法有無顯著不同？示。試問三種記憶方法有無顯著不同？記憶方法記憶方法N英語單詞記憶量英語單詞記憶量A4261916B62527251823C523252826解：解：n1.建立虛無假設(shè)和備擇假設(shè)建立虛無假設(shè)和備擇假設(shè)32113210:HHn2.求平方和求平方和nXXSSt226 .2291535485842nXnXSSb2265.7915354513361384832222btwSSSSSS95.14965.7968.229n3.求自由度求自由度n總自由度：總自

25、由度：n組間自由度：組間自由度：n組內(nèi)自由度：組內(nèi)自由度： 141151ndft2131 kdfb12315kndfwn4.求均方：求均方：n組間均方：組間均方：n組內(nèi)均方：組內(nèi)均方：825.39265.79bbbdfSSMS50.121295.149wwwdfSSMSn5.求求F值并決策值并決策n查表的查表的 ，3.195.10，接受，接受H0，三，三種方法無差異。種方法無差異。19. 350.12825.39wbMSMSF10. 52/05. 012, 2F19.350.12825.39wbMSMSF3比較與決策當處理自由度為2，誤差自由度為12時， 10. 52/05. 012, 2F。 因為， 19. 3F10. 52/05. 012, 2Fp， 0.05，差異不顯著，接受虛無假設(shè)，拒絕研究假設(shè)。三、利用樣本統(tǒng)計量進行方差分析三、利用樣本統(tǒng)計量進行方差分析n有時只有各組的平均數(shù)、方差和樣本量等特征值，沒有時只有各組的平均數(shù)、方差和樣本量等特征值，沒有原始數(shù)據(jù)。有原始數(shù)據(jù)。n