第四章平面向量、復(fù)數(shù).

1、子曰：學(xué)而時(shí)習(xí)之 高2015級(jí)數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)學(xué)案 Daiwangge第四章 平面向量與復(fù)數(shù).平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表向量的加、減法向量的概念向量向量的運(yùn)算兩個(gè)向量垂直的充要條件件件兩個(gè)向量平行的充要條件件件向量的數(shù)量積實(shí)數(shù)與向量的積向量的運(yùn)用.復(fù)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)表數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的運(yùn)算數(shù)系的擴(kuò)充 由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。從高考新課程卷來(lái)看，對(duì)向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合

2、，在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn)，又是重點(diǎn)。復(fù)習(xí)鞏固相關(guān)的平面向量知識(shí)，既要注重回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)，又要注意平面向量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問(wèn)題的思想方法，從而提高分析問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，站在新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解向量。1. 向量是具有大小和和方向的量，具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁，在處理向量問(wèn)題時(shí)注意用數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2. 平面向量基本定理是處理向量問(wèn)題的基礎(chǔ)，也是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)，它表明同一平面內(nèi)任意向量都可以表示為其他兩個(gè)不共線向量的線性組合.3. 向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式，引入坐標(biāo)表示，可以把幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題

3、解決.4. 要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解決平面幾何及解析幾何中的簡(jiǎn)單問(wèn)題的方法. 4.1 平面向量的概念及其運(yùn)算一、考綱解讀：1. 理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示.2. 掌握向量的加法、減法、數(shù)乘的運(yùn)算，并理解其幾何意義.3. 了解平面向量基本定理及其意義二、考向指導(dǎo)：1、考生用向量共線的充要條件證明平面幾何中三點(diǎn)共線和三線共點(diǎn)，邏輯推理及綜合運(yùn)用的能力。2、高考主要考查向量的概念的幾何運(yùn)算、代數(shù)運(yùn)算和性質(zhì)。一般為貼近教材、難度中等偏易的選擇題、填空題。三、重點(diǎn)：掌握向量的幾何表示，坐標(biāo)運(yùn)算與性質(zhì)。會(huì)用幾何法進(jìn)行加減法運(yùn)算與向量的坐標(biāo)運(yùn)算。難點(diǎn)：理解共線的充要條件

4、，了解平面向量的基本定理。利用幾何方法與坐標(biāo)方法證明共點(diǎn)、共線等問(wèn)題。四、知識(shí)要點(diǎn)：1、向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，向量可以用有向線段來(lái)表示。（2）向量的表示方法：1、幾何表示法；2、字母表示法；3、坐標(biāo)表示法。（3）向量的模，向量的大?。聪蛄康拈L(zhǎng)度）叫做向量的模。（4）零向量，長(zhǎng)度（模）為0的向量叫做零向量記作。零向量的方向可以看做任意方向。它和任意一個(gè)非零向量均平行、垂直。（5）單位向量：長(zhǎng)度（模）等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量，叫做單位向量。（6）相等向量，長(zhǎng)度相等且方向相同的向量稱(chēng)為相等向量，相等向量經(jīng)過(guò)平移后總可以重合。（7）平行向量：方向相同或相反的非零向量

5、，稱(chēng)為平行向量，也稱(chēng)為共線向量。（可以平移到同一直線上來(lái)）2、向量加法運(yùn)算及其幾何意義：（1）已知非零向量，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作，則向量叫做與的和，記作，這種求向量和的方法叫做向量加法運(yùn)算的三角形法則。（2）以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量為鄰邊作，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線就是與的和，這種作兩向量的方法叫做向量和加法的平行四邊形法則。3、向量的減法運(yùn)算及其幾何意義（1）定義，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的相反向量。（2）如圖，則4、實(shí)數(shù)與向量的積的定義實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）|=|（2）當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)時(shí)， 的方向與的方向相反，當(dāng)時(shí)，=方向是任

6、意的。5、實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律：設(shè)為實(shí)數(shù)，那么（1）（2）（3）6、兩個(gè)向量共線定理：向量與非零向量共線的充要條件有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得=。7、平面向量基本定理：如果，是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使，其中不共線的向量，叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。五、例題選講：例1：見(jiàn)優(yōu)化探究P63，嘗試練習(xí)14題，例1.例2：下列各命題中，真命題的個(gè)數(shù)為（ ）（1）若，則或；（2）若，則A、B、C、D是一個(gè)平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；（3）若，則；（4）若則。A、4B、3C、2D、1（2）已知向量a和b反向，則下列等式成立的是（ ）A. |a|b|=|ab|

7、 B. |a|b|=|a+b| C.|a|b|=|ab| D. |a|b|=|a+b|（3）.設(shè)四邊形ABCD中，有則這個(gè)四邊形是（ ）A.平行四邊形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形（4）已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿(mǎn)足，則=（ ）A、 B、 C、D、（4）已知和點(diǎn)M滿(mǎn)足，若存在實(shí)數(shù),使得成立，則m等于（ ）A、2B、3C、4D、5（5）設(shè)P是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，則（ ）A、B、C、D、例3：填空： （1）設(shè)向量不共線，與共線，則實(shí)數(shù)k=。（2）在ABC中，M為BC上一點(diǎn)，N為AM中點(diǎn)，則的值為。（3）已知O是正ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則ABC的面積與OAC的面積之比是_。（4

8、）已知平面向量，(0，)滿(mǎn)足|1，且與的夾角為120°，則|的取值范圍是_例4：設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線向量，已知A2e18e2，Ce13e2，C2e1e2.(1)求證：A、B、D三點(diǎn)共線(2)若B3e1ke2，且B、D、F三點(diǎn)共線，求k的值例5：設(shè)、是不共線的兩個(gè)非零向量設(shè)，其中m、n、均為實(shí)數(shù)，若M、P、N三點(diǎn)共線，求證例6、ABC中，D為BC的中點(diǎn)，G為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G任作一直線MN分別交AB、AC于M、N兩點(diǎn)，若x A，Ay A，求的值 例7：如圖所示，在中，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)。（1）用表示；（2）在已知線段AC上取一點(diǎn)E，在線段BD上取一點(diǎn)F使EF過(guò)點(diǎn)M，設(shè)，求證：練

9、習(xí)題：課時(shí)訓(xùn)練第二十四套4.2平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算一、考綱解讀1、 理解平面向量的坐標(biāo)概念，掌握平面向量的基本定理及坐標(biāo)運(yùn)算。2、 會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)，會(huì)判斷向量是否共線（平行）。二、考向指導(dǎo)：1、 考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與性質(zhì)。2、 考查會(huì)根據(jù)向量的坐標(biāo)判斷向量是否共線。三、重難點(diǎn)：掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，利用坐標(biāo)判斷向量是否共線。四、知識(shí)要點(diǎn)：1、平面向量的基本定理：如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使，其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。重要結(jié)論：（1）設(shè)，若不共線，則有；若不全為零，則與共線。（2）設(shè)，若A,B,C三點(diǎn)共

10、線2、平面向量的坐標(biāo)表示： 分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底，對(duì)于一個(gè)向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得，我們把（x、y）叫做向量的坐標(biāo)，記作。相等的向量其坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等向量。注：（1）向量的坐標(biāo)表示，即是向量的代數(shù)表示。 （2）平面向量的坐標(biāo)與該向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)有關(guān)，只有始點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，平面向量的坐標(biāo)才與終點(diǎn)坐標(biāo)相同。 （3）向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)坐標(biāo)。3、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算。（1）若，則 。（2）如果，則。（3）若，則。（4）如果，則的充要條件是：。（5）如果，則的充要條件是：。五、典型例題例1：選擇題。（1）平面直角

11、坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知A（3，1），B（-1，3），若點(diǎn)C滿(mǎn)足，其中，且，則C點(diǎn)的軌跡方程為（ ）A、 B、C、D、 （2）已知，其中的方向分別與x、y軸正方向相同，且為單位向量，若與共線，則點(diǎn)的軌跡方程為（ ）A、B、C、D、（3）向量向量與共線，且|，則=（ ）A、（-4，8）B、（-4，8）或（4，-8）C、（4，-8）D、（8，4）或（4，8）例2：填空題（1）已知向量，若，則_。（2）已知點(diǎn)A（1，2），若向量與同向，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為。（3）已知，若與平行，則k= 。若與垂直，則k= 。（4）已知點(diǎn)，又，且，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)。例3：設(shè)向量，向量，又，求。例4：已知，（1）求向量的坐

12、標(biāo)；（2）若，求與之間的關(guān)系式；（3）在（2）條件下，又月，求的值及四邊形ABCD的面積。練習(xí)：課時(shí)作業(yè)第二十五套。4.3 平面向量的數(shù)量積 一、考綱解讀 1、掌握平面向量的數(shù)量積定義及其幾何意義，掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律。 2、了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直問(wèn)題，掌握向量垂直的條件。二、考向指導(dǎo)1、 把向量之間的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)的運(yùn)算，通過(guò)坐標(biāo)表示達(dá)到目的。2、 高考主要通過(guò)向量的數(shù)量積考查向量的平行，垂直等基本關(guān)系，并在解答題中計(jì)算向量的夾角長(zhǎng)度等。三、重點(diǎn)：1、掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，重要性質(zhì)及運(yùn)算律。 2、掌握平面向量垂直的坐標(biāo)表示的充要條件。 難

13、點(diǎn)：平面向量量積的應(yīng)用。 四、知識(shí)要點(diǎn)：1、平面向量的數(shù)量積：（1）非零向量和夾角的定義：略。夾角為90°時(shí)，稱(chēng)與垂直，記作。（2）平面向量數(shù)量積定義：已知兩個(gè)非零向量和，它們的夾角為，則數(shù)量叫與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為O，即（3）投影的概念叫做向量在方向上的投影。（其中為，的夾角）。（4）數(shù)量積的幾何意義數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在方向上的投影的乘積。2、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)（1）（2）（3）（4）當(dāng)與同向時(shí)，=，當(dāng)與反向時(shí)，=3、平面向量滿(mǎn)足的運(yùn)算律（1）（交換律）（2）（交換律）（3）（分配律）4、平面向量數(shù)量積與相關(guān)性質(zhì)的坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)（1）（2）（

14、3）（4）5、應(yīng)注意的問(wèn)題（1）數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，可正，可負(fù)，可為零。（2）當(dāng)，若，不能推出（3）當(dāng)時(shí)，由不能推出（4）數(shù)量不滿(mǎn)足結(jié)合律6、重要公式（1）設(shè)（求距離的依據(jù)）（2）（求角的依據(jù)）（3）（證明垂直的依據(jù)）7、利用數(shù)量積主要解決的問(wèn)題（1）距離長(zhǎng)度問(wèn)題（2）求角的問(wèn)題（3）平行、垂直問(wèn)題（4）用來(lái)解決某些函數(shù)、三角、解析幾何、平面幾何問(wèn)題四、典型例題選講例1：填空題。1、平面向量與的夾角為60°，則_。2、已知向量滿(mǎn)足，且，則與的夾角為_(kāi)。3、已知圓O的半徑為1，PA、PB為該圓的兩條切線，A、B為兩切點(diǎn)，那么·的最小值為 _ 4、若向量與的夾角為60°

15、，則向量的模為 5、已知向量，滿(mǎn)足對(duì)任意，恒有|，則=。6、設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，已知=0，則的形狀是7、設(shè)的投影為，在軸上的投影為2，且，則= 。8、如圖，在中，則 _。例2：已知兩單位向量與的夾角為120°，若，試求與的夾角的余弦值。例3：（1）已知向量與向量的夾角為，且，求向量。（2）若向量與向量的夾角為，而向量，其中，試求的取值范圍。例4：設(shè)，與的夾角為，與的夾角為，且，求的值。例5：在ABC 中，設(shè)A，B，C的對(duì)邊分別為a、b、c，向量m(cos A，sin A)，n(sin A，cos A)，若|mn|2.(1)求角A的大??；(2)若b4，且ca，求ABC

16、的面積練習(xí)題：課時(shí)作業(yè)第二十六套。4.4 平面向量的綜合應(yīng)用一、考綱解讀利用“向量”這一工具，求解函數(shù)，解析幾何，三角中的一些問(wèn)題。二、考向指導(dǎo)：1、向量同解析幾何、函數(shù)相結(jié)合是高考命題的新趨勢(shì)，在綜合題中重點(diǎn)考查綜合應(yīng)用知識(shí)的能力。2、向量的綜合應(yīng)用是學(xué)科內(nèi)和跨學(xué)科的知識(shí)的一個(gè)交記點(diǎn)，應(yīng)引起重視。三、重難點(diǎn)：結(jié)合向量知識(shí)，解決代數(shù)、幾何中的垂直、共線、夾角，距離，軌跡等問(wèn)題。四、知識(shí)要點(diǎn)：1、利用兩個(gè)向量平行（共線）的充要條件證題。2、利用兩個(gè)非零向量的數(shù)量積，當(dāng)兩向量的夾角是銳角、鈍角、直角時(shí)，它們的數(shù)量積分別大于0，小于0，等于0。3、利用兩個(gè)非零向量垂直的充要條件，。4、利用兩個(gè)非零向

17、量的夾角公式。5、利用兩個(gè)非零向量與共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)使得。五、典型例題選講：例1：填空：1、已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與C交于A、B兩點(diǎn)，則_。2、過(guò)園外一點(diǎn)A（4，0）作園的割線，割線被園截得的弦的中點(diǎn)軌跡方程為 。3、已知點(diǎn)A（-2，0），B（3，0）動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，則點(diǎn)P的軌跡是 。4、已知直角梯形ABCD中，AD/BC，是腰DC上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)。5、已知點(diǎn)G是的重心，若，則的最小值是_。6、已知是原點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足，則的取值范圍為_(kāi)。例2：若為互相垂直的單位向量），若且。（1）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）若時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。例3：已知，分別是與x軸、y軸

18、正方向相同的單位向量，對(duì)任意正整數(shù)n，（1）若，求a的值。（2）求向量（3）設(shè)向量，求最大整數(shù)a的值，使得任意正整數(shù)n都有成立。例4：已知拋物線y= 上兩點(diǎn)A，B滿(mǎn)足，其中P（0，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求：（1）的大?。?）四邊形OAMB的面積S的最小值。4.5 數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入一、考綱解讀1、 理解復(fù)數(shù)及其有關(guān)概念和性質(zhì)。2、 能運(yùn)用復(fù)數(shù)的模及共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)解題。3、 掌握復(fù)數(shù)的幾何意義。4、 準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行復(fù)數(shù)運(yùn)算，并注意運(yùn)算的合理性和它n次冪的性質(zhì)。二、重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的有關(guān)概念、相等復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的運(yùn)算。難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義與復(fù)數(shù)除法運(yùn)算。三、知識(shí)要點(diǎn)： 1、數(shù)系的三次擴(kuò)充。2、虛數(shù)單位的意義及其性質(zhì)。（1）規(guī)定，即是-1的平方根。（2）規(guī)定虛數(shù)單位可以與實(shí)數(shù)進(jìn)行加減乘除達(dá)標(biāo)，對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)成立的加乘運(yùn)標(biāo)律在這里仍成立。（注：開(kāi)方、乘方運(yùn)算律不一定成立）。（3）3、復(fù)數(shù)的概念（1）復(fù)數(shù)的定義：形如的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，a,b分別叫它的實(shí)部和虛部。（2）復(fù)數(shù)的分類(lèi)復(fù)數(shù)中，當(dāng)時(shí)，就是實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，叫做虛數(shù)，當(dāng)時(shí)，叫做純虛數(shù)。（3）復(fù)數(shù)的性質(zhì)1°兩復(fù)數(shù)相等的充要條件 2°不全