北理工物理光學教程第六章題目詳解

1、- 第七講 解題指南6-1 試說明以下幾種光波的偏振態(tài)：（1） （2）（3） 及、的合成波。（1） 由于：所以D是2、4象限線偏振波 （2） 由于：所以D是右旋圓偏振波 （3） 由于：所以均是左旋圓偏振波6-2 （1）試分別寫出沿z方向傳播的左、右旋圓偏振波的波函數(shù)表達式。假設兩波的頻率均為，振幅分別為：。 （2） 試用瓊斯矢量說明上述兩圓偏振波疊加后合成波的偏振態(tài)，并畫圖表示。，合成為長軸在x方向的右旋正橢圓偏振波。6-3 一束振動方向與圖平面成角的線偏振光波垂直入射到菲涅耳菱形鏡（n=1.51）的端面上，如圖所示。試問經(jīng)菱形鏡兩個斜面反射后，出射光的偏振態(tài)為何？ 題63圖解：入射線偏振波D

2、分解為，對應P分量，對應S分量。一次全反射的位相躍變之差（相對位相躍變）： 代入： 求出： 所以，出射光：，為右旋圓偏振光。6-4 有一橢圓偏振波，其瓊斯矩陣為。試求與之正交、且能量相同的橢圓偏振波的瓊斯矩陣。并畫圖表示這兩個波的矢量端點軌跡及旋向。 設：， 若：，則 于是有： 必有：，解出： 當時，振幅系數(shù)滿足：， 解出： 無論那種情況，都有： 當時，振幅系數(shù)滿足：， 解出： 于是有： 總之，是與正交，且能量相同的右旋橢圓偏振光。 6-5 試把橢圓偏振波分解成：（1） 兩個與x軸成角而且相互垂直的線偏振波；（2） 兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的圓偏振波。 按照偏振光分解基本公式（627）： 選取正交基

3、選取正交基 6-6 一束自然光入射到空氣-玻璃（=1.54）界面上。（1） 試討論在范圍內(nèi)折、反射光的偏振態(tài)。（2） 如果入射角為，試求反射光和折射光的偏振度。(1) 利用菲涅耳公式,(1-124)-(1-127)可以導出：反射光的偏振度：折射光的偏振度：上式推導中利用關系：， （1135）代入?yún)?shù)，算出結(jié)果：說明入射角等于布儒斯特角，反射光為線偏振光。6-7如圖所示，一細束平行自然光以布儒斯特角射向反射鏡，反射光 再經(jīng)反射鏡（）反射，得到出射光。如果將鏡自圖示位置開始繞軸旋轉(zhuǎn)一周。試問的光強將如何變化？何時最強？何時最弱？ 題67圖解：由Brewst定律可知，成為S分量的線偏振光，振動方向垂

4、直于紙面。當繞軸轉(zhuǎn)過一個角度后，仍然滿足Brewst定律，但是由于入射面轉(zhuǎn)過了角，所以對轉(zhuǎn)動以后的入射面來說，S分量的振幅成為： 的強度成為：所以，當時，最強，當時，最弱。6-8 一線偏振平行光細光束B垂直入射到平面平行晶板Q上，由于雙折射 將在屏上形成兩個光斑和，如圖所示。假設入射光強度為I，偏振方向平行于圖平面，晶板的光軸在圖平面內(nèi)，相對晶板表面傾斜一個角度（見圖）。試問：（1） 若將Q繞入射光束旋轉(zhuǎn)，兩光斑和的位置及強度將如何變化？（2） 若B是自然光，情況又如何？ 題68圖 解：（1） 設在初始位置，晶體Q的轉(zhuǎn)角此時入射光振動在主平面內(nèi)，為光。所以為亮點，為暗點。晶體Q轉(zhuǎn)過角，即晶體Q

5、的主平面轉(zhuǎn)過了角，此時有：所以：當時，最亮，為暗點；當時，為暗點，最亮。 （2） 當入射為自然光時，無論Q的主平面轉(zhuǎn)到什么方位，總可以分解為，因而總是有：位于中心，位置不變，亮度不變；繞旋轉(zhuǎn)，亮度不變。（見上圖）為匝數(shù)，I為電流強6-9 一束平行鈉光以角自空氣射向 方解石晶體，假定晶體光軸平行于界面并且垂直于入射面，如圖所示。（1） 試用折射率面作圖法畫出晶體內(nèi)o光和e光的波矢方向和振動方向。（2） 試求兩波矢方向的夾角。 題69圖 解：（1） 負單軸晶體（2） 算出：6-10 一束平行光自空氣射向石英晶體。 若入射光方向與晶體光軸方向平行，如圖所示。 試問這時是否會發(fā)生雙折射？題610圖 正

6、單軸晶體同樣會發(fā)生雙折射。611 一束細的鈉黃光以800角射向一平面平行石英晶板。設晶板光軸垂直入射面，厚度d =3mm.試求：（1） 兩束出射光的距離。（2） o光與e光通過晶板后的位相差。解：已知： （1）求出 （2） 612 圖示等腰棱鏡由某種單軸晶體制成。假設該棱鏡的光軸垂直于圖面，頂角。測得o光和e光的最小偏向角分別為：。 試求棱鏡晶體的O光折射率和e光折射率。 題612圖解：當和相對于棱鏡對稱，且折射光線 與棱鏡底邊平行時，取最小偏向角。無論O光還是e光，于是：對于O光： 求出：對于e光： 求出：613 在一對主方向互相平行的線偏器、 之間放一塊光軸垂直于界面的石英晶片Q，以一束白

7、光垂直入射到該系統(tǒng)，如圖所示。若要使出射光中缺少=546.1nm的成分，試問石英晶片厚度d最小應為多少？ 題613圖解：自然光經(jīng)線偏器成為平行于主方向的線偏振光。石英晶體使偏振面旋轉(zhuǎn)角： 查時，當時，偏振光正好與正交，出射光強第一次為零。所以： 614 試對尼科耳棱鏡（參見圖6-25）計算能使o光在膠合面上發(fā)生全反射的最大入射角IKH，以及保證e光不發(fā)生全反射的最大入射角GKH的大小。設入射光為鈉黃光。 設光全反射臨界角： 當入射光沿IK方向，令，當光在AD面上的入射角小于時，光將不發(fā)生全反射。設光在AB面上的入射角為，折射角為，可求出： 以及： 由： 求出：要計算光在AD面上發(fā)生全反射的條件

8、則要利用折射率橢球，過程比較麻煩。615 若格蘭棱鏡由方解石制成，其間用甘油（=1.474）膠合，棱鏡頂角，如圖所示。試求格蘭棱鏡的通光孔徑角。題615圖解：已知： 求出： 當沿CB入射時，加大，光也發(fā)生全反射。設， 求出：當沿DB入射時，減小，光不發(fā)生全反射。設， 求出：最后： 616 將兩塊線偏器疊起來使用，通過改變它們主方向之間的夾角可以控制透射光的強度I.假設時透射光的強度為，試問： （1） 欲使, 應為多少度？ （2） 若要求I的精度在2以內(nèi)，角的最大允許誤差為何？解：按照馬呂斯定律：（1） 要求， 求出：（2） 求出：617 欲用/4波片將沿x軸振動的線偏振光變成（1）右旋圓偏振光

9、，（2）左旋圓偏振光，試問/4波片的快軸方向應如何放置？并畫圖加以說明。右旋 左旋618 一束線偏振光（=589.3nm）正入射到光軸平行于表面的方解石晶片上，設入射光振動方向與光軸成角。試問：（1） o光與e光的相對強度為何？（2） 若要使出射光成為正橢圓偏振光（相對于晶片光軸方向而言），晶片的最小厚度為多大？ 解：（1） 求出：， 或 （2）要求成為正橢圓，則： ，求出：619 一束強度為I0的左旋圓偏振光先垂直通過一塊快速方向沿y軸的片，再通過一個線偏器。假設線偏器的主方向A相對于y軸左旋了150，如圖所示。試求出射光的強度。 題619圖解法1：設入射光為,經(jīng)過片成為，出射光為 由于的振

10、幅，所以的振幅： 出射光強度：解法2.應用公式(6-114),寫出,求出: 和 解法3. 完全通過定性分析得出結(jié)論。重要結(jié)論：強度為的圓偏振光（無論旋向）通過一塊片（無論U軸在什么方向），出射光均是線偏振光，強度仍為。入射光為左旋時，在（U，V）坐標系中，出射線偏振光（24象限）；入射光為右旋時，在（U，V）坐標系中，出射線偏振光（13象限）。自選題: 一束振動方位角的線偏振光垂直射入一塊方解石晶片（如圖3所示），設光波長，方解石晶片的光軸平行于界面，厚度為，。為使出射光成為右旋和左旋圓偏振光，方解石晶片厚度的最小值分別是多少？621 在晶片Q后面放置一塊/4波片，構(gòu)成一個“Q-/4波片復合系

11、統(tǒng)”，如圖所示。設Q的兩個主軸方向平行于表面并分別取為x,y軸，在y方向引入的位相延遲較x方向多。將/4波片的主軸方向取為u，v軸，其中u軸為快軸方向，它與x軸的夾角為。（1） 寫出該復合系統(tǒng)的瓊斯矩陣。（2） 若一束振動方向沿u軸的線偏振光垂直入射該系統(tǒng)，試分別用瓊斯矩陣法和振動矢量分解法證明出射光是線偏振光。（3） 試求出射光振動方向與x軸的夾角。（因此，可以利用該復合系統(tǒng)通過測定來求取。） 題621圖 解：（1）該系統(tǒng)的復合Jones矩陣為： （2）入射光 出射光：（3）可知出射光是線偏振光，振動方位角 用線檢偏器測出角，可以算出622 利用兩個已知主方向的線偏器P和A，以及一個已知快、

12、慢速方向的/4波片，如何確定另一個/4波片的快、慢速方向？ 解：使線偏器P和A組成正交尼科耳，的快軸方向角（如圖）。 的快、慢軸方向待測。 方法1. 旋轉(zhuǎn)，當轉(zhuǎn)到時，和組成一塊波片，且快軸的方向角，它使入射線偏振光振動方向旋轉(zhuǎn)，與A的主方向平行，透射光強度極大。當轉(zhuǎn)到時，組合波片的，透射光消光。由此可以確定的U，V軸方向。方法2. 如圖組成右旋圓起偏器，出射右旋圓偏振光。經(jīng)變?yōu)榫€偏振光，振動方向在的（U，V）坐標系第一象限，。通過旋轉(zhuǎn)A，使出現(xiàn)消光，此時與A主方向垂直的方向即是線偏振光的振動方向，由此方向順時針轉(zhuǎn)過，即是的U軸方向。623 一束振動方向沿x軸的線偏光射向一塊/2波片。假設/2波

13、片的一個主方向與x軸的夾角為。（1） 試證明出射光仍是線偏光，并求其振動方向與x軸的夾角。（2） 今按逆時針方向（迎著光線觀察）旋轉(zhuǎn)/2波片，使角逐漸增大。試問出射光的振動方向與x軸的夾角如何變化？解： 說明出射光仍然是線偏振光，且振動方位角，即和相對于U軸對稱。 當逆時針方向旋轉(zhuǎn)/2波片，無論角為何值，始終保持和相對于U軸對稱。其中的特殊情形是：當（N為整數(shù)）時，和方向重合。624 設當用線偏振器加/4波片方法檢驗光波的偏振態(tài)時，在步驟中發(fā)現(xiàn)線偏振器主方向角時出現(xiàn)最大透射光光強，在步驟中發(fā)現(xiàn)插入/4波片后當線偏器的時出現(xiàn)零光強。試求橢圓偏振光的角、角及旋向，并作示意圖表示。解：由右圖可知，入

14、射光是長軸在，短軸在的橢圓偏振光。將片插入，使，于是，出射光成為線偏振光，其振動方位角，所以，檢偏器的方位角時出現(xiàn)消光。由于在坐標系的第一象限，說明進入片之前，入射光是右旋橢圓偏振光。（因為右旋橢圓偏振光，而片引入）由右圖的幾何關系還很容易地得出：橢圓的長軸方位角： 625 一束時間圓頻率為的左旋圓偏振光射向一塊/2波片，令/2波片以角速度沿入射偏振光的旋轉(zhuǎn)方向勻速旋轉(zhuǎn)。試證明：（1） 從/2波片出射的光為右旋圓偏振光。（2） 出射光的時間圓頻率變成-2（因此，本方法可以通過機械旋轉(zhuǎn)實現(xiàn)光波的時間移頻）。解：入射左旋圓偏振光的Jones矢量為： 其中是的時間角頻率。設在時刻，矢量的方向如圖所示

15、，它以角速度左旋。如圖所示，首先考慮在/2波片靜止不動的情形，設其快速方向為，可知時刻的矢量通過/2波片后，其方向變?yōu)椋拖鄬τ趯ΨQ，且都以角速度左旋。只不過在/2波片的入射面上，而在/2波片的出射面上旋轉(zhuǎn)。現(xiàn)在考慮/2波片轉(zhuǎn)動了一個角度（以的方向為參照），從轉(zhuǎn)到了。按照前面分析，出射光矢量應轉(zhuǎn)到，轉(zhuǎn)過，仍然保證和相對于對稱。如果/2波片以角速度勻速轉(zhuǎn)動，可知從/2波片出射的光矢量會產(chǎn)生一個角速度為的附加轉(zhuǎn)動。由于/2波片的旋轉(zhuǎn)方向和左旋圓偏振光的旋向相同，所以由/2波片旋轉(zhuǎn)引入的附加位相延遲應和的時間位相因子相加，以保證相對位相延遲減小。所以旋轉(zhuǎn)/2波片的Jones矩陣可以表示為： 因此，出

16、射光的Jones矩陣可以表示為： 說明從旋轉(zhuǎn)/2波片出射的光波成為右旋圓偏振光，且時間角頻率成為。此方法可用于改變光波的時間頻率。626 將一巴比內(nèi)補償器（其兩塊光楔均由石英制成，楔角為）放在正交尼科耳光路中，構(gòu)成一個系統(tǒng)。若用波長=589nm的平行自然光照明該系統(tǒng)，試問：（1） 通過檢偏器觀察補償器表面，所看到的干涉條紋形狀為何？（2） 條紋間距為多大？ 這是一個平行偏振光干涉系統(tǒng)，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖所示。取補償器光軸C平行于軸。當入射線偏振光振動方向與補償器的主方向平行時，進入補償器只有一個本征振動，補償器引入均勻位相延遲，看不到干涉條紋。當線偏振光振動方位角時（如圖所示），入射線偏振光表示為： 設補償器引入的附加位相差為，則系統(tǒng)出射光的強度分布可按照正交尼科耳光路的平行偏振光干涉強度公式（6126）計算，即： 式中表示入射線偏振光振動方向與補償器光軸C之間夾角（見講義圖638及公式6126的推導）。如果補償器光軸C平行于Y軸，則，則上式簡化為：將觀察到一組干涉條紋，等強度線即等位相差線。下面計算補償器引入的附加位相差：如圖畫出了補償器垂直于光軸的主截面，設補償