第三章-數(shù)值模擬理論與方法

1、第三章數(shù)值模擬理論與方法§3.1流體力學的基本方程流體運動所遵循的規(guī)律是由物理學三大守恒定律規(guī)定的，即質量守恒定律動量守恒定律和能量守恒定律44。(一) 連續(xù)方程空+V(p0)=0(3.1)at式中p流體密度u流體速度分量(二) 動量方程(x方向)對于不可壓流體(即Vv二0)a(PU)+V(pv-u)=V(ypVv)+pf-|P(3.2)axxax式中丫一運動粘性系數(shù)p壓力對于可壓縮流體aPUV(pv-u)=V©pVu)+-®p)2(V0)+pf-ap(3.3)ax3axxax式中等號后前兩項是粘性力y，z方向上的動量方程可類似推出。(三) 能量方程(pe)+V(

2、pv-e)=V(kVT)+q+8(3.4)atv其中e二CTv式中等號左邊第一項是瞬變項，第二項是對流項，等號右邊第一項是擴散項第二、三項是源項。所以，流體力學基本方程組為：ap+V(pv)=0at¥+V(fv-u)=V(ypVu)+pf甞otxdx竺+V(fv-v)=V&pVv)+pfotyOpOy3.5)穿+心w)MpVw)+pfw-I(pe)+V(fv-e)Ot(k)=VVe+q+&vIc丿vV/§3.2紊流模式理論概況§3.2.1基本方程在自然界中，真實的流體都具有粘性。粘性流體存在兩種不同的運動方式和流態(tài)，即層流和紊流。而在自然界和工農(nóng)業(yè)

3、生產(chǎn)中所遇見的流體流動大部分都是紊流。三維的N-S方程是目前描述粘性流體運動較為理想的模型，其優(yōu)點一是應用范圍廣，在空氣、水流、傳熱等方面均用N-S方程描述；二是對于有分離、旋渦等情況的復雜三維流動更為適用。三維直角坐標下的N-S方程45,46,即不可壓縮粘性流體的動量方程式為:Du廠Op/O2uO2uO2u、p=pF-上+卩(+)DtxOxOx2Oy2Oz2Dv廠Op/O2vO2vO2v、3.6)<p=pF一丄+卩(+)DtyOyOx2Oy2Oz2Dw廠Op/O2wO2wO2w、p=pF一上+卩(+)DtzOzOx2Oy2Oz2不可壓縮流體的連續(xù)性方程為:（3.7）w、p）和四個方程，

4、加上邊界條OuOvOw+=0OxOyOz式（3.6）和（3.7）共有四個未知數(shù)（u、v、件,從理論上來講其解是存在的。但是,要直接求解復雜而詳細的粘性流體運動是十分復雜和困難的。其原因是:直接求解N-S方程要求求解從反映消散運動的最小渦漩尺度到反映大尺度渦體的所有流動尺度,因而只有對簡單情況下才有理論解。§3.2.2三維N-S方程N-S方程模型的流動計算可分為三種方法：1. 直接模擬法(DirectNumericalSimulation，DNS)除稀薄氣體等極端條件外，紊流的最小長度尺度遠遠大于分子運動的長度尺度，故紊流可以作為連續(xù)體運動處理。從原理上講，可以用三維非定常的N-S方程

5、對紊流進行直接計算。這種直接計算不需要紊流模型化，可像層流那樣進行數(shù)值計算。但是，現(xiàn)實的高雷諾數(shù)紊流中，由于其最小尺度很小，若要對最小尺度的紊流進行直接計算，就需要很多的計算時間和龐大的計算機容量。這遠遠超過現(xiàn)有的計算機能力。當前直接計算法只能用于對低雷諾數(shù)紊流進行直接計算，并且用新型巨型向量計算機可取數(shù)十萬個網(wǎng)格點，但也只能捕捉到較大的紊流渦，網(wǎng)格的網(wǎng)目捕捉不到小渦，從而得到的僅是關于大渦結構的大體結果。將來，即使可能進行精確的直接計算，但為了獲得有意義的信息，也必須對大量的計算結果進行統(tǒng)計處理。2. 大渦模擬法(LargeEddySimulation，LES)依照紊流的旋渦理論，紊流的脈動

6、與混合主要是有大尺度的渦造成的。大渦從主流中獲取能量，分裂后將能量傳到較小的渦。大渦的運動為各向異性，隨流動情況而不同。小渦主要是耗散能量，幾乎各向同性，并且不同流動情況的小渦有許多共性。從而得出大尺度渦模擬的數(shù)值方法。即用非定常的(三維且時間相關的)N-S方程確定大渦的特性，不計算小渦。而小渦的效果有近似的模型來處理,即用大渦模擬還可以對那些被直接計算忽略掉的，比如計算網(wǎng)格小的渦，經(jīng)模型化，進行數(shù)值模擬。該方法需要相當大的計算機內存和計算時間。3. 雷諾(Reynolds)時均方程法將非定常的N-S方程作時間平均處理。在所得出的時均方程中包含了脈動量乘積的時均值未知數(shù)，于是方程個數(shù)少于未知數(shù)

7、個數(shù)，如作出進一步的時均處理將出現(xiàn)更高階的脈動量乘積的時均值未知數(shù)，方程不可能封閉；要是方程封閉，須作出一定的假設。這是工程上普遍采用的方法，因為工程中感興趣的是時均量在三維N-S方程計算模型中，雷諾時均方程法是較常使用的一種方法。該方程是在將紊流看成時均運動和脈動運動的基礎上建立的。紊流運動的任何變參量都分解為時間平均值和脈動值，例如：u二u+u',p二p+p'等。iii不可壓縮粘性流體的三維N-S方程組作時均處理后的時均方程為連續(xù)性方程：3.8)3.9)du門Qu'小-0，丄=0dxii動量方程(雷諾方程)：Dudpddu=PF.+亍(卩不亠Puiu'.)D

8、tjdxdxdxij.ii式中：Pu'u'為二階相關項，又稱為雷諾應力，p為壓力值，u為速度，x為i.坐標軸，i=1,2,3,j=1,2,3,分別表示x,y,z三個空間坐標，腳標在某一項中相同時，表示求和。變量上方有“-”者為時均值，變量上標有“”'者為脈動量。顯然方程（3.8）、（3.9）包含有十個未知量,而方程只有四個,方程不封閉,只是因為對N-S方程取平均,使得脈動時空的細節(jié)抹平,失去了反映流動內部的細節(jié)信息,導致了方程的不封閉。為了找回平均過程中失去的紊流流動的細節(jié)信息,科學工作者建立和引入了多種紊流模式來彌補失去的信息和封閉時均N-S方程,從而能反映紊流特性和

9、封閉雷諾方程的模式稱為紊流模型（TurbulenceModel）。§3.2.3紊流模型時均N-S方程中的二階相關項，即雷諾應力項-卩喬是未知量，它有自己的i.表示式稱為紊流模型。紊流模型的表示式與時均N-S方程形成封閉的方程組。常用的紊流模型都是建立在渦粘性概念的基礎上的,雷諾應力與渦粘性的關系為：3.10)dudupu'u'=U(J+j)ijtdxdx.i式中：人為渦粘性系數(shù)。各種紊流模型都是表示紊流渦粘性系數(shù)人的方程式。目前已有許多的工程紊流模式,并且還在不斷的發(fā)展之中,這里僅簡單介紹目前工程上廣泛應用的零方程紊流模型、一方程紊流模型、二方程紊流模型、雷諾應力方程

10、模型、代數(shù)應力紊流模型等理論及進展。1. 零方程模型就是在運動方程和連續(xù)方程以外，不需要另外再加任何方程式來使方程組封閉。即雷諾應力能直接用某些物理量和物理常數(shù)表達出來，所以只要把雷諾應力直接代入運動方程中去，而不必另外再加上其它的補充方程式了。零方程模型中有紊流粘性模型、混合長度模型、渦量傳遞模型及紊動局部相似模型等。如直接用時均速度模擬二階相關項，也稱為Prandtl混合長度模型。雖然該模型簡單，有一些成功的應用，但存在以下缺點：忽略了紊流的對流和擴散輸送，對不同的流動要采用不同的經(jīng)驗系數(shù)，缺少通用性。它不適合有回流的較復雜流動，也無法處理表面曲率的影響。2. 一方程模型為克服零方程模型的

11、缺陷，在紊流平均運動的連續(xù)性方程和動量方程基礎上，添加一個湍動能k方程以力圖組成封閉方程組，而其它二階脈動相關量均有代數(shù)方程表示。由于一方程模型中引入的修正函數(shù)是與流場和長度尺寸有關的函數(shù)，部分考慮了紊流的歷史效應，既考慮了湍動能的對流項和擴散項對湍流輸送過程的影響，但長度尺寸必須有經(jīng)驗給出，對于復雜問題其值很難確定。普遍性不高，對于復雜流動精度也不高。3. 二方程k-s模型它是二方程模型中應用最廣的一種。它以一方程模型為基礎，再增加一個s（耗散率）為因變量的控制方程，來使方程組封閉，即用偏微分方程求解紊流的特征長度。標準的k-s模型認為紊動粘性系數(shù)是各向同性的，它不僅考慮到紊動速度比尺的輸送

12、，而且考慮到紊動長度比尺的輸送，因而能確定各種復雜水流的長度比尺分布。該模型基本形式比較簡單，實際應用性廣，能成功的預測許多剪切層型水流和回流，適用于各向同性或弱各向異性紊流。但是，k-s模型也存在一些缺陷，例如，模型中的經(jīng)驗常數(shù)通用性尚不十分令人滿意，對強旋流、浮力流、重力分層流、曲壁邊界層、低Re數(shù)流動、圓管射流幾種流動不適用。4. k-s紊流模型的修正對k-s紊流模型的修正主要有浮力修正法、近壁函數(shù)法、低雷諾數(shù)模型、區(qū)域模型、雙流體模型、各向異性及多尺度等方法。對于近壁區(qū)的修正，一般采用壁面函數(shù)和低雷諾數(shù)方程的方法。采用壁面函數(shù)法時，紊流流動中采用高雷諾數(shù)k-£模型。而在粘性底

13、層內不布置任何節(jié)點，把第一個與壁面相鄰的節(jié)點布置在旺盛紊流區(qū)域內。這種方法能節(jié)省內存和時間，在工程紊流計算中應用較廣。但是，壁面函數(shù)是不精確的，尤其當存在很大的壓力梯度時；其次，當出現(xiàn)分離流時，壁面函數(shù)不容易確定。兩種改進的壁函數(shù)關系已被提出，在一定程度上使計算結果得以改善。低雷諾數(shù)模型考慮近壁區(qū)分子粘性對紊流的作用，在充分發(fā)展的紊流區(qū)用高雷諾數(shù)模型：在低雷諾數(shù)區(qū)，將高雷諾數(shù)模型修正，使之可應用到低雷諾數(shù)區(qū)。低雷諾數(shù)模型的種類很多，雖然現(xiàn)有的各種低雷諾數(shù)k-£模型在預測紊流流場特性方面已有很多成功的實例，但在確定流動中的紊流脈動能的分布方面卻不理想，并且在計算時間及計算內存方面所付出

14、的代價也是很大的。5. 雷諾應力方程模型直接從脈動速度場出發(fā)，導出湍流應力式，然后對方程中各項作適當?shù)姆治雠c簡化，使方程組封閉。該模型考慮了紊動粘性系數(shù)各向異性效應，對浮力效應、強旋轉效應、曲壁效應和近壁效應的模擬精度較高。但它的k方程及£方程的模擬精度并不比標準的k-£模型高，且對于工程應用而言過于繁瑣，對三維流動，僅紊流特性本身就需11個偏微分方程，同時各個應力分量的邊界條件事先很難給定。6. 代數(shù)應力模型代數(shù)應力模型一般將應力方程模型的微分方程簡化為代數(shù)方程，并保留微分方程的基本性質，即由k方程及£方程加上一些代數(shù)方程構成。一方面它保留了紊動粘性系數(shù)各向異性

15、的特征，另一方面方程個數(shù)比雷諾應力方程模型大為減少，比標準的k-£模型多了一些代數(shù)方程。它對有必要計及體積效應時（浮力、流線彎曲、旋轉等）優(yōu)點突出?？偟膩碚f，二方程模型計算簡單，工程上比較愿意采用這種模式。§3.2.4標準k-8模型由于Reynolds應力及紊流的粘性系數(shù)都是未知的，因而Reynolds方程是不封閉的，需要建立與未知量有關聯(lián)的輸運方程進行封閉。目前常采用的是反映紊動能的k方程和反映紊動能耗散的£方程進行封閉。紊流流動是由外部提供有效的能量，在流動的過程中，很小一部分能量使直接通過平均運動的粘性而損耗，一部分先轉化為紊動能，最后轉化為熱能而耗散。在紊

16、動耗散中，紊動能在形式上是先轉化為大小不同的渦體而后通過渦體運動和粘性作用而耗散。紊動能的產(chǎn)生是通過雷諾切應力對時均流場的作用來實現(xiàn)的。標準的k-£模型中雷諾應力為：一pu'u'ij九、2冷=u+j)-pkotdx3耳ji(3.11)其中渦粘性系數(shù)為：3.12)雷諾應力式中引入的新變量k（湍動動能）、£（耗散率）用k-£模型來封閉。k方程：a(pk)a(puk)auak'(u+j+ppp8gaxkkj+jataxjaxj(3.13)£方程：a(p8)°(pu8)at+/=axaxjjaU882(u+匕)+pCp-pc-g

17、°x1kk2k8j(3.14)其中：k二號為紊動能'“性譽為紊動能的耗散項，ut=pCuT為渦jj粘性系數(shù)，auh為紊動能生成項；式中腳標j可取值為1,2,3axj表示x,y,°u°up=j（+j）kpaxaxjiz三個空間坐標,j腳標在一項中重復時稱求和標,表示三項求和。有關模型參數(shù)見表3-1：表3-1標準k-£模型中的有關系數(shù)CC1C2°k£0.091.441.921.01.3雷諾時均方程在引入紊流模型后,k、£方程與連續(xù)性方程（3.1）、動量方程（3.2）就構成了完全封閉的不可壓縮粘性流體紊流流動的控制方程組。

18、所以，不可壓縮粘性流體紊流流動的控制方程組為：包+竺+空=0（連續(xù)性方程）dxdydz3.15)Duapadu,=、-pj=pF-丄+一(卩一jpu'u')(動量方程)JDtjdxdxdxij/iid(pk)d(puk)d卩dk/七壬口、+j=(卩+)+ppps(k程)dtdxdxgdxkjjkjd(ps)d(pus)d*卩、djss2+j=(|H+)+pCppC(£程)Idtdxdxgdx1kk2kjjsj§3.3數(shù)值離散的方法本文運用的CFD軟件FLUENT中數(shù)值離散方法為有限體積法（FiniteWlumeMethod，F(xiàn)VM）有限體積法又稱為控制體積法

19、，在Fluent軟件中就是采用這種方法。其基本思路是：將計算區(qū)域劃分為一系列不重復的控制體積，并使每個網(wǎng)格點周圍有一個控制體積，將待解的微分方程對每個控制體積積分，得出一組離散方程。其中的未知數(shù)是網(wǎng)格點上的因變量的數(shù)值。為了求出控制體積的積分，必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)律，即假定值的分段的分布剖面。從積分區(qū)域的選取方法來看，有限體積法屬于加權剩余法中的子區(qū)域法；從未知解的近似方法來看有限體積法屬于采用局部近似的離散方法。簡而言之，子區(qū)域法加離散，就是有限體積法的基本方法。有限體積法的基本思想易于理解，并能得出直接的物理解釋。有限體積法實際上是流體力學中用微元體概念推導微分方程的逆過程，網(wǎng)格

20、就相當于放大的微元體。離散方程的物理意義，就是因變量在有限大小的控制體積中的守恒原理,如同微分方程表示因變量在無限小的控制體積中守恒原理一樣。有限體積法得出的離散方程，要求因變量的積分守恒對任意一組控制體積都得到滿足，對整個計算區(qū)域，自然也得到滿足，因此用有限體積法導出的離散方程可以保證具有守恒性，對區(qū)域形狀的適應性也比有限差分法好，這是有限體積法吸引人的優(yōu)點。有一些離散方法，例如有限差分法，僅當網(wǎng)格及其細密時，離散方程才滿足積分守恒；而有限體積法即使在粗網(wǎng)格情況下，也顯示出準確的積分守恒。就離散方法而言，有限體積法可視為有限單元法和有限差分法的中間物。有限單元法必須假定值在網(wǎng)格點之間的變化規(guī)

21、律(即插值函數(shù))，并視其為近似解。有限差分法只考慮網(wǎng)格點上的數(shù)值而不考慮值在網(wǎng)格點之間如何變化。有限體積法只尋求的結點值，這與有限差分法相類似；但有限體積法在尋求控制體積的積分時，必須假定值在網(wǎng)格點之間的分布，這又與有限單元法相類似。在有限體積法中，插值函數(shù)只用于計算控制體積的積分，得出離散方程之后，便可忘掉插值函數(shù)；如果需要的話，我們可以對微分方程中不同的項采用不同的插值函數(shù)。有限體積法目前在二維和三維紊流數(shù)值計算中有限體積法得到了廣泛而成功的應用。§3.4流場的計算§3.4.1SIMPLE方法SIMPLE算法，就是求解壓力耦合方程的半隱方法(Semi-ImplicitM

22、ethodforPressureLinkedEquations)。它是Patankar與Spalding在1972年提出的。本文將應用SIMPLE方法進行壓力-速度的耦合，求解不可壓流體力學方程組。SIMPLE算法的計算步驟如下：(1) 給定壓力場P*；(2)解動量方程，得到u*、v*、w*；(3) 由u*、v*、w*計算壓力校正方程中的b項，代入p'方程后，解出p'的解;(4) 由方程p=p*+p'，解出p；(5)用速度校正公式計算u、v、w;(6)對涉及的其它物理量(如溫度、濃度、湍流度等)進行計算；(7)用p代替p*，回到第一步。§3.5計算域網(wǎng)格生成技

23、術結構化網(wǎng)格在拓撲結構上相當于矩形域內的均勻網(wǎng)格，其結點定義在每一層的網(wǎng)格線上，因此對于復雜外形物體要生成貼體的結構網(wǎng)格是比較困難的。而非結構化網(wǎng)格結點的空間分布完全是隨意的，沒有任何結構特性，適應性強，因而適合于處理復雜幾何外形，并且由于非結構化網(wǎng)格在其生成過程中都要采用一定的準則進行優(yōu)化判定，因而生成地網(wǎng)格質量較高。本文中的計算域網(wǎng)格采用Gambit2.0生成非結構化網(wǎng)格。§3.6FLUENT軟件中多相流模擬中歐拉模型介紹在FLUENT中的可以模擬多相分離流，及相間的相互作用。相可以是液體、氣體、固體的幾乎任意混合。Eulerian處理用于每一相，相比之下，Eulerian-La

24、grangian處理用于離散相模型。采用Eulerian模型，第二相的數(shù)量僅僅因為內存和收斂而受到限制。只要有足夠的內存，任何數(shù)量的第二相都可以模擬。然而，對于復雜的多相流流動，你會發(fā)現(xiàn)解由于收斂性而受到限制。FLUENT中歐拉模型的解基于以下條件：(1) 單一的壓力由各相共享。(2) 動量和連續(xù)性方程是對每一相求解。下面的參數(shù)對顆粒相是有效的：(a)固體相的剪切和可視粘性是把分子運動論用于顆粒流而獲得的。摩擦粘性也是有效的。(3) 相間的曳力系數(shù)函數(shù)是有效的，它們適合于不同類型的多相流系。(4) 所有的K-8湍流模型都是有效的，可以用于所有相或者混合相。除了以下的限制外，在FLUENT中所有

25、其他的可利用特性都可以在Eulerian多相流模型中使用：(1) 只有K-8模型能用于湍流。(2) 顆粒跟蹤(使用Lagrangian分散相模型)僅與主相相互作用。(3)不能是壓縮流動。(4)不能是無粘流。(5) 不能使用二階隱式方程(6)無熱傳導(7)相之間的質量傳遞只能是氣穴，不能是蒸發(fā)，壓縮等本文選用Euleriangranular模型的原因歐拉模型（Eulerian模型）適用于所有的體積濃度范圍。本文所要模擬的兩相流屬于稀相液固兩相流動，選用的的液相介質為常溫下液態(tài)水，固相介質為細小的石英砂顆粒，屬于載粒子流。因此本文選用Euleriangranular模型來進行兩相的模擬。歐拉模型的有關定義（EuleHanModel）單相模型中，只求