第一二節(jié)大數(shù)定律及中心極限定理5-1,2

1、第五章第五章 大數(shù)定律及中心極限定理大數(shù)定律及中心極限定理教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容 1 大數(shù)定律大數(shù)定律 2 中心極限定理中心極限定理教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn) 中心極限定理的應(yīng)用中心極限定理的應(yīng)用 大量隨機(jī)試驗(yàn)中大量隨機(jī)試驗(yàn)中大數(shù)定律的客觀背景大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率正面出現(xiàn)頻率字母使用頻率字母使用頻率生產(chǎn)過程中的生產(chǎn)過程中的廢品率廢品率 有有穩(wěn)穩(wěn)定定性性測測量量值值的的算算術(shù)術(shù)平平均均值值具具某某一一常常數(shù)數(shù)事事件件發(fā)發(fā)生生的的頻頻率率穩(wěn)穩(wěn)定定于于這種這種穩(wěn)定性穩(wěn)定性就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背靜就是本節(jié)所要討論的大數(shù)定律的客觀背靜一一 依概率收斂定義及性質(zhì)依概率收斂定義

2、及性質(zhì) 定義定義，有，有若對(duì)于任意正數(shù)若對(duì)于任意正數(shù)一個(gè)常數(shù)一個(gè)常數(shù)是是是一個(gè)隨機(jī)變量序列，是一個(gè)隨機(jī)變量序列，設(shè)設(shè) .,21aYYYnlim |1nnP Ya.,21aYaYYYPnn記為記為依概率收斂于依概率收斂于則稱序列則稱序列性質(zhì)性質(zhì)).,(),(),(),(,bagYXgbayxgbYaXPnnPnPn 連連續(xù)續(xù)，則則點(diǎn)點(diǎn)在在又又設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)，設(shè)設(shè)請(qǐng)注意請(qǐng)注意 : .10可能性很小可能性很小生的生的的發(fā)生，而只是說他發(fā)的發(fā)生，而只是說他發(fā)并不排除事件并不排除事件；的概率很大，接近于的概率很大，接近于充分大時(shí)，事件充分大時(shí)，事件當(dāng)當(dāng)，意味著對(duì)任意給定的，意味著對(duì)任意給定的依概率收斂于依

3、概率收斂于 XXXXnaXnnn.定定性性弱弱些些，它它具具有有某某種種不不確確中中的的普普通通意意義義下下的的收收斂斂依依概概率率收收斂斂比比高高等等數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)二、大數(shù)定律二、大數(shù)定律定理定理1（切比雪夫定理的特殊情況）切比雪夫定理的特殊情況）切比雪夫切比雪夫 則對(duì)任意的則對(duì)任意的0，有，有學(xué)學(xué)期期望望和和方方差差：獨(dú)獨(dú)立立，且且具具有有相相同同的的數(shù)數(shù)相相互互，設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量,21nXXX21 2(),()(, ,).kkE XD Xk1|1|lim1 niinXnP|lim XPn11XnnkkX 做前做前 n 個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均個(gè)隨機(jī)變量的算術(shù)平均證證 nkkXnE11由于由于

4、nn1 nkkXEn1)(1 nkkXnD11 nkkXDn12)(1nnn2221 由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式22111 nXnPnkk 上式中令上式中令 n得得1|1|lim1 niinXnP說明說明.,2 , 1XE1X,211有有的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性），這這種種接接近近說說明明其其具具（）（接接近近數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望的的算算術(shù)術(shù)平平均均隨隨機(jī)機(jī)變變量量定定理理以以數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)形形式式證證明明了了、nkXnXXkniin . 1|1|11于于時(shí)時(shí)，這這個(gè)個(gè)事事件件的的概概率率趨趨當(dāng)當(dāng)是是指指一一個(gè)個(gè)隨隨機(jī)機(jī)事事件件，、定定理理中中 nXnnii .常常數(shù)數(shù)收收斂斂的的意意義義下下逼逼近近某某

5、一一算算術(shù)術(shù)平平均均值值是是依依概概率率這這種種穩(wěn)穩(wěn)定定性性的的含含義義說說明明.1), 2 , 1()(,)(,1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX，即，即依概率收斂于依概率收斂于，則序列，則序列差：差：有相同的數(shù)學(xué)期望和方有相同的數(shù)學(xué)期望和方相互獨(dú)立，且具相互獨(dú)立，且具，設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量1定理 的另一種敘述形式問題問題 :伯努利伯努利 設(shè)設(shè)nA是是n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生的次數(shù)，的次數(shù)，p是事件是事件A發(fā)生的概率，發(fā)生的概率，nnA是事件是事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率.是是否否具具有有穩(wěn)穩(wěn)定定性性呢呢？替替事事件件的的概概率率，頻頻率率事事件件發(fā)發(fā)生生

6、的的頻頻率率能能否否代代 設(shè)設(shè) nA 是是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)發(fā)生的次數(shù)，生的次數(shù)，p是事件是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率，則對(duì)于任意正數(shù)的概率，則對(duì)于任意正數(shù) 0 ，有，有 定理定理2（貝努里大數(shù)定律）（貝努里大數(shù)定律）1|lim pnnPAn或或 伯努利伯努利0|lim pnnPAn證明證明nAAXXXnpnbn 21),(由此可表示為由此可表示為因?yàn)橐驗(yàn)?,1()()(.10ppXDpXEpkk ，因因而而分分布布）以以為為參參數(shù)數(shù)的的（從從以以其其中中相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且都都服服即即得得由由定定理理11|)(1|lim21 pXXXnPnn|

7、lim pnnPAn 證畢證畢注注 貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分充分大時(shí)，事件大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率發(fā)生的頻率nA/n與事件與事件A的概率的概率p有較有較大偏差的概率很小大偏差的概率很小.0|lim pnnPAn或或.替替事事件件的的概概率率事事件件發(fā)發(fā)生生的的頻頻率率可可以以代代此定理說明了頻率的穩(wěn)定性此定理說明了頻率的穩(wěn)定性下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在不要求隨機(jī)變量的方差存在. 設(shè)隨機(jī)變量序列設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，服從同一分布，具有數(shù)學(xué)期服從同一分布，具有

8、數(shù)學(xué)期E(Xi)=, i=1,2,， 則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù) ，有，有定理定理3（辛欽大數(shù)定律辛欽大數(shù)定律）1|1|lim1 niinXnP辛欽辛欽 1、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望、辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值提供了一條實(shí)際可行的途徑值提供了一條實(shí)際可行的途徑.注注2、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況、伯努利大數(shù)定律是辛欽定理的特殊情況.3、辛欽定理具有廣泛的適用性、辛欽定理具有廣泛的適用性. 要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量 ，要收割某些有代表性塊，例如要收割某些有代表性塊，例如n 塊塊地地. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較較大時(shí)，可用

9、它作為整個(gè)地區(qū)平均畝大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì)產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).例例 在一個(gè)罐子中在一個(gè)罐子中,裝有裝有10個(gè)編號(hào)為個(gè)編號(hào)為0-9的同樣的球，的同樣的球，從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下從罐中有放回地抽取若干次，每次抽一個(gè)，并記下號(hào)碼號(hào)碼. 否則次取到號(hào)碼第001kXk 設(shè)設(shè)，k=1,2, 問對(duì)序列問對(duì)序列Xk能否應(yīng)用大數(shù)定律？能否應(yīng)用大數(shù)定律？nkknXnP11| 1 . 01|lim 即即對(duì)對(duì)任意的任意的0,解解: ,9 . 01 . 001kXk=1,2, E(Xk)=0.1, 諸諸Xk 獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大獨(dú)立同分布，且期望存在，故能使用大數(shù)定

10、律數(shù)定律.小結(jié)小結(jié)大大數(shù)數(shù)定定律律 大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：象最根本的性質(zhì)之一：平均結(jié)果的穩(wěn)定性平均結(jié)果的穩(wěn)定性 2)()( kkXDXE )(kXE),(pnbnA大大數(shù)數(shù)定定律律伯伯努努利利1|lim pnnPAn大大數(shù)數(shù)定定律律切切比比雪雪夫夫1|1|lim1 niinXnP大大數(shù)數(shù)定定律律辛辛欽欽1|1|lim1 niinXnP 所謂大數(shù)定律，簡單地說，就是大量數(shù)目的隨機(jī)變量所呈所謂大數(shù)定律，簡單地說，就是大量數(shù)目的隨機(jī)變量所呈現(xiàn)出的規(guī)律，這種規(guī)律一般用隨機(jī)變量序列的某種收斂性現(xiàn)出的規(guī)律，這種規(guī)律一般用隨機(jī)變量序列的某

11、種收斂性來刻畫。來刻畫。 中心極限定理的客觀背景中心極限定理的客觀背景 在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)在實(shí)際問題中許多隨機(jī)變量是由相互獨(dú)立隨機(jī)因素的綜合（或和因素的綜合（或和)影響所形成的影響所形成的.例如：炮彈射擊的例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因就受著許多隨機(jī)因素（如瞄準(zhǔn)，空氣素（如瞄準(zhǔn)，空氣阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的阻力，炮彈或炮身結(jié)構(gòu)等）綜合影響的.每個(gè)每個(gè)隨機(jī)因隨機(jī)因素的對(duì)素的對(duì)彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）彈著點(diǎn)（隨機(jī)變量和）所起的作用都是很小所起的作用都是很小的的.那么那么彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪彈著點(diǎn)服從怎樣分布哪 ？ 如果一個(gè)隨機(jī)變量是

12、由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因如果一個(gè)隨機(jī)變量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素對(duì)這種綜合影響中所起的作用不大影響中所起的作用不大. 則這種隨機(jī)變量一般都服則這種隨機(jī)變量一般都服從或近似服從正態(tài)分布從或近似服從正態(tài)分布. 自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)自從高斯指出測量誤差服從正態(tài)分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在分布之后，人們發(fā)現(xiàn)，正態(tài)分布在自然界中極為常見自然界中極為常見. 現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有現(xiàn)在我們就來研究獨(dú)立隨機(jī)變量之和所特有的規(guī)律性問題的規(guī)律性問題.高斯高斯 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么呢？無限增大時(shí)

13、，這個(gè)和的極限分布是什么呢？ 由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于由于無窮個(gè)隨機(jī)變量之和可能趨于，故我們，故我們不研究不研究n個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨個(gè)隨機(jī)變量之和本身而考慮它的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量機(jī)變量.正正態(tài)態(tài)分分布布的的極極限限分分布布是是否否為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)討討論論nY 在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分在概率論中，習(xí)慣于把和的分布收斂于正態(tài)分布這一類定理都叫做布這一類定理都叫做中心極限定理中心極限定理. nkkkXnkX1), 1(的的和和即即考考慮慮隨隨機(jī)機(jī)變變量量111()()nnkkkknnkkXEXYDX一、中心極限定理一、中心極限定理 xnnXPxFniinnn 1l

14、im)(lim定理定理1（獨(dú)立同分布下的中心極限定理獨(dú)立同分布下的中心極限定理），則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和方方差差布布，且且具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望和和相相互互獨(dú)獨(dú)立立，服服從從同同一一分分設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量), 2 , 1()(,)(:,221 kXDXEXXXkkn nnXYnkkn 1滿足滿足對(duì)于任意對(duì)于任意的分布函數(shù)的分布函數(shù)xxFn)(的標(biāo)準(zhǔn)化變量的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkkX1 x-2t -dte212 )(x 注注).1 , 0(;),(,11211NnnXnnNXnXnkknkknkk近近似似地地近近似似地地有有和和與與其其標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化變變量量分分別別充充分分大大時(shí)時(shí)，隨隨機(jī)機(jī)變

15、變量量之之當(dāng)當(dāng)布布的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量之之和和、定定理理表表明明，獨(dú)獨(dú)立立同同分分 )1 , 0(),(22NnXnNX近近似似地地近近似似地地或或?yàn)闉槎ǘɡ砝淼牡牧砹硪灰环N種形形式式可可寫寫、獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布中中心心極極限限 nkkXnX11其中其中 3、雖然在一般情況下，我們很難求出、雖然在一般情況下，我們很難求出 的分的分布的確切形式，但當(dāng)布的確切形式，但當(dāng)n很大時(shí)，可以求出近似分布很大時(shí)，可以求出近似分布. nkkX1例題 一冊(cè)400頁的書中每一頁的錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)服從參數(shù)為0.2的泊松分布，各頁有多少個(gè)印刷錯(cuò)誤是相互獨(dú)立的，求這冊(cè)書中的錯(cuò)誤不多于88個(gè)概率 :,(0.2)()0.2,

16、()0.2,1,2,.400iiiiXiXE XD Xi解 設(shè)第頁的印刷錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)4001088iiPX4001400*0.280880400*0.280iiXP(0.89)( 8.94) 利用獨(dú)立同分布中心極限定理=0.8133定理定理6( (棣莫佛拉普拉斯（棣莫佛拉普拉斯（De LaplaceDe Laplace定理）定理）)1 (limxpnpnpPnn 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 (n=1,2,)(n=1,2,)服從參數(shù)服從參數(shù)n,p(0p1)的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意的二項(xiàng)分布，則對(duì)任意x，有，有n dtext2221)(x 證證之和，之和，分布的諸隨機(jī)變量分布的諸隨機(jī)變量服從同一服從同一個(gè)相互

17、獨(dú)立、個(gè)相互獨(dú)立、分解成為分解成為由第四章知識(shí)知可將由第四章知識(shí)知可將nnXXXn,)10(21 nkknX1 即有即有 1 , 0,)1(), 2 , 1(1 ippiXPnkXiikk的分布律為的分布律為其中其中 定理表明定理表明，當(dāng)，當(dāng)n很大，很大，0p1是一個(gè)定值時(shí)（或是一個(gè)定值時(shí)（或者說，者說，np(1-p)也不太小時(shí)），也不太小時(shí)），二項(xiàng)二項(xiàng)變量變量 的的分布分布近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).n ，由于由于), 2 , 1)1()(,)(nkppXDpXEkk 得得由定理由定理4)1 (limxpnpnpPnn dtext2221)(x )1(lim1xpnp

18、npXPnkkn )1(,(pnpnpNn 近似地近似地 即即例例120120(1,2,),(0,10).105.kkkV knVVP V一加法器同時(shí)收到個(gè)噪聲電壓設(shè)它們是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間上服從均勻分布記，求的近似值201()5,()100 12(1,2,20).-20 54Z(0,1)1002012kkkkE VD VkVN近似地易知由定理 知，于是于是105P V Z0.387p解解20 510520 5100 1220100 1220Vp348. 0)387. 0(1 例例2. (供電問題供電問題)某車間有某車間有200臺(tái)車床臺(tái)車床,在生產(chǎn)期間由在生產(chǎn)期間由于需要檢修、調(diào)換

19、刀具、變換位置及調(diào)換工件等常于需要檢修、調(diào)換刀具、變換位置及調(diào)換工件等常需停工需停工. 設(shè)開工率為設(shè)開工率為0.6, 并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)并設(shè)每臺(tái)車床的工作是獨(dú)立的，且在開工時(shí)需電力立的，且在開工時(shí)需電力1千瓦千瓦.問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以問應(yīng)供應(yīng)多少瓦電力就能以99.9%的概率保證該車的概率保證該車間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)間不會(huì)因供電不足而影響生產(chǎn)?用用X表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)，表示在某時(shí)刻工作著的車床數(shù)， 解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn)解：對(duì)每臺(tái)車床的觀察作為一次試驗(yàn)，每次試驗(yàn) 是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作是觀察該臺(tái)車床在某時(shí)刻是否工作, 工作的概率工作的概率0.6

20、,共進(jìn)行共進(jìn)行200次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).依題意，依題意，XB(200,0.6),現(xiàn)在的問題是：現(xiàn)在的問題是：P(XN)0.999的最小的的最小的N.求滿足求滿足設(shè)需設(shè)需N臺(tái)車床工作臺(tái)車床工作，（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力（由于每臺(tái)車床在開工時(shí)需電力1千瓦，千瓦，N臺(tái)工作所需電力即臺(tái)工作所需電力即N千瓦千瓦.）由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯極限定理拉普拉斯極限定理)1 (pnpnpX近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)= P(0XN)這里這里 np=120, np(1-p)=48)48120()48120(N由由3準(zhǔn)則，準(zhǔn)則，此項(xiàng)為此項(xiàng)為0。)48120N(999.0)48120(

21、N由由查正態(tài)分布函數(shù)表得查正態(tài)分布函數(shù)表得999. 0) 1 . 3(即所求即所求N=142.例例3120.05 0.8 0.15.400.對(duì)于一個(gè)學(xué)生而言，來參加家長會(huì)的家長人數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量，設(shè)一個(gè)學(xué)生無家長、 名家長、名家長來參加會(huì)議的概率分別為、 、若學(xué)校共有名學(xué)生，設(shè)各學(xué)生參加會(huì)議的家長數(shù)相互獨(dú)立，且服從同一分布.340124501的的概概率率生生數(shù)數(shù)不不多多名名家家長長來來參參加加會(huì)會(huì)議議的的學(xué)學(xué)）求求有有（的的概概率率；超超過過）求求參參加加會(huì)會(huì)議議的的家家長長數(shù)數(shù)（X解解15. 08 . 005. 0210)400,2 , 1()1(kkkkpXXkkX的的分分布布律律為為的的

22、家家長長數(shù)數(shù)，則則個(gè)個(gè)學(xué)學(xué)生生來來參參加加會(huì)會(huì)議議記記第第以以 .400, 2 , 119. 0)(, 1 . 1)( kXDXEkk易知易知4001.4,kkXX而由定理可知隨機(jī)變量4001400 1.1400 0.8N0 1400 0.19400 0.19kkXX近似地（ ， ）于是于是 19. 04008 . 040045019. 04008 . 0400450XPXP 147. 119. 04008 . 04001XP1257. 0)147. 1(1 2 . 08 . 04008 . 04003402 . 08 . 04008 . 0400340YPXP 5 . 22 . 08 . 04008 . 0400YP9938. 0)5 . 2( Y-400 0.8N0 1400 0.16近似地（ ， ）得得，由由定定理理議議的的學(xué)學(xué)生生數(shù)數(shù)，則則記