第1章線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

1、第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1第一章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 1.1 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述1.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立1.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣1.5 組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述組合系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述1.4 線性系統(tǒng)等價(jià)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價(jià)的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 21.1 線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)狀態(tài)空間描述系統(tǒng)：系統(tǒng)：是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分是由相互關(guān)聯(lián)和相互作用的若干組成部分按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。按一定規(guī)律組合而成的具有特定功能的整體。 對(duì)

2、于控制工程而言，它可能是被控對(duì)象、控對(duì)于控制工程而言，它可能是被控對(duì)象、控制裝置，也可能是某些部件的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋制裝置，也可能是某些部件的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋組合。組合。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 3圖圖1-1 系統(tǒng)的方塊圖表示系統(tǒng)的方塊圖表示 圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境圖中方塊以外的部分為系統(tǒng)環(huán)境; 環(huán)境對(duì)系統(tǒng)施加的作用或激勵(lì)稱為系統(tǒng)輸入，環(huán)境對(duì)系統(tǒng)施加的作用或激勵(lì)稱為系統(tǒng)輸入， 用向量用向量 表示表示; 系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用（即從外部量測(cè)到的系統(tǒng)信系統(tǒng)對(duì)環(huán)境的作用（即從外部量測(cè)到的系統(tǒng)信 息）稱為系統(tǒng)輸出，用向量息）稱為系統(tǒng)輸出，用向量 表示；表示； 系統(tǒng)輸入和輸出統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量。

3、系統(tǒng)輸入和輸出統(tǒng)稱為系統(tǒng)的外部變量。 描述系統(tǒng)內(nèi)部狀況的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，描述系統(tǒng)內(nèi)部狀況的變量稱為系統(tǒng)的狀態(tài)變量， 用向量用向量 表示，它是系統(tǒng)的內(nèi)部變量。表示，它是系統(tǒng)的內(nèi)部變量。 12 ,Tpu uuu12,Tqy yyy12,Tnx xxx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 4主要的數(shù)學(xué)描述主要的數(shù)學(xué)描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 51）輸入）輸入輸出描述（外部描述）輸出描述（外部描述） 輸入輸入輸出描述輸出描述是描述系統(tǒng)輸入是描述系統(tǒng)輸入輸出變量關(guān)系的輸出變量關(guān)系的模型。如傳遞函數(shù)、微分方程等模型。如傳遞函數(shù)、微分方程等.輸入輸入輸出描述輸出描述（外部描述）僅描述系統(tǒng)的外部特（

4、外部描述）僅描述系統(tǒng)的外部特性，不能反映系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征（即不能反映性，不能反映系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)特征（即不能反映“黑黑箱箱”內(nèi)部的某些部分），是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述。內(nèi)部的某些部分），是對(duì)系統(tǒng)的一種不完全描述。1qySystem1pu視系統(tǒng)為視系統(tǒng)為black box第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 6例如：例如： 從輸入從輸入輸出關(guān)系來看，它們具有相同的傳遞函數(shù)：輸出關(guān)系來看，它們具有相同的傳遞函數(shù)：1( )1G ss 實(shí)際上這兩個(gè)系統(tǒng)是不等價(jià)的，一個(gè)是能觀不能控的，實(shí)際上這兩個(gè)系統(tǒng)是不等價(jià)的，一個(gè)是能觀不能控的，一個(gè)是能控不能觀的。一個(gè)是能控不能觀的。 表明表明:系統(tǒng)的內(nèi)部特性比起由傳遞函

5、數(shù)表達(dá)的外部特性系統(tǒng)的內(nèi)部特性比起由傳遞函數(shù)表達(dá)的外部特性要復(fù)雜得多，輸入要復(fù)雜得多，輸入輸出描述沒有包含系統(tǒng)的全部信息，輸出描述沒有包含系統(tǒng)的全部信息，不能完整的描述一個(gè)系統(tǒng)。不能完整的描述一個(gè)系統(tǒng)。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 72）狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述） 狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述通過建立系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和系統(tǒng)的輸通過建立系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)和系統(tǒng)的輸入以及輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，來描述系統(tǒng)的行為。入以及輸出之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，來描述系統(tǒng)的行為。F( x，u，t )u(t)y(t)圖圖1-3 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述狀態(tài)空間描述（內(nèi)部描述）能完全表征系統(tǒng)的內(nèi)

6、部描述）能完全表征系統(tǒng)的一切動(dòng)力學(xué)特征，它是對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)完全描述。一切動(dòng)力學(xué)特征，它是對(duì)系統(tǒng)的一個(gè)完全描述。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 8 狀態(tài)空間描述是基于內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)模狀態(tài)空間描述是基于內(nèi)部結(jié)構(gòu)分析的數(shù)學(xué)模型，通常由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。型，通常由兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。 狀態(tài)方程：狀態(tài)方程：是描述系統(tǒng)內(nèi)部變量是描述系統(tǒng)內(nèi)部變量 與輸入變量與輸入變量 間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)間因果關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，常具有微分方程或差分方程的形式。式，常具有微分方程或差分方程的形式。 輸出方程：輸出方程：是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量是表征系統(tǒng)內(nèi)部變量及輸入變量及輸入變量 和輸出變量和輸出變量間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有代

7、數(shù)方程的形式間轉(zhuǎn)換關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式，具有代數(shù)方程的形式. 12 ,Tnx xxx12 ,Tpu uuu12 ,Tnx xxx12 ,Tpu uuu12,Tqy yyy第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 9 系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài) 描述系統(tǒng)的過去、現(xiàn)描述系統(tǒng)的過去、現(xiàn)在和未來行為的變量在和未來行為的變量組，是用來完善地描組，是用來完善地描述系統(tǒng)行為的最小的述系統(tǒng)行為的最小的一組變量。一組變量。 狀態(tài)變量狀態(tài)變量狀態(tài)變量是指構(gòu)成系狀態(tài)變量是指構(gòu)成系統(tǒng)狀態(tài)的每一個(gè)變量。統(tǒng)狀態(tài)的每一個(gè)變量。狀態(tài)變量構(gòu)成的列向狀態(tài)變量構(gòu)成的列向量為狀態(tài)向量。量為狀態(tài)向量。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 10 狀態(tài)變量組可完全

8、地表征系統(tǒng)行為的屬性體現(xiàn)在狀態(tài)變量組可完全地表征系統(tǒng)行為的屬性體現(xiàn)在： 只要給定這組變量只要給定這組變量 在初始時(shí)刻在初始時(shí)刻t0的值，的值，以及輸入變量以及輸入變量 在各瞬時(shí)在各瞬時(shí)tt0的值，則系統(tǒng)的值，則系統(tǒng)中任何一個(gè)變量在中任何一個(gè)變量在tt0時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為就可以被完全確定。時(shí)的運(yùn)動(dòng)行為就可以被完全確定。12( )( )( )nx tx tx t， ，12( )( )( )pu tu tut， ，系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述關(guān)于狀態(tài)的幾點(diǎn)說明關(guān)于狀態(tài)的幾點(diǎn)說明 狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn)在：狀態(tài)變量組的最小性體現(xiàn)在： 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 是為完全表征系統(tǒng)行為是為完全表征系統(tǒng)行為所必需的

9、系統(tǒng)變量的最少個(gè)數(shù)，減少變量數(shù)將破壞表征的完所必需的系統(tǒng)變量的最少個(gè)數(shù)，減少變量數(shù)將破壞表征的完全性，而增加變量數(shù)將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。全性，而增加變量數(shù)將是完全表征系統(tǒng)行為所不需要的。12( )( )( )nx tx tx t， ，第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 11 狀態(tài)變量組選取上的不唯一性：狀態(tài)變量組選取上的不唯一性： 由于系統(tǒng)中變量的個(gè)數(shù)必大于由于系統(tǒng)中變量的個(gè)數(shù)必大于n，而其中僅有，而其中僅有n個(gè)個(gè)是線性無關(guān)的，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不是線性無關(guān)的，因此決定了狀態(tài)變量組在選取上的不唯一性。唯一性。系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述關(guān)于狀態(tài)的幾點(diǎn)說明關(guān)于狀態(tài)的幾點(diǎn)

10、說明 系統(tǒng)的任意選取的兩個(gè)狀態(tài)變量組之間為線性非奇系統(tǒng)的任意選取的兩個(gè)狀態(tài)變量組之間為線性非奇異變換的關(guān)系。異變換的關(guān)系。狀態(tài)變量是時(shí)間域的。狀態(tài)變量是時(shí)間域的。狀態(tài)變量有時(shí)是不可測(cè)量的。狀態(tài)變量有時(shí)是不可測(cè)量的。狀態(tài)變量不是所有變量的總和。狀態(tài)變量不是所有變量的總和。輸出量可以選作狀態(tài)變量。輸出量可以選作狀態(tài)變量。輸入量不允許選作狀態(tài)變量。輸入量不允許選作狀態(tài)變量。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 12狀態(tài)向量：是由狀態(tài)變量所構(gòu)成的向量，即向量狀態(tài)向量：是由狀態(tài)變量所構(gòu)成的向量，即向量 稱為稱為n維狀態(tài)向量。維狀態(tài)向量。12( )( ),( ),( )Tnx tx tx tx t狀態(tài)空間：以狀

11、態(tài)空間：以n個(gè)線性無關(guān)的狀態(tài)變量作為基底所個(gè)線性無關(guān)的狀態(tài)變量作為基底所組成的組成的 n 維空間稱為狀態(tài)空間維空間稱為狀態(tài)空間Rn。狀態(tài)軌線：隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)狀態(tài)狀態(tài)軌線：隨著時(shí)間推移，系統(tǒng)狀態(tài)x(t)在狀態(tài)空在狀態(tài)空間所留下的軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。間所留下的軌跡稱為狀態(tài)軌線或狀態(tài)軌跡。 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 13 1狀態(tài)方程（狀態(tài)方程（）：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量）：描述系統(tǒng)狀態(tài)變量與輸入變量之間關(guān)系的一階微分方程組之間關(guān)系的一階微分方程組(連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng))或一階差分方或一階差分方程組程組(離散時(shí)間系統(tǒng)離散時(shí)間系統(tǒng))稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。稱為系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 狀態(tài)

12、方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀態(tài)變化，狀態(tài)方程表征了系統(tǒng)由輸入所引起的內(nèi)部狀態(tài)變化，其一般形式為：其一般形式為：( ) ( ), ( ), ttt t xfxu或或 1() ( ), ( ),kkkkttttxfxu三三 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 14 2輸出方程（輸出方程（）：描述系統(tǒng)輸出變量與狀）：描述系統(tǒng)輸出變量與狀態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程組稱為態(tài)變量和輸入變量之間函數(shù)關(guān)系的代數(shù)方程組稱為系統(tǒng)的輸出方程。其一般形式為：系統(tǒng)的輸出方程。其一般形式為：( ) ( ), ( ), ttt tyg xu或或( ) ( ), (

13、),kkkkttttyg xu第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 15狀態(tài)方程與輸出方程的狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)組合稱為狀態(tài)空間表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程或狀態(tài)空間描述。其一般形式為：空間描述。其一般形式為：連續(xù)系統(tǒng)：連續(xù)系統(tǒng)：( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ttt tttt t xfxuyg xu1() ( ), ( ),( ) ( ), ( ),kkkkkkkkttttttttxfxuyg xu(1) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), kkk kkkk k或xfxuyg xu離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)： 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)

14、空間描述 16狀態(tài)方程與輸出方狀態(tài)方程與輸出方程都是線性方程的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程都是線性方程的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的狀態(tài)方程是一階向量線性微分方程或一階向量線性差分方程。程是一階向量線性微分方程或一階向量線性差分方程。線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：線性連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：( )( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )tA ttB tttC ttD ttxxuyxu線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：(1)( )( )( ) ( )( )( )( )( ) ( )kG kkH kkkC kkD kkxxuyxu （簡(jiǎn)記為（簡(jiǎn)記為

15、 ） ( ( ),( ),( ),( )G kH k C kD k第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 17式中：若狀態(tài)式中：若狀態(tài)x、輸入、輸入u、輸出、輸出y的維數(shù)分別為的維數(shù)分別為n, p, q，則，則系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣(或狀態(tài)矩陣、系數(shù)矩陣或狀態(tài)矩陣、系數(shù)矩陣);控制矩陣（或輸入矩陣）；控制矩陣（或輸入矩陣）；觀測(cè)矩陣（或輸出矩陣）；觀測(cè)矩陣（或輸出矩陣）；前饋矩陣（或輸入輸出矩陣）；前饋矩陣（或輸入輸出矩陣）；( ),( )n pB t H kR( ),( )q nC t C kR( ),( )q pD tD kR( ),( )n nA t G kR第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 18線性系

16、統(tǒng)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述中，若系數(shù)矩陣的各元素都是常數(shù)，的狀態(tài)空間描述中，若系數(shù)矩陣的各元素都是常數(shù)，則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)則稱該系統(tǒng)為線性定常系統(tǒng)(線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)), 否則為否則為線性時(shí)變系統(tǒng)線性時(shí)變系統(tǒng).線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：( )( )( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為：(1)( )( )( )( )( )kGkHkkCkDkxxuyxu （簡(jiǎn)記為（簡(jiǎn)記為 ） ( ,)A B C D（簡(jiǎn)記為（簡(jiǎn)記為 ） ( ,)G H C D第1章 線性系

17、統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 19圖圖1-4 線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖圖1-5 線性離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖線性離散時(shí)間系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖注意：注意：1）每一個(gè)方塊的輸入輸出關(guān)系規(guī)定為：）每一個(gè)方塊的輸入輸出關(guān)系規(guī)定為：輸出向量輸出向量 = (方塊所示矩陣方塊所示矩陣)( (輸入向量輸入向量)2）向量、矩陣的乘法運(yùn)算中，）向量、矩陣的乘法運(yùn)算中，相乘順序不允許任意顛倒。相乘順序不允許任意顛倒。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 20 從以上兩個(gè)結(jié)構(gòu)圖中可以看出，從以上兩個(gè)結(jié)構(gòu)圖中可以看出，D描述了輸入描述了輸入u不經(jīng)狀態(tài)變量不經(jīng)狀態(tài)變量x對(duì)輸出對(duì)輸出y的直接影響，它不影響系統(tǒng)的直接影響，它不影響系統(tǒng)的

18、動(dòng)態(tài)過程，實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)外部模型的一部分。的動(dòng)態(tài)過程，實(shí)質(zhì)上是系統(tǒng)外部模型的一部分。 因此，當(dāng)利用狀態(tài)模型來分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為時(shí)，因此，當(dāng)利用狀態(tài)模型來分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為時(shí)，常假設(shè)常假設(shè)D0，并不失對(duì)問題討論的一性。，并不失對(duì)問題討論的一性。連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)：連續(xù)時(shí)變系統(tǒng)：( )( )( )( ) ( )( )( )( )tA ttB tttC ttxxuyx連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)：連續(xù)時(shí)不變系統(tǒng)：( )( )( )( )( )tAtBttCtxxuyx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 21輸入輸出描述僅揭輸入輸出描述僅揭示系統(tǒng)在初始松弛示系統(tǒng)在初始松弛假定下輸入輸出間假定下輸入輸出間的關(guān)系，不能揭示的關(guān)系，不能

19、揭示系統(tǒng)的內(nèi)部行為。系統(tǒng)的內(nèi)部行為。復(fù)雜的線性系統(tǒng)，復(fù)雜的線性系統(tǒng)，求狀態(tài)空間描述較求狀態(tài)空間描述較困難，可借助于直困難，可借助于直接量測(cè)求取輸入輸接量測(cè)求取輸入輸出描述。出描述。動(dòng)態(tài)方程能夠推動(dòng)態(tài)方程能夠推廣到時(shí)變情形，廣到時(shí)變情形，而傳遞函數(shù)向時(shí)而傳遞函數(shù)向時(shí)變情形的推廣是變情形的推廣是不成功的。不成功的。若采用動(dòng)態(tài)方程若采用動(dòng)態(tài)方程描述，較容易在描述，較容易在計(jì)算機(jī)上對(duì)系統(tǒng)計(jì)算機(jī)上對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真。進(jìn)行仿真。 輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較輸入輸出描述和狀態(tài)空間描述的比較 系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 221.2 線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立

20、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立 建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種： 1.根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式：屬于分析的途根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式：屬于分析的途徑，適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)為已知的系統(tǒng)。徑，適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)為已知的系統(tǒng)。 直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程，繼而選擇有關(guān)的直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程，繼而選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出其狀態(tài)空間表達(dá)式。 2.辨辨識(shí)的途徑，適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)難以搞清楚的系統(tǒng)。識(shí)的途徑，適用于結(jié)構(gòu)和參數(shù)難以搞清楚的系統(tǒng)。 通過實(shí)驗(yàn)手段取得數(shù)據(jù)并采用適當(dāng)?shù)?/p>

21、方法確定系統(tǒng)的輸入通過實(shí)驗(yàn)手段取得數(shù)據(jù)并采用適當(dāng)?shù)姆椒ù_定系統(tǒng)的輸入輸出模型，再由所得的系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)空間描輸出模型，再由所得的系統(tǒng)輸入輸出描述導(dǎo)出相應(yīng)的狀態(tài)空間描述。述。 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 23 根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述的基本步驟：根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間描述的基本步驟： 1）根據(jù)系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，建立系統(tǒng)的微）根據(jù)系統(tǒng)所遵循的物理規(guī)律，建立系統(tǒng)的微分方程或差分方程；分方程或差分方程； 2）選取有關(guān)物理量）選取有關(guān)物理量 (變量變量) 作為狀態(tài)變量，推導(dǎo)作為狀態(tài)變量，推導(dǎo)出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描

22、述 24例例1-1（P403例例9-1）：建立）：建立RCL網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)方程解：解：根據(jù)各元件的電流與電壓關(guān)系、回路電壓和等于根據(jù)各元件的電流與電壓關(guān)系、回路電壓和等于零，得到系統(tǒng)的方程：零，得到系統(tǒng)的方程：11iodiRiLidtudtCuidtC系統(tǒng)的輸入、輸出分別為系統(tǒng)的輸入、輸出分別為oiuyuu，第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 25a）選取狀態(tài)變量）選取狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)空，則狀態(tài)空間描述為：間描述為： 1201xixidtuC，/1/1/1/0001R LLLC xxuyxb）選取狀態(tài)變量）選取狀態(tài)變量 ，則狀態(tài)空間描述為：，則狀態(tài)空間描述為： tidxix21，/1/

23、()1/10001/R LCLLC xxuyx狀態(tài)變量選取方法不同，則狀態(tài)空間描述不同。狀態(tài)變量選取方法不同，則狀態(tài)空間描述不同。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 26 比較兩種狀態(tài)變量選取方法，很容易得到它們比較兩種狀態(tài)變量選取方法，很容易得到它們之間的變換矩陣：之間的變換矩陣：121xixidtC12xixidt 11221xxxxC11221010 xxxxC即即和和注意：注意：該例說明系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不是唯一的，該例說明系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述不是唯一的，各種描述之間可以相互轉(zhuǎn)換，且不改變系統(tǒng)的固各種描述之間可以相互轉(zhuǎn)換，且不改變系統(tǒng)的固有性質(zhì)。有性質(zhì)。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 27

24、狀態(tài)實(shí)現(xiàn)：由輸入狀態(tài)實(shí)現(xiàn)：由輸入-輸出描述建立狀態(tài)空間描述，輸出描述建立狀態(tài)空間描述，稱為狀態(tài)實(shí)現(xiàn)。稱為狀態(tài)實(shí)現(xiàn)。 一個(gè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)有多種形式。在線性系一個(gè)給定系統(tǒng)的狀態(tài)實(shí)現(xiàn)有多種形式。在線性系統(tǒng)理論中，要討論某種性質(zhì)時(shí)，為敘述方便，常采統(tǒng)理論中，要討論某種性質(zhì)時(shí)，為敘述方便，常采用特定的標(biāo)準(zhǔn)形式。用特定的標(biāo)準(zhǔn)形式?？煽貥?biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)對(duì)角型實(shí)現(xiàn)對(duì)角型實(shí)現(xiàn)約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)約當(dāng)規(guī)范型實(shí)現(xiàn)第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 281 1 問題的提法問題的提法 考慮一個(gè)單變量線性定常系統(tǒng)，其輸入輸出描述微分方程考慮一個(gè)單變量線性定常系統(tǒng)，其輸入輸出描述微分方程如

25、下：如下： ubububyyyy01)(1)m(m0) 1 (1) 1n(1n)n(nm,dtudu,dtydyii) i (ii) i ( 狀態(tài)實(shí)現(xiàn)問題將歸結(jié)為狀態(tài)實(shí)現(xiàn)問題將歸結(jié)為選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組和選取適當(dāng)?shù)臓顟B(tài)變量組和確定各個(gè)系數(shù)矩陣。確定各個(gè)系數(shù)矩陣。1212101110( )( )( )nnnnnnnsssY sG sU ssasa sa其中：其中：或：或：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 292. 可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（）設(shè)設(shè) 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s則矩陣形式的則矩陣形式的可控標(biāo)準(zhǔn)型

26、實(shí)現(xiàn)可控標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為為Auy xx+bcx式中：式中：01101210100000100,000101nnAaaaa b =c =友矩陣友矩陣第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 30 總結(jié)：總結(jié)：系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A的上方次對(duì)角線的元素全為的上方次對(duì)角線的元素全為1，最后一行是最后一行是G(s)的特征多項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)的逆序的特征多項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)的逆序排列，其余元素全為零，上述形式的排列，其余元素全為零，上述形式的A陣稱為陣稱為友矩友矩陣陣； 控制矩陣（向量）控制矩陣（向量）b是最后一個(gè)元素為是最后一個(gè)元素為1，其余，其余元素均為零的列向量；輸出矩陣（向量）元素均為零的列向量；輸出矩陣（向量）c是

27、是G(s)分分子多項(xiàng)式系數(shù)的逆序排列。若動(dòng)態(tài)方程中的子多項(xiàng)式系數(shù)的逆序排列。若動(dòng)態(tài)方程中的A，b具具有這種形式，則為有這種形式，則為可控標(biāo)準(zhǔn)型?？煽貥?biāo)準(zhǔn)型。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 313 可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)（）Auy xxbcx1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU ssasa saD s則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為則矩陣形式的狀態(tài)方程和輸出方程為式中：式中：00112211000100010;0001001nnnaaAaabc友矩陣友矩陣第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 32 總結(jié)：總結(jié)：系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A的下方次對(duì)

28、角線的元素均為的下方次對(duì)角線的元素均為1，最后一列是最后一列是G(s)的特征多項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)的逆序的特征多項(xiàng)式系數(shù)的相反數(shù)的逆序排列，其余元算全為零，上述形式的排列，其余元算全為零，上述形式的A陣稱為陣稱為友矩友矩陣陣； 輸出矩陣（向量）輸出矩陣（向量）c是最后一個(gè)元素為是最后一個(gè)元素為1，其余，其余元素均為零的行向量；控制矩陣（向量）元素均為零的行向量；控制矩陣（向量）b是是G(s)分分子多項(xiàng)式系數(shù)的逆序排列。若動(dòng)態(tài)方程中的子多項(xiàng)式系數(shù)的逆序排列。若動(dòng)態(tài)方程中的A，c具具有這種形式，則為有這種形式，則為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 33例例1-2（P411例例9

29、-5）（）（）：已知二階系統(tǒng)的微分方程）：已知二階系統(tǒng)的微分方程22yyyT uu試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間試求系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式表達(dá)式.解：解：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)傳遞函數(shù)為22( )1( )( )2Y sT sG sU sss可控標(biāo)準(zhǔn)型：可控標(biāo)準(zhǔn)型：1112222010121ccccccxxxuyTxxx ；2111222100112ooooooxxxuyxxxT ；可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 344 對(duì)角型實(shí)現(xiàn)對(duì)角型實(shí)現(xiàn) 當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)當(dāng)系統(tǒng)傳遞函數(shù)只含單實(shí)極點(diǎn)只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)，還可作對(duì)角時(shí)，還可作對(duì)角型實(shí)現(xiàn)，該實(shí)現(xiàn)形式型實(shí)現(xiàn)，該實(shí)現(xiàn)形式系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A是一個(gè)對(duì)角

30、陣。是一個(gè)對(duì)角陣。 1212101110( )( )( )( )( )nnnnnnnsssY sN sG sU sD ssasa sa分母多項(xiàng)式分母多項(xiàng)式D(s)有有n個(gè)單實(shí)極點(diǎn)個(gè)單實(shí)極點(diǎn) ，對(duì)傳遞，對(duì)傳遞函數(shù)作部分分式展開則有函數(shù)作部分分式展開則有 ：1( )( )( )( )( )niiicY sN sG sU sD ss其中：其中： 為為G(s)在極點(diǎn)在極點(diǎn) 處的留數(shù)。處的留數(shù)。( )()( )iiisN scsD s12,n i第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 35111122221211,1nnnnnxxxxxxuycccxxx 對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為：對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為： 或或1111122222,

31、1 11nnnnnxxcxxxcxuyxxcx對(duì)偶關(guān)系對(duì)偶關(guān)系 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 36例例1-3：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為232( )3.573( )( )3.53.51N sssG sD ssss請(qǐng)寫出系統(tǒng)的對(duì)角型實(shí)現(xiàn)。請(qǐng)寫出系統(tǒng)的對(duì)角型實(shí)現(xiàn)。解：解：1）求系統(tǒng)極點(diǎn)：）求系統(tǒng)極點(diǎn)： 32( )3.53.51(1)(2)(0.5)0D sssssss 故系統(tǒng)有三個(gè)單實(shí)極點(diǎn)，即故系統(tǒng)有三個(gè)單實(shí)極點(diǎn)，即 1231,2,0.5 2）對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行部分分式展開為）對(duì)傳遞函數(shù)進(jìn)行部分分式展開為( )120.5( )( )120.5N sG sD ssss即：即：1231,

32、2,0.5ccc第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 373）對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為：）對(duì)角型實(shí)現(xiàn)為：10010201120.5000.51uy ；xxx100102021 1 1000.50.5uy；xxx或或第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 385 約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn) 當(dāng)傳遞函數(shù)除含有單實(shí)極點(diǎn)以外，還當(dāng)傳遞函數(shù)除含有單實(shí)極點(diǎn)以外，還含有含有重極點(diǎn)時(shí)，不能作對(duì)角型實(shí)現(xiàn)，但總可以作成重極點(diǎn)時(shí)，不能作對(duì)角型實(shí)現(xiàn)，但總可以作成分塊對(duì)角形實(shí)現(xiàn)，稱之為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，其分塊對(duì)角形實(shí)現(xiàn)，稱之為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，其系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A是一個(gè)含有約當(dāng)塊的矩陣。是一個(gè)含有約當(dāng)塊的矩陣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 39

33、322( )110111( )(3)(3)3(2)21N sD sssssss即：即：111213414261,1,0,1,1,1cccccc 例例1-4：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)傳遞函數(shù)為求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。求約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)。32( )211( )( )(3)(2)1N sssG sD ssss解：解：系統(tǒng)極點(diǎn)為：系統(tǒng)極點(diǎn)為：3重極點(diǎn)重極點(diǎn)1= 3，2重極點(diǎn)重極點(diǎn)4 = - 2， 單極點(diǎn)單極點(diǎn)6 = 1。部分分式改寫為：部分分式改寫為：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 401111121213134141424266310000003100000030001000210000002010000011

34、xxxxxxuxxxxxx 111213414261 10111xxxyxxx約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為：約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)為：第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 41或或1111121213134141424266300000113000010130000000200100012010000011xxxxxxuxxxxxx 11121341426001011xxxyxxx第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 42總結(jié)：總結(jié)：1）對(duì)角型實(shí)現(xiàn)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，需要計(jì)算）對(duì)角型實(shí)現(xiàn)和約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，需要計(jì)算系統(tǒng)的極點(diǎn)系統(tǒng)的極點(diǎn)(特征值特征值)和特征向量，很不方便。和特征向量，很不方便。2）在線性系統(tǒng)理論中，許多定理或性質(zhì)

35、的證）在線性系統(tǒng)理論中，許多定理或性質(zhì)的證明過程中，使用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是很方便的。明過程中，使用約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型是很方便的。3）在作狀態(tài)實(shí)現(xiàn)時(shí)選用可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)）在作狀態(tài)實(shí)現(xiàn)時(shí)選用可控標(biāo)準(zhǔn)型或可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型最為方便。如需要其它標(biāo)準(zhǔn)型式，可通標(biāo)準(zhǔn)型最為方便。如需要其它標(biāo)準(zhǔn)型式，可通過非奇異變換來獲取。過非奇異變換來獲取。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 43 由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式的整個(gè)思由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式的整個(gè)思路與由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式的思路是路與由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式的思路是類似的，所以這里不再詳細(xì)介紹，請(qǐng)參看教材類似的，所以這里不再詳細(xì)介紹，請(qǐng)參看教材P

36、405-407。 另外，當(dāng)給定系統(tǒng)微分方程時(shí)，可先求出其傳另外，當(dāng)給定系統(tǒng)微分方程時(shí)，可先求出其傳遞函數(shù)，然后按照前面推導(dǎo)的公式直接寫出其可控遞函數(shù)，然后按照前面推導(dǎo)的公式直接寫出其可控標(biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，例如我們?cè)跇?biāo)準(zhǔn)型和可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型實(shí)現(xiàn)，例如我們?cè)诶?-2種所種所做的那樣。做的那樣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 44方法一：方法一：（1 1）m=0m=0（微分方程右邊不含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程右邊不含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）ubyyyy00) 1 (1) 1n(1n)n(選取系統(tǒng)的選取系統(tǒng)的n n個(gè)狀態(tài)變量為個(gè)狀態(tài)變量為) 1n(1nn)2(23121yxxyxxyxxyx第1章 線

37、性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 451021n1n00) 1 (1) 1n(1n0)n(nxxx-ubyyy-ubyx寫成向量方程的形式：寫成向量方程的形式：ub00 xxx10010 xxxx0n1n11n10n1n1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 46（2 2）m=nm=n（微分方程右邊含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)微分方程右邊含輸入變量的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)）ubububyyyy01)(1)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(按如下方法選取狀態(tài)變量組：按如下方法選取狀態(tài)變量組：uuuuyxuuuyxuu-yxu-yx1n) 1 (2n)2n(1) 1n(0) 1n(n2) 1 (1)2(0)2(31) 1 (0201第

38、1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 47經(jīng)推導(dǎo)可得：經(jīng)推導(dǎo)可得：uxxxxuxxuxuu-yxuxu-yxn1021n1nn1nn1 -n23(1)1)2(0(2)212(1)0(1)1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 48可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：uxxx001uxyuxxx10010 xxxx0n1n101n1 -n1n1n11n10n1n1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 49方法二（中間變量法）方法二（中間變量法）ubububyyyy01)(1)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(令系統(tǒng)的輸入輸出描述微分方程如下：令系統(tǒng)的輸入輸出描述微分方程如下：

39、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為： 011n1nn01nnsssbsbsb) s ( u) s ( y) s ( g第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 50引入中間變量引入中間變量z(tz(t),),則上式表示為：則上式表示為： 01nn011n1nnbsbsb) s ( z) s ( ysss1) s (u) s ( z對(duì)上面兩式求拉氏反變換：對(duì)上面兩式求拉氏反變換： ) t ( zb) t (zb) t (zb) t (zb) t ( y) t ( uz(t) t (z) t (z) t (z0) 1 (1) 1n(1n)n(n0) 1 (1) 1n(1n)n(第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

40、 51按方法一的方法選取狀態(tài)變量：按方法一的方法選取狀態(tài)變量： uxxx) t (zxzxxzxxzxxzx1021n1n)n(n) 1n(1nn)2(23121第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 52可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：可得到系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程為：u100 xxx10010 xxxxn1n11n10n1n1xbbxbubxbbbuxxby1n01n0nn1n10n1n10n第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 531.3 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣 (P421)初始條件為零時(shí)，初始條件為零時(shí)，輸出向量的拉氏變換式輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的與輸入向量的

41、拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系傳遞關(guān)系稱為傳遞稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱傳遞矩陣。函數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱傳遞矩陣。設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為設(shè)線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：( )( )( )( )( )( )tAtBttCtDtxxuyxu在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為：在初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣表達(dá)式為：1( )()G sC sABDI（） 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 54證明：證明：在初始條件為零的條件下，作拉普拉斯變換有：在初始條件為零的條件下，作拉普拉斯變換有：( )( )( )( )( )( )ssAsBssCsDsXXUYXU(sI-A)非奇異非奇異1( )(

42、)( )ssIABsXU11( )()( )( )()( )( )( )sC sIABsDsC sIABDsG ssYUUUU1( )()G sC sABDI第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 55三點(diǎn)說明：三點(diǎn)說明：1）若輸入）若輸入u為為p維向量，輸出維向量，輸出y為為q維向量，則維向量，則G(s)為為(qp)矩陣。矩陣。Y(s)=G(s)U(s)的展開式為：的展開式為：1111211221222212( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )ppqqqqppY sGsGsGsU sY sGsGsGsUsY sGsGsGsUs 式中：式中：Gij

43、(s)表示第表示第i個(gè)輸出量與第個(gè)輸出量與第j個(gè)輸入量之間的傳函。個(gè)輸入量之間的傳函。2）幾個(gè)概念：幾個(gè)概念： 系統(tǒng)的特征矩陣：系統(tǒng)的特征矩陣：(sI- -A) 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 56系統(tǒng)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式：的特征多項(xiàng)式：det(sI-A) , n維系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為維系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為:1110( )det()nnnssAsssI系統(tǒng)的特征方程：系統(tǒng)的特征方程：( )0s 系統(tǒng)的特征根（或特征值）：特征方程系統(tǒng)的特征根（或特征值）：特征方程 的根。的根。( )0s3）前饋矩陣）前饋矩陣D不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在分析系統(tǒng)動(dòng)不影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，在分析系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能時(shí)，通常認(rèn)為態(tài)性能時(shí)

44、，通常認(rèn)為D =0，即：，即：BAsCsG1)()(當(dāng)當(dāng)D0D0時(shí)，時(shí)，G(s)G(s)為真有理分式陣；為真有理分式陣；當(dāng)當(dāng)D=0D=0時(shí)，時(shí)，G(sG(s) )為嚴(yán)格真有理分式陣。為嚴(yán)格真有理分式陣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 57例例1-5（P422例例9-10） （） ：已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為：已知系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為1111122222011010;020101xxuyxxxuyx解：解：試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。試求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。011010,0020101ABCD11201)I(ssAs1121(2)101(2)0(2)sss sss ss第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 581( )

45、()G sC sABI11111010(2)(2)01101100(2)(2)ss sss sss傳遞函數(shù)矩陣為：傳遞函數(shù)矩陣為： 第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 59結(jié)論：結(jié)論：給定狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣給定狀態(tài)空間描述的系數(shù)矩陣A, B, C, D，求出特征多項(xiàng)式求出特征多項(xiàng)式1110( ) det()nnnssAsssI和和1212311212011nnnnnnnnnECBECABCBECABCABCBECABCABCB則相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣就可按下式來定出：則相應(yīng)的傳遞函數(shù)矩陣就可按下式來定出：1212101( )( )nnnnG sEsEsE sEDs特別適用于特別適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算機(jī)計(jì)

46、算計(jì)算第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 60例例1-6：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為：2 0 01 20 2 01 0;1 1 20 3 13 1xxuyx求傳遞函數(shù)矩陣求傳遞函數(shù)矩陣G(s)。解：解：1) 先定出系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：先定出系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式為：232( )det()(2) (1)584ssIAsssss2) 再計(jì)算系數(shù)矩陣：再計(jì)算系數(shù)矩陣：21 21 1 2 1 08 43 1ECB第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 61 122 0 0121 1 20 2 01 0402024140 3 13 1ECABCB 20212 0 02 411 20 2 02 08

47、03064 3216 120 3 16 1ECA BCABCB 3) 傳遞函數(shù)矩陣為傳遞函數(shù)矩陣為:222210323218241641412( )( )584584ssssG sE sE sEsssssss第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 62萊弗勒算法：萊弗勒算法：給定給定nn階常陣階常陣A，其特征多項(xiàng)式為：，其特征多項(xiàng)式為：1110( )det()nnnssAsssI其系數(shù)其系數(shù)可按如下順序遞推定出：可按如下順序遞推定出：11122112332231122100110(),1(),2(),3(),1(),nnnnnnnnnnnnntr RARItr RARRAItr RARRAItr R

48、ARR AIntr R ARR AIn 其中：其中：tr表示矩陣的主對(duì)角線上元素之和，稱為矩陣的跡。表示矩陣的主對(duì)角線上元素之和，稱為矩陣的跡。 I為為n階單位陣。階單位陣。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 63一一 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換1 1 基底基底 設(shè)在線性空間中有一組設(shè)在線性空間中有一組線性無關(guān)線性無關(guān)向量，若該空向量，若該空間中的每一個(gè)向量均可唯一地由該組向量的線性組合間中的每一個(gè)向量均可唯一地由該組向量的線性組合表示，則稱該組向量是該線性空間中的一個(gè)基底。表示，則稱該組向量是該線性空間中的一個(gè)基底。 在在n n維向量空間中，維向量空間中，任何任何n n個(gè)線性無關(guān)向量均可作為個(gè)線性無關(guān)向量

49、均可作為基底?；?。1.4 線性系統(tǒng)等價(jià)的狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價(jià)的狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 642 2 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 將系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個(gè)基底上的表征，將系統(tǒng)在狀態(tài)空間的一個(gè)基底上的表征，化為另一個(gè)基底上的表征?；癁榱硪粋€(gè)基底上的表征。 坐標(biāo)變換是一種非奇異變換。坐標(biāo)變換是一種非奇異變換。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 65二二 線性系統(tǒng)等價(jià)狀態(tài)空間描述線性系統(tǒng)等價(jià)狀態(tài)空間描述 DuCxyBuAxx對(duì)對(duì)x x進(jìn)行非奇異變換進(jìn)行非奇異變換 ，則有，則有Pxx uDxCyuBxAx式中：式中：DD,CPC,PBB,PAPA-1-1第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 66 D(

50、t)uC(t)xyB(t)uA(t)xx對(duì)對(duì)x x進(jìn)行非奇異變換進(jìn)行非奇異變換 ，則有，則有P(t)xx (t)uDx(t)Cy(t)uBx(t)Ax式中：式中：D(t)(t)D,(t)C(t)P(t)C,P(t)B(t)(t)B(t)P(t)A(t)P(t)PP(t)(t)A1 -1代數(shù)等價(jià)狀態(tài)空間描述代數(shù)等價(jià)狀態(tài)空間描述第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 67三三 代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)的主要性質(zhì)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)的主要性質(zhì)u 對(duì)于兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng)對(duì)于兩個(gè)代數(shù)等價(jià)系統(tǒng) u 對(duì)于線性定常系統(tǒng)，兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的狀態(tài)空對(duì)于線性定常系統(tǒng)，兩個(gè)代數(shù)等價(jià)的狀態(tài)空 間描述，可以化為相同的對(duì)角線規(guī)范形或約間描述，可以化為相同的

51、對(duì)角線規(guī)范形或約 當(dāng)規(guī)范形。當(dāng)規(guī)范形。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 68 對(duì)角規(guī)范形對(duì)角規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A具具 有對(duì)角形的形有對(duì)角形的形式。式。 約當(dāng)規(guī)范形約當(dāng)規(guī)范形狀態(tài)方程中的狀態(tài)方程中的系統(tǒng)矩陣系統(tǒng)矩陣A A具具 有分塊對(duì)角形有分塊對(duì)角形的形式。的形式。四四 狀態(tài)方程的對(duì)角規(guī)范形和約當(dāng)規(guī)范形狀態(tài)方程的對(duì)角規(guī)范形和約當(dāng)規(guī)范形第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 69u當(dāng)當(dāng)A A的的n n個(gè)特征值個(gè)特征值 兩兩互異時(shí)兩兩互異時(shí)u或當(dāng)系統(tǒng)矩陣或當(dāng)系統(tǒng)矩陣A A的的n n個(gè)特征向量個(gè)特征向量 線性無關(guān)線性無關(guān) 此時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可以通過線性非奇異變換，此時(shí)，系統(tǒng)的狀

52、態(tài)方程可以通過線性非奇異變換，變換為對(duì)角線規(guī)范形形式。變換為對(duì)角線規(guī)范形形式。n21,n21,化對(duì)角規(guī)化對(duì)角規(guī)范形的條件范形的條件1 1 化對(duì)角規(guī)范形的條件化對(duì)角規(guī)范形的條件第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 702 2 化對(duì)角線規(guī)范形的方法化對(duì)角線規(guī)范形的方法（1 1） 當(dāng)當(dāng)A A矩陣為一般形式時(shí)矩陣為一般形式時(shí) 結(jié)論：設(shè)系統(tǒng)滿足化為對(duì)角規(guī)范形的條件，那么結(jié)論：設(shè)系統(tǒng)滿足化為對(duì)角規(guī)范形的條件，那么系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換系統(tǒng)的狀態(tài)方程在變換 下必可化為如下下必可化為如下的對(duì)角線規(guī)范形：的對(duì)角線規(guī)范形：xQPxx-112nxxBuBPB其中：其中：q,q,qPQn21-1 (1) Q矩陣由矩陣由A的的

53、n個(gè)線個(gè)線性無關(guān)的特征向量構(gòu)成性無關(guān)的特征向量構(gòu)成的。的。 (2)在對(duì)角規(guī)范形下，在對(duì)角規(guī)范形下，各個(gè)狀態(tài)變量間實(shí)現(xiàn)了各個(gè)狀態(tài)變量間實(shí)現(xiàn)了完全解耦。完全解耦。第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 71（2 2） 當(dāng)當(dāng)A A為友矩陣時(shí)為友矩陣時(shí) 即即0121010000100001nAaaaa 當(dāng)當(dāng)A A的特征值的特征值 兩兩互異時(shí)，則下兩兩互異時(shí)，則下列的范德蒙特（列的范德蒙特（VandermodeVandermode）矩陣）矩陣P P可使可使A A對(duì)角化：對(duì)角化：121222212111111211111nnnnnnnnnnPn21,范德蒙特矩陣范德蒙特矩陣第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 72p

54、組合系統(tǒng)：組合系統(tǒng)：由兩個(gè)或兩個(gè)以上的子系統(tǒng)按一由兩個(gè)或兩個(gè)以上的子系統(tǒng)按一定方式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。定方式相互聯(lián)接而構(gòu)成的系統(tǒng)稱為組合系統(tǒng)。p 基本的互聯(lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋?；镜幕ヂ?lián)方式有三種：并聯(lián)、串聯(lián)和反饋。 兩個(gè)線性時(shí)不變子系統(tǒng)兩個(gè)線性時(shí)不變子系統(tǒng)S1和和S2的狀態(tài)空間描的狀態(tài)空間描述分別為：述分別為： 11111111111ABSCD：xxuyxu22222222222ABSCD：xxuyxu第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 73圖圖1-11 并聯(lián)組合系統(tǒng)并聯(lián)組合系統(tǒng)12dim()dim()uu12dim()dim()yy1212uuuyyy第1章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 74對(duì)并聯(lián)組合系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：對(duì)并聯(lián)組合系統(tǒng)，其狀態(tài)空間描述為：1111222212112212ABABCCDDxxuxxuyyyxxuu即：即：1111222211212200ABABCCDDxxuxxxyux第1章 線性系統(tǒng)的