第三章 數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計

1、大連理工大學(xué)出版社DSP原理與實訓(xùn)指導(dǎo)原理與實訓(xùn)指導(dǎo)新世紀(jì)高職高專教材編審委員會組編新世紀(jì)高職高專教材編審委員會組編主編喻宗泉主編喻宗泉大連理工大學(xué)出版社第三章第三章 數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.1數(shù)字數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理信號在系統(tǒng)中的處理3.2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.4自適應(yīng)濾波器自適應(yīng)濾波器3.5數(shù)字濾波器的數(shù)字濾波器的MATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 信號處理信號處理就是對信號（觀測數(shù)據(jù)）進行所需要的變換，就是對信號（

2、觀測數(shù)據(jù)）進行所需要的變換，或按照預(yù)定的規(guī)則進行簡單或復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，使之便于或按照預(yù)定的規(guī)則進行簡單或復(fù)雜的數(shù)學(xué)運算，使之便于分析、識別和加以利用。信號處理一般包括：變換、濾波、分析、識別和加以利用。信號處理一般包括：變換、濾波、檢測、頻譜分析、調(diào)制解調(diào)和編碼解碼等。檢測、頻譜分析、調(diào)制解調(diào)和編碼解碼等。 信號處理按信號的標(biāo)識和處理形式分為信號處理按信號的標(biāo)識和處理形式分為“模擬信號處理模擬信號處理”和和“數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理”。 模擬信號處理模擬信號處理采用模擬設(shè)備對模擬信號進行處理。模擬采用模擬設(shè)備對模擬信號進行處理。模擬信號處理的優(yōu)點是它具有實時性和簡易性，但由于模擬系統(tǒng)信號處理的

3、優(yōu)點是它具有實時性和簡易性，但由于模擬系統(tǒng)的局限性，不能進行復(fù)雜的信號處理任務(wù)。的局限性，不能進行復(fù)雜的信號處理任務(wù)。 數(shù)字信號處理數(shù)字信號處理是利用專用或通用數(shù)字系統(tǒng)（包括計算是利用專用或通用數(shù)字系統(tǒng)（包括計算機）以二進制計算的方式對數(shù)字信號進行處理。數(shù)字信號機）以二進制計算的方式對數(shù)字信號進行處理。數(shù)字信號處理系統(tǒng)具有很多優(yōu)點，可以完成復(fù)雜的處理任務(wù)。處理系統(tǒng)具有很多優(yōu)點，可以完成復(fù)雜的處理任務(wù)。大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理用數(shù)字方法處理模擬信號的過程用數(shù)字方法處理模擬信號的過程 Ha(s)稱作前置模擬低通濾波器，它的作用是對模擬信號稱作前置

4、模擬低通濾波器，它的作用是對模擬信號 進行預(yù)處理，改善信號的帶限性能，有利于后續(xù)的采樣，進行預(yù)處理，改善信號的帶限性能，有利于后續(xù)的采樣，具有抗混疊作用；具有抗混疊作用；)(txa 采樣的作用是對濾波后的模擬信號采樣的作用是對濾波后的模擬信號x(t)進行自變量進行自變量t的離的離散化，散化，T為均勻采樣間隔；為均勻采樣間隔； ADC是模數(shù)轉(zhuǎn)換器，是對采樣后的信號進行幅度二進制是模數(shù)轉(zhuǎn)換器，是對采樣后的信號進行幅度二進制量化，使信號變成離散的二進制數(shù)據(jù)量化，使信號變成離散的二進制數(shù)據(jù)x(n)；大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 H(z)表示一個表示一個D

5、SP系統(tǒng)，它包含具體的數(shù)字信號處理算系統(tǒng)，它包含具體的數(shù)字信號處理算法，完成對法，完成對x(n)的處理；的處理； DAC是數(shù)模轉(zhuǎn)換器，它把處理后的數(shù)字信號是數(shù)模轉(zhuǎn)換器，它把處理后的數(shù)字信號y(n) 轉(zhuǎn)換成轉(zhuǎn)換成模擬信號模擬信號y(t)，若系統(tǒng)不要求輸出是模擬信號，這一環(huán)節(jié)可，若系統(tǒng)不要求輸出是模擬信號，這一環(huán)節(jié)可以省去；以省去； Hr(s)表示一個模擬低通濾波器，它的作用是平滑表示一個模擬低通濾波器，它的作用是平滑DAC的的輸出，濾除輸出，濾除DAC引起的高頻噪聲。引起的高頻噪聲。 在這個典型的處理系統(tǒng)中，在這個典型的處理系統(tǒng)中，H(z)是核心環(huán)節(jié)，數(shù)字信號是核心環(huán)節(jié)，數(shù)字信號處理研究的主要任

6、務(wù)是在理論上建立一套描述處理研究的主要任務(wù)是在理論上建立一套描述x(n)，y(n)，H(z)特性的方法和算法，并研究在工程上如何實現(xiàn)這一系統(tǒng)。特性的方法和算法，并研究在工程上如何實現(xiàn)這一系統(tǒng)。大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 ( Digital filter, DF )是指輸入輸出都是數(shù)字信是指輸入輸出都是數(shù)字信號的濾波器，它的功能是將輸入的數(shù)字信號通過一定的運算號的濾波器，它的功能是將輸入的數(shù)字信號通過一定的運算關(guān)系變?yōu)樗枰妮敵鰯?shù)字信號。描述輸入關(guān)系變?yōu)樗枰妮敵鰯?shù)字信號。描述輸入x(n)和輸出和輸出y(n)的的關(guān)系有以

7、下關(guān)系有以下4 4種方法：種方法： NkMkkkknxbknyanxTny10 差分方程：差分方程： 時域卷積：時域卷積： nhnxny*其中其中h(n)是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 zHzXZzYZny11 復(fù)頻域的復(fù)頻域的z變換變換其中其中H(z)是系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，且是系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，且 NkkkMkkkzazbzXzYzH101 頻域的離散傅立葉變換：頻域的離散傅立葉變換： kHkXIDEFkYIDEFny其中其中H(k)是系統(tǒng)的頻域采樣函數(shù)。是系統(tǒng)的頻域采樣函數(shù)。大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1

8、數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 用框圖或信號流程圖可以表示基本運算單元和數(shù)字濾波器用框圖或信號流程圖可以表示基本運算單元和數(shù)字濾波器的運算結(jié)構(gòu)。如圖的運算結(jié)構(gòu)。如圖3-2所示，用方框圖表示明顯直觀，用流程所示，用方框圖表示明顯直觀，用流程圖表示則更加簡單方便。以二階數(shù)字濾波器圖表示則更加簡單方便。以二階數(shù)字濾波器 nxbnyanyany02121為例，其方框圖如圖為例，其方框圖如圖3-3所示。所示。圖圖3-2 基本運算的方框圖表示和流圖表示基本運算的方框圖表示和流圖表示圖圖3-3 二階數(shù)字濾波器的方框圖二階數(shù)字濾波器的方框圖大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)

9、字信號在系統(tǒng)中的處理 線性信號流圖本質(zhì)上與方框圖表示法等效，只是符號上的線性信號流圖本質(zhì)上與方框圖表示法等效，只是符號上的差異。圖差異。圖3-3-3 3的二階數(shù)字濾波器的等效信號圖結(jié)構(gòu)如圖的二階數(shù)字濾波器的等效信號圖結(jié)構(gòu)如圖3-43-4所示。所示。圖圖3-4 圖圖3-3的二階數(shù)字濾波器的信號流圖結(jié)構(gòu)的二階數(shù)字濾波器的信號流圖結(jié)構(gòu) 圖中圖中1，2，3，4，5稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，稱為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點，x(n)處為輸入節(jié)點或處為輸入節(jié)點或源節(jié)點，表示注入流圖的外部輸入或信號源，源節(jié)點，表示注入流圖的外部輸入或信號源，y(n)處為輸出節(jié)處為輸出節(jié)點或稱阱節(jié)點。節(jié)點之間用有向支路相連接，每個節(jié)點可以有點或稱阱節(jié)點。節(jié)

10、點之間用有向支路相連接，每個節(jié)點可以有幾條輸入支路和幾條輸出支路，任一節(jié)點的節(jié)點值等于它的所幾條輸入支路和幾條輸出支路，任一節(jié)點的節(jié)點值等于它的所有輸入支路的信號之和。有輸入支路的信號之和。大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 輸入支路的信號值等于這一支路起點處節(jié)點信號值乘以支輸入支路的信號值等于這一支路起點處節(jié)點信號值乘以支路上的傳輸系數(shù)。如果支路上不標(biāo)傳輸系數(shù)值，則認為其傳輸路上的傳輸系數(shù)。如果支路上不標(biāo)傳輸系數(shù)值，則認為其傳輸 系數(shù)為系數(shù)為1 1，而延遲支路則用延遲算子，而延遲支路則用延遲算子z-1表示，它表示單位延時。表示，它表示單位延時。由此可

11、得到圖由此可得到圖3-43-4的各節(jié)點值為的各節(jié)點值為 nynw2 1) 1(23nynwnw 2) 1(34nynwnw 21)()(2142315nyanyanwanwanw 21210501nyanyanxbnwnxbnw大連理工大學(xué)出版社3 3.1.1數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理數(shù)字信號在系統(tǒng)中的處理 源節(jié)點沒有輸入支路，阱節(jié)點沒有輸出支路。如果某節(jié)點源節(jié)點沒有輸入支路，阱節(jié)點沒有輸出支路。如果某節(jié)點有一個輸入、一個或多個輸出，則此節(jié)點相當(dāng)于分支節(jié)點；如有一個輸入、一個或多個輸出，則此節(jié)點相當(dāng)于分支節(jié)點；如果某節(jié)點有兩個或兩個以上的輸入，則此節(jié)點相當(dāng)于相加器。果某節(jié)點有兩個或兩個以上的輸入，

12、則此節(jié)點相當(dāng)于相加器。因而節(jié)點因而節(jié)點2 2，3 3，4 4相當(dāng)于兩個分支點，節(jié)點相當(dāng)于兩個分支點，節(jié)點1 1，5 5相當(dāng)于相加器。相當(dāng)于相加器。由此可知，對分支節(jié)點由此可知，對分支節(jié)點2 2有有 )()(12nwnwny從而得出從而得出 21210nyanyanxbny 這樣我們就能清楚地看出運算步驟和運算結(jié)構(gòu)。不同的這樣我們就能清楚地看出運算步驟和運算結(jié)構(gòu)。不同的運算結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)是不同的，前者影響復(fù)運算結(jié)構(gòu)所需的存儲單元及乘法次數(shù)是不同的，前者影響復(fù)雜性，后者影響運算速度。此外，在有限精度（有限字長）雜性，后者影響運算速度。此外，在有限精度（有限字長）情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的

13、誤差、穩(wěn)定性是不同的。情況下，不同運算結(jié)構(gòu)的誤差、穩(wěn)定性是不同的。大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計 利用模擬濾波器來設(shè)計利用模擬濾波器來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器是最常見的方法。數(shù)字濾波器是最常見的方法。3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 模擬濾波器設(shè)計中的主要設(shè)計指標(biāo)是通帶截止頻率模擬濾波器設(shè)計中的主要設(shè)計指標(biāo)是通帶截止頻率 、阻帶截止頻率阻帶截止頻率 、3dB3dB截止頻率截止頻率 、通帶最大衰減、通帶最大衰減 等。等。需要由這些指標(biāo)求出低通模擬濾波器的系數(shù)函數(shù)需要由這些指標(biāo)求出低通模擬濾波器的系數(shù)函數(shù)H(s)，使，使H(s)

14、的幅度平方函數(shù)滿足給定指標(biāo)。的幅度平方函數(shù)滿足給定指標(biāo)。 在設(shè)計模擬濾波器時在設(shè)計模擬濾波器時, ,往往選擇一些經(jīng)典模擬濾波器形往往選擇一些經(jīng)典模擬濾波器形式，常見的有巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波、貝塞爾濾波式，常見的有巴特沃茲濾波器、切比雪夫濾波、貝塞爾濾波器、橢圓函數(shù)濾波器等。器、橢圓函數(shù)濾波器等。pscp大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器1巴特沃茲低通濾波器的幅度平方函數(shù)巴特沃茲低通濾波器的幅度平方函數(shù) 的定義如下：的定義如下：2jHNcjH2211式中，式

15、中，N為巴特沃茲濾波器的階數(shù)，為巴特沃茲濾波器的階數(shù)， 為為3dB截至頻率。截至頻率。c大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計巴特沃茲低通濾波器的幅度特性如圖巴特沃茲低通濾波器的幅度特性如圖3-5所示所示圖圖3-5 巴特沃茲低通濾波器的幅度特性巴特沃茲低通濾波器的幅度特性3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器1大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器1 從圖可以看出，巴特沃茲低通濾

16、波器的幅度特性與階數(shù)從圖可以看出，巴特沃茲低通濾波器的幅度特性與階數(shù)N N的關(guān)系。階數(shù)越大，通帶內(nèi)幅度響應(yīng)越平坦，阻帶內(nèi)衰減越大，的關(guān)系。階數(shù)越大，通帶內(nèi)幅度響應(yīng)越平坦，阻帶內(nèi)衰減越大，過渡帶帶寬越窄，濾波器越接近理想低通濾波器的幅頻特性。過渡帶帶寬越窄，濾波器越接近理想低通濾波器的幅頻特性。所以，只要確定了階數(shù)所以，只要確定了階數(shù)N N，則濾波器的幅頻特性就確定了。，則濾波器的幅頻特性就確定了。大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器1當(dāng)當(dāng) 時，則時，則ppNcppj

17、H1 . 02210113-16濾波器的衰減函數(shù)為：濾波器的衰減函數(shù)為： NcjHjYjpp22221lg101lg10X10lglg10出入3-15大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器1由式由式3-15和和3-16可分別推出可分別推出1101 . 02pNcp3-171101 . 02sNcs3-18大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器

18、1用式用式3-17和式和式3-18相除可得相除可得1101101 . 01 . 02spNsp3-19由式由式3-19可求出階數(shù)的公式為可求出階數(shù)的公式為spspNlg110110lg1 . 01 . 03-20大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 巴特沃茲濾波器巴特沃茲濾波器1式式3-17、3-18還可以變形成為：還可以變形成為：Npcp211 . 01103-21Nscs211 . 01103-22 若設(shè)計指標(biāo)中未給出通帶截止頻率若設(shè)計指標(biāo)中未給出通帶截止頻率 ，則可由上述兩式，則可由上述兩

19、式來近似，由式來近似，由式3-213-21確定的確定的 具有較好的阻帶指標(biāo)，由式具有較好的阻帶指標(biāo)，由式3-223-22確定的確定的 具有較好的通帶指標(biāo)。具有較好的通帶指標(biāo)。ccc大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù) 定義如下：定義如下：2jHcNCjH222113-23式中，式中，N為切比雪夫濾波器的階數(shù)，為切比雪夫濾波器的階數(shù)， 為通帶截止頻率，為通帶截止頻率， 稱稱為波紋系數(shù)，為波紋系數(shù)， 稱為切比雪夫

20、多項式稱為切比雪夫多項式c xCN NarcchxchxNxCNarccoscos11 x x3-24大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2式式3-24中中1ln2xxarcchx當(dāng)當(dāng)N=0時，時， ；當(dāng)；當(dāng)N=1時，時， ；當(dāng)當(dāng)N=2時，時， ；當(dāng)；當(dāng)N=3時，時， ， ，由此可推出切比雪夫多項式，由此可推出切比雪夫多項式的遞推公式為：的遞推公式為： 10 xC xxC1 1222xxC xxxC3433 xCxxCxCNNN1123-25大連理工大學(xué)出版社3 3

21、. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2N階切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)圖形如圖階切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)圖形如圖3-6所示所示圖圖3-6 N階切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)圖形階切比雪夫濾波器的幅度平方函數(shù)圖形大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2 右圖是切比雪夫濾波右圖是切比雪夫濾波器與巴特沃茲濾波器的幅器與巴特沃茲濾波器的幅度平方函數(shù)圖形比較。從度平方函數(shù)

22、圖形比較。從圖中可以看出，在達到相圖中可以看出，在達到相同指標(biāo)的條件下，切比雪同指標(biāo)的條件下，切比雪夫濾波器可以降低濾波器夫濾波器可以降低濾波器的階數(shù)的階數(shù)N N，從而減少設(shè)計，從而減少設(shè)計的復(fù)雜度，并且切比雪夫的復(fù)雜度，并且切比雪夫濾波器的過渡帶比巴特沃濾波器的過渡帶比巴特沃茲濾波器要窄。茲濾波器要窄。大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2切比雪夫濾波器幅度平方函數(shù)的指標(biāo)參數(shù)切比雪夫濾波器幅度平方函數(shù)的指標(biāo)參數(shù) 在切比雪夫濾波在切比雪夫濾波器幅度平方函數(shù)的定器幅度

23、平方函數(shù)的定義式中，有義式中，有3 3個待求個待求參數(shù)：波紋系數(shù)參數(shù)：波紋系數(shù) 、濾波器階數(shù)濾波器階數(shù)N N、通帶、通帶截止頻率截止頻率 ，如圖，如圖3-83-8所示：所示：c大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2濾波器的衰減函數(shù)為濾波器的衰減函數(shù)為 cNCjHjYjpp222221lg101lg10X10lglg10出入3-26當(dāng)當(dāng) 時，有時，有ppcpNpCjH1 . 022210113-27大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾

24、波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2當(dāng)當(dāng) 時，有時，有sscsNpCjH1 . 022210113-28由式由式3-26、式、式3-27整理可得整理可得1101 . 02pcpNC3-291101 . 02sNcsNC3-30大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2將將 代入，可得代入，可得 xCN110coscos1 . 0122pcpN3-311101 . 0122scsNchch3-32 是通帶截止頻

25、率，一般指定是通帶截止頻率，一般指定 ，代入式，代入式3-31、式、式3-32，則，則cpc大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器21101 . 02p3-331101 . 0122spsNchch3-34由式由式3-33可以確定波紋系數(shù)可以確定波紋系數(shù) 的值為的值為 。式。式3-32與式與式3-34相除，可得相除，可得11 . 010p1101101 . 01 . 012pspsNchch3-35大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾

26、波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2該濾波器階數(shù)該濾波器階數(shù)N的值可由式的值可由式3-35確定確定psarccharcchNps1101101 . 01 . 03-36大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.1模擬濾波器的設(shè)計簡介模擬濾波器的設(shè)計簡介 切比雪夫濾波器切比雪夫濾波器2c 上述推導(dǎo)可以求出切比雪夫濾波器的階數(shù)上述推導(dǎo)可以求出切比雪夫濾波器的階數(shù)N N，通帶截，通帶截止頻率止頻率 ，波紋函數(shù)，波紋函數(shù) ，從而求出幅度平方函數(shù)，從而求出幅度平方函數(shù)cNpCjH222113

27、-37大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 利用模擬濾波器來設(shè)計利用模擬濾波器來設(shè)計IIR數(shù)字濾波器，就是從已知的模數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器系統(tǒng)函數(shù)擬濾波器系統(tǒng)函數(shù) 設(shè)計設(shè)計IIR數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù) ，也就是從也就是從S平面到平面到Z平面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的平面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換。這個變換需要滿足以下兩個基本要求：映射變換。這個變換需要滿足以下兩個基本要求： sHa zH 1 的頻響應(yīng)該模擬的頻響應(yīng)該模擬 的頻響，即將的頻響，即將S平面

28、的平面的虛軸虛軸 映射到映射到Z平面的單位圓平面的單位圓 上。上。 zH sHajje 2 因果穩(wěn)定的因果穩(wěn)定的 通過映射后的通過映射后的 仍應(yīng)該因果仍應(yīng)該因果穩(wěn)定，即穩(wěn)定，即S平面的左半平面平面的左半平面 應(yīng)該被映像到應(yīng)該被映像到Z平面單位平面單位圓以內(nèi)，即圓以內(nèi)，即 。 sHa zH 0Res1z 由由Ha(s)變換成變換成H(z)有兩種常用方法：脈沖響應(yīng)不變法和有兩種常用方法：脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法。雙線性變換法。大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器，就

29、是設(shè)計數(shù)字濾波用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器，就是設(shè)計數(shù)字濾波器的單位采樣響應(yīng)器的單位采樣響應(yīng)h(n)可以完全模仿模擬濾波器單位脈沖響可以完全模仿模擬濾波器單位脈沖響應(yīng)應(yīng)ha(t)，即單位脈沖響應(yīng)不變。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字，即單位脈沖響應(yīng)不變。用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計數(shù)字濾波器的思路如下：濾波器的思路如下： zHnhthsHZTaILTa理想抽樣 按濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計出模擬濾波器，求出模擬濾波器按濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計出模擬濾波器，求出模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s) ，對，對Ha(s)進行拉氏進行拉氏反反變換，求出變換，求出ha(t)，再對，再對ha(t)進行抽樣求出進行抽樣求出h(

30、n)，最后對，最后對h(n)進行進行Z變換，求出變換，求出H(z)，從，從而完成而完成Ha(s)到到H(z)的轉(zhuǎn)換。的轉(zhuǎn)換。大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 為簡化分析，設(shè)模擬濾波器為簡化分析，設(shè)模擬濾波器Ha(s) 僅有僅有N N個一階極點，則個一階極點，則Ha(s) 可用部分分式的形式表示為可用部分分式的形式表示為Ak為幅度為幅度 NkkkassAsH13-38式中式中sk是是Ha(s) 的極點，對的極點，對Ha(s) 進行反拉氏變換得到對應(yīng)模擬進行反拉氏變換得到對應(yīng)模擬濾波器的單位采樣響

31、應(yīng)為：濾波器的單位采樣響應(yīng)為： NktskatueAthk13-39大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計u(t)為單位階躍響應(yīng)，對為單位階躍響應(yīng)，對ha(t)進行等間隔抽樣，抽樣間隔為進行等間隔抽樣，抽樣間隔為T，得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為：得到數(shù)字濾波器的單位脈沖響應(yīng)為： NknTskanTueAnThnhk13-40對對h(n)進行進行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為： NkNkkkTskzzAzeAnhZTzHk1111113-41式中，式中， 代表代

32、表Z平面的極點。平面的極點。Tskkez 大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 將式將式3-38與式與式3-41進行比較，可以看出進行比較，可以看出Ha(s)在在S平面上的極點平面上的極點sk映射到映射到H(z)在在Z平面上的極點變成平面上的極點變成 。Tskkez 由極點的映射關(guān)系進行推廣，可以證明，由極點的映射關(guān)系進行推廣，可以證明，S平面到平面到Z平面平面的映射關(guān)系為的映射關(guān)系為sTez 3-42Z變換到拉氏變換的關(guān)系為變換到拉氏變換的關(guān)系為 sHzHaezsT3-43設(shè)設(shè) 、 ，則，則js

33、jrez TjTjeere3-44大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計從而可以得到從而可以得到Ter3-45T3-46從以上兩式可以得到：從以上兩式可以得到：01r01r01r 上面的關(guān)系式說明，上面的關(guān)系式說明，S平面的虛軸平面的虛軸 映像到映像到Z平平面單位圓面單位圓 ，S平面的左半平面平面的左半平面 映像到映像到Z平面平面單位圓內(nèi)單位圓內(nèi) ，S平面的右半平面平面的右半平面 映像到映像到Z平面平面單位圓外單位圓外 ，如圖，如圖3-9所示。這也說明，如果所示。這也說明，如果 因因果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得

34、到的果穩(wěn)定，轉(zhuǎn)換后得到的 仍然是因果穩(wěn)定的。仍然是因果穩(wěn)定的。01r01r01r sHa zH大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計圖圖3-9 S平面到平面到Z平面的映射關(guān)系平面的映射關(guān)系大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 需要說明的是，需要說明的是， 是一個周期函數(shù)，即是一個周期函數(shù)，即sTez M為任意整數(shù)為任意整數(shù)TMjTTjTsTTeeeee)(2 當(dāng)當(dāng) 不變，模擬頻率不變，模擬頻率 變化變化

35、 的整數(shù)倍時，的整數(shù)倍時，S平面到平面到Z平面的映射值不變，即將平面的映射值不變，即將S平面沿著平面沿著 軸分割成一條條寬軸分割成一條條寬為為 的水平帶，的水平帶，S平面的每條水平帶都按照平面的每條水平帶都按照 的映射的映射關(guān)系對應(yīng)著整個關(guān)系對應(yīng)著整個Z平面，如圖平面，如圖3-10所示。所示。T2jT2sTez 大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計圖圖3-10 S平面的每條水平帶面都映射著整個平面的每條水平帶面都映射著整個Z平面平面大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)

36、字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 模擬信號模擬信號ha(t)的拉氏變換的拉氏變換ha(s)與與ha(t)的抽樣信號的抽樣信號hs(t)拉氏拉氏變換變換hs(s)關(guān)系如下：關(guān)系如下： ksasjksHTsH1式中，式中， 。因此，可得。因此，可得到到Tfss22 ksasezjksHTsHzHsT13-48 式式3-48表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換表明，采用脈沖響應(yīng)不變法將模擬濾波器變換為數(shù)字濾波器時，首先將為數(shù)字濾波器時，首先將ha(s)以以 為周期進行周期延拓，然后為周期進行周期延拓，然后再由映射關(guān)系再由映射關(guān)系 ，映射到，映射到Z平面上。平面

37、上。ssTez 大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 由式由式3-48還可以得到，數(shù)字濾波器頻率特性與模擬還可以得到，數(shù)字濾波器頻率特性與模擬濾波器頻率特性為濾波器頻率特性為ksajjkjHTeH13-49式式3-49表明數(shù)字濾波器的頻率特性是模擬濾波器頻率特表明數(shù)字濾波器的頻率特性是模擬濾波器頻率特性以性以 為周期進行的周期延拓。為周期進行的周期延拓。s大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 若模擬濾

38、波器的頻率特性是帶限的，即若模擬濾波器的頻率特性是帶限的，即0jHaT則數(shù)字濾波器可以無失真的重現(xiàn)模擬濾波器的頻率特性。則數(shù)字濾波器可以無失真的重現(xiàn)模擬濾波器的頻率特性。kajTjHTeH1但實際濾波器不可能都是帶限的，因此總會出現(xiàn)混迭現(xiàn)象。但實際濾波器不可能都是帶限的，因此總會出現(xiàn)混迭現(xiàn)象。大連理工大學(xué)出版社3 3. .2 2IIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.2.2IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計a為非帶限的模擬濾波器的頻率特性為非帶限的模擬濾波器的頻率特性b用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器產(chǎn)生的頻率混迭現(xiàn)象用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器產(chǎn)生的頻率混迭現(xiàn)象大連理工

39、大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理 設(shè)設(shè)FIR數(shù)字濾波器的單位采樣響應(yīng)數(shù)字濾波器的單位采樣響應(yīng)h(n)為為N點有序長序列點有序長序列（0nN-1），其系統(tǒng)函數(shù)為：），其系統(tǒng)函數(shù)為： 10NnnznhzH（3-50）頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)： jjjNnjjnjezjeHeeHeeHenhzHeHj10（3-51）其中，其中， 稱為頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)，為數(shù)字頻稱為頻率響應(yīng)的幅度函數(shù)，為數(shù)字頻率率 的實函數(shù)，可以取負值；的實函數(shù)，可以取負值； 為相位函數(shù)。為相位函數(shù)。 jeHH 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3

40、3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理 由式（由式（3.51）可知，）可知，H(z)是一個是一個z-1的的N-1階多項式，即該階多項式，即該FIR數(shù)字濾波器是數(shù)字濾波器是N-1階的，它在有限階的，它在有限z平面（平面（0|z| ）上）上沒有極點，只有沒有極點，只有N-1個零點，其極點全部集中在個零點，其極點全部集中在z平面的原點平面的原點z=0處，為處，為N-1階重極點，故階重極點，故FIR數(shù)字濾波器必然穩(wěn)定。穩(wěn)定和數(shù)字濾波器必然穩(wěn)定。穩(wěn)定和線性是線性是FIR數(shù)字濾波器突出的優(yōu)點。數(shù)字濾波器突出的優(yōu)點。 若采用與若采用與IIR數(shù)字濾

41、波器相同的形式，則數(shù)字濾波器相同的形式，則N-1階階FIR數(shù)字濾數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的一般形式可以寫成波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的一般形式可以寫成 10Nmmmnxbny（3-52）大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理 101122110.NmmmNNzbzbzbzbbzXzYzH（3-53） 將式將式（3-52）、（）、（3-53）與式（）與式（3-50）比較可知，比較可知，F(xiàn)IR數(shù)數(shù)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)正是其單位脈沖響應(yīng)字濾波器的差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)正是其單位脈沖響應(yīng)

42、h(n)的序列值，即的序列值，即 （0mN-1），所以其差分方程），所以其差分方程可以寫成可以寫成 mhbm nxnhmnxmhnyNm*10（3-54） 式式（3-50）和（）和（3-54）是描述是描述N-1階階FIR數(shù)字濾波器經(jīng)常數(shù)字濾波器經(jīng)常采用的方式。采用的方式。大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(1)(1)線性相位特性線性相位特性 設(shè)設(shè) 為為h(n)的傅立葉變換，的傅立葉變換，h(n)的長度為的長度為N，即，即jeH 10NnnjjenheH（3-55） 當(dāng)當(dāng)h(n)為實序列時，可將為

43、實序列時，可將 表示為表示為 jeH jjeHeH（3-56） 式中，式中， 稱為幅度特性，稱為幅度特性， 稱為相位特性。這里稱為相位特性。這里 與與 不同，不同， 是幅頻特性，而是幅頻特性，而 是一個可正、是一個可正、可負的實函數(shù)?？韶摰膶嵑瘮?shù)。 H HjeHjeH H大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(1)(1)線性相位特性線性相位特性 的線性相位是指的線性相位是指 是是 的線性函數(shù)，則的線性函數(shù)，則 jeH 0（3-57） （3-58） 式中，式中， 、 為常數(shù)。為常數(shù)。0 dd 一般稱滿

44、足式（一般稱滿足式（3-57）的是第一類線性相位，滿足式）的是第一類線性相位，滿足式（3-58）的是第二類線性相位。）的是第二類線性相位。 以上兩式的群時延都是常數(shù)，即以上兩式的群時延都是常數(shù)，即 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(1)(1)線性相位特性線性相位特性 第一類線性相位條件是第一類線性相位條件是h(n)為實序列，且關(guān)于為實序列，且關(guān)于n=(N-1)/2是是偶對稱，即偶對稱，即 1nNhnh（3-60） 第二類線性相位條件是第二類線性相位條件是h(n)為實序列，且關(guān)于為實序列，且關(guān)于

45、n=(N-1)/2是是奇對稱，即奇對稱，即 1nNhnh（3-61） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(1)(1)線性相位特性線性相位特性 h(n)對對(N-1)/2偶對稱偶對稱 系統(tǒng)的頻響為系統(tǒng)的頻響為 jNnNjezjeHNnnhezHeHj21cos1021其中其中 1021cosNnNnnhH 21N（3-67） （3-68） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(1)(1)線性相位特性線

46、性相位特性 h(n)對對(N-1)/2奇對稱奇對稱 21sin10NnnhHNn 221N（3-73） （3-74） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第一類線性相位濾波器第一類線性相位濾波器 1nNhnh，N為奇數(shù)。如圖為奇數(shù)。如圖3-12所示為所示為N=7的情況。的情況。 FIR第一類線性相位濾波器的第一類線性相位濾波器的h(n)示意圖示意圖 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)

47、字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)為第一類線性相位濾波器幅度函數(shù)為 nnaHNncos210（3-77） 其中其中 nNhna212 210Nha大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第二類線性相位濾波器第二類線性相位濾波器 1nNhnh，N為偶數(shù)。如圖為偶數(shù)。如圖3-13所示為所示為N=6的情況。的情況。 圖圖3-13 FIR第二類線性相位濾波器的第二類線性相位濾波器的h(n)示意圖示意圖 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FI

48、R數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 21cos21nnbHNn其中其中 122Nnhnb第二類線性相位濾波器幅度函數(shù)為第二類線性相位濾波器幅度函數(shù)為 （3-80） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第三類線性相位濾波器第三類線性相位濾波器 1nNhnh，N為奇數(shù)。如圖為奇數(shù)。如圖3-14所示為所示為N=7的情況。的情況。圖圖3-14 FIR第三類線性相位濾波器的第三類線性相位濾波

49、器的h(n)示意圖示意圖 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 nncHNnsin211第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)為第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)為 （3-84） 其中其中 nNhnc212大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 第四類線性相位濾波器第四類線性相位濾波器 1nNhnh，N為偶數(shù)。如圖為偶數(shù)。如圖3-15所示為所示為N=6的情況。的情

50、況。圖圖3-15 FIR第四類線性相位濾波器的第四類線性相位濾波器的h(n)示意圖示意圖 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.1FIR數(shù)字濾波器的原理數(shù)字濾波器的原理(2)(2)幅度特性幅度特性 21sin21nndHNn第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)為第三類線性相位濾波器幅度函數(shù)為其中其中 122Nnhnd（3-87） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 窗函數(shù)設(shè)計基本方法窗函數(shù)設(shè)計基本方法1 通常希望得到的是理想濾波器，其頻響用通常希望

51、得到的是理想濾波器，其頻響用 表示，表示，對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為對應(yīng)的單位脈沖響應(yīng)為 jdeH deeHnhjnjdd21（n=,-1,0,1,） 理想濾波器的理想濾波器的hd(n)一般是非因果、無限時寬一般是非因果、無限時寬的的IIR系統(tǒng)。系統(tǒng)。FIR數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計是要用一個因果、有限時寬數(shù)字濾波器的窗函數(shù)設(shè)計是要用一個因果、有限時寬的的h (n)去逼近去逼近hd(n) ，從而使所設(shè)計的系統(tǒng)頻響，從而使所設(shè)計的系統(tǒng)頻響 逼逼近近 。 jeHjdeH大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 窗函

52、數(shù)設(shè)計基本方法窗函數(shù)設(shè)計基本方法1以如圖以如圖3-16所示理想低通為例，其頻響特性為所示理想低通為例，其頻響特性為 0jajdeeHcc圖圖3-16 理想低通頻響特性理想低通頻響特性 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 窗函數(shù)設(shè)計基本方法窗函數(shù)設(shè)計基本方法1所對應(yīng)的理想低通的單位脈沖響應(yīng)所對應(yīng)的理想低通的單位脈沖響應(yīng) deenhjnjadcc21ccanSa圖圖3-17 理想低通的脈沖響應(yīng)理想低通的脈沖響應(yīng) 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3

53、.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 窗函數(shù)設(shè)計基本方法窗函數(shù)設(shè)計基本方法1 如圖如圖3-17所示，是以所示，是以 為中心偶對稱、無限長的非因果為中心偶對稱、無限長的非因果序列，這是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。如果用一個有限長因序列，這是一個物理不可實現(xiàn)的系統(tǒng)。如果用一個有限長因果序列去逼近它，最簡單的方法是直接截取它的一段作果序列去逼近它，最簡單的方法是直接截取它的一段作h(n)。為了保證為了保證h(n)的因果性，取的因果性，取hd(n)的的0 N-1一段，這可以由乘一段，這可以由乘以矩形序列以矩形序列RN(n)實現(xiàn)；為了保證系統(tǒng)的線性相位，實現(xiàn)；為了保證系統(tǒng)的線性相位，h(n)要滿要

54、滿足偶對稱條件，足偶對稱條件， 應(yīng)該是應(yīng)該是h(n)的對稱中心，則取的對稱中心，則取 。所以有所以有 21 N 21NnRnhnhNd（3-89） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 窗函數(shù)設(shè)計基本方法窗函數(shù)設(shè)計基本方法1 從上式所表示的從上式所表示的h(n)與與hd(n)關(guān)系，是關(guān)系，是hd(n)乘以矩形截短函乘以矩形截短函數(shù)，可以認為是通過一個矩形數(shù)，可以認為是通過一個矩形“窗窗”看到的看到的hd(n) 。如果。如果hd(n)乘乘以不同形式的截短函數(shù)，以不同形式的截短函數(shù)，h (n)就是通過

55、不同形式的就是通過不同形式的“窗窗”看到看到的的hd(n) 。這種用。這種用hd(n)乘以不同截短函數(shù)設(shè)計乘以不同截短函數(shù)設(shè)計FIR濾波器的方法濾波器的方法即為窗函數(shù)設(shè)計法。在窗函數(shù)設(shè)計中即為窗函數(shù)設(shè)計法。在窗函數(shù)設(shè)計中h (n)與與hd (n)的關(guān)系可記成的關(guān)系可記成 nnhnhd其中其中 00nn01nN其他大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 矩形窗矩形窗 矩形窗函數(shù)為矩形窗函數(shù)為 01nRnN其他10Nn（3-90） 顯然顯然 nNn1加矩形窗函數(shù)后系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為加矩形窗函數(shù)后系統(tǒng)的

56、單位脈沖響應(yīng)為 0nhnhd其他10Nn（3-91） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 矩形窗函數(shù)的頻率特性矩形窗函數(shù)的頻率特性 jeW jRNjjjNNnjnjeWeNeeeeW21102sin2sin11（3-92） 其中其中 2sin2sinNWR21 N（3-93） （3-94） 由式（由式（3-93）可見，）可見， 是是 的幅度函數(shù)，的幅度函數(shù)， 是是 的相位函數(shù)。由式（的相位函數(shù)。由式（3-94）可見矩形窗函數(shù)可以調(diào)整）可見矩形窗函數(shù)可以調(diào)整的參數(shù)只有截短長度的參數(shù)只有截短長度N。

57、 RWjeWjeW大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 加矩形窗函數(shù)后加矩形窗函數(shù)后FIR系統(tǒng)的頻響系統(tǒng)的頻響 jeH 已知理想濾波器的頻響為已知理想濾波器的頻響為 （ ），），矩形窗函數(shù)的頻響為矩形窗函數(shù)的頻響為 ，加矩形窗函數(shù)后，加矩形窗函數(shù)后FIR數(shù)字濾波器的頻響數(shù)字濾波器的頻響 是二者的卷積，即是二者的卷積，即 jjdeeHcjjRjeeWeWjeHdeWeHeHjjdj21 jRjeHdWecc21其中其中 dWHccR21（3-95） （3-96） 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3

58、FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計(2) (2) 其他窗其他窗 三角窗或巴特利特（三角窗或巴特利特（Bartlett）窗）窗 12212NnNnn121210NnNNn（3-97） 三角窗可以認為是由兩個三角窗可以認為是由兩個(N-1)/2矩形窗卷積形成的窗函數(shù)。矩形窗卷積形成的窗函數(shù)。 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 升余弦窗或漢寧（升余弦窗或漢寧（Hanning）窗）窗 nRnNnN12cos121（3-98） 利用傅立葉變

59、換的調(diào)制特性以及矩形窗的頻響，升余弦窗函利用傅立葉變換的調(diào)制特性以及矩形窗的頻響，升余弦窗函數(shù)的幅度函數(shù)可以表示為數(shù)的幅度函數(shù)可以表示為 121225. 05 . 0NWNWWWRRR若若N 1，則上式可改寫為，則上式可改寫為 NWNWWWRRR2225. 05 . 0由次可知，此時幅度函數(shù)為三項頻譜之和。由次可知，此時幅度函數(shù)為三項頻譜之和。 大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 改進升余弦窗或哈明（改進升余弦窗或哈明（Hamming）窗）窗 nRNnN12cos46. 054. 0（3-101

60、） 與升余弦窗函數(shù)相比僅系數(shù)作了一定的調(diào)整。同樣利用與升余弦窗函數(shù)相比僅系數(shù)作了一定的調(diào)整。同樣利用傅立葉變換的調(diào)制特性以及矩形窗的頻響，改進的升余弦窗傅立葉變換的調(diào)制特性以及矩形窗的頻響，改進的升余弦窗的幅度函數(shù)可以表示為的幅度函數(shù)可以表示為 121223. 054. 0NWNWWnRRR若若N 1，則，則 NWNWWnRRR2223. 054. 0大連理工大學(xué)出版社3 3. .3 3FIR數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計數(shù)字濾波器的原理與設(shè)計3.3.2FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計數(shù)字濾波器的設(shè)計 二階升余弦窗或布萊克曼（二階升余弦窗或布萊克曼（Blackman）窗）窗 其表達式為其表達式為 nRNnNnn