競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)歸納法

1、競(jìng)賽中的數(shù)學(xué)歸納法（一）數(shù)學(xué)歸納法的基本形式（1）第一數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果:當(dāng)（）時(shí)，成立；假設(shè)成立，由此推得時(shí)，也成立，那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立例1 （07江西理22）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有（1）求，； （2）求數(shù)列的通項(xiàng)解：（1）據(jù)條件得 當(dāng)時(shí)，由，即有，解得因?yàn)闉檎麛?shù)，故當(dāng)時(shí)，由，解得，所以（2）由，猜想：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則時(shí)由得,因?yàn)闀r(shí)，所以，所以又，所以,故，即時(shí)，成立由1，2知，對(duì)任意，此題在證明時(shí)應(yīng)注意，歸納奠基需驗(yàn)證的初始值又兩個(gè)，即和。（2）第二數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果

2、當(dāng)（）時(shí)，成立； 假設(shè)成立，由此推得時(shí)，也成立，那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立例2 已知對(duì)任意的且，求證：.證：（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍?，所以，命題成立；（2）假設(shè)時(shí)命題成立，即,當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，且，于是，因?yàn)椋?從而，解得，（舍），即時(shí)命題成立.由（1）、（2）知，對(duì)一切自然數(shù)都有成立.證畢. 這兩種數(shù)學(xué)歸納法，是運(yùn)用次數(shù)較多的方法，大家也比較熟悉，在這里就不贅述了。下面介紹一下數(shù)學(xué)歸納法的其它形式。（二）數(shù)學(xué)歸納法的其他形式（1）跳躍數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng)時(shí)，成立， 假設(shè)時(shí)成立，由此推得時(shí)，也成立，那么，根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立例3 證明：任一正方形可以剖分成任意個(gè)數(shù)多于5個(gè)的正方形.證：（1）對(duì)于可

3、按如圖進(jìn)行分割, 假設(shè)當(dāng)成立,當(dāng)時(shí)，只要將其中一個(gè)正方形分割為4個(gè)正方形，即可得到個(gè)正方形.由（1）（2）對(duì)一切的自然數(shù)都成立. 例4求證用面值3分和5分的郵票可支付任何n(n)分郵資證明顯然當(dāng)n=8,n=9,n=10時(shí)，可用3分和5分郵票構(gòu)成上面郵資（n=8時(shí)，用一個(gè)3分郵票和一個(gè)5分郵票，n=9時(shí)，用3個(gè)3分郵票，n=10時(shí)，用2個(gè)5分郵票）下面假定k=n時(shí)命題正確，這時(shí)對(duì)于k=n+3，命題也正確，因?yàn)閚分可用3分與5分郵票構(gòu)成，再加上一個(gè)3分郵票，就使分郵資可用3分與5分郵票構(gòu)成由跳躍歸納法知命題對(duì)一切n都成立下面我們介紹雙歸納法，所謂雙歸納法是所設(shè)命題涉及兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)對(duì)(m,n),

4、而不是一個(gè)單獨(dú)的自然數(shù)n（2）反向數(shù)學(xué)歸納法設(shè)是一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題，如果對(duì)無限多個(gè)正整數(shù)成立； 假設(shè)時(shí)，命題成立，則當(dāng)時(shí)命題也成立，那么根據(jù)對(duì)一切正整數(shù)時(shí)，成立例4 設(shè)都是正數(shù)，證明：證：（1）先證明有無限多個(gè)正整數(shù)，使命題成立.當(dāng)（對(duì)任意的時(shí)），不等式成立，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法. 當(dāng)時(shí)，即，因?yàn)?，所以即不等式成? 假設(shè)時(shí)成立，即；則當(dāng)時(shí)因此時(shí)，不等式成立,故對(duì)于（對(duì)任意的時(shí)）命題成立.（2）假定時(shí)成立，即，于是當(dāng)時(shí)，有 對(duì)此式兩邊同時(shí)次方得,即成立，此為時(shí)不等式成立.由（1）、（2）知對(duì)一切自然數(shù)都有.(3) 螺旋數(shù)學(xué)歸納法設(shè)、是兩串與自然數(shù)有關(guān)的命題，如果 命題成立； 對(duì)任何自然數(shù)，命題成

5、立，則命題成立；若命題成立，則命題成立.那么根據(jù)對(duì)一切自然數(shù)，命題與都成立最后，我們給出蹺蹺板歸納法有兩個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的命題An與Bn，若(1)A1成立；(2)假設(shè)Ak成立，就推出Bk成立，假設(shè)Bk成立就推出Ak+1成立則對(duì)一切自然數(shù)n, An與Bn都成立A1 B1A2 B2Ak BkAk+1這里我們只給出一個(gè)例子說明上述歸納法例已知求證證明令， (1)當(dāng)n=1時(shí)，所以A1成立(2)所以A2成立設(shè)Ak成立，則即k成立若k成立，則即Ak+1成立由蹺蹺板歸納法知，一切An和Bn都成立例5 已知數(shù)列定義如下：,求證：數(shù)列的前項(xiàng)和為.證：將命題記作，將命題 記作.（1）當(dāng)時(shí)，有即成立.（2）證假設(shè)成立

6、，即有于是故成立.（3）再證假設(shè)成立，即有于是 即成立.綜上，由螺旋歸納法原理，命題、對(duì)一切均成立.（4）二重?cái)?shù)學(xué)歸納法（兩個(gè)變量）設(shè)命題是與兩個(gè)獨(dú)立的自然數(shù)有關(guān)的命題，如果對(duì)一切自然數(shù)成立，對(duì)一切自然數(shù)成立； 假設(shè)和成立時(shí)，可推證命題成立則對(duì)所有自然數(shù)，命題都成立.例6 設(shè)滿足，其中是正整數(shù)，且,求證：.證：（1）因?yàn)閷?duì)于一切正整數(shù)與（），成立.即此命題為真. （2）假設(shè)成立，即成立.則,則命題成立，由二重?cái)?shù)學(xué)歸納法知，對(duì)任意自然數(shù)都有（三）數(shù)學(xué)歸納法在高考中應(yīng)用例1 （05江西卷）已知數(shù)（1）證明 （2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式an.解：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，命題正確.

7、2°假設(shè)n=k時(shí)有則而又時(shí)命題正確.由1°,2°知，對(duì)一切nN時(shí)有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1°當(dāng)n=1時(shí)，；2°假設(shè)n=k時(shí)有成立，令，在0，2上單調(diào)遞增，所以由假設(shè)有：即也即當(dāng)n=k+1時(shí)成立，所以對(duì)一切.（2）下面來求數(shù)列的通項(xiàng)：所以 又bn=1，所以.例2 （07湖北卷）已知為正整數(shù)，（I）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，；（II）對(duì)于，已知，求證，求證，；（III）求出滿足等式的所有正整數(shù)解：（）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)時(shí)，原不等式成立；當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以左邊右邊，原不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，于是在不等式

8、兩邊同乘以得，所以即當(dāng)時(shí)，不等式也成立綜合（）（）知，對(duì)一切正整數(shù)，不等式都成立（）證：當(dāng)時(shí)，由（）得，于是，（）解：由（）知，當(dāng)時(shí)，即即當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)故只需要討論的情形：當(dāng)時(shí)，等式不成立；當(dāng)時(shí)，等式成立；當(dāng)時(shí)，等式成立；當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當(dāng)時(shí)，同的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的只有解法二：（）證：當(dāng)或時(shí)，原不等式中等號(hào)顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，且時(shí)，（）當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，因?yàn)?，所以，即左邊右邊，不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)時(shí)，不等式成立，即，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以于是在不等式兩邊同乘以得，所以即?dāng)時(shí)，不等式也成立綜上所述，所證不等式成立（

9、）當(dāng)，時(shí)，而由（），（）假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有又由（）可得，與式矛盾故當(dāng)時(shí)，不存在滿足該等式的正整數(shù)下同解法1（四）數(shù)學(xué)歸納法在組合中應(yīng)用例1 有64塊邊長(zhǎng)為1的正方體木塊，每塊有一面為紅色，其余5面為白色，把這64塊立方體放在一個(gè)的國際象棋盤上（棋盤每格是邊長(zhǎng)為1的正方形，每格上恰放一塊），然后將木塊“轉(zhuǎn)動(dòng)”，轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)則是將同一行（或同一列）的8個(gè)木塊同時(shí)朝一個(gè)方向一起轉(zhuǎn)動(dòng).問能否經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)動(dòng)，把所有木塊的紅色面都轉(zhuǎn)到上面？解：將問題一般化，考慮塊木塊放入的棋盤的問題，答案是肯定的.現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法加以證明如下：時(shí)，結(jié)論顯然成立.設(shè)時(shí)，結(jié)論成立.那么時(shí)，由歸納假設(shè)，左上角位置上可經(jīng)過

10、有限次轉(zhuǎn)動(dòng)，使每個(gè)木塊的紅色面朝上.再將左方第一列的格木塊逆時(shí)針（向外）旋轉(zhuǎn)，使該列前個(gè)木塊的紅色面轉(zhuǎn)到棋盤左側(cè).這時(shí)由歸納假設(shè)可經(jīng)過有限次轉(zhuǎn)動(dòng)將右上角位置上每個(gè)小塊的紅色面朝上，且列的轉(zhuǎn)動(dòng)不影響第一列的木塊，行的轉(zhuǎn)動(dòng)不改變第一列前行紅色面朝左的狀態(tài).完成上述轉(zhuǎn)動(dòng)后，再將第一列順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使前行上的紅色表面朝上.再將上方第一行朝后轉(zhuǎn)動(dòng)，使第一行的紅色面朝后方，同上可將下方棋盤中所有方塊的紅色面轉(zhuǎn)到上面，而不改變第一行紅色面朝后狀態(tài).再將第一行轉(zhuǎn)回使第一行的紅色面朝上，于是所有棋盤中各小塊的紅色面都朝上，故時(shí)結(jié)論成立.因此，對(duì)任何正整數(shù)結(jié)論成立，特別時(shí)結(jié)論成立.例2 設(shè)是2002個(gè)元素組成的集合，為整數(shù)，滿足，證明：可將的所有子集染成黑色或白色，使下列條件成立：(1) 任何兩個(gè)白色子集的并集是白色； (2) 任何兩個(gè)黑色子集的并集是黑色；(3) 恰好存在個(gè)白色子集.證：考慮中有個(gè)元素的一般情形，這時(shí)為滿足的整數(shù)，并且設(shè)，對(duì)用數(shù)學(xué)歸納法證明.當(dāng)時(shí)，若，則將及都染成黑色，符合題目要求；若，則將染成黑色，染成白色，符合題目要求；若，則將及都染成白色，符合題目要求.設(shè)對(duì)元集合，及整數(shù)，存在滿足題目條件（1）（2）（3）的染色方法，考慮元集.(1) 若，則由歸納假設(shè)，存在一種染色方法將的所有子集染成黑色或白色使得滿足題目條件（1）