高等代數(shù)(第三版)8-習(xí)題課

1、一、基本概念二、基本結(jié)論三、基本算法一、基本概念一、基本概念 矩陣，可逆的矩陣，可逆的 矩陣，秩；矩陣，秩； 矩陣的初矩陣的初等變換及標準形，等變換及標準形， 矩陣的等價；行列式因子，矩陣的等價；行列式因子，不變因子，初等因子；若爾當標準形，不變因子，初等因子；若爾當標準形，矩陣的有理標準形矩陣的有理標準形.二、主要結(jié)論二、主要結(jié)論 （定理定理1） 一個一個 的的矩陣矩陣 可逆可逆nn ( )A 是一個非零常數(shù)是一個非零常數(shù).( )A 1. 矩陣可逆的等價刻畫矩陣可逆的等價刻畫矩陣的乘積矩陣的乘積. （定理（定理6） 可逆可逆 可表成一些初等可表成一些初等( )A ( )A 2.（定理定理2）

2、任意一個非零的任意一個非零的 的的 一矩陣一矩陣sn ( )A 都等價于下列形式的矩陣都等價于下列形式的矩陣 12( )( )( )00rddd 其中其中 1,( ) (1,2, )irdir 是首項系數(shù)為是首項系數(shù)為1的的多項式多項式，且且1( )( ) (1,2,1).iiddir 稱之稱之為為的的標準標準形形.( )A （定理定理5） 矩陣矩陣 、 等價等價 ( )( )AB( )( )AB、 有相同的不變因子有相同的不變因子. 3. 等價矩陣的刻畫等價矩陣的刻畫( )( )AB、 有相同的行列因子有相同的行列因子. 存在一個存在一個 可逆矩陣可逆矩陣 與一個與一個 可逆可逆( )P s

3、s nn ( )( ) ( ) ( ).BPAQ 推論推論：兩個：兩個 的的 矩陣矩陣 、 等價等價 sn ( )( )AB矩陣矩陣 ，使，使 ( )Q 4. 相似矩陣相似矩陣設(shè)設(shè) ，則，則A與與B相似相似 ,n nA BP 特征矩陣特征矩陣 與與 等價等價.EA EB 定理：定理：推論推論: :設(shè)設(shè) 則則 相似相似 ,n nA BP ,A B特征矩陣特征矩陣 與與 有相同的不變因子有相同的不變因子. EA EB E-E-AB與與、 有相同的行列因子有相同的行列因子. 結(jié)論結(jié)論1、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，、若兩個同級數(shù)字矩陣有相同的不變因子，則它們就有相同的初等因子；則它們就有相同

4、的初等因子；反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有反之，若它們有相同的初等因子，則它們就有結(jié)論結(jié)論2、兩個同級數(shù)字矩陣相似、兩個同級數(shù)字矩陣相似可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量可見：初等因子和不變因子都是矩陣的相似不變量.相同的不變因子相同的不變因子.它們有相同的初等因子它們有相同的初等因子.設(shè)設(shè) ，則，則A與與B相似相似 ,n nA BP 特征矩陣特征矩陣 與與 等價等價.EA EB 特征矩陣特征矩陣 與與 有相同的不變因子有相同的不變因子. EA EB E-E-AB與與、 有相同的行列因子有相同的行列因子. A與與B有相同的初等因子有相同的初等因子.A與與B有相同的不變因子有

5、相同的不變因子.A與與B相似的等價刻畫相似的等價刻畫: (定理定理9) 設(shè)設(shè) 將特征矩陣將特征矩陣 進行進行,n nAC EA 初等變換化成對角形初等變換化成對角形12( )( )( )( )nhhDh 然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因然后將主對角線上的元素分解成互不相同的一次因式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同式的方冪的乘積，則所有這些一次因式的方冪（相同的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是的按出現(xiàn)的次數(shù)計算）就是A的全部初等因子的全部初等因子. （定理定理10）每一個復(fù)矩陣）每一個復(fù)矩陣A都與一個若當形矩陣都與一個若當形矩陣相似，且這個若當形矩陣除去若當塊的排序外是相似，且這個

6、若當形矩陣除去若當塊的排序外是 被矩陣被矩陣A唯一決定的，它稱為唯一決定的，它稱為A的若當標準形的若當標準形.5 5、若當標準形存在定理、若當標準形存在定理變換，在變換，在 V中必定存在一組基，使中必定存在一組基，使 在這組基下在這組基下 的矩陣是若當形矩陣，并且這個若當形矩陣除去的矩陣是若當形矩陣，并且這個若當形矩陣除去定理定理10換成線性變換的語言即為換成線性變換的語言即為（定理定理11）設(shè)是復(fù)數(shù)域上）設(shè)是復(fù)數(shù)域上n維線性空間維線性空間V的線性的線性 若當塊的排序外是被唯一確定的若當塊的排序外是被唯一確定的. 的初等因子全是一次的的初等因子全是一次的.A3.特殊情形特殊情形（定理定理12）

7、復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似的不變因子沒有重根的不變因子沒有重根.A（定理定理13）復(fù)矩陣）復(fù)矩陣 A與對角矩陣相似與對角矩陣相似.PAP 數(shù)數(shù) 域域上上 的的 n nn n方方 陣陣在在 數(shù)數(shù) 域域上上相相 似似 于于 唯唯 一一 的的 一一 個個 有有 理理 標標 準準 型型 ， 稱稱 為為定定 理理 1 14 4 有有 理理 標標 準準 型型的的.5P 設(shè)設(shè)是是數(shù)數(shù)域域 上上n n維維線線性性空空間間的的線線性性變變換換，則則在在中中存存在在一一組組基基，使使在在該該基基下下的的矩矩陣陣是是有有理理標標準準型型，并并且且這這個個有有理理標標準準型型由由唯唯一一決決定定，

8、稱稱定定理理1 1 有有的的理理標標準準型型為為三、基本算法三、基本算法(題目基本類型題目基本類型)2、求、求 矩陣的兩種因子：行列式因子、矩陣的兩種因子：行列式因子、 不變因子不變因子 1、會利用、會利用 矩陣的初等變換化矩陣的初等變換化 矩矩 陣為標準型陣為標準型 111:( )( )( ),( )( )(i=2,3, ,r)iiiDdDdD 行行列列式式因因子子與與不不變變因因子子之之間間的的關(guān)關(guān)系系3、求數(shù)字矩陣的兩種因子：不變因子、求數(shù)字矩陣的兩種因子：不變因子、初等因子初等因子E-A , 方方法法一一: :( (1 1) )求求出出特特征征矩矩陣陣的的全全部部不不變變因因子子( (

9、2 2) ) 對對不不變變因因子子因因式式分分解解 分分解解式式中中全全部部 一一次次因因式式方方冪冪( (相相同同的的按按出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次 數(shù)數(shù)計計算算) )E-A , 方方法法二二: :( (1 1) )把把特特征征矩矩陣陣化化成成對對角角形形矩矩陣陣( (2 2) ) 把把對對角角線線上上的的所所有有進進行行因因式式分分解解分分解解式式中中全全部部一一次次因因式式方方冪冪( (相相同同 的的按按出出現(xiàn)現(xiàn)的的次次數(shù)數(shù)計計算算) )4、求復(fù)矩陣的若當標準型、求復(fù)矩陣的若當標準型E-A ( (1 1) )求求出出特特征征矩矩陣陣的的全全部部初初等等因因子子( (2 2) )寫寫出出每每個個初初等等因因子子對對應(yīng)應(yīng)的的若若當當塊塊( (3 3) )寫寫出出若若當當標