第五章 靜態(tài)場的邊值問題(1)

1、第五章第五章 靜態(tài)場的邊值問題靜態(tài)場的邊值問題5.1 5.1 泊松方程和拉普拉斯方泊松方程和拉普拉斯方程程 5.2 5.2 鏡像法鏡像法5.3 5.3 分離變量法分離變量法5.4 5.4 有限差分法有限差分法Boundary Value Problem靜態(tài)場的工程應(yīng)用與特性靜態(tài)場的工程應(yīng)用與特性噴墨打印機工作原理選礦器硫酸鹽礦石英含石英硫酸鹽礦靜態(tài)場的工程應(yīng)用均勻電場中帶電粒子的均勻電場中帶電粒子的軌跡軌跡陰極射線示波器原理陰極射線示波器原理磁分離器磁分離器回旋加速器回旋加速器磁懸浮列車磁懸浮列車 靜態(tài)場特性靜態(tài)場特性 靜態(tài)場基本概念靜態(tài)場基本概念靜態(tài)場是指電磁場中的源量和場量都不隨時間發(fā)生變

2、化的靜態(tài)場是指電磁場中的源量和場量都不隨時間發(fā)生變化的場。場。靜態(tài)場包括靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電靜態(tài)場包括靜電場、恒定電場及恒定磁場，它們是時變電磁場的特例。磁場的特例。 靜電場是指由靜止的且其電荷量不隨時間變化的電荷產(chǎn)生靜電場是指由靜止的且其電荷量不隨時間變化的電荷產(chǎn)生的電場。的電場。恒定電場是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場。恒定電場是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場。恒定磁場是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場，亦稱為恒定磁場是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場，亦稱為靜磁場。靜磁場。 0,0,0VDBtttv1.1.靜電場的泊松方程和拉普拉斯方程靜電場的泊松方程和拉普拉

3、斯方程5.1 5.1 泊松方程和拉普拉斯方程和基本定理泊松方程和拉普拉斯方程和基本定理EVDE ()V 2V20靜電場基本方程d0ddlVSVElDSV0VEDDE靜電場是有散(有源)無旋場，是保守場。泊松方程拉普拉斯方程0無源區(qū)域無源區(qū)域 恒定電場的拉普拉斯方程恒定電場的拉普拉斯方程E c0JE()0 20恒定電場基本方程cd0d0lSElJS00EJcJE導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場具有無散、無旋場的特征，是保守場拉普拉斯方程v3.3.恒定磁場的矢量泊松方程恒定磁場的矢量泊松方程BAcBHJ cAJ2c()AAAJ 0A 洛侖茲規(guī)范 矢量泊松方程 2cAJ cddd0lSSHlJSBSc0HJBB

4、H恒定磁場基本方程 恒定磁場是無散有旋場。20A矢量拉普拉斯方程 mH 0H注意： 標量磁位只有在無源區(qū)才能應(yīng)用，而矢量磁位則無此限制。 2m0c0J 222xxyyzzAJAJAJ 2cAJ 分解分解在沒有電流分布的區(qū)域內(nèi)，磁場也成了無旋場，具有位場的性質(zhì)，引入標量磁位 來表示磁場強度。即mH m標量拉普拉斯方程 22222222xyz22222211()rr rrrz22222222111()(sin)sinsinRRRRRRu拉普拉斯算子拉普拉斯算子直角坐標系直角坐標系圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系 數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時間空間和時間的變化規(guī)律

5、。對于某的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為，兩者又統(tǒng)稱為該方程的該方程的定解條件定解條件。靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的。靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件邊界條件。根據(jù)給定的邊界。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。條件求解空間任一點的電位就是靜電場的邊值問題。 通常給定的邊界條件

6、有三種類型：通常給定的邊界條件有三種類型： 第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為題又稱為諾依曼諾依曼問題。問題。 第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合混合邊界條件。邊界條件。 第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷狄利克雷問題。問題。4. 4. 惟一性定理惟一性定理( )fs(

7、 )f sn12( )( )f sfsn對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性存在、穩(wěn)定及惟一性問題。問題。 泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？刹此煞匠碳袄绽狗匠探獾姆€(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明?？梢宰C明電位微分方程解也是惟一的。以證明電位微分方程解也是惟一的。 由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，由于實際中定解條件是由實驗得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義。因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實際意義。 解的解的惟一性惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。是指在給定的定解條件

8、下所求得的解是否惟一。 解的解的穩(wěn)定性穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大的變化。發(fā)生很大的變化。解的解的存在存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。 靜電場的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。此時，若給定導(dǎo)體上的靜電場的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。此時，若給定導(dǎo)體上的電位值就是第一類邊界。電位值就是第一類邊界。 已知導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)已知導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為數(shù)的關(guān)

9、系為 ，可見，表面電荷給定等于給定了電位的，可見，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，給定導(dǎo)體上的電荷就是第二類邊界。法向?qū)?shù)值。因此，給定導(dǎo)體上的電荷就是第二類邊界。 Sn 因此，對于導(dǎo)體邊界的靜電場問題，當(dāng)邊界上的電位，或電因此，對于導(dǎo)體邊界的靜電場問題，當(dāng)邊界上的電位，或電位的位的法向?qū)?shù)法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w給定時，或?qū)w表面電荷表面電荷給定時，空間的靜電場即給定時，空間的靜電場即被惟一地確定被惟一地確定。這個結(jié)論稱為。這個結(jié)論稱為靜電場惟一性定理靜電場惟一性定理。5. 5. 對偶原理對偶原理1.1.(1)(1)概念：如果描述概念：如果描述兩種物理現(xiàn)象的方兩種物理現(xiàn)象的方程具

10、有相同的數(shù)學(xué)程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有對應(yīng)形式，并具有對應(yīng)的邊界條件，那么的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形式它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這也將是相同的，這就是對偶原理，亦就是對偶原理，亦稱為二重性原理。稱為二重性原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式具有同樣數(shù)學(xué)形式的兩個方程稱為對的兩個方程稱為對偶方程，在對偶方偶方程，在對偶方程中，處于同等地程中，處于同等地位的量稱為對偶量。位的量稱為對偶量。靜電場靜電場( (無源區(qū)域無源區(qū)域) ) 恒定電場恒定電場( (電源外區(qū)域電源外區(qū)域) ) 0E0EE E 0Dc0JDEJE20 20 dSqDScdSIJS(2)(2)靜電場與恒定電場靜電場與恒定電場對偶方程對偶

11、方程對偶量對偶量(3)(3)靜電場與恒定磁場靜電場與恒定磁場 對偶方程對偶方程對偶量對偶量(4)(4)有源情況下的對偶關(guān)系有源情況下的對偶關(guān)系對偶關(guān)系存在對偶關(guān)系存在不像上述兩種情況那樣一目了然不像上述兩種情況那樣一目了然(5)(5)應(yīng)用應(yīng)用電偶極子和磁偶極子輻射的對偶關(guān)系，電偶極子和磁偶極子輻射的對偶關(guān)系，某些波導(dǎo)中橫電波某些波導(dǎo)中橫電波(TE(TE波波) )和橫磁波和橫磁波(TM(TM波波) )間的對偶關(guān)系間的對偶關(guān)系 靜電場靜電場( (無源區(qū)域無源區(qū)域) ) 恒定磁場恒定磁場( (無源區(qū)域無源區(qū)域) ) 0E0H0D0BDEBH202m0dSqDSdmSqBS 例例1 已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體

12、半徑為已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電位為，電位為V，外導(dǎo)體接地，其，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場強度。 解解 對于這種邊值問題，鏡像法不適對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標系。由于場量僅與坐標坐標系。由于場量僅與坐標 r 有關(guān)，因此，有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標系中的展開式只剩下包含變量中的展開式只剩下包含變量r 的一項，即電的一項，即電位微分方程為位微分方程為0dddd12rrrr2

13、1lnCrC求得求得VbaO利用邊界條件：利用邊界條件：arVbr00lnln2121CbCVCaC求得求得baVCln1babVClnln2babrVlnlnbaVrrrrlnE最后求得最后求得解解: : (1)由于內(nèi)、外導(dǎo)體的電導(dǎo)率很高，可以認為電力由于內(nèi)、外導(dǎo)體的電導(dǎo)率很高，可以認為電力線仍和導(dǎo)體表面垂直，和靜電場的邊界條件一致，線仍和導(dǎo)體表面垂直，和靜電場的邊界條件一致，利用對偶原理，可以立即得到利用對偶原理，可以立即得到2221lnlnRURrR221lnrUEaRrR2121lnlnRURrR121lnrUEaRrR(2)單位長度同軸線漏電流密度為單位長度同軸線漏電流密度為 c22

14、1lnrUJEaRrRc212dlnSUIJSRR例例2:2: 如圖所示，在電纜中填充電導(dǎo)媒質(zhì)，其他條件同如圖所示，在電纜中填充電導(dǎo)媒質(zhì)，其他條件同“例例1”，求，求: (1)內(nèi)外導(dǎo)體間的電位及電場強度。內(nèi)外導(dǎo)體間的電位及電場強度。(2)單位長度上該同軸線的漏電流。單位長度上該同軸線的漏電流。則漏電流為則漏電流為 2R1R2. 2. 疊加定理疊加定理u若若 和和 分別滿足拉普拉斯方程，則分別滿足拉普拉斯方程，則 和和 的線性組合的線性組合必然滿足拉普拉斯方程。必然滿足拉普拉斯方程。 u證明：證明： 已知已知 和和 滿足拉普拉斯方程滿足拉普拉斯方程 所以：所以：12ab222212122212(

15、)()()ababab 22120 20 利用疊加定理，可以把比較復(fù)雜的場問題分解為較簡單問題的組合，利用疊加定理，可以把比較復(fù)雜的場問題分解為較簡單問題的組合，便于求解。便于求解。1212215.2 鏡像法鏡像法 實質(zhì)實質(zhì): :是以一個或幾個是以一個或幾個等效電荷等效電荷代替邊界的影響，將原來具代替邊界的影響，將原來具有邊界的有邊界的非均勻空間非均勻空間變成變成無限大的均勻自由空間無限大的均勻自由空間，從而使計算過，從而使計算過程大為簡化。程大為簡化。 依據(jù)依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電

16、場沒有改變，這是確定邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位鏡像位置置，因此稱為，因此稱為鏡像電荷鏡像電荷，而這種方法稱為，而這種方法稱為鏡像法鏡像法。關(guān)鍵：關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。確定鏡像電荷的大小及其位置。 局限性：局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷?？赡艽_定其鏡像電荷。 u應(yīng)注意的問題：應(yīng)注意的問題：鏡像電荷位于待求場域邊界之外。鏡像電荷位于待求場域邊界之外。將有邊界的不均勻空間

17、處理為無限大均勻空間，該均勻空間中媒將有邊界的不均勻空間處理為無限大均勻空間，該均勻空間中媒質(zhì)特性與待求場域中一致。質(zhì)特性與待求場域中一致。實際電荷實際電荷( (或電流或電流) )和鏡像電荷和鏡像電荷( (或電流或電流) )共同作用保持原邊界處的共同作用保持原邊界處的邊界條件不變。邊界條件不變。 （1）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面）點電荷與無限大的導(dǎo)體平面 介質(zhì) q r P hhrq 介質(zhì) 以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間以一個處于鏡像位置的點電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為變成均勻的介電常數(shù)為 的空間，則空間任一點的空間，則空間任一點 P 的電位由的電位由

18、q 及及 q 共同產(chǎn)生，即共同產(chǎn)生，即 rqrq 4 4考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得，求得qq q導(dǎo)體平面 電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。部分完全相同。 由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。表面吻合。電場線等位線 z 電荷守恒：電荷守恒：當(dāng)點電荷當(dāng)點電荷q 位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷將產(chǎn)生

19、異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?，上述鏡像法的實質(zhì)是以一個異性的及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢?，上述鏡像法的實質(zhì)是以一個異性的鏡像點電荷鏡像點電荷代替導(dǎo)體表面上異性的代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根理，鏡像點電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。 半空間等效：半空間等效：上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為上述等效

20、性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因為在上半空間中，源及邊界條件未變。在上半空間中，源及邊界條件未變。點電荷對半無限大接地導(dǎo)體角域的鏡像點電荷對半無限大接地導(dǎo)體角域的鏡像由兩個半無限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角由兩個半無限大接地導(dǎo)體平面形成角形邊界，當(dāng)其夾角 為整為整數(shù)時，該角域中的點電荷將有個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡數(shù)時，該角域中的點電荷將有個鏡像電荷，該角域中的場可以用鏡像法求解像法求解u當(dāng)當(dāng)n=2n=2時：時：u該角域外有該角域外有3 3個鏡像電荷個鏡像電荷q1q1、 q2q2和和q3 q3 ，位置如圖所示。其中，位置如圖所示。其中 ,nn123,qqqqqqu當(dāng)當(dāng)n=3n=

21、3時：時：u角域夾角為角域夾角為/n/n，n n為整數(shù)時，有為整數(shù)時，有(2n(2n1)1)個鏡像電荷，它們與水平個鏡像電荷，它們與水平邊界的夾角分別為邊界的夾角分別為 un n不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域不為整數(shù)時，鏡像電荷將有無數(shù)個，鏡像法就不再適用了；當(dāng)角域夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。夾角為鈍角時，鏡像法亦不適用。角域外有角域外有5 5個鏡像電荷，大個鏡像電荷，大小和位置如圖所示。所有小和位置如圖所示。所有鏡像電荷都正、負交替地鏡像電荷都正、負交替地分布在同一個圓周上，該分布在同一個圓周上，該圓的圓心位于角域的頂點，圓的圓心位于角域的頂點，半徑為點電荷到頂

22、點的距半徑為點電荷到頂點的距離。離。 (2),1, 2, (1)(2 )mmnn及3q3qqqqqq例例 圖中給出介電常數(shù)分別為圖中給出介電常數(shù)分別為11和和22的兩種介質(zhì)，它們以無限大平的兩種介質(zhì)，它們以無限大平面為分界面，在面為分界面，在11區(qū)域有點電荷區(qū)域有點電荷q q，電場將由點電荷，電場將由點電荷q q和介質(zhì)分界面上和介質(zhì)分界面上的極化面電荷的極化面電荷 共同產(chǎn)生。但分界面上共同產(chǎn)生。但分界面上 分布情況不清楚，想要借用分布情況不清楚，想要借用鏡象法的原理，以虛設(shè)鏡象電荷來代替鏡象法的原理，以虛設(shè)鏡象電荷來代替 的作用。的作用。 PPqPqq q 1 1 2 2h h12兩種介質(zhì)中都

23、存在有電場，必須分區(qū)求解。設(shè)兩種介質(zhì)中都存在有電場，必須分區(qū)求解。設(shè)1 1和和2 2兩區(qū)域的電位分別是兩區(qū)域的電位分別是按靜電場的唯一性定理，運用鏡象法的等按靜電場的唯一性定理，運用鏡象法的等效條件為效條件為 除點電荷除點電荷q q所在處外，電位應(yīng)滿足所在處外，電位應(yīng)滿足012上半空間區(qū)域上半空間區(qū)域 022下半空間區(qū)域下半空間區(qū)域 1221nn2211 在介質(zhì)分界面上，在介質(zhì)分界面上，應(yīng)滿足分界面銜接條件應(yīng)滿足分界面銜接條件 2q2Phenr1(c)qq11Phhr1r2(b)fqo（2）點電荷與導(dǎo)體球）點電荷與導(dǎo)體球 Padrq 若導(dǎo)體球若導(dǎo)體球接地接地，導(dǎo)體球的電位，導(dǎo)體球的電位為零。為

24、了等效導(dǎo)體球邊界的影響，為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點電荷令鏡像點電荷q 位于球心與點電荷位于球心與點電荷 q 的連線上。那么，球面上任一點的連線上。那么，球面上任一點電位為電位為 rqrq 4 4可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為可見，為了保證球面上任一點電位為零，必須選擇鏡像電荷為 qrrq 為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值 對于球面對于球面上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形上任一點均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形 OPq 與與 OqP 相似，則相似，則 常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為常

25、數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為rrfarrqfaq鏡像電荷離球心的距離鏡像電荷離球心的距離d 應(yīng)為應(yīng)為 fad2這樣，根據(jù)這樣，根據(jù) q 及及 q 即可計算球外空間任一點的電場強度。即可計算球外空間任一點的電場強度。 fqOPadrq 若若導(dǎo)體球不接地導(dǎo)體球不接地，則位于點電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電，則位于點電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的荷為負值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷像電荷 q 后，為了滿足

26、電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q，且必須令且必須令 顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷 q“ 必須位必須位于球心。事實上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由于球心。事實上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q 及及q在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q“ 以提供一定的電位。以提供一定的電位。qq （3）點電荷與無限大的介質(zhì)平面。）點電荷與無限大的介質(zhì)平面。 E 1 1qr0EtEnEEtEn0rq 2

27、2q0r nE tE E 1 2qeten=+ 為了求解上半空間的場可用鏡像電荷為了求解上半空間的場可用鏡像電荷 q 等效邊界上束縛等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1 的均勻空間。對于的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點電荷處的下半空間，可用位于原點電荷處的q 等效原來的點電荷等效原來的點電荷q 與邊與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2 的均的均勻空間。勻空間。 但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量

28、保持連續(xù)，電位移的法向分量應(yīng)該相等，即分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應(yīng)該相等，即 2t1t1tEEE n21n1nDDD 已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為已知各個點電荷產(chǎn)生的電場強度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：rrqeE2114rrqeE211)(4rrq eE222)(4qq2121qq2122 由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾倪x擇適當(dāng)?shù)淖鴺讼凳欠浅Ｖ匾?。對于平。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直

29、角坐標系、圓柱面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標系、圓柱坐標系及球坐標系。坐標系及球坐標系。 此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標變量此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標變量 r 有關(guān)，有關(guān)，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用用直接積分方法直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標變量有關(guān)。為了求解三維拉普拉斯方程，值問題與空間三個坐標變量有關(guān)。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是一種有效的方法就是分離變量法分離變量法。

30、分離變量法分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變?yōu)槿齻€獨立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于量法對于11種坐標系都是行之有效的。種坐標系都是行之有效的。（4） 線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像線電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像u將無限長的線電荷看作無數(shù)個點電荷的集合。根據(jù)點電荷對無限大接將無限長的線電荷看作無數(shù)個點電荷的集合。根據(jù)點電荷對無限大接地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)地導(dǎo)體平面的鏡像原理，可得到線電荷對應(yīng)的鏡像電荷仍為平行于導(dǎo)體表面的線

31、電荷，其電荷密度為體表面的線電荷，其電荷密度為u待求場域待求場域 中的電位中的電位u上半空間的電場上半空間的電場l(0)y 201ln2lrr120 10 222llrrEaarr5.3 分離變量法分離變量法 0222222zyx1.直角坐標系：直角坐標系：無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在的展開式為無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在的展開式為 )()()() , ,(zZyYxXzyx令令代入上式，兩邊再除以代入上式，兩邊再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得，得 0dd1dd1dd1222222zZZyYYxXX顯然，式中各項僅與一個變量有關(guān)。因此，將上式對變量顯然，式中各項僅與一個變量有關(guān)。因

32、此，將上式對變量 x 求導(dǎo)，第求導(dǎo)，第二項及第三項均為零，求得第一項對二項及第三項均為零，求得第一項對 x 的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項等的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項等于常數(shù)。同理，再分別對變量于常數(shù)。同理，再分別對變量 y 及及 z 求導(dǎo)，得知第二項及第三項也分求導(dǎo)，得知第二項及第三項也分別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為別等于常數(shù)。令各項的常數(shù)分別為 ，分別求得，分別求得222 , ,zyxkkk0dd222XkxXx 0dd222YkyYy0dd222ZkzZz式中式中kx ，ky ，kz 稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。稱為分離常數(shù)，它們可以是實數(shù)或虛數(shù)。顯然，三顯然，三個分離常數(shù)并不是獨立的

33、，它們必須滿足下列方程個分離常數(shù)并不是獨立的，它們必須滿足下列方程0222zyxkkk由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量量 x 的常微分方程的通解為的常微分方程的通解為xkxkxxBAxXjjee)(xkDxkCxXxxcossin)(或者或者式中式中A, B, C, D為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。

34、 分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng)分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng) kx 為虛數(shù)時，令為虛數(shù)時，令 ，則上，則上述通解變?yōu)槭鐾ń庾優(yōu)?jxkxxBAxXee)(xDxCxX cosh sinh)(或者或者含變量含變量 x 或或 y 的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的的線性組合線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的它完全決定于給定的邊界條件邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。定的邊界條件。 例例 兩個相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為兩個相互平

35、行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為 d ，其有，其有限端被電位為限端被電位為 0 的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。 Odxy = 0 = 0 = 0解解 選取直角坐標系。由于導(dǎo)電平面沿選取直角坐標系。由于導(dǎo)電平面沿 z 軸無限延伸，槽中電位軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與分布函數(shù)一定與 z 無關(guān)，因此，這是一個無關(guān)，因此，這是一個二維場二維場的問題。電位所的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)闈M足的拉普拉斯方程變?yōu)?02222yx)()() ,(yY

36、xXyx應(yīng)用分離變量法，令應(yīng)用分離變量法，令根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為為了滿足為了滿足 及及 邊界條件，應(yīng)選邊界條件，應(yīng)選 Y(y) 的解為的解為 0) ,(dx0)0 ,(xykBykAyYyycossin)(0) , 0(y0) ,(y0)0 ,(x 0) ,(dx因為因為 y = 0 時，電位時，電位 = 0，因此上式中常數(shù)，因此上式中常數(shù) B = 0。為了滿足邊界。為了滿足邊界條件條件 ，分離常數(shù)，分離常數(shù) ky 應(yīng)為應(yīng)為 0) ,(dx 3, 2, 1, ,ndnkyydnAyYsin)(求得求得已知已知 ，求得，求得022yxkkdnk

37、xj可見，分離常數(shù)可見，分離常數(shù) kx 為虛數(shù)，故為虛數(shù)，故 X(x) 的解應(yīng)為的解應(yīng)為xdnxdnDCxXee)(因為因為 x = 0 時，時， 電位電位 ，因此，式中常數(shù)因此，式中常數(shù) C = 0，即，即xdnDxXe)(ydnCyxxdnsine),(那么，那么，式中常數(shù)式中常數(shù) C = AD 。由邊界條件獲知，當(dāng)由邊界條件獲知，當(dāng) x = 0 時，電位時，電位 = 0 ，代入上式，得，代入上式，得 ydnCsin0上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電式不能滿足給

38、定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即位方程的解，即ydnCyxnxdnnsine),(1為了滿足為了滿足 x = 0， = 0 邊界條件，由上式得邊界條件，由上式得 dyydnCnn0 ,sin10上式右端為傅里葉級數(shù)。利用傅里葉級數(shù)的正交性，可以求出系上式右端為傅里葉級數(shù)。利用傅里葉級數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)數(shù)Cn為為為偶數(shù)為奇數(shù) 0 40nnnCnnxdnydnnyxsine14),(0最后求得槽中電位分布函數(shù)為最后求得槽中電位分布函數(shù)為 式中式中 。 5 3, , 1n0dxy = 0 = 0 = 0電場線等位面電場線及等位面電場線及等位面分布如右圖示：分布如右圖示：

39、2. 圓柱坐標系中的分離變量法圓柱坐標系中的分離變量法 電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為電位微分方程在圓柱坐標系中的展開式為 01122222zrrrrr令其解為令其解為 )()()(),(zZrRzr0dddd1dddd22222zZZrrRrrRr代入上式求得代入上式求得上式中第二項僅為變量上式中第二項僅為變量 的函數(shù)，而第一項及第三項與的函數(shù)，而第一項及第三項與 無關(guān)，因無關(guān)，因此將上式對此將上式對 求導(dǎo)，得知第二項對求導(dǎo)，得知第二項對 的導(dǎo)數(shù)為零，可見第二項應(yīng)為的導(dǎo)數(shù)為零，可見第二項應(yīng)為常數(shù)，令常數(shù)，令 222dd1k0dd222k即即式中式中 k 為分離常數(shù)，為分離常數(shù)，它可以是

40、實數(shù)或虛數(shù)。通常變量它可以是實數(shù)或虛數(shù)。通常變量 的變化范圍的變化范圍為為 ，那么此時場量隨，那么此時場量隨 的變化一定是以的變化一定是以 2 2 為周期的周期函為周期的周期函數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù) k 一定是整數(shù)，以保一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為證函數(shù)的周期為2 2 。令。令 ，m 為整數(shù)，則上式的解為為整數(shù)，則上式的解為20mkmBmAcossin)(式中式中A, B 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 考慮到考慮到 ，以及變量，以及變量 的方程式，則前述方程可表示為的方程式，則前述方程可表示為mk0dd1dddd12222zZZrmrRr

41、rRr上式左邊第一項僅為變量上式左邊第一項僅為變量 r 的函數(shù)，第二項僅為變量的函數(shù)，第二項僅為變量 z 的函數(shù)，因的函數(shù)，因此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令 222dd1zkzZZ0dd222ZkzZz即即式中分離常數(shù)式中分離常數(shù) kz 可為實數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或可為實數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。當(dāng)指數(shù)函數(shù)。當(dāng) kz 為實數(shù)時，可令為實數(shù)時，可令 zkDzkCzZzzcossin)(式中式中C, D 為待定常數(shù)。為待定常數(shù)。 將變量將變量 z 方程代入前式，得方程代入前式，得 0)(dddd222222Rmrk

42、rRrrRrz若令若令 ，則上式變?yōu)椋瑒t上式變?yōu)?222xrkz0)(dddd22222RmxxRxxRx上式為標準的柱上式為標準的柱貝塞爾方程貝塞爾方程，其解為柱，其解為柱貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)，即，即 )(N)(J)(rkFrkErRzmzm 至此，我們分別求出了至此，我們分別求出了R(r) ,() , Z(z) 的解，而電位微分方的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。 式中式中E, F 為待定常數(shù)為待定常數(shù), 為為 m 階第一類階第一類柱柱貝塞爾函數(shù)，貝塞爾函數(shù)， 為為m階第二類階第二類柱柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類

43、柱柱貝塞爾函數(shù)的特性知，貝塞爾函數(shù)的特性知，當(dāng)當(dāng)r = 0 時，時， 。因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括。因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括 r = 0 時，此時，此時只能取第一類時只能取第一類柱柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解。貝塞爾函數(shù)作為方程的解。 )(Jrkzm)(Nrkzm)(Nrkzm 若所討論的靜電場與變量若所討論的靜電場與變量 z 無關(guān)，則分離常數(shù)無關(guān)，則分離常數(shù) 。那么。那么電位微分方程變?yōu)殡娢晃⒎址匠套優(yōu)?zk0dddd2222RmrRrrRr此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即此方程的解為指數(shù)函數(shù)，即 mmFrErrR)( 若所討論的靜電場又與變量若所討論的靜電場又與變量 無關(guān)，則無關(guān)，則 m = 0。那么，

44、電位微。那么，電位微分方程的解為分方程的解為 00ln)(BrArR考慮到以上各種情況，考慮到以上各種情況，電位微分方程電位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 110)cossin( )cossin(ln),(mmmmmmmmmDmCrmBmArrAr3. 球坐標系中的分離變量法球坐標系中的分離變量法 電位微分方程在球坐標系中的展開式為電位微分方程在球坐標系中的展開式為0sin1sinsin112222222rrrrrr)()()(),(rRr令令0dd1ddsinddsinddddsin2222rRrrR代入上式，得代入上式，得與前同理，與前同理， 的解應(yīng)為的解應(yīng)為mBmAco

45、ssin)(0sinddsinddsin1dddd1222mrRrrR可見，上式中第一項僅為可見，上式中第一項僅為 r 的函數(shù)，第二項與的函數(shù)，第二項與 r 無關(guān)。因此，與前無關(guān)。因此，與前同理第一項應(yīng)為常數(shù)。為了便于進一步求解，令同理第一項應(yīng)為常數(shù)。為了便于進一步求解，令 ) 1(dddd12nnrRrrR0) 1(dd2dd222RnnrRrrRr式中式中n 為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為 1)(nnrDCrrR將此結(jié)果代入上式，得將此結(jié)果代入上式，得0sinsin) 1(ddsindd2mnn令令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)閤cos01) 1(dd)1 (dd

46、222xmnnxxx上式為上式為連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程，其通解為，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)第一類連帶勒讓德函數(shù) 與與第二類連帶勒讓德函數(shù)第二類連帶勒讓德函數(shù) 之和，這里之和，這里 m n 。 )(Pxmn)(Qxmn 當(dāng)當(dāng) n 是整數(shù)時，是整數(shù)時， 及及 為有限項多項式。因此，要求為有限項多項式。因此，要求 n 為整數(shù)。為整數(shù)。 )(Pxmn)(Qxmn 根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng)根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng) 時，時， 。因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括 或或 時，時， ，此時只能取第一，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令所以，通常令1x)(Qxmn01x)(cosP)(P)(mnmnx 那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性組合那么，電位微分方程的通解通常