大學(xué)物理答案 6.第六章

1、第六章 機械運動和機械波思考題6-35簡諧振動中相位為、+、2+、3+、.時描述的是同一運動狀態(tài)嗎？為什么？6-36 對一簡諧振動系統(tǒng)，畫出其動能和勢能關(guān)于時間變量的曲線，并分析兩者反相的物理意義。6-37 將單擺擺線從鉛直方向拉到角的位置撒手任其擺動。這里角是初相位嗎？若不是，它將對應(yīng)什么物理量？6-38 若以一裝滿水的空心球作為單擺的擺鐘，并讓水從球體緩慢流出，試描述其擺動周期的變化情況。6-39 利用受迫振動的穩(wěn)定解（6.19）式說明為什么恒力不能導(dǎo)致受迫振動。（提示：恒力的頻率可視為零）6-40 在太空中能聽到聲音嗎？為什么？6-41 在較長時間間隔（t>>T）內(nèi)，任意以t

2、為變量的正弦（或余弦）型函數(shù)的平均值均為零，例如：<cos t>=<sin t>=0，其中是任意常數(shù)。試據(jù)此推導(dǎo)（6.11）、(6.12)及(6.40)式。6-42 海嘯是一種波長約為幾十至幾百千米、在海水中傳播的波動現(xiàn)象。它在深海區(qū)域并不易被察覺，但一旦海嘯接近岸邊往往會造成巨大的災(zāi)害。試從能量角度分析其中的原因。6-43 描述機械波時間周期性的物理量由周期T、頻率v和圓頻率給出。類似地，我們可以用、 、描述波的空間周期性，試說明這三個量對應(yīng)的物理意義。6-44 試解釋弦樂器的以下現(xiàn)象：（1） 較松的弦發(fā)生的音調(diào)較低，而較緊的弦則音調(diào)較高；（2） 較細的弦發(fā)生的音調(diào)較

3、高，而較粗的弦則音調(diào)較低（古人稱之為“小弦大聲，大弦小聲”）；（3） 正在振動的兩端固定的弦，若用手指輕按弦的中點時，音調(diào)變高到兩倍，若改按弦的三分之一處時，音調(diào)增至三倍；（4） 用力彈撥琴弦（而非用手指按弦）時，能同時聽到若干音調(diào)各異的聲音。（提示：音調(diào)高低與弦振動的頻率成正比。此外，在（4）情形中弦以基頻振動的同時還以若干泛頻振動。）習(xí)題6-1 如題6-1圖所示，用一根金屬絲把一均勻圓盤懸掛起來，懸線oc通過圓盤質(zhì)心，圓盤呈水平狀態(tài)，這個裝置稱為扭擺，當(dāng)使圓盤轉(zhuǎn)過一個角度時，金屬絲受到扭轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生一個扭轉(zhuǎn)的恢復(fù)力矩。若扭轉(zhuǎn)角度很小，圓盤對oc周的轉(zhuǎn)動慣量為I,扭轉(zhuǎn)力矩可表示為M=-k，求

4、扭擺的振動周期。解:由轉(zhuǎn)動方程6-2 一質(zhì)量為m的細桿狀的1m長的直尺，如果以其一端點為軸懸掛起來，軸處摩擦不計，求其振動周期。解: 復(fù)擺(物理擺)小角度振動時方程為:題6-2 圖6-3 有一立方形的木塊浮在靜止水中，靜止時浸入水中的部分高度為a。若用力稍稍壓下，使其浸入水中部分的高度為b，如題6-3 圖所示，然后松手 ，任其做自由振動。試證 ，如果不計水的粘度阻力，木塊將做簡諧振動，并求振動的周期和振幅。解：浮力與重力相等處于平衡狀態(tài)有：6-4 一質(zhì)量為1.0 × 10-3 kg的質(zhì)點，做簡諧振動，其振幅為2.0×10-4m，質(zhì)點再離平衡位置最遠處的加速度為 8.0

5、15;103m/s2。（1） 試計算質(zhì)點的振動頻率；（2） 質(zhì)點通過平衡位置時的速度；（3） 質(zhì)點位移為1.2×10-4m時的速度；（4） 寫出作用在這質(zhì)點上的力作為位置的函數(shù)和作為時間的函數(shù)。解：6-5 如題6-5圖所示，一重力作用下的彈簧振子，振子靜止時彈簧伸長=10cm;將振子向下拉一段距離d=2.0cm，并將位移方向給它一個向下的初速度v0=10cm/s，任其運動，不計空氣阻力，試求：（1） 振動頻率（2） 振幅A（3） 初始相位（4） 振動表達式。（取10m/s2）解：（1）振動頻率 （2）振幅（3）初相位 （v0>0取正號，v0<0取負號）（4）振動表達式X=

6、0.02cos(10t-0.46)(m)6-6 一不計質(zhì)量，自然長度為的彈簧，兩端分別系上質(zhì)量為m1和m2的質(zhì)點，放在光滑的水平桌面上，開始時手持m1和m2把彈簧拉長至 ，停止不動，然后兩手同時放開，試問 這系統(tǒng)將如何運動？解:無外力整個過程質(zhì)心不動, t時刻m1和m2位置分別為x1, x2故有:此時系統(tǒng)做振幅為A，圓頻率為w的簡振動。6-7 有一鳥類學(xué)家，他在野外觀察到一種少見的大鳥落在一棵大樹的細枝上，他想測得這只鳥的質(zhì)量，但不能捉住來稱量，于是靈機一動，測得這鳥在數(shù)枝上在4s內(nèi)來回擺動了6次，等鳥飛走以后，他又用1kg的砝碼系在大鳥原來落得位置上，測出樹枝彎下了12cm，于是很快算出了這

7、只鳥的質(zhì)量。你認為這位鳥類學(xué)家是怎樣算的？你想到了這種方法了嗎?這只鳥的質(zhì)量是多少？解：樹枝與鳥形成一個諧振子。6-8 如題6-8圖所示，有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k，振子的質(zhì)量為m/，開始時處于靜止平衡狀態(tài)，有一 發(fā)質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿彈簧方向飛來，擊中振子并埋在其中，試以擊中時為計時零點，寫出此系統(tǒng)的振動表達式。解：碰撞時動量守恒，碰撞后機械能守恒。6-9 如題6-9圖所示振動系統(tǒng)，振子是一個做純滾動的圓柱體，已知 圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為R，彈簧的勁度系數(shù)為k，并且彈簧是系在圓柱體的中心旋轉(zhuǎn)對稱軸上。試求這一振動系統(tǒng)的頻率。解：設(shè)平衡點為彈簧原長時，又彈簧質(zhì)量不計，對圓柱體在運

8、動中受力有：6-10 如題6-10圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為k，定滑輪的質(zhì)量為m/，半徑為R，轉(zhuǎn)動慣量為,物體的質(zhì)量為m。軸處摩擦不計，彈簧和繩的質(zhì)量也不計，繩與滑輪間無相對滑動。(1) 試 求這一振動系統(tǒng)的振動頻率。(2) 如果在彈簧處于原廠時由靜止釋放物體m，m向下具有最大速度時開始計時，并令m向下運動為x的正坐標(biāo)，試寫出m的振動表達式。解：（1）設(shè)彈簧原長平衡時，伸長x kx0=mg 以伸長時 m所在點為坐標(biāo)原點，運動中，有：對于m有：聯(lián)立兩式子有：設(shè)彈簧原長時，釋放m振動表達式為：6-11 在LC電路中，電容極板上的電荷量若為q，電容器將儲存能 ，流經(jīng)電感中的電流若為i，電感中將儲存磁能

9、,且常量，試求LC電路的固有振蕩頻率。解：6-12 假定有兩個質(zhì)量均為m的離子，它們之間的勢能為 （1） 試用a和b 表示其平衡位置；（2） 試證明其振動角頻率為解：（1）保守力平衡點f=0。 （2）作微振動f可寫成將f一級近似6-13質(zhì)量m=1.0×10-2kg的小球與輕質(zhì)彈簧組成的振動系統(tǒng)，按的規(guī)律振動，式子各量均為SI單位，求：（1） 振動的角頻率、周期、振幅和初始相位；（2） 振動的速度和加速度（函數(shù)式）；（3） 振動的總能量E；（4） 振動的平均動能和平均勢能；（5） t=1.0s 、10s等時刻的相位。解： 與振動表達式 比較可以直接得到6-14 在阻尼振動系統(tǒng)中，量叫做

10、弛豫時間。(1) 證明的量綱是時間；(2) 經(jīng)過時間 后，這振動的振幅變?yōu)槎嗌?？能量的最大值變?yōu)槎嗌伲?3) 把振動減小到其初值的一半所需要的時間（用表示）；(4) 當(dāng)經(jīng)過的時間等于上述(3)中求出的2倍、3倍時，求振幅的值。解：（1）（2）（3）（4）6-15 火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過鐵軌接觸即受一次震動，使裝在彈簧上面的車廂上下振動。設(shè)每段鐵軌長 12.5cm，彈簧平均負重5.5 ×103kg,而彈簧每受到1.0×103kg力將壓縮16mm。試問 ，火車速度多大時，振動特別強？解： 固有振動周期等于強迫力周期時發(fā)生共振。6-16 已知 兩個方向的簡諧振動(1) 求它們合

11、振動的振幅和初始相位；(2) 另有一個同反向的簡諧振動x3=0.07cos(10t+), 問為何值的時候，x1+x3振幅為最大？為何值的時候，x2+x3的振幅為最??？(各量皆用SI單位。)解：A最大時A最小時6-17 一質(zhì)點同時受到兩個同頻率的和同方向的簡諧振動的作用，它們的運動方程分別為x1=1.7×10-2cos(2t+ )和x2=0.6×10-2cos(2t+ ),試寫出質(zhì)點的運動方程。解：仍是諧振動6-18 一待測量頻率的音叉與一頻率為440Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉并排放置，并同時振動，聲音響度有周期性的起伏，每隔0.5s 聽到一次最大響度的音（即拍聲），問拍頻是多少？音叉的

12、頻率可能是多少？ 為了進一步唯一確定其值，可以在待測音叉上滴下一滴石蠟，重做上述實驗，若此時拍品變低，則說明待測音叉的頻率是多少？解：已知T0.5s，得拍頻或者若在待測音叉上滴上一滴石蠟，其頻率變低，如果再測，拍頻變低 成立6-19 (1)波源的振動表達式為,我們的計時零點是怎樣選擇的？如果以波源所在處為原點，波沿著x正方向傳播，那么對應(yīng)的波函數(shù)應(yīng)該怎樣寫？（設(shè)波速為v）（2）如果選取波源向正方向振動，且位移為A/2的時刻為計時零點，波源處為坐標(biāo)原點，波速仍為v ，波函數(shù)該怎樣些？（3）如果在上題中把波源的位置訂為x0 點，波函數(shù)又怎樣寫。解：（1）波源初相位是0，是恰好在正的最大位移處開始計

13、時，若X與同向，波函數(shù)為（2）如下圖所示 又因為（3）若波源在X0點，若X與同向，任意X的振動要比X0點落后X點t時刻的振動是X0點在時刻的振動其中6-20 一沿很長弦線行進的橫波波函數(shù)為式中各量均為國際單位。試求振幅、波長、頻率波速、波的傳播方向和波線上質(zhì)遠的最大橫向振動頻率。解：X點比原點位相超前，與X反向又6-21 題6-21 圖中的曲線(a) 和（b）分別表示t=0s和t=2.0s的某一平面簡諧波的波形圖，試寫出此平面簡諧波的表達式。解：從曲線(a)可以看出A=2，用余弦函數(shù)表示時6-22 設(shè)在某一時刻，一個向右傳播的平面簡諧波的波形曲線如圖所示，試分別說明圖中A、B、C、D等各點在該

14、時刻的振動方向，并做出T/4前和T/4后的波形圖。解：6-23 已知一列波速為v、沿x正向傳播的波在t=0時的波形曲線如圖所示，畫出圖中A、B、C、D各點在第一周期內(nèi)的振動曲線。解：A點，t=0時，y=-A振動表達式y(tǒng)=Acos(t+)B點，t=0時，y0=0，并且V0<0見圖>所以y=Acos(t+/2)，=/26-24 在直徑為14cm的直管中傳播的平面簡諧波，其平均能流密度為9.0×10-3W/m2，頻率v=300Hz，波速v=300m/s，求：（1）最大哪能量密度和平均能量密度；（2）相鄰兩同相位波面間（即相位差為2的兩波面間）的總能量。解：（1）（2）6-25聲

15、波是流體或固體中的壓縮波，在討論聲波時，討論聲波中的壓強（即壓力）變化要比討論聲波中質(zhì)元的位移更方便些，可以證明，當(dāng)聲波的位移波函數(shù)為時，對應(yīng)于壓力變化的波函數(shù)為是相對于為擾動時壓力的壓強變化值，是介質(zhì)的體密度。（1） 人耳能夠忍受的強聲波中的最大壓強變化pm約為28N/m2（正常的大氣壓強約為1.0×105N/m2）若這一強度波的頻率為1000Hz，試求這聲波所對應(yīng)的最大位移。（2） 在頻率為1000Hz的聲波中，可以聽得出最微弱的聲音的壓強振幅約為 2.0×10-5N/m2,試求相應(yīng)的位移振幅，設(shè)=1.29kg/m3，v=321m/s。解：（1）最大位移：（2）最小位移

16、：6-26無線電波以3.0×108m/s的速度傳播，有一無線電波的波源功率為50kW，假設(shè)該波源在各向同性介質(zhì)中發(fā)射球面波，求離波源200km遠處無線電波的能量密度。解：6-27 如圖所示，設(shè)B點發(fā)出的平面橫波在B點的振動表達式為沿BP方向傳播；C點發(fā)出的平面橫波在C點的振動表達式為沿CP方向傳播，兩式中各量均為SI單位，設(shè)BP=0.4m ，CP=0.5m，波速為0.2m/s，求：（1）兩列波傳達到P處時的相位差；（2）如果這兩列波的振動方向相同，求P點的合成振幅；（3）如果這兩列波的振動方向垂直，則合成振動的振幅如何？解：（1） 因為是兩個同頻率的波所以（2） 如果振動方向也相同，

17、得到兩相干波（3） 如果振動方向垂直又同相，合成后仍是諧振動，6-28 題6-28圖表示一個聲學(xué)干涉儀，它是用來演示聲波的干涉，S是電磁鐵作用下的振動膜片，D是聲波探測器，例如耳朵或傳聲器，路程SBD的長度可以改變，但路徑SAD卻是固定的，干涉儀內(nèi)充有空氣，實驗中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B在某一位置時聲強有最小值（100單位），而從這個位置向右拉1.65cm到第二個位置時聲強就漸漸上升到最大值（900單位）。試求：（1）由聲源發(fā)出的聲波的頻率以及（2）當(dāng)B在上述兩個位置時到達探測器的兩個波的相對振幅和（3）到達D處時二路聲波的分振幅之比（已知聲速為340m/s）。解法一：極大為波腹，極小為波節(jié)，相鄰波腹波節(jié)間

18、距：解法二：D處干涉極大，極小取決于波程差，相鄰極大和極小只差半個波長，故有題6-28圖6-29 在同一介質(zhì)中的兩個相干波源位于AB兩點，其振動方向相同，振幅皆為5cm/s，頻率皆為100Hz，但A點為波峰時，B點為波谷，且在此介質(zhì)中波速為10m/s，設(shè)AB相距20m，經(jīng)過A點做一條垂線，在此垂線上取一點P，AP=15cm，（1） 試分別寫出P點處兩波在該點的振動表達式；（2）求兩波在P點的相位差；（3）寫出干涉后的振動表達式（波動中振動幅不變）。解：（1）（2）（3）相消干涉A=0，所以y=06-30在一個兩端固定的3.0m長的弦上有3個波腹的“駐波”其振幅為1.0cm，弦長波速為100m/s（1）試計算頻率；（2）若視為人、反射波疊加的理想駐波，寫出產(chǎn)生此駐波的兩個波的表達式。解：（1）（2）若為理想駐波駐波端點為節(jié)點，x=0，表達式為 設(shè)入射波波函數(shù)則反射波波函數(shù)顯然即6-31 如圖所示，S是一個由音頻振蕩器和放大器驅(qū)動的小喇叭，音頻振蕩器的頻率可調(diào)范圍為1000-200