大學(xué)物理答案 6.第六章

1、第六章 機(jī)械運(yùn)動(dòng)和機(jī)械波思考題6-35簡(jiǎn)諧振動(dòng)中相位為、+、2+、3+、.時(shí)描述的是同一運(yùn)動(dòng)狀態(tài)嗎？為什么？6-36 對(duì)一簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)，畫出其動(dòng)能和勢(shì)能關(guān)于時(shí)間變量的曲線，并分析兩者反相的物理意義。6-37 將單擺擺線從鉛直方向拉到角的位置撒手任其擺動(dòng)。這里角是初相位嗎？若不是，它將對(duì)應(yīng)什么物理量？6-38 若以一裝滿水的空心球作為單擺的擺鐘，并讓水從球體緩慢流出，試描述其擺動(dòng)周期的變化情況。6-39 利用受迫振動(dòng)的穩(wěn)定解（6.19）式說明為什么恒力不能導(dǎo)致受迫振動(dòng)。（提示：恒力的頻率可視為零）6-40 在太空中能聽到聲音嗎？為什么？6-41 在較長(zhǎng)時(shí)間間隔（t>>T）內(nèi)，任意以t

2、為變量的正弦（或余弦）型函數(shù)的平均值均為零，例如：<cos t>=<sin t>=0，其中是任意常數(shù)。試據(jù)此推導(dǎo)（6.11）、(6.12)及(6.40)式。6-42 海嘯是一種波長(zhǎng)約為幾十至幾百千米、在海水中傳播的波動(dòng)現(xiàn)象。它在深海區(qū)域并不易被察覺，但一旦海嘯接近岸邊往往會(huì)造成巨大的災(zāi)害。試從能量角度分析其中的原因。6-43 描述機(jī)械波時(shí)間周期性的物理量由周期T、頻率v和圓頻率給出。類似地，我們可以用、 、描述波的空間周期性，試說明這三個(gè)量對(duì)應(yīng)的物理意義。6-44 試解釋弦樂器的以下現(xiàn)象：（1） 較松的弦發(fā)生的音調(diào)較低，而較緊的弦則音調(diào)較高；（2） 較細(xì)的弦發(fā)生的音調(diào)較

3、高，而較粗的弦則音調(diào)較低（古人稱之為“小弦大聲，大弦小聲”）；（3） 正在振動(dòng)的兩端固定的弦，若用手指輕按弦的中點(diǎn)時(shí)，音調(diào)變高到兩倍，若改按弦的三分之一處時(shí)，音調(diào)增至三倍；（4） 用力彈撥琴弦（而非用手指按弦）時(shí)，能同時(shí)聽到若干音調(diào)各異的聲音。（提示：音調(diào)高低與弦振動(dòng)的頻率成正比。此外，在（4）情形中弦以基頻振動(dòng)的同時(shí)還以若干泛頻振動(dòng)。）習(xí)題6-1 如題6-1圖所示，用一根金屬絲把一均勻圓盤懸掛起來，懸線oc通過圓盤質(zhì)心，圓盤呈水平狀態(tài)，這個(gè)裝置稱為扭擺，當(dāng)使圓盤轉(zhuǎn)過一個(gè)角度時(shí)，金屬絲受到扭轉(zhuǎn)，從而產(chǎn)生一個(gè)扭轉(zhuǎn)的恢復(fù)力矩。若扭轉(zhuǎn)角度很小，圓盤對(duì)oc周的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,扭轉(zhuǎn)力矩可表示為M=-k，求

4、扭擺的振動(dòng)周期。解:由轉(zhuǎn)動(dòng)方程6-2 一質(zhì)量為m的細(xì)桿狀的1m長(zhǎng)的直尺，如果以其一端點(diǎn)為軸懸掛起來，軸處摩擦不計(jì)，求其振動(dòng)周期。解: 復(fù)擺(物理擺)小角度振動(dòng)時(shí)方程為:題6-2 圖6-3 有一立方形的木塊浮在靜止水中，靜止時(shí)浸入水中的部分高度為a。若用力稍稍壓下，使其浸入水中部分的高度為b，如題6-3 圖所示，然后松手 ，任其做自由振動(dòng)。試證 ，如果不計(jì)水的粘度阻力，木塊將做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求振動(dòng)的周期和振幅。解：浮力與重力相等處于平衡狀態(tài)有：6-4 一質(zhì)量為1.0 × 10-3 kg的質(zhì)點(diǎn)，做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振幅為2.0×10-4m，質(zhì)點(diǎn)再離平衡位置最遠(yuǎn)處的加速度為 8.0

5、15;103m/s2。（1） 試計(jì)算質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率；（2） 質(zhì)點(diǎn)通過平衡位置時(shí)的速度；（3） 質(zhì)點(diǎn)位移為1.2×10-4m時(shí)的速度；（4） 寫出作用在這質(zhì)點(diǎn)上的力作為位置的函數(shù)和作為時(shí)間的函數(shù)。解：6-5 如題6-5圖所示，一重力作用下的彈簧振子，振子靜止時(shí)彈簧伸長(zhǎng)=10cm;將振子向下拉一段距離d=2.0cm，并將位移方向給它一個(gè)向下的初速度v0=10cm/s，任其運(yùn)動(dòng)，不計(jì)空氣阻力，試求：（1） 振動(dòng)頻率（2） 振幅A（3） 初始相位（4） 振動(dòng)表達(dá)式。（取10m/s2）解：（1）振動(dòng)頻率 （2）振幅（3）初相位 （v0>0取正號(hào)，v0<0取負(fù)號(hào)）（4）振動(dòng)表達(dá)式X=

6、0.02cos(10t-0.46)(m)6-6 一不計(jì)質(zhì)量，自然長(zhǎng)度為的彈簧，兩端分別系上質(zhì)量為m1和m2的質(zhì)點(diǎn)，放在光滑的水平桌面上，開始時(shí)手持m1和m2把彈簧拉長(zhǎng)至 ，停止不動(dòng)，然后兩手同時(shí)放開，試問 這系統(tǒng)將如何運(yùn)動(dòng)？解:無外力整個(gè)過程質(zhì)心不動(dòng), t時(shí)刻m1和m2位置分別為x1, x2故有:此時(shí)系統(tǒng)做振幅為A，圓頻率為w的簡(jiǎn)振動(dòng)。6-7 有一鳥類學(xué)家，他在野外觀察到一種少見的大鳥落在一棵大樹的細(xì)枝上，他想測(cè)得這只鳥的質(zhì)量，但不能捉住來稱量，于是靈機(jī)一動(dòng)，測(cè)得這鳥在數(shù)枝上在4s內(nèi)來回?cái)[動(dòng)了6次，等鳥飛走以后，他又用1kg的砝碼系在大鳥原來落得位置上，測(cè)出樹枝彎下了12cm，于是很快算出了這

7、只鳥的質(zhì)量。你認(rèn)為這位鳥類學(xué)家是怎樣算的？你想到了這種方法了嗎?這只鳥的質(zhì)量是多少？解：樹枝與鳥形成一個(gè)諧振子。6-8 如題6-8圖所示，有一彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k，振子的質(zhì)量為m/，開始時(shí)處于靜止平衡狀態(tài)，有一 發(fā)質(zhì)量為m的子彈以速度v0沿彈簧方向飛來，擊中振子并埋在其中，試以擊中時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，寫出此系統(tǒng)的振動(dòng)表達(dá)式。解：碰撞時(shí)動(dòng)量守恒，碰撞后機(jī)械能守恒。6-9 如題6-9圖所示振動(dòng)系統(tǒng)，振子是一個(gè)做純滾動(dòng)的圓柱體，已知 圓柱體的質(zhì)量為m，半徑為R，彈簧的勁度系數(shù)為k，并且彈簧是系在圓柱體的中心旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸上。試求這一振動(dòng)系統(tǒng)的頻率。解：設(shè)平衡點(diǎn)為彈簧原長(zhǎng)時(shí)，又彈簧質(zhì)量不計(jì)，對(duì)圓柱體在運(yùn)

8、動(dòng)中受力有：6-10 如題6-10圖所示，彈簧的勁度系數(shù)為k，定滑輪的質(zhì)量為m/，半徑為R，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,物體的質(zhì)量為m。軸處摩擦不計(jì)，彈簧和繩的質(zhì)量也不計(jì)，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)。(1) 試 求這一振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)頻率。(2) 如果在彈簧處于原廠時(shí)由靜止釋放物體m，m向下具有最大速度時(shí)開始計(jì)時(shí)，并令m向下運(yùn)動(dòng)為x的正坐標(biāo)，試寫出m的振動(dòng)表達(dá)式。解：（1）設(shè)彈簧原長(zhǎng)平衡時(shí)，伸長(zhǎng)x kx0=mg 以伸長(zhǎng)時(shí) m所在點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)中，有：對(duì)于m有：聯(lián)立兩式子有：設(shè)彈簧原長(zhǎng)時(shí)，釋放m振動(dòng)表達(dá)式為：6-11 在LC電路中，電容極板上的電荷量若為q，電容器將儲(chǔ)存能 ，流經(jīng)電感中的電流若為i，電感中將儲(chǔ)存磁能

9、,且常量，試求LC電路的固有振蕩頻率。解：6-12 假定有兩個(gè)質(zhì)量均為m的離子，它們之間的勢(shì)能為 （1） 試用a和b 表示其平衡位置；（2） 試證明其振動(dòng)角頻率為解：（1）保守力平衡點(diǎn)f=0。 （2）作微振動(dòng)f可寫成將f一級(jí)近似6-13質(zhì)量m=1.0×10-2kg的小球與輕質(zhì)彈簧組成的振動(dòng)系統(tǒng)，按的規(guī)律振動(dòng)，式子各量均為SI單位，求：（1） 振動(dòng)的角頻率、周期、振幅和初始相位；（2） 振動(dòng)的速度和加速度（函數(shù)式）；（3） 振動(dòng)的總能量E；（4） 振動(dòng)的平均動(dòng)能和平均勢(shì)能；（5） t=1.0s 、10s等時(shí)刻的相位。解： 與振動(dòng)表達(dá)式 比較可以直接得到6-14 在阻尼振動(dòng)系統(tǒng)中，量叫做

10、弛豫時(shí)間。(1) 證明的量綱是時(shí)間；(2) 經(jīng)過時(shí)間 后，這振動(dòng)的振幅變?yōu)槎嗌?？能量的最大值變?yōu)槎嗌伲?3) 把振動(dòng)減小到其初值的一半所需要的時(shí)間（用表示）；(4) 當(dāng)經(jīng)過的時(shí)間等于上述(3)中求出的2倍、3倍時(shí)，求振幅的值。解：（1）（2）（3）（4）6-15 火車在鐵軌上行駛，每經(jīng)過鐵軌接觸即受一次震動(dòng)，使裝在彈簧上面的車廂上下振動(dòng)。設(shè)每段鐵軌長(zhǎng) 12.5cm，彈簧平均負(fù)重5.5 ×103kg,而彈簧每受到1.0×103kg力將壓縮16mm。試問 ，火車速度多大時(shí)，振動(dòng)特別強(qiáng)？解： 固有振動(dòng)周期等于強(qiáng)迫力周期時(shí)發(fā)生共振。6-16 已知 兩個(gè)方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1) 求它們合

11、振動(dòng)的振幅和初始相位；(2) 另有一個(gè)同反向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)x3=0.07cos(10t+), 問為何值的時(shí)候，x1+x3振幅為最大？為何值的時(shí)候，x2+x3的振幅為最?。?各量皆用SI單位。)解：A最大時(shí)A最小時(shí)6-17 一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)受到兩個(gè)同頻率的和同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的作用，它們的運(yùn)動(dòng)方程分別為x1=1.7×10-2cos(2t+ )和x2=0.6×10-2cos(2t+ ),試寫出質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程。解：仍是諧振動(dòng)6-18 一待測(cè)量頻率的音叉與一頻率為440Hz的標(biāo)準(zhǔn)音叉并排放置，并同時(shí)振動(dòng)，聲音響度有周期性的起伏，每隔0.5s 聽到一次最大響度的音（即拍聲），問拍頻是多少？音叉的

12、頻率可能是多少？ 為了進(jìn)一步唯一確定其值，可以在待測(cè)音叉上滴下一滴石蠟，重做上述實(shí)驗(yàn)，若此時(shí)拍品變低，則說明待測(cè)音叉的頻率是多少？解：已知T0.5s，得拍頻或者若在待測(cè)音叉上滴上一滴石蠟，其頻率變低，如果再測(cè)，拍頻變低 成立6-19 (1)波源的振動(dòng)表達(dá)式為,我們的計(jì)時(shí)零點(diǎn)是怎樣選擇的？如果以波源所在處為原點(diǎn)，波沿著x正方向傳播，那么對(duì)應(yīng)的波函數(shù)應(yīng)該怎樣寫？（設(shè)波速為v）（2）如果選取波源向正方向振動(dòng)，且位移為A/2的時(shí)刻為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，波源處為坐標(biāo)原點(diǎn)，波速仍為v ，波函數(shù)該怎樣些？（3）如果在上題中把波源的位置訂為x0 點(diǎn)，波函數(shù)又怎樣寫。解：（1）波源初相位是0，是恰好在正的最大位移處開始計(jì)

13、時(shí)，若X與同向，波函數(shù)為（2）如下圖所示 又因?yàn)椋?）若波源在X0點(diǎn)，若X與同向，任意X的振動(dòng)要比X0點(diǎn)落后X點(diǎn)t時(shí)刻的振動(dòng)是X0點(diǎn)在時(shí)刻的振動(dòng)其中6-20 一沿很長(zhǎng)弦線行進(jìn)的橫波波函數(shù)為式中各量均為國(guó)際單位。試求振幅、波長(zhǎng)、頻率波速、波的傳播方向和波線上質(zhì)遠(yuǎn)的最大橫向振動(dòng)頻率。解：X點(diǎn)比原點(diǎn)位相超前，與X反向又6-21 題6-21 圖中的曲線(a) 和（b）分別表示t=0s和t=2.0s的某一平面簡(jiǎn)諧波的波形圖，試寫出此平面簡(jiǎn)諧波的表達(dá)式。解：從曲線(a)可以看出A=2，用余弦函數(shù)表示時(shí)6-22 設(shè)在某一時(shí)刻，一個(gè)向右傳播的平面簡(jiǎn)諧波的波形曲線如圖所示，試分別說明圖中A、B、C、D等各點(diǎn)在該

14、時(shí)刻的振動(dòng)方向，并做出T/4前和T/4后的波形圖。解：6-23 已知一列波速為v、沿x正向傳播的波在t=0時(shí)的波形曲線如圖所示，畫出圖中A、B、C、D各點(diǎn)在第一周期內(nèi)的振動(dòng)曲線。解：A點(diǎn)，t=0時(shí)，y=-A振動(dòng)表達(dá)式y(tǒng)=Acos(t+)B點(diǎn)，t=0時(shí)，y0=0，并且V0<0見圖>所以y=Acos(t+/2)，=/26-24 在直徑為14cm的直管中傳播的平面簡(jiǎn)諧波，其平均能流密度為9.0×10-3W/m2，頻率v=300Hz，波速v=300m/s，求：（1）最大哪能量密度和平均能量密度；（2）相鄰兩同相位波面間（即相位差為2的兩波面間）的總能量。解：（1）（2）6-25聲

15、波是流體或固體中的壓縮波，在討論聲波時(shí)，討論聲波中的壓強(qiáng)（即壓力）變化要比討論聲波中質(zhì)元的位移更方便些，可以證明，當(dāng)聲波的位移波函數(shù)為時(shí)，對(duì)應(yīng)于壓力變化的波函數(shù)為是相對(duì)于為擾動(dòng)時(shí)壓力的壓強(qiáng)變化值，是介質(zhì)的體密度。（1） 人耳能夠忍受的強(qiáng)聲波中的最大壓強(qiáng)變化pm約為28N/m2（正常的大氣壓強(qiáng)約為1.0×105N/m2）若這一強(qiáng)度波的頻率為1000Hz，試求這聲波所對(duì)應(yīng)的最大位移。（2） 在頻率為1000Hz的聲波中，可以聽得出最微弱的聲音的壓強(qiáng)振幅約為 2.0×10-5N/m2,試求相應(yīng)的位移振幅，設(shè)=1.29kg/m3，v=321m/s。解：（1）最大位移：（2）最小位移

16、：6-26無線電波以3.0×108m/s的速度傳播，有一無線電波的波源功率為50kW，假設(shè)該波源在各向同性介質(zhì)中發(fā)射球面波，求離波源200km遠(yuǎn)處無線電波的能量密度。解：6-27 如圖所示，設(shè)B點(diǎn)發(fā)出的平面橫波在B點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為沿BP方向傳播；C點(diǎn)發(fā)出的平面橫波在C點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式為沿CP方向傳播，兩式中各量均為SI單位，設(shè)BP=0.4m ，CP=0.5m，波速為0.2m/s，求：（1）兩列波傳達(dá)到P處時(shí)的相位差；（2）如果這兩列波的振動(dòng)方向相同，求P點(diǎn)的合成振幅；（3）如果這兩列波的振動(dòng)方向垂直，則合成振動(dòng)的振幅如何？解：（1） 因?yàn)槭莾蓚€(gè)同頻率的波所以（2） 如果振動(dòng)方向也相同，

17、得到兩相干波（3） 如果振動(dòng)方向垂直又同相，合成后仍是諧振動(dòng)，6-28 題6-28圖表示一個(gè)聲學(xué)干涉儀，它是用來演示聲波的干涉，S是電磁鐵作用下的振動(dòng)膜片，D是聲波探測(cè)器，例如耳朵或傳聲器，路程SBD的長(zhǎng)度可以改變，但路徑SAD卻是固定的，干涉儀內(nèi)充有空氣，實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)B在某一位置時(shí)聲強(qiáng)有最小值（100單位），而從這個(gè)位置向右拉1.65cm到第二個(gè)位置時(shí)聲強(qiáng)就漸漸上升到最大值（900單位）。試求：（1）由聲源發(fā)出的聲波的頻率以及（2）當(dāng)B在上述兩個(gè)位置時(shí)到達(dá)探測(cè)器的兩個(gè)波的相對(duì)振幅和（3）到達(dá)D處時(shí)二路聲波的分振幅之比（已知聲速為340m/s）。解法一：極大為波腹，極小為波節(jié)，相鄰波腹波節(jié)間

18、距：解法二：D處干涉極大，極小取決于波程差，相鄰極大和極小只差半個(gè)波長(zhǎng)，故有題6-28圖6-29 在同一介質(zhì)中的兩個(gè)相干波源位于AB兩點(diǎn)，其振動(dòng)方向相同，振幅皆為5cm/s，頻率皆為100Hz，但A點(diǎn)為波峰時(shí)，B點(diǎn)為波谷，且在此介質(zhì)中波速為10m/s，設(shè)AB相距20m，經(jīng)過A點(diǎn)做一條垂線，在此垂線上取一點(diǎn)P，AP=15cm，（1） 試分別寫出P點(diǎn)處兩波在該點(diǎn)的振動(dòng)表達(dá)式；（2）求兩波在P點(diǎn)的相位差；（3）寫出干涉后的振動(dòng)表達(dá)式（波動(dòng)中振動(dòng)幅不變）。解：（1）（2）（3）相消干涉A=0，所以y=06-30在一個(gè)兩端固定的3.0m長(zhǎng)的弦上有3個(gè)波腹的“駐波”其振幅為1.0cm，弦長(zhǎng)波速為100m/s（1）試計(jì)算頻率；（2）若視為人、反射波疊加的理想駐波，寫出產(chǎn)生此駐波的兩個(gè)波的表達(dá)式。解：（1）（2）若為理想駐波駐波端點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，x=0，表達(dá)式為 設(shè)入射波波函數(shù)則反射波波函數(shù)顯然即6-31 如圖所示，S是一個(gè)由音頻振蕩器和放大器驅(qū)動(dòng)的小喇叭，音頻振蕩器的頻率可調(diào)范圍為1000-200