彈性力學(xué)：有限差分發(fā)和變分法

1、2022-6-2第五章用差分法和變分法解平面問(wèn)題NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0 xy0312456789101112A1314Bhh,ff x yxxf22000200343400340012!113!4!ffffxxxxxxffxxxxxxNORTHEASTERN

2、 UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)0,0 xh0,0 xhh22333023000223310230002626fhfhfffhxxxfhfhfffhxxx2230200221020022fhfffhxxfhfffhxx0fx220fxNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程220fx5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)130213022022fffxhffffxhy240224022022fffyhffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo) 65782

3、130068572222214ffffffyyffhhx yxyhhffffh 40139114404012345678224040241012440164142164ffffffxhffffffffffx yhffffffyhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 51 1差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)fxyNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，我們已把彈性力學(xué)平面問(wèn)題歸結(jié)為在給定

4、邊界條件下求解雙調(diào)和方程的問(wèn)題。用差分法解平面問(wèn)題，就應(yīng)先將雙調(diào)和方程變換為差分方程，而后求解之。0 xy0312456789101112A1314BhhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解1、應(yīng)力分量（不計(jì)體力） 一旦求得彈性體全部節(jié)點(diǎn)的 值后，就可按應(yīng)力分量差分公式（對(duì)節(jié)點(diǎn)0）算得彈性體各節(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。0 xy0312456789101112A1314Bhh2240220021302200257682001()21()21()()4xyxyyhxhx yh 如果知道各結(jié)點(diǎn)的如果知道各結(jié)點(diǎn)的 值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。

5、值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解雙調(diào)和方程 對(duì)于彈性體邊界以?xún)?nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。 應(yīng)力函數(shù)在域內(nèi)應(yīng)該滿(mǎn)足上式。444422420 xxyy整理即得2、差分方程（相容方程）相容方程的差分公式0 xy0312456789101112A1314Bhh0123456789101112208() 2() () 0 NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解 當(dāng)對(duì)于邊界內(nèi)一行的（距邊界為h的）結(jié)點(diǎn)，建立的差分方程還將

6、涉及邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，并包含邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的 值。為了求得邊界上各結(jié)點(diǎn)處的 值，須要應(yīng)用應(yīng)力邊界條件，即： xyxxxyyylmflmf 在 上s代入上式，即得： 222222;xylmflmfyx yx yx （b）22222,xyxyyxx y （a）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由圖（52）可見(jiàn)cos,coscos,sindyln xdsdxmn yds AB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2因此，式（b）可以改寫(xiě)成222222ddddddddxyyxfsysx yyxfsx ysx

7、NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解約去 dy、dx 得： xyddffdsydsx ； （c）關(guān)于邊界上任一點(diǎn)處 、 的值，可將上式從基點(diǎn) A 到 任意點(diǎn)B ，對(duì) s 積分得到：xyddBBBBxyAAAAfsfsyx；ddBBxyAABABAfsfsyyxx ； （d）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解由高等數(shù)學(xué)可知，ddd.dddxysxsys 將此式亦從 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)沿 s 進(jìn)行積分，就得到邊界上任一點(diǎn) B 處的 值。為此利用分部積分法，得：

8、 dddd ,ddBBBBBAAAAAxxsyysxsxysy bbbaaau x dv xu x v xv x du xAB0 xBySyxydxdydsnyfxfBx圖5-2NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解將式(c),(d)代入，整理得：由前知，把應(yīng)力函數(shù)加上一個(gè)線(xiàn)性函數(shù)，并不影響應(yīng)力。因此，可設(shè)想把應(yīng)力函數(shù)加上a+bx+cy，然后調(diào)整a，b，c三個(gè)數(shù)值，使得由式(d)及式(c)可見(jiàn)，設(shè) 已知，則可根據(jù)面力分量求得邊界s上任一點(diǎn)B的 ,.BBBxy,AAAxy0A0,0AAxy()()()d()dBBBABABABx

9、ByAAAAxxyyyy psxxpsxy（e）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解于是式(d)，式(e) 簡(jiǎn)化為：dd()d()dBxABByABBBBBBxyAAfsyfsxyy fsxxfs （511）（512）（513） 討論：（1）（511）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；x（2）（512）右邊積分式表示AB之間， 方向的面力之和；y（3）（513）右邊積分式表示AB之間， 面力對(duì)B的力矩之和；y（4）以上結(jié)果不能用于多連體的情況。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2

10、應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解邊界外一行的虛節(jié)點(diǎn)的 值139141022ABhxhx（514）0 xy0312456789101112A1314Bhh1392Axh14102AyhNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解用差分法解彈性平面問(wèn)題時(shí)，可按下列步驟進(jìn)行：（2）應(yīng)用公式（514），將邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的 值用邊界內(nèi)的相 應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的 值來(lái)表示。0AAAxy取 （1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A，然后由面力的矩及面力之和算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處 的值，以及所必需的一些 及 值，即垂直于邊界方向的導(dǎo)數(shù)值。xy（3）對(duì)邊界

11、內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程（510），聯(lián)立求解這些結(jié)點(diǎn)處的 值。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 52 2應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解（5）按照公式（59）計(jì)算應(yīng)力的分量。 說(shuō)明： 如果一部分邊界是曲線(xiàn)的，或是不與坐標(biāo)軸正交，則邊界附近將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)。對(duì)于這樣的結(jié)點(diǎn)，差分方程（510）必須加以修正。（4）按照公式（513），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的 值。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 54 4彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 54 4彈

12、性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程 設(shè)彈性體在一定外力作用下，處于平衡狀態(tài)，發(fā)生的真實(shí)位移為u,v,w，它們滿(mǎn)足位移分量表示的平衡方程，并滿(mǎn)足位移邊界條件和用位移表示的應(yīng)力邊界條件。彈性體受力后，發(fā)生變形，外力作功，外力功轉(zhuǎn)化為變形能，儲(chǔ)存在彈性體內(nèi)，單元體內(nèi)的變形能為5 54 4彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能1()12xxyyzzyzyzzxzxxyxyU 101d2ijijijijijU 11d d dd dd2ijijUU x y zxyz NORTHEASTERN UNIVERSITY彈

13、性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 54 4彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能112xxyyxyxyU 112xxyyxyxyAAUU dxdydxdy 22112 1xxyyyxxyxyEEE222121222 1xyxyxyEU ,xyxy111,xyxyxyxyUUU（515）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 54 4彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能222121222 1Euvu vvuUxyxyxy 21EE1平面應(yīng)力 平面應(yīng)變22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）NORTHEASTERN UNIVE

14、RSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 54 4彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 54 4彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的變形勢(shì)能和外力勢(shì)能,xyffs,xyffxyxyAsVWf uf v dxdyf uf v ds （518）xyxyAswf uf v dxdyf uf v ds（517）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 55 5 位移變分方程位移變分方程N(yùn)ORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程 設(shè)有任一彈性體，在一定外力作用

15、下處于平衡狀態(tài)。命 為該彈性體中實(shí)際存在的位移分量，它們滿(mǎn)足位移分量表示的平衡微分方程，并滿(mǎn)足位移邊界條件及用位移分量表示的應(yīng)力邊界條件。, ,u v w 假想，位移分量發(fā)生了位移邊界條件所容許的微小改變，即虛位移虛位移，或位移變分位移變分, uv,uuuvvv對(duì)于三維時(shí)：,uuuuuuwww一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）一、位移變分方程（拉格朗日變分方程）注：變分和微分都是微量，運(yùn)算方法相同。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程給出彈性體的限制條件：給出彈性體的限制條件：（1）沒(méi)有溫度改變（熱能沒(méi)變）；（2）沒(méi)有速度改變（動(dòng)

16、能沒(méi)變）。根據(jù)能量守恒，變形勢(shì)能的增加等于外力勢(shì)能的減少（外力的虛功）三維：xyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw ds上式：位移變分方程（拉格朗日變分方程）xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程二、虛功方程二、虛功方程按照變分原理，變分運(yùn)算與定積分的運(yùn)算可以交換次序。11UU dxdydzU dxdydz利用（515）111111xyzyzzxxyxyzyzzxxyxxyyzzyzyzzxzxxyxyUUUUUUUdxdydzdxdydz 代入

17、位移變分方程xyzxyzxxyyzzyzyzzxzxxyxyfufvfw dxdydzfufvfw dsdxdydz （524）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程對(duì)應(yīng)于二維情況sxyxyAxxyyxyxyAfufv dxdyfufv dsdxdy （524） （524）就是虛功方程虛功方程，表示：如果在虛位移發(fā)生前，彈性體是處于平衡狀態(tài)平衡狀態(tài)，那么，在虛位移過(guò)程中，外力在虛位移上所做的虛功虛功，等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上所做的虛功虛功。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 55 5位移變分方程位移變分方程三、

18、極小勢(shì)能原理三、極小勢(shì)能原理令在虛位移過(guò)程中，外力的大小和方向保持不變，只是作用點(diǎn)發(fā)生了改變xyzxyzxyzxyzUfufvfw dxdydzfufvfw dsf uf vf w dxdydzf uf vwfds將變分與定積分交換次序，移項(xiàng)0 xyzxyzUf uf vf w dxdydzf uf vf w ds令xyzxyzVf uf vf w dxdydzf uf vf w ds 極小勢(shì)能原理極小勢(shì)能原理： （523） 0UVNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程極小勢(shì)能原理極小勢(shì)能原理： （523） 0UV5 55 5位移變分方程位移變分方程 在給定外力作用下，

19、在滿(mǎn)足位移邊界條件的所有各組位移中間，實(shí)際存在的一組位移應(yīng)使總勢(shì)能成為極值，對(duì)于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，這個(gè)值是極小值。 位移變分方程（極小勢(shì)能原理或虛功方程）等價(jià)于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程5 56 6 位移變分法位移變分法NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程56位移變分法位移變分法：位移變分法：（1）設(shè)定一組包含若干待定系數(shù)的位移分量表達(dá)式；（2）使它們滿(mǎn)足位移邊界條件；（3）令其滿(mǎn)足位移變分方程（代替平衡微分方程核應(yīng)力邊界條件）并求 出待定系數(shù)，就同樣地能得出實(shí)際位移解答。（1）位移分量表達(dá)式）位移分量表達(dá)式

20、00,m mm mmmuuA uvvB v（525）其中：其中： 和和 是坐標(biāo)的函數(shù)，是坐標(biāo)的函數(shù)， 為為2m個(gè)互不依賴(lài)的待定系數(shù)個(gè)互不依賴(lài)的待定系數(shù)。00,u v,mmuv,mmABNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程（2）考察是否滿(mǎn)足邊界條件？56位移變分法令 等于給定約束位移值 ；us,u vus在邊界 上，令 等于零。,mmuv邊界條件滿(mǎn)足邊界條件滿(mǎn)足（3）怎樣滿(mǎn)足變分方程（522）？xyxyAsUfufv dxdyfufv ds體力的虛功面力的虛功（522）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程位移分量的變分56位移變分法,mmmmm

21、muuAvvB注：位移分量的變分是由系數(shù) 的變分來(lái)實(shí)現(xiàn)的。,mmAB（a）形變勢(shì)能的變分mmmmmUUUABAB（b）（a），（b）代入變分方程（522）mmmmmxmmymmxmmymmAsmmUUABABf uAf vBdxdyf uAf vBdsNORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程56位移變分法移項(xiàng)，整理0 xmxmmymymmAsAsmmmmUUf u dxdyf u dsAf v dxdyf v dsBAB變分 是任意的，互不依賴(lài)的，所以系數(shù)必須為零,mmAB00 x mx mAsmy my mAsmUf u dxdyf u dsAUf v dxdyf v

22、dsB（526）討論：（1）由于系數(shù)互不依賴(lài)，所以可由方程（526）求出各個(gè)系數(shù)；（2）再由（525）求得位移分量；（3）再求應(yīng)變和應(yīng)力分量。NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程57位移變分法的例題例1：如圖（59）所示薄板，不計(jì)體力， 約束和外力如圖。圖：591 111 11uAuAxvBvB y（1）取位移分量表達(dá)式如下（2）考察是否滿(mǎn)足邊界條件？滿(mǎn)足22221222 1AEuvu vvuUdxdyxyxyxy （516）（3）由（526）求出待定常數(shù)，得到位移分量的解答首先，由（516）求出形變勢(shì)能（b）NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程57位移變分法的例題形變勢(shì)能的表達(dá)式22111120022 1abEUABA B dxdy 進(jìn)行積分221111222 1EabUABAB由于不計(jì)體力，項(xiàng)數(shù)為1，（526）簡(jiǎn)化為1111xsysUf u dsAUf v dsB（c）（d）（e）代入邊界條件積分NORTHEASTERN UNIVERSITY彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程57位移變分法的例題（d），（e）式就變?yōu)?211,UUq abq abAB