控制工程基礎(chǔ)清華大學(xué)董景新第二章控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型

1、控制工程基礎(chǔ)控制工程基礎(chǔ) （第二章）（第二章） 清華大學(xué)清華大學(xué)第二章第二章 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型2.1 2.1 基本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型基本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型2.22.2 數(shù)學(xué)模型的線性化數(shù)學(xué)模型的線性化2.32.3 拉氏變換及反變換拉氏變換及反變換2.42.4 傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)2.52.5 系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡(jiǎn)化系統(tǒng)函數(shù)方塊圖及其簡(jiǎn)化2.62.6 系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅遜公式系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅遜公式2.72.7 受控機(jī)械對(duì)象數(shù)學(xué)模型受控機(jī)械對(duì)象數(shù)學(xué)模型2.82.8 繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖2.92.9 狀態(tài)空間方

2、程狀態(tài)空間方程第二章第二章 控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并在此基礎(chǔ)上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制上對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、綜合，是機(jī)電控制工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號(hào)傳工程的基本方法。如果將物理系統(tǒng)在信號(hào)傳遞過(guò)程中的動(dòng)態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述遞過(guò)程中的動(dòng)態(tài)特性用數(shù)學(xué)表達(dá)式描述出來(lái)，出來(lái)，就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。就得到了組成物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳經(jīng)典控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以傳遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)遞函數(shù)為基礎(chǔ)。而現(xiàn)代控制理論采用的數(shù)學(xué)模型主要以狀態(tài)空

3、間方程為基礎(chǔ)。而以物理模型主要以狀態(tài)空間方程為基礎(chǔ)。而以物理定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基定律及實(shí)驗(yàn)規(guī)律為依據(jù)的微分方程又是最基本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間本的數(shù)學(xué)模型，是列寫傳遞函數(shù)和狀態(tài)空間方程的基礎(chǔ)。方程的基礎(chǔ)。本章要熟悉下列內(nèi)容：本章要熟悉下列內(nèi)容：1、建立基本環(huán)節(jié)（質(zhì)量、建立基本環(huán)節(jié)（質(zhì)量-彈簧彈簧-阻尼系統(tǒng)和電阻尼系統(tǒng)和電路網(wǎng)絡(luò)）的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化路網(wǎng)絡(luò)）的數(shù)學(xué)模型及模型的線性化2、重要的分析工具：拉氏變換及反變換、重要的分析工具：拉氏變換及反變換3、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù)、經(jīng)典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：傳遞函數(shù)4、控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號(hào)流圖、

4、控制系統(tǒng)的圖形表示：方塊圖及信號(hào)流圖5、受控機(jī)械對(duì)象的數(shù)學(xué)模型、受控機(jī)械對(duì)象的數(shù)學(xué)模型6、繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖、繪制實(shí)際機(jī)電系統(tǒng)的函數(shù)方塊圖7、現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：狀態(tài)空間模型、現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：狀態(tài)空間模型2.1 基本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型基本環(huán)節(jié)數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性數(shù)學(xué)模型是描述物理系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、特性和輸入輸出關(guān)系的一個(gè)或一組方程式。和輸入輸出關(guān)系的一個(gè)或一組方程式。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。 靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：靜態(tài)數(shù)學(xué)模型：反映系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)）反映系統(tǒng)處于平衡點(diǎn)（穩(wěn)態(tài)）時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量

5、之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。時(shí)，系統(tǒng)狀態(tài)有關(guān)屬性變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。即只考慮同一時(shí)刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)即只考慮同一時(shí)刻實(shí)際系統(tǒng)各物理量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，不管各變量隨時(shí)間的演化，輸出信號(hào)與過(guò)關(guān)系，不管各變量隨時(shí)間的演化，輸出信號(hào)與過(guò)去的工作狀態(tài)（歷史）無(wú)關(guān)。因此靜態(tài)模型都是去的工作狀態(tài)（歷史）無(wú)關(guān)。因此靜態(tài)模型都是代數(shù)式代數(shù)式，數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時(shí)間變量。，數(shù)學(xué)表達(dá)式中不含有時(shí)間變量。 動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型：描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過(guò)渡描述動(dòng)態(tài)系統(tǒng)瞬態(tài)與過(guò)渡態(tài)特性的模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物態(tài)特性的模型。也可定義為描述實(shí)際系統(tǒng)各物理量隨時(shí)間演化的數(shù)學(xué)表達(dá)式。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸理量隨時(shí)間演化的數(shù)

6、學(xué)表達(dá)式。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的輸出信號(hào)不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，而且與出信號(hào)不僅取決于同時(shí)刻的激勵(lì)信號(hào)，而且與它過(guò)去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程它過(guò)去的工作狀態(tài)有關(guān)。微分方程或差分方程常用作動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。常用作動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。 對(duì)于給定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一對(duì)于給定的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型不是唯一的。的。工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，工程上常用的數(shù)學(xué)模型包括：微分方程，傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對(duì)于線性系統(tǒng)，它們之傳遞函數(shù)和狀態(tài)方程。對(duì)于線性系統(tǒng)，它們之間是等價(jià)的。針對(duì)具體問(wèn)題，選擇不同的數(shù)學(xué)間是等價(jià)的。針對(duì)具體問(wèn)題，選擇不同的數(shù)學(xué)模型。模型。 建立數(shù)學(xué)模型是控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中最建立數(shù)學(xué)模型是

7、控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)中最重要的工作！重要的工作！2.1.1 質(zhì)量質(zhì)量- -彈簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)阻尼系統(tǒng) 機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對(duì)象是機(jī)械系統(tǒng)。機(jī)電控制系統(tǒng)的受控對(duì)象是機(jī)械系統(tǒng)。在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和在機(jī)械系統(tǒng)中，有些構(gòu)件具有較大的慣性和剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。在剛度，有些構(gòu)件則慣性較小、柔度較大。在集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽集中參數(shù)法中，我們將前一類構(gòu)件的彈性忽略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性略將其視為質(zhì)量塊，而把后一類構(gòu)件的慣性忽略而視為無(wú)質(zhì)量的彈簧。這樣受控對(duì)象的忽略而視為無(wú)質(zhì)量的彈簧。這樣受控對(duì)象的機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量機(jī)械系統(tǒng)可抽象為質(zhì)量- -彈

8、簧彈簧- -阻尼系統(tǒng)。阻尼系統(tǒng)。k1J11J12m31m32k122k121k231k232k31k32J3J2m2電動(dòng)機(jī)減速器工作臺(tái)+工件k1m1k121k122m2k231k232k31k32m31+m32系統(tǒng) 1系統(tǒng) 3系統(tǒng) 2D1D2D3DM tfi tyokD見(jiàn)光盤課件（第二章第一節(jié)）見(jiàn)光盤課件（第二章第一節(jié)）有源電路網(wǎng)絡(luò)dttuCRtuoi)()()()(tudttuRCio2.2 數(shù)學(xué)模型的線性化數(shù)學(xué)模型的線性化線性模型：線性模型：滿足滿足疊加性與齊次性疊加性與齊次性，用來(lái)描述線性系統(tǒng)。，用來(lái)描述線性系統(tǒng)。 疊加性指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號(hào)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí)，總疊加性指當(dāng)幾個(gè)激勵(lì)信號(hào)同時(shí)作用

9、于系統(tǒng)時(shí)，總的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。的輸出響應(yīng)等于每個(gè)激勵(lì)單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)之和。齊次性指當(dāng)輸入信號(hào)乘以某常數(shù)時(shí)，響應(yīng)也倍乘相同齊次性指當(dāng)輸入信號(hào)乘以某常數(shù)時(shí)，響應(yīng)也倍乘相同的常數(shù)。的常數(shù)。 即若即若 為線性系統(tǒng)，則為線性系統(tǒng)，則 非線性模型：非線性模型：不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程不滿足疊加性或齊次性，用非線性方程表示。表示。 用來(lái)描述非線性系統(tǒng)。用來(lái)描述非線性系統(tǒng)。)()(:tytxf)()()()(2121tytytxtxf 線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡線性化方法：一般可在系統(tǒng)工作平衡點(diǎn)附近，對(duì)非線性方程采用臺(tái)勞級(jí)數(shù)展開(kāi)點(diǎn)附近，對(duì)非線性方程采用臺(tái)勞級(jí)數(shù)

10、展開(kāi)進(jìn)行線性化，略去高階項(xiàng)，保留一階項(xiàng)，進(jìn)行線性化，略去高階項(xiàng)，保留一階項(xiàng)，就可得到近似的線性模型。就可得到近似的線性模型。 由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，由于反饋系統(tǒng)不允許出現(xiàn)大的偏差，因此，這種線性化方法對(duì)于閉環(huán)控制系統(tǒng)因此，這種線性化方法對(duì)于閉環(huán)控制系統(tǒng)具有實(shí)際意義。具有實(shí)際意義。圖2-7圖2-8D閥控液壓缸例閥控液壓缸例)(0L0L0,xpfQLppxxLLppxxL0L0Lpp,xpfxx,xpf,xpfQL0L0L0L0)(LcqLpKxKQL0L0L0L0ppxxLLcppxxLqp,xpfKx,xpfK,dtydAQ)(dtydDdtydMAp22L)()()()()(xKd

11、tydAADKdtydAMKqc22c)()()(txKtyAADKtyAMKqcc 線性化方法：線性化方法：假設(shè)變量相對(duì)于某一工作狀態(tài)假設(shè)變量相對(duì)于某一工作狀態(tài)（平衡點(diǎn)）偏差很小。設(shè)系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為（平衡點(diǎn)）偏差很小。設(shè)系統(tǒng)的函數(shù)關(guān)系為簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為 。如果系統(tǒng)的工作平衡點(diǎn)。如果系統(tǒng)的工作平衡點(diǎn)為為 ，則方程可以在，則方程可以在 點(diǎn)附近臺(tái)勞展開(kāi)點(diǎn)附近臺(tái)勞展開(kāi) 如果如果 很小，可以忽略其高階項(xiàng)，因很小，可以忽略其高階項(xiàng)，因此上述方程可寫成增量方程形式此上述方程可寫成增量方程形式 其中，其中， ， ，)()(txfty)(xfy yx,x222)()(21)()()()(xxdxxfdxxdxxd

12、fxfxfyxxxKy)(xfyyyyxxxxxdxdfK2.3 拉氏變換及反變換拉氏變換及反變換Laplace（拉普拉斯）變換是描述、分析拉普拉斯）變換是描述、分析連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具！連續(xù)、線性、時(shí)不變系統(tǒng)的重要工具！2.3.1 拉氏變換定義拉氏變換定義 定義定義 拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變拉氏變換可理解為廣義單邊傅立葉變換。傅氏變換建立了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，換。傅氏變換建立了時(shí)域和頻域間的聯(lián)系，而拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。而拉氏變換建立了時(shí)域和復(fù)頻域間的聯(lián)系。 見(jiàn)光盤課件（第一章第二節(jié)）見(jiàn)光盤課件（第一章第二節(jié)）2.3.2簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換簡(jiǎn)單函數(shù)的拉氏變換2

13、cos2sinsincossincosjjjjjjeejeejeje正弦函數(shù)正弦函數(shù)sintsint 1 1（t t）和和余弦函數(shù)余弦函數(shù)costcost 1 1（t t）的拉氏變換的拉氏變換 220011212sin1sinsjsjsjdtejeedte tttLsttjtjst 220011212cos1cosssjsjsdteeedte tttLsttjtjst 的拉氏變換 證： ttx )( sdssXttxL ttxLdtettxetdttxdsedttxdsdtetxdssXstsstsststss00001周期函數(shù)的象函數(shù)周期函數(shù)的象函數(shù) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)x(t)x(t)是以是以T

14、T為周期的周期函數(shù)，為周期的周期函數(shù)，即即x(t+T)=x(t)x(t+T)=x(t)，則則證：證： TstsTdtetxetxL011 010120limnTnnTstTTnnTstTTststnstdtetxdtetxdtetxdtetxdtetxtxL 令令 則則nTt TstsTnTssnTnTnTsdtetxedexedenTxtxL0000011 拉氏反變換公式為拉氏反變換公式為 簡(jiǎn)寫為簡(jiǎn)寫為 jajastdsesXjtx21 sXLtx1在一般機(jī)電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形在一般機(jī)電控制系統(tǒng)中，通常遇到如下形式的有理分式式的有理分式 其中，使分母為零的其中，使分母為零的s s值稱

15、為極點(diǎn)，使分子值稱為極點(diǎn)，使分子為零的為零的s s值稱為零點(diǎn)。則有值稱為零點(diǎn)。則有其中，其中， nnnnmmmmasasasbsbsbsbsX1111110 kgkrrrmmmmdscsdscspspspsbsbsbsbsXl1121121111110121nkkkrrrgl21212 nnnnnmmmmnnnnmmmmpsapsapsapsapspspsbsbsbsbasasasbsbsbsbsX1122112111101111110式中，式中， 是常值，是常值， 為極點(diǎn)處的留數(shù)，為極點(diǎn)處的留數(shù)，可由下式求得可由下式求得 將式（將式（2.192.19）拉氏反變換，可利用拉氏變換）拉氏反變換，

16、可利用拉氏變換表得表得kakps kpskkpssXa teaeaeasXLtxtpntptpn121211例例 試求試求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。解：解： 2332ssssX 21213233212sasasssssssX teetxsssXssssassssattss122112122132121322211含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)情況含共軛復(fù)數(shù)極點(diǎn)情況 nnnnnmmmmnnnnmmmmpsapsapsajsjsasapspsjsjsbsbsbsbasasasbsbsbsbsX113321311101111110式中，式中， 是常值，可由以下步驟求得是常值，可由以下步驟求得將上式兩邊乘將上式兩

17、邊乘 , , 兩邊同兩邊同時(shí)令時(shí)令 （或同時(shí)令（或同時(shí)令 ），），得得 （2.212.21）分別令式（分別令式（2.212.21）兩邊實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，）兩邊實(shí)部、虛部對(duì)應(yīng)相等，即可求得即可求得 。 可通過(guò)配方，化成正弦、余可通過(guò)配方，化成正弦、余弦象函數(shù)的形式，然后求其反變換。弦象函數(shù)的形式，然后求其反變換。21,aajsjsjsjs jsjsjsjssXasa2121,aadcssasa221例例 試求試求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。解：解：將該式兩邊同乘將該式兩邊同乘 ，并令，并令 ， sssssX231 sassasasssssssssX3221223111112 ss2321js

18、63212123211jsjsasass 即即 解解 得得 又又12123212321ajaaj12123232121aaa0121aa110233ssssssa故故 則則 ssssssssssssX12321233323212112321233321112222222 tttetxt1123cos23sin3321含共軛復(fù)根的情況，也可用第一種情況的方含共軛復(fù)根的情況，也可用第一種情況的方法。值得注意的是，此時(shí)共軛復(fù)根相應(yīng)兩個(gè)法。值得注意的是，此時(shí)共軛復(fù)根相應(yīng)兩個(gè)分式的分子分式的分子 和和 是共軛復(fù)數(shù)，只要求出是共軛復(fù)數(shù)，只要求出其中一個(gè)值，另一個(gè)即可得到。其中一個(gè)值，另一個(gè)即可得到。例例

19、求求 的拉氏反變換。的拉氏反變換。解：解：ka1ka sssssX231 sajsajsasssssX321232321232116321232112321231jjsssssajs則則則則63212ja110233ssssssa sjsjjsjsssssX12321632123216321123 tttetejejtxttjtj1123cos23sin3311632163212123212321含多重極點(diǎn)的情況含多重極點(diǎn)的情況 nnnnrrjrjrrrrrnrrmmmmnnnnmmmmpsapsapsapsapsapsapsapspspsbsbsbsbasasasbsbsbsbsX11111

20、1111111111101111110式中，式中，jra可由下式求得可由下式求得 111111111111!11!1psrrrpsrjjjrpsrrpsrrpssXdsdrapssXdsdjapssXdsdapssXa 利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程利用拉氏變換解常系數(shù)線性微分方程 例例 解方程解方程 ，其中，其中， 解：解： 將方程兩邊取拉氏變換，得將方程兩邊取拉氏變換，得 將將 代入，并整理，得代入，并整理，得 所以所以 66)(5)(tytyty 20, 2)0(yy ssYyssYysysYs660500)(2 20, 2)0(yy 342513261222sssssssssY tt

21、eety324512.4 2.4 傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)以及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上，以系統(tǒng)本身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的身的參數(shù)描述的線性定常系統(tǒng)輸入量與輸出量的關(guān)系式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸關(guān)系式，它表達(dá)了系統(tǒng)內(nèi)在的固有特性，而與輸入量或驅(qū)動(dòng)函數(shù)無(wú)關(guān)。它可以是無(wú)量綱的，也可入量或驅(qū)動(dòng)函數(shù)無(wú)關(guān)。它可以是無(wú)量綱的，也可以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它以是有量綱的，視系統(tǒng)的輸入、輸出量而定，它包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所需要的量綱。它不包含著聯(lián)系輸入量與輸出量所需要的量綱。它不能表明系

22、統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)，許多物理性能表明系統(tǒng)的物理特性和物理結(jié)構(gòu)，許多物理性質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些質(zhì)不同的系統(tǒng)，有著相同的傳遞函數(shù)，正如一些不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。不同的物理現(xiàn)象可以用相同的微分方程描述一樣。 見(jiàn)光盤課件（第二章第三節(jié)）見(jiàn)光盤課件（第二章第三節(jié)）表表2-2 2-2 等效彈性剛度說(shuō)明等效彈性剛度說(shuō)明力力 學(xué)學(xué) 模模 型型時(shí)時(shí) 域域 方方 程程拉拉 氏氏 變變 換換 式式等等 效效 彈彈簧簧 剛剛 度度彈彈 簧簧kx(t) tkxtf skXsFk k阻阻 尼尼器器Dx(t) txDtf sDsXsFD Ds s質(zhì)質(zhì) 量量Mx(t) txMt

23、f sXMssF22Ms表表2-2 2-2 復(fù)阻抗說(shuō)明復(fù)阻抗說(shuō)明 比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié) （其中（其中k k為常數(shù)）為常數(shù)） tui tui tuo 2R 1R 1212)(RRkRRsUsUio ksG 比例環(huán)節(jié) （其中k為常數(shù)）1z2z tni tno 2121)(zzkzzsNsNsGio ksG一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié) （其中（其中T T為時(shí)為時(shí)間常數(shù)）間常數(shù)）11)(TssGRCtui tuo ti 11RCssUsUsGio一階慣性環(huán)節(jié)一階慣性環(huán)節(jié) （其中（其中T T為時(shí)為時(shí)間常數(shù)）間常數(shù)）11)(TssGktxo txiD 11skDsXsXsGio積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié) ( (其中其中k

24、k為常數(shù)）為常數(shù)）sksG)( sRCsUsUsGio1二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié) （其中（其中 0011）121)(22TssTsG )2,(122111222LCRCLCTsLCLCRCsLCRCsLCssUsUsGio二階振蕩環(huán)節(jié)二階振蕩環(huán)節(jié) （其中（其中 0011）121)(22TssTsG MkfkMTskMMkfskMkkfsMssFsYsGio2,122/11222 見(jiàn)光盤課件（第二章第四、五節(jié)）見(jiàn)光盤課件（第二章第四、五節(jié)） 2.6 2.6 系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅遜公式系統(tǒng)信號(hào)流圖及梅遜公式信號(hào)流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些定向線段將一些節(jié)點(diǎn)連接起來(lái)信號(hào)流圖中的網(wǎng)絡(luò)是由一些定向線段將一些節(jié)點(diǎn)連接

25、起來(lái)組成的。其中，節(jié)點(diǎn)用來(lái)表示變量或信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)也稱組成的。其中，節(jié)點(diǎn)用來(lái)表示變量或信號(hào)，輸入節(jié)點(diǎn)也稱源點(diǎn)，輸出節(jié)點(diǎn)也稱阱點(diǎn)，混合節(jié)點(diǎn)是指既有輸入又有輸源點(diǎn)，輸出節(jié)點(diǎn)也稱阱點(diǎn)，混合節(jié)點(diǎn)是指既有輸入又有輸出的節(jié)點(diǎn)；定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號(hào)的流出的節(jié)點(diǎn)；定向線段稱為支路，其上的箭頭表明信號(hào)的流向，各支路上還標(biāo)明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；從輸向，各支路上還標(biāo)明了增益，即支路上的傳遞函數(shù)；從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的通路上通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次的通路稱為前向通路，起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且與任何節(jié)點(diǎn)相交不多路稱為前向通路，起點(diǎn)與終點(diǎn)重合且與任何節(jié)點(diǎn)相交

26、不多于一次的通路稱為回路。于一次的通路稱為回路。從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由從輸入變量到輸出變量的系統(tǒng)傳遞函數(shù)可由梅遜公式求得。梅遜公式可表示為梅遜公式求得。梅遜公式可表示為kkkP1Pfd,e,fedb,ccbaaLLLLLL1 第第k k條前向通路的傳遞函數(shù)；條前向通路的傳遞函數(shù)； 第第k k條前向通路特征式的余因子，即條前向通路特征式的余因子，即對(duì)于流圖的特征式對(duì)于流圖的特征式,將與第將與第k k條前向通路條前向通路相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的相接觸的回路傳遞函數(shù)代以零值，余下的即為即為 。kPkk例：例：G4H1G2G7H2G2G3G4G5H2G6G4G5H2G2G7

27、H2G4H11G4H1)G1G2G7(1G1G6G4G5G1G2G3G4G5Xi(s)Xo(s) 2.7 2.7 受控機(jī)械對(duì)象數(shù)學(xué)模型受控機(jī)械對(duì)象數(shù)學(xué)模型 一般整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的特性可以用若干相一般整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。其中每部互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。其中每部分的動(dòng)力學(xué)特性可表示為如下傳遞函數(shù)分的動(dòng)力學(xué)特性可表示為如下傳遞函數(shù) 222212211mksmkmkDsmkkkDsmssFsX 為了得到良好的閉環(huán)機(jī)電系統(tǒng)性能，對(duì)為了得到良好的閉環(huán)機(jī)電系統(tǒng)性能，對(duì)于受控機(jī)械對(duì)象，應(yīng)注意以下方面于受控機(jī)械對(duì)象，應(yīng)注意以下方面: : （1 1）高諧振頻率）高

28、諧振頻率 一般整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的特性可以用若一般整個(gè)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)的特性可以用若干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。干相互耦合的質(zhì)量彈簧阻尼系統(tǒng)表示。 為了滿足機(jī)電系統(tǒng)的高動(dòng)態(tài)特性，機(jī)械傳動(dòng)為了滿足機(jī)電系統(tǒng)的高動(dòng)態(tài)特性，機(jī)械傳動(dòng)的各個(gè)分系統(tǒng)的諧振頻率均應(yīng)遠(yuǎn)高于機(jī)電系的各個(gè)分系統(tǒng)的諧振頻率均應(yīng)遠(yuǎn)高于機(jī)電系統(tǒng)的設(shè)計(jì)截止頻率。各機(jī)械傳動(dòng)分系統(tǒng)諧振統(tǒng)的設(shè)計(jì)截止頻率。各機(jī)械傳動(dòng)分系統(tǒng)諧振頻率最好相互錯(cuò)開(kāi)。另外，對(duì)于可控硅驅(qū)動(dòng)頻率最好相互錯(cuò)開(kāi)。另外，對(duì)于可控硅驅(qū)動(dòng)裝置，應(yīng)注意機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)諧振頻率不能與裝置，應(yīng)注意機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)諧振頻率不能與控制裝置的脈沖頻率接近，否則將產(chǎn)生機(jī)械控制裝置的脈沖頻率接近，否則將產(chǎn)生

29、機(jī)械噪聲并加速機(jī)械部件的磨損。噪聲并加速機(jī)械部件的磨損。 （2 2）高剛度）高剛度 在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性在閉環(huán)系統(tǒng)中，低剛度往往造成穩(wěn)定性下降，與摩擦一起，造成反轉(zhuǎn)誤差，引起系下降，與摩擦一起，造成反轉(zhuǎn)誤差，引起系統(tǒng)在被控位置附近振蕩。統(tǒng)在被控位置附近振蕩。 在剛度的計(jì)算中，需要注意機(jī)械傳動(dòng)部在剛度的計(jì)算中，需要注意機(jī)械傳動(dòng)部件的串并聯(lián)關(guān)系。對(duì)于串聯(lián)部件（例如在同件的串并聯(lián)關(guān)系。對(duì)于串聯(lián)部件（例如在同一根軸上），總剛度一根軸上），總剛度k k為為 (2.36) (2.36)式中，式中， 各分部件剛度。各分部件剛度。kkiin111ki對(duì)于并聯(lián)部件（例如同一支承上有幾個(gè)軸對(duì)于并聯(lián)部

30、件（例如同一支承上有幾個(gè)軸承），總剛度承），總剛度k k為為 (2.37) (2.37)式中，式中， 各分部件剛度。各分部件剛度。 從低速軸上的剛度折算到高速軸上時(shí)，從低速軸上的剛度折算到高速軸上時(shí)，等效的剛度等效的剛度k k為為 (2.38) (2.38)式中，式中，i i 升速比。升速比。kkiin1ki211ikk （3 3）適當(dāng)阻尼）適當(dāng)阻尼 機(jī)械傳動(dòng)分系統(tǒng)的阻尼比為機(jī)械傳動(dòng)分系統(tǒng)的阻尼比為 (2.39) (2.39) 一般電機(jī)驅(qū)動(dòng)裝置從驅(qū)動(dòng)電壓到輸出轉(zhuǎn)速一般電機(jī)驅(qū)動(dòng)裝置從驅(qū)動(dòng)電壓到輸出轉(zhuǎn)速的數(shù)學(xué)模型是二階振蕩環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型是二階振蕩環(huán)節(jié), ,存在所需要的機(jī)存在所需要的機(jī)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)較合

31、適的阻尼比。增加機(jī)械傳動(dòng)械傳動(dòng)環(huán)節(jié)較合適的阻尼比。增加機(jī)械傳動(dòng)阻尼比往往引起摩擦力增加，進(jìn)而產(chǎn)生摩擦阻尼比往往引起摩擦力增加，進(jìn)而產(chǎn)生摩擦反轉(zhuǎn)誤差的不利影響。另一方面，為了衰減反轉(zhuǎn)誤差的不利影響。另一方面，為了衰減機(jī)械振動(dòng)和顫振現(xiàn)象，又需要增加機(jī)械傳動(dòng)機(jī)械振動(dòng)和顫振現(xiàn)象，又需要增加機(jī)械傳動(dòng)阻尼比。針對(duì)以上矛盾的要求，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，阻尼比。針對(duì)以上矛盾的要求，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，適當(dāng)?shù)臋C(jī)械傳動(dòng)阻尼比可選為適當(dāng)?shù)臋C(jī)械傳動(dòng)阻尼比可選為0.10.1 0.20.2。Dmk21 （4 4）低轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）低轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 快速性是現(xiàn)代機(jī)電一體化系統(tǒng)的顯著特快速性是現(xiàn)代機(jī)電一體化系統(tǒng)的顯著特點(diǎn)。在驅(qū)動(dòng)力矩一定的前提下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越點(diǎn)

32、。在驅(qū)動(dòng)力矩一定的前提下，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量越小，加速性能越好。小，加速性能越好。 機(jī)械傳動(dòng)部件對(duì)于電動(dòng)機(jī)等驅(qū)動(dòng)裝置是機(jī)械傳動(dòng)部件對(duì)于電動(dòng)機(jī)等驅(qū)動(dòng)裝置是負(fù)載，通常將其折算成電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)負(fù)載，通常將其折算成電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量來(lái)評(píng)價(jià)它對(duì)快速性的影響。慣量來(lái)評(píng)價(jià)它對(duì)快速性的影響。如圖齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，主動(dòng)輪由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，如圖齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，主動(dòng)輪由電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)，從動(dòng)輪通過(guò)軸帶動(dòng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)電動(dòng)機(jī)軸從動(dòng)輪通過(guò)軸帶動(dòng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)。假設(shè)電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)矩為上的轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ；從動(dòng)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩為；從動(dòng)軸上的負(fù)載轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為動(dòng)慣量為 ，阻尼系數(shù)為，阻尼

33、系數(shù)為 ；主動(dòng)輪和從動(dòng)；主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的齒數(shù)分別為輪的齒數(shù)分別為 和和 ，速比，速比 。1T , 11J2T22J2D1z2z12/ zzi 122T依題意，有依題意，有izzttTTtTtTTTtDtJTTtJ1d/dd/ddddddddddd211212c2c12c21c12c2222222c112121消去中間變量，可得消去中間變量，可得 (2.45) (2.45) （2.462.46）其中，方程（其中，方程（2.452.45）是折合到主動(dòng)軸的關(guān)系）是折合到主動(dòng)軸的關(guān)系式，方程（式，方程（2.462.46）是折合到從動(dòng)軸的關(guān)系式。）是折合到從動(dòng)軸的關(guān)系式。iTTtiDtiJJ211222

34、12221dddd2122222212ddddTiTtDtJJi當(dāng)折合到主動(dòng)軸上時(shí)，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量當(dāng)折合到主動(dòng)軸上時(shí)，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)都要除以傳動(dòng)比的平方，負(fù)載轉(zhuǎn)和阻尼系數(shù)都要除以傳動(dòng)比的平方，負(fù)載轉(zhuǎn)矩除以傳動(dòng)比。因此，減速傳動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于矩除以傳動(dòng)比。因此，減速傳動(dòng)時(shí)，相當(dāng)于電動(dòng)機(jī)帶的負(fù)載變小了，也可以說(shuō)電動(dòng)機(jī)帶電動(dòng)機(jī)帶的負(fù)載變小了，也可以說(shuō)電動(dòng)機(jī)帶負(fù)載的力矩增大了。反之，當(dāng)折合到從動(dòng)軸負(fù)載的力矩增大了。反之，當(dāng)折合到從動(dòng)軸上時(shí)，主動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)都要上時(shí)，主動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)都要乘以傳動(dòng)比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳動(dòng)比。乘以傳動(dòng)比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳動(dòng)比。將方

35、程（將方程（2.452.45）和（）和（2.462.46）進(jìn)行拉氏變換后，）進(jìn)行拉氏變換后，可得可得 22221211iBsiJJsisTsTs 2212212BsJJisTsiTs當(dāng)從動(dòng)軸彈性剛度為時(shí)，可列寫主動(dòng)軸和從當(dāng)從動(dòng)軸彈性剛度為時(shí)，可列寫主動(dòng)軸和從動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)方程為動(dòng)軸的動(dòng)力學(xué)方程為21212121ddiiKTtJ2212222222ddddTiKtDtJ sTsiKsiKsJ12212221 sTsKsDsJsiK22222212可見(jiàn)，當(dāng)折合到主動(dòng)軸上時(shí)，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)可見(jiàn)，當(dāng)折合到主動(dòng)軸上時(shí)，從動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要除以傳動(dòng)比動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要除以傳動(dòng)比的

36、平方，負(fù)載轉(zhuǎn)矩除以傳動(dòng)比，從動(dòng)軸的轉(zhuǎn)的平方，負(fù)載轉(zhuǎn)矩除以傳動(dòng)比，從動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角則乘以傳動(dòng)比。反之，當(dāng)折合到從動(dòng)軸上角則乘以傳動(dòng)比。反之，當(dāng)折合到從動(dòng)軸上時(shí)，主動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)以及剛時(shí)，主動(dòng)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)以及剛度都要乘以傳動(dòng)比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳度都要乘以傳動(dòng)比的平方，輸入轉(zhuǎn)矩乘以傳動(dòng)比，主動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角則除以傳動(dòng)比。動(dòng)比，主動(dòng)軸的轉(zhuǎn)角則除以傳動(dòng)比。聯(lián)立求解代數(shù)方程組（聯(lián)立求解代數(shù)方程組（2-512-51）和（）和（2-522-52），），可得可得 若若 ，變?yōu)閯傂詡鲃?dòng)，前面推導(dǎo)的完，變?yōu)閯傂詡鲃?dòng)，前面推導(dǎo)的完全剛性情況。全剛性情況。 222222122132122122221i

37、DKsKiJJsDJsJJssTiKsTKsDsJs 222222122132122221122iDKsKiJJsDJsJJssTiKsJsTiKs2K絲杠螺母副傳動(dòng)有類似的結(jié)果。如下圖，設(shè)絲杠螺母副傳動(dòng)有類似的結(jié)果。如下圖，設(shè)電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為電動(dòng)機(jī)驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為 ，轉(zhuǎn)角為，轉(zhuǎn)角為 ，電動(dòng)機(jī)，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)子與絲杠一起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)子與絲杠一起的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 ；設(shè)工作臺(tái)；設(shè)工作臺(tái)連同工件一起的質(zhì)量為連同工件一起的質(zhì)量為m m，位移為位移為x x，負(fù)載阻負(fù)載阻力為力為f f，工作臺(tái)與導(dǎo)軌之間的粘性阻尼系數(shù)為工作臺(tái)與導(dǎo)軌之間的粘性阻尼系數(shù)為D D，基本導(dǎo)程為基本導(dǎo)程為 。mTmmJhP mx D fmmJ m

38、hPmT根據(jù)上圖，可得根據(jù)上圖，可得 （2.552.55） （2.562.56）式中，絲杠螺母副傳動(dòng)比定義為式中，絲杠螺母副傳動(dòng)比定義為 22mmmiDsimJsisFsTs DsmJissFsiTsXm2mxPimh2若絲杠彈性剛度為，則有若絲杠彈性剛度為，則有 KDKsmJiDsJmsJssiKFsTKiDsmssm22m3mm22m KDKsmJiDsJmsJssFKsJsiKTsXm22m3m2mm上述結(jié)果可以推廣到更加復(fù)雜的機(jī)械傳動(dòng)系上述結(jié)果可以推廣到更加復(fù)雜的機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)。任何機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，都可以統(tǒng)。任何機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化，都可以得到類似上述方程所描寫的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。

39、得到類似上述方程所描寫的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型。由這些方程可以看出，若阻尼系數(shù)由這些方程可以看出，若阻尼系數(shù)D D比較小，比較小，分母方括號(hào)中將有一對(duì)共軛復(fù)根。不考慮負(fù)分母方括號(hào)中將有一對(duì)共軛復(fù)根。不考慮負(fù)載力（或轉(zhuǎn)矩），由輸入轉(zhuǎn)矩到主動(dòng)軸轉(zhuǎn)角載力（或轉(zhuǎn)矩），由輸入轉(zhuǎn)矩到主動(dòng)軸轉(zhuǎn)角的傳遞函數(shù)，由于分子和分母多項(xiàng)式都有一的傳遞函數(shù)，由于分子和分母多項(xiàng)式都有一對(duì)數(shù)值相近的共軛復(fù)根，可以作為一對(duì)偶極對(duì)數(shù)值相近的共軛復(fù)根，可以作為一對(duì)偶極子相消，因而，可以近似為二階系統(tǒng)；而由子相消，因而，可以近似為二階系統(tǒng)；而由輸入轉(zhuǎn)矩到工作臺(tái)位移的傳遞函數(shù)，由于分輸入轉(zhuǎn)矩到工作臺(tái)位移的傳遞函數(shù)，由于分子為常數(shù)項(xiàng)，因而是一個(gè)四

40、階系統(tǒng)，且有一子為常數(shù)項(xiàng)，因而是一個(gè)四階系統(tǒng)，且有一對(duì)共軛復(fù)根。對(duì)共軛復(fù)根。進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例2lv dtd2lm2ldtd2mltT2l ldtdvm2tTl進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例 lvf2tTf2lv 2lf2l2lftT2f進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例 ssX2lfsXsl22lMJsTsTZZsXsJl2ZZsTsTZZsXsJl2ZZZZsXl2ZZZZskoo2233343o22342221o213412o3412i進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例進(jìn)給傳動(dòng)鏈例 狀態(tài)空間方程狀態(tài)空間方程 伴隨計(jì)算機(jī)的發(fā)展，以狀態(tài)空間理論為伴隨計(jì)算機(jī)的發(fā)展，以狀態(tài)空間理論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)模型采用狀態(tài)空基礎(chǔ)的現(xiàn)代控制理論的數(shù)學(xué)模型采用狀態(tài)空間方程，以時(shí)域分析為主，著眼于系統(tǒng)的狀間方程，以時(shí)域分析為主，著眼于系統(tǒng)的狀態(tài)及其內(nèi)部聯(lián)系，研究的機(jī)電控制系統(tǒng)擴(kuò)展態(tài)及其內(nèi)部聯(lián)系，研究的機(jī)電控制系統(tǒng)擴(kuò)展為多輸入為多輸入- -多輸出的時(shí)變系統(tǒng)。多輸出的時(shí)變系統(tǒng)。 所謂狀態(tài)方程是由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一所謂狀態(tài)方程是由系統(tǒng)狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組階微分方程組; ;狀態(tài)變量是足以完全表征系統(tǒng)狀態(tài)變量是足以完全表征系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最小個(gè)數(shù)的