二項(xiàng)式定理常見題型

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上常見二項(xiàng)式定理題型總結(jié)一、二項(xiàng)式展開式中某一項(xiàng)的求解方法：1.特定項(xiàng)：使用展開式通項(xiàng)例1：已知的展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為.(1)求的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).解析：(1)由題意,令得,即,展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第項(xiàng),即.(2)展開式的第項(xiàng)為,由得.由得.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.例2：已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和比二項(xiàng)式系數(shù)和大.(1)求的值;(2)求展開式中所有有理項(xiàng).解析：(1)由題意,二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)系數(shù)和比二項(xiàng)式系數(shù)和大,可得,解得.(2)展開式的通項(xiàng)為,當(dāng)時(shí) 是整數(shù),故展開式中所有有理項(xiàng)為:,.例3：寫出的展開式中:(

2、1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng);(3)項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最小的項(xiàng);解析：(1)二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間兩項(xiàng): (2)展開式的通項(xiàng)為因?yàn)轫?xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值為，所以項(xiàng)的系數(shù)的絕對(duì)值等于該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，其最大的項(xiàng)也是中間兩項(xiàng)，·(3)由(2)知中間兩項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值相等，又第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，第7項(xiàng)系數(shù)為正，故項(xiàng)的系數(shù)最大的項(xiàng)為，項(xiàng)的系數(shù)最小的項(xiàng)為.例4：(1)求的展開式中的系數(shù);(2)求的展開式中的系數(shù).解析：(1)的展開式的通項(xiàng)是,令,解得.則含的項(xiàng)為第項(xiàng),即;的系數(shù)為.(2)的通項(xiàng)為,的通項(xiàng)為,其中,令,則有,;,;,.的系數(shù)為.二、展開式特定項(xiàng)求法：組合

3、法（原理法）例1. 已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為，則展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）解析：由題意得，令，則，解得，即展開式的通項(xiàng)為，令，則，又二項(xiàng)式的展開式中項(xiàng)為，所以展開式中的系數(shù)為.法二：由題意得，令，則，解得，此時(shí)(2x2+x-y)n=(2x2+x-y)5,可以利用2個(gè)2x2,1個(gè)x，2個(gè)-y,進(jìn)行組合，即C52(2x2)2C31xC22(-y)2=120x5y2.例2：將多項(xiàng)式分解因式得,為常數(shù),若,則解析：因?yàn)橥?xiàng)公式為,又,.例3.的展開式中常數(shù)項(xiàng)是解析：原二項(xiàng)式可化為，由于二項(xiàng)式的展開式，令，則當(dāng)時(shí)， ，此時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)是，所以常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)為.法二：分兩類：第1類：1個(gè)x2,

4、2個(gè)-1x,1個(gè)3；第2類：4個(gè)3；所以由加法原理得：常數(shù)項(xiàng)為：C41C32(-1)2×3+34=117.三、多項(xiàng)式系數(shù)的和：賦值法例1：已知，求：(1)；(2)；(3).解析：(1)當(dāng)時(shí)，展開式右邊為， . 當(dāng)時(shí)， . (2)令， 令， 由，得， .（3）根據(jù)（2）中式子得， .例2：若 ，則解析：令可得： ，令，可得： ，據(jù)此可得：.例3：設(shè),則解析：令,得到,再令,得到,.例4：設(shè)，則代數(shù)式的值為解析：設(shè) ，令，例5. 設(shè)二項(xiàng)展開式,則.解析：二項(xiàng)展開式,兩邊對(duì)求導(dǎo)可得

5、.令,可得.由二項(xiàng)展開式,令,可得.例6. ，則解析：將所給的等式兩側(cè)求導(dǎo)可得： ，令 可得：  ，令 可得：  ，據(jù)此可得： 四、多項(xiàng)式系數(shù)的和：組合數(shù)的性質(zhì)法例1：已知,且.求(1)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和.(2).(3).解析：設(shè),則,相加得,即,.(1)展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為.(2)令,得,令,得,相加得(或).(3)令,得.例2：如果,求的展開式中系數(shù)最大的項(xiàng).解析：由可得:,.即,.展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.例3：的展開式中的系數(shù)為.(用數(shù)字作答).解析：因,故只要求中的的系數(shù)即可.因,故,則的系數(shù)是。五、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用例1：設(shè),則除以的余數(shù)為解析：,當(dāng)為奇數(shù)時(shí),余數(shù)為,當(dāng)為偶數(shù)時(shí),余數(shù)為,例2：已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為,則的最簡表達(dá)式為解析：由題意可得:例3：設(shè)，則等于解析：，當(dāng)時(shí)，可得： .例4.求1.0210的近似值（保留到0.0001）解析：1.0210=(1+0.02)10=C100