向量及其運(yùn)算

1、一、向量概念 二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系 7.1 向量及其運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)五、向量的模、方向解、投影 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量. v向量 有向線段的長(zhǎng)度表示方向的大小, 有向線段的方向表示向量的方向.向量用一條有方向的線段(稱為有向線段)表示.v向量的表示法 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)一、向量概念 既有大小, 又有方向的量叫做向量. v向量 向量可用粗體字母、 或加箭頭的書寫體字母表示. 以A為起點(diǎn)、B為終點(diǎn)的有向線段所表示的向量記作AB. 例如, a、r、v、F或a、r、v、F. 向量用一條有方向

2、的線段(稱為有向線段)表示.v向量的表示法 下頁(yè) 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量, 稱為自由向量, 簡(jiǎn)稱向量. 自由向量 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說(shuō)向量a和b是相等的, 記為a=b. 相等的向量經(jīng)過(guò)平移后可以完全重合. 向量的相等 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的模 向量的大小叫做向量的模. 向量 a、a、AB的模分別記為|a|、|a、|AB. 單位向量 模等于1的向量叫做單位向量. 零向量 零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合, 它的方向可以看作是任意的. 模等于 0 的向量叫做零向量, 記作 0 或0. 如果向量a和b的大小相等, 且方向相同, 則說(shuō)向量a和b是相等的, 記

3、為a=b. 向量的相等 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的平行 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行. 向量a與b平行, 記作a/b. a/b/c 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行. 當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上. 因此, 兩向量平行又稱兩向量共線. 共線向量與共面向量 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的平行 兩個(gè)非零向量如果它們的方向相同或相反, 就稱這兩個(gè)向量平行. 向量a與b平行, 記作a/b. 零向量認(rèn)為是與任何向量都平行. 共線向量與共面向量 當(dāng)兩個(gè)平行向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 它們的終點(diǎn)和公共的起點(diǎn)在一條直線上. 因此, 兩向

4、量平行又稱兩向量共線. 設(shè)有k(k3)個(gè)向量, 當(dāng)把它們的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)時(shí), 如果k個(gè)終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在一個(gè)平面上, 就稱這k個(gè)向量共面. 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)二、向量的線性運(yùn)算 設(shè)有兩個(gè)向量a與b, 平移向量, 使b的起點(diǎn)與a的終點(diǎn)重合, 則從a的起點(diǎn)到b的終點(diǎn)的向量c稱為向量a與b的和, 記作a+b, 即c=a+b.1.向量的加法 c=a+b三角形法則平行四邊形法則 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的加法的運(yùn)算規(guī)律 (1)交換律a+b=b+a; (2)結(jié)合律(a+b)+c=a+(b+c).下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的減法 向量b與a的差規(guī)定為 b-a=b+(-a). 負(fù)向量三角不等式

5、 |a+b|a|+|b|, |a-b|a|+|b|, 等號(hào)在b與a同向或反向時(shí)成立. 與向量a的模相同而方向相反的向量叫做a的負(fù)向量, 記為-a. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 當(dāng)=0時(shí), |a|=0, 即a為零向量. 向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a, 規(guī)定a是一個(gè)向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向當(dāng)0時(shí)與a相同, 當(dāng)2.向量與數(shù)的乘法 當(dāng)=-1時(shí), 有(-1)a =-a. 當(dāng)=1時(shí), 有1a=a; 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) (1)結(jié)合律 (a)=(a)=()a; (2)分配律 (+)a=a+a; (a+b)=a+b. 向量與數(shù)的乘積的運(yùn)算規(guī)律 向量的單位化 于是a=|a|ea. 當(dāng)=0時(shí),

6、|a|=0, 即a為零向量. 向量a與實(shí)數(shù)的乘積記作a, 規(guī)定a是一個(gè)向量, 它的模|a|=|a|, 它的方向當(dāng)0時(shí)與a相同, 當(dāng) v定理1(向量平行的充要條件) 定理證明 給定一個(gè)點(diǎn)O及一個(gè)單位向量 i 就確定了一條數(shù)軸Ox. 對(duì)于軸上任一點(diǎn) P, 必有唯一的實(shí)數(shù) x, 使OP=xi, 并且 并且軸上的點(diǎn)P與實(shí)數(shù)x有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系: 點(diǎn)P實(shí)數(shù)x. 實(shí)數(shù)x稱為軸上點(diǎn)P的坐標(biāo). v數(shù)軸與點(diǎn)的坐標(biāo) 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)說(shuō)明：三、空間直角坐標(biāo)系 v空間直角坐標(biāo)系 y軸 z軸原點(diǎn) x軸 在空間取定一點(diǎn)O和三個(gè)兩兩垂直的單位向量i、j、k, 就確定了三條都以O(shè)為原點(diǎn)的兩兩垂直的數(shù)軸, 依次記為x軸

7、(橫軸)、y軸(縱軸)、z軸(豎軸), 統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸. 它們構(gòu)成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系, 稱為Oxyz坐標(biāo)系. (2)數(shù)軸的的正向通常符合右手規(guī)則. (1)通常把x軸和y軸配置在水平面上, 而z軸則是鉛垂線;下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. 坐標(biāo)面 三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy 面, yOz面和zOx面.下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 在空間直角坐標(biāo)系中, 任意兩個(gè)坐標(biāo)軸可以確定一個(gè)平面, 這種平面稱為坐標(biāo)面. 坐標(biāo)面 三個(gè)坐標(biāo)面分別稱為xOy 面, yOz面和zOx面.卦限 坐標(biāo)面把空間分成八個(gè)部分, 每一部分叫做卦限, 分別用字母

8、I、II、III、IV等表示. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v向量的坐標(biāo)分解式 +=+=OROQOPNMPNOPOMr 以O(shè)M為對(duì)角線、三條坐標(biāo)軸為棱作長(zhǎng)方體, 有 任給向量 r, 對(duì)應(yīng)有點(diǎn) M, 使r=OM. 設(shè) i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 則 kjirzyxOM+=. 下頁(yè)+=+=OROQOPNMPNOPOMr, 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v向量的坐標(biāo)分解式 kjirzyxOM+=. 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式. xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量. 點(diǎn)M、向量r與三個(gè)有序x、y、z之間有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 任給向量r, 存在點(diǎn)M及xi、yj、zk, 使 有序數(shù)x、

9、y、z稱為向量r的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z); 有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo), 記為M(x, y, z). ) , ,(zyxzyxOMM+=kjir. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v向量的坐標(biāo)分解式 kjirzyxOM+=. 上式稱為向量r的坐標(biāo)分解式. xi、yj、zk稱為向量r沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量. 任給向量r, 存在點(diǎn)M及xi、yj、zk, 使 有序數(shù)x、y、z稱為向量r的坐標(biāo), 記作r=(x, y, z); 有序數(shù)x、y、z也稱為點(diǎn)M的坐標(biāo), 記為M(x, y, z). 向量 稱為點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)O的向 徑. =OMr下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 坐標(biāo)面上和坐標(biāo)軸上的點(diǎn), 其

10、坐標(biāo)各有一定的特征. 例如: 點(diǎn)M在yOz面上, 則x=0; 點(diǎn)M在zOx面上的點(diǎn), y=0; 點(diǎn)M在xOy面上的點(diǎn), z=0. 點(diǎn)M在x軸上, 則y=z=0; 點(diǎn)M在y軸上,有z=x=0; 點(diǎn)M在z軸上的點(diǎn), 有x=y=0. 點(diǎn)M為原點(diǎn), 則x=y=z=0.v坐標(biāo)軸上及坐標(biāo)面上點(diǎn)的特征首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)提示：四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 下頁(yè) a=axi+ay j+azk, b=bxi+by j+bzk, a+b =(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k, a-b =(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k, a =(ax)i+(ay)j+(az)k. 設(shè)a

11、=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 例 2 求解以向量為未知元的線性方程組=-=-byxayx2335, 例2其中a=(2, 1, 2), b=(-1, 1, -2). 解 如同解二元一次線性方程組, 可得 x=2a-3b, y=3a-5b. 以a、b的坐標(biāo)表示式代入, 即得 x=2(2, 1, 2)-3(-1, 1, -2) =(7, -1, 10), y=3(2, 1, 2)-5(-1, 1, -2)=(11, -2, 16). 設(shè)

12、a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)v利用坐標(biāo)判斷兩個(gè)向量的平行 設(shè)a=(ax, ay, az)0, b=(bx, by, bz), 因?yàn)?b/a b=a, 即 b/a (bx, by, bz)=(ax, ay, az ), 所以 b/a 下頁(yè)zzyyxxababab=. 四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 設(shè)a=(ax, ay, az), b=(bx, by, bz), 則 a=(ax, ay, az). ab=(axbx, ayby, azbz), 平行四邊形法

13、則平行四邊形法則 三角形法則三角形法則 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)從而 )(11+=OBOAOM 因此 )(-=-OMOBOAOM, -=OAOMAM, 解 例3 已知兩點(diǎn)A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)以及實(shí)數(shù)-1, 在直線 AB 上求一點(diǎn) M, 使= MBAM. ) 1 ,1 ,1 (212121+=xxxxxx, 這就是點(diǎn)M的坐標(biāo). 由于 , -=OMOBMB, 首頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)五、向量的模、方向角、投影 1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量 r=(x, y, z), 作r=OM, 則 +=OROQOPOMr, 按勾股定理可得 222|OROQOPOM+=r

14、, 由 i xOP=, j yOQ=, kzOR=, 有 |OP|=|x|, |OQ|=|y|, |OR|=|z|, 于是得向量模的坐標(biāo)表示式222|zyx+=r. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 222|zyx+=r. 設(shè)有點(diǎn)A(x1, y1, z1)和點(diǎn)B(x2, y2, z2), 則-=OAOBAB=(x2, y2, z2)-(x1, y1, z1) =(x2-x1, y2-y1, z2-z1), 于是點(diǎn)A與點(diǎn)B間的距離為 212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 下頁(yè)五、向量的模、方向角、投影

15、 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè) 例4 求證以M1(4, 3, 1)、M2 (7, 1, 2)、M3 (5, 2, 3)三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一個(gè)等腰三角形. 1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 222|zyx+=r. 設(shè)有點(diǎn)A(x1, y1, z1)和點(diǎn)B(x2, y2, z2), 則212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 所以|M2M3|=|M1M3|, 即DM1M2M3為等腰三角形. |M1M3|2 =6, =(5-4)2+(2-3)2+(3-1)2 =6, =(5-7)2+(2-1)2+(3-2)2 |M2M3|2 =14, =(

16、7-4)2+(1-3)2+(2-1)2 |M1M2|2 解 因?yàn)?下頁(yè)五、向量的模、方向角、投影 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)解之得914=z. 于是, 所求的點(diǎn)為 例5 在z軸上求與點(diǎn)A(-4, 1, 7)和B(3, 5, -2)等距離的點(diǎn). 1.向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式 設(shè)向量r=(x, y, z), 作, 則 222|zyx+=r. 設(shè)有點(diǎn)A(x1, y1, z1)和點(diǎn)B(x2, y2, z2), 則212212212)()()(|zzyyxxABAB-+-+-=. 即 (0+4)2+(0-1)2+(z-7)2設(shè)所求的點(diǎn)為M(0, 0, z), 解 依題意有|MA|2=|MB|2, =(3-

17、0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 下頁(yè)五、向量的模、方向角、投影 914=z. 于是, 所求的點(diǎn)為)914 , 0 , 0 (M. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)14) 2(13|222=-+=AB, 例6 已知兩點(diǎn)A(4, 0, 5)和B(7, 1, 3), 求與 方向相同的單位向量e. AB 解 因?yàn)? 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB 解 ) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB) 2 , 1 , 3 () 5 , 0 , 4() 3 , 1 , 7(-=-=AB, 所以 ) 2 , 1 , 3

18、 (141|-=ABABe. 下頁(yè)上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)2.方向角與方向余弦 兩個(gè)向量的夾角下頁(yè) 當(dāng)把兩個(gè)非零向量a與b的起點(diǎn)放到同一點(diǎn)時(shí), 兩個(gè)向量之間的不超過(guò)的夾角稱為向量a與b的夾角, 記作(a,b)或(b,a). 如果向量a與b中有一個(gè)是零向量, 規(guī)定它們的夾角可以在0與之間任意取值. 類似地, 可以規(guī)定向量與一軸的夾角或空間兩軸的夾角. 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)向量的方向角和方向余弦 下頁(yè) 非零向量r與三條坐標(biāo)軸的夾角、稱為向量r的方向角. cos、cos、cos 稱為向量r的方向余弦. |cosrx=, |cosry=, |cosrz=. 設(shè)r=(x, y, z), 則rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 顯然 以向量r的方向余弦為坐標(biāo)的向量就是與r同方向的單位向量e r. cos2+cos2+cos2=1. 因此 上頁(yè)下頁(yè)鈴結(jié)束返回首頁(yè)32=, 3=, 43 =. 21cos-=, 21cos=, 22cos-=; 下頁(yè) 解 rerr=|1)cos ,cos ,(cos. 例 3 設(shè)已知兩點(diǎn))2 , 2 , 2( A)和 B (1, 3, 0), 計(jì)算向量 例7 AB的模、方向余弦和方向角. 解 )2 , 1 , 1()20 , 23 , 21 (-=-