現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽

1、現(xiàn)代數(shù)學(xué)概覽一、微分流形（manifold）微分流形，也稱為光滑流形，是拓?fù)鋵W(xué)和幾何學(xué)中一類重要的空間，是帶有微分結(jié)構(gòu)的拓?fù)淞餍?。微分流形是微分幾何與微分拓?fù)涞闹饕芯繉?duì)象，是三維歐式空間中曲線和曲面概念的推廣，可以有更高的維數(shù)，而不必有距離和度量的概念。 1.微分流形（M）=拓?fù)淇臻g+微分結(jié)構(gòu) Mn f R f=f-1 (局部坐標(biāo)系) 定義：若映射f=f-1：(U)R，x1,x2,xnfx1,x2,xn可微：fxi(i=1,2,n)存在，則稱f可微。 我們知道對(duì)于一維空間中的映射f有：RR可導(dǎo)：limx0fx+x-f(x)x存在f可微:fx+x-fx=Axx+o(x)對(duì)于多維空間中的映射f有

2、:RnRn,(x1,x2,xn)f(x1,x2,xn)，要證明其可導(dǎo)，沒(méi)法從一維可導(dǎo)推廣到多維可導(dǎo)，因此我們從其可微入手，證明其可導(dǎo)性。 fx+x-fx=fx1fxnx1x2+o(x) 若要f在點(diǎn)x0點(diǎn)的可微， 則f=f-1=f-1(-1)可微 f=f-1=f-1(-1)可微 通過(guò)以上分析我們可知，存在流行空間到Rn的同肧映射、；-1：UVUV,-1：UVUV 例1.（R,idRn),Sn=(x1,x2,xn)Rn+1|x12+xn+12=1(n維球面） 有：（S2-N,1)R2 （S2-S,2)R2 2.流形空間中“直線”：Mn上連續(xù)A、B最短曲線稱為A、B之間的“測(cè)地線”。 “曲率”K：與

3、歐式空間差別的一種度 歐式空間：K=0 羅巴切夫斯基空間：K=-1黎曼空間：K=1 3.微分拓?fù)洌河梦⒎e分方法研究拓?fù)?我們需要找到“標(biāo)準(zhǔn)”對(duì)微分流形全體進(jìn)行分類，其中一個(gè)就是按照是否微分同胚這一標(biāo)準(zhǔn)： 若要M1mM2n，則有：f:M1mM2n同胚 f：可微（無(wú)窮次） f-1：可微（無(wú)窮次） 2維拓?fù)渚o致流形了可用虧格進(jìn)行分類：當(dāng)兩個(gè)緊致流形虧格一樣時(shí)，它們就是一樣的。 球面的虧格是0；環(huán)面是1；雙環(huán)面是2。 3維緊致流形的分類： 龐加萊猜想：3維單連通流形同胚于3維球面S3； 幾何化猜想:美國(guó)數(shù)學(xué)家瑟斯頓（Thurston)認(rèn)識(shí)到3維流形可以用幾何構(gòu)造來(lái)分類，任意一個(gè)三維一定是8種基本3維流

4、形的拓?fù)浜停?俄羅斯數(shù)學(xué)家佩雷爾曼證明了3維單連通流形微分同胚于球面S3；（現(xiàn)在數(shù)學(xué)家門(mén)正致力于證明4維單連通流形微分同胚于球面S4） 4維流形的分類較為復(fù)雜，沒(méi)有人提得出關(guān)于4維光滑的緊流行的分類，但是可以在一定條件下進(jìn)行分類，英國(guó)數(shù)學(xué)家唐納森給出：R4上有無(wú)窮多種微分結(jié)構(gòu)。二、微分方程 1.背景引入 惠特尼定理：n維流形一定可以嵌入位數(shù)不超過(guò)2n+1維的歐式空間中，即存在微分同胚f：MnRn。 我們?cè)谘芯苛餍螘r(shí)需要將流形放入更高一維的歐氏空間中進(jìn)行研究： 研究一維流形時(shí)，我們將它嵌入二維歐式空間進(jìn)行研究。 重要的幾何問(wèn)題時(shí)常可以歸結(jié)為求特定的偏微分方程的解，如著名的阿蒂亞-辛格指標(biāo)定理是用

5、流形上的線性偏微分方程的一個(gè)特殊的類來(lái)陳述的，而這一類偏微分方程則是與狄克拉方程的歐幾里得形式相關(guān)的。 如果存在一個(gè)“二階偏微方程”有解，那么我們就能將n維流形等距嵌入到n維歐氏空間中。 2.微分方程：核心、有主導(dǎo)世界的作用 對(duì)世界、宇宙變化過(guò)程，對(duì)時(shí)間、空間最好的刻畫(huà)就是微分方程。 （1）由牛頓第一定律：F=ma，取xt：t時(shí)刻的位移 牛頓第二定律：d2xdt2=F(t,xt,xt)m 例如：水流中，F(xiàn)=-kv2=-k(dxdt)2 （2）電磁學(xué)麥克斯韋、薛定諤方程：t=2t2+V 3.復(fù)雜網(wǎng)絡(luò) 復(fù)雜系統(tǒng)中的各部分是相互影響的，宏觀上看有統(tǒng)計(jì)力學(xué)。GDP、小世界理論（通過(guò)六次聯(lián)結(jié)可以認(rèn)識(shí)世界

6、上任意一人）。 假設(shè)影響因素為n個(gè)點(diǎn)：ait(i=1,2,n) 則daidt=fa1,a2,an+gt 將上式簡(jiǎn)化成微分方程組：daidt=j=1nbijaj+g(t),（其中bij是影響因素） 4.2階偏微分方程 i,j=1naijx2uxixj+i=1nuxi+fx1,x2,xn=0 令A(yù)x=a11a1nan1ann 將2階偏微分方程分為： 橢圓型：對(duì)任意x，Ax正定， 如：拉普拉斯方程，2ux2+2uy2=0； 雙曲型：對(duì)任意x，Ax非奇異，非正定, 如：波動(dòng)方程，2ut2=a22ux2； 拋物性：對(duì)任意x，Ax退化， 如：熱傳導(dǎo)方程，ut=a22ux2。 對(duì)2階微分方程的求解方法主要有

7、： （1）達(dá)朗貝爾方法（行波法） 令=x-at=x+at 2u=0,u=0 u=f() u=fd+f1=f1+f2 =f1x-at+f2(x+at) （2）傅里葉方法（分離變量法） Ux,t=Xx+Tt XxTt=a2XxTt XxX(x)=Tta2Tt=-（常數(shù)） Xx+Xx=0Tt+a2Tt=0 得到2個(gè)2階常微分方程（化繁為簡(jiǎn)） Ux,t=n=1An(x)sin(nt+n)（任意一個(gè)復(fù)雜振動(dòng)是簡(jiǎn)單振動(dòng)的疊加） 5.令Fx=f(x)dx 求解：dFdx=f(x) （1）約翰貝努利 1696年瑞士數(shù)學(xué)家約翰貝努利提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：設(shè)想一個(gè)質(zhì)點(diǎn)沿連接A點(diǎn)和一個(gè)低一點(diǎn)B點(diǎn)之間的曲線，僅在重力的

8、作用下無(wú)摩擦的下滑。那么，沿怎樣的一條路徑運(yùn)動(dòng)才會(huì)使質(zhì)點(diǎn)下滑所需的時(shí)間最少？這就是著名的“最速降線”問(wèn)題。毫無(wú)疑問(wèn)，直線應(yīng)該是兩點(diǎn)間最短的連線。然而，直線卻不是耗時(shí)最少的路徑。經(jīng)過(guò)思考和運(yùn)算，約翰貝努利發(fā)現(xiàn)：“直線旋輪線”就是連接兩點(diǎn)間所需的時(shí)間最少的滑動(dòng)路徑。這條線我們現(xiàn)在將其稱為“最速降落線”。直線旋輪線還有另外一個(gè)特點(diǎn)：17世紀(jì)的荷蘭科學(xué)家惠更斯發(fā)現(xiàn)：一個(gè)理想的質(zhì)點(diǎn)，在沒(méi)有摩擦的情況下，受重力的影響在鉛直的旋輪線上振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)的周期和振幅無(wú)關(guān)。而一個(gè)普通的鐘擺，由于其振動(dòng)的路徑是圓弧，因而其振動(dòng)周期和振幅的無(wú)關(guān)性只是一個(gè)近似的結(jié)論。這是用擺制造精確鐘表的缺憾。因而旋輪線又被譽(yù)為“等時(shí)性

9、曲線”和“擺線。 簡(jiǎn)述“最速降線”問(wèn)題就是：重力場(chǎng)中小球從A到B，哪條軌道所花時(shí)間最短？ 建模：維元法+物理定律 選擇合適的y(x)使T總達(dá)到最小 T總=x1x21+y2(x)2g(y1-yx)dx 費(fèi)馬定理：光程最短。 （2）變分問(wèn)題 變分法 微分方程 求解 少 存在性唯一性穩(wěn)定性 （泛函極值） 轉(zhuǎn)化成 注：穩(wěn)定性中，對(duì)于建立的參數(shù)方程U(x,y,z,t,c1,c2,c3),|ci|0,|U|0,其中c1,c2,c3來(lái)自現(xiàn)實(shí)的測(cè)量，存在誤差，由拉普拉斯的機(jī)械決定論，現(xiàn)實(shí)中參數(shù)的改變?nèi)菀自斐苫煦?，因此要確定參數(shù)的改變對(duì)實(shí)際沒(méi)有太大影響。 （3）偏微分方程的一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子就是拉普拉斯方程：u=

10、0.這里的是拉普拉斯算子，它是一個(gè)微分算子，而把R3上的函數(shù)u=ux1,x2,x3按下面的規(guī)則映到R中 ux1,x2,x3=2ux1,x2,x3x12+2ux1,x2,x3x22+2ux1,x2,x3x32， 對(duì)于拉普拉斯方程的弱解的存在性的證明比古典解簡(jiǎn)單，可先求弱解，在通過(guò)附加條件證明找到的解是古典解。 （4）弦振動(dòng)方程：2ut2=a22ux2 弦振動(dòng)方程描述的是撥動(dòng)弦后，弦在t時(shí)刻偏離x軸位置的位移，因此解U(x,t)一定存在。弦振動(dòng)方程是U(x,t)的2階連續(xù)偏導(dǎo)，由索伯列夫給出了其弱解。通過(guò)這一例子我們可以看到，現(xiàn)實(shí)世界的物理量可以通過(guò)微分方程建立聯(lián)系，并通過(guò)微分方程的解明晰各物理量

11、之間的關(guān)系。 （5）求解（歐拉）：常系數(shù)n階微分方程 andnydxn+a1dydx+a0=0 取yx=ex，則dkydxk=kex 得到代數(shù)方程：(ann+a1+a0)ex=0 注：通過(guò)yx=ex的代換，做到化繁為簡(jiǎn)。 可以將這一代數(shù)方程推廣到Rn、Mn中去，用微分方程來(lái)研究流行幾何，丘成桐將微分方程和流行幾何很好地聯(lián)系起來(lái)創(chuàng)立了幾何分析這一數(shù)學(xué)分支，哈密爾頓為了證明龐加萊猜想，將拓?fù)鋯?wèn)題、幾何問(wèn)題以及微分方程相互聯(lián)系起來(lái)，最后在“小圈猜想”上遇阻，這一猜想后由幾何學(xué)家佩雷爾曼解決。 （6）泛函微分方程 泛函空間：(R,) 對(duì)于xR,F:(X,1)F:(X,2) 有變分推廣：Fx+x-Fx=

12、Axx+o(x) 其中ox=o(x)2x10 賦范線性空間+代數(shù)結(jié)構(gòu)=算子代數(shù) LX,Y=F:XY線性算子 線性空間 F1,F2LX,Y, F1+F2x=F1x+F2x 若考慮(X,X),F1F2x=F1F2x 左分配率：F1F2+F3=F1F2+F1F3 右分配率：(F1+F2)F3=F1F3+F2F3 滿足：F1F2F1F2三、近世代數(shù) 近世代數(shù)作為數(shù)學(xué)的一門(mén)學(xué)科，主要研究對(duì)象是代數(shù)結(jié)構(gòu)，比如群、環(huán)、域、模、矢量空間和代數(shù)。這些代數(shù)結(jié)構(gòu)中，有的在19世紀(jì)就已經(jīng)被給出了正式的定義。事實(shí)上，對(duì)近世代數(shù)的研究是應(yīng)數(shù)學(xué)更嚴(yán)格化的要求而發(fā)展起來(lái)的。對(duì)近世代數(shù)的研究還使人們形成了對(duì)全部數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的

13、基礎(chǔ)性邏輯假設(shè)（的復(fù)雜性）的整體認(rèn)識(shí)，現(xiàn)今，幾乎沒(méi)有那一個(gè)數(shù)學(xué)分支用不到代數(shù)學(xué)的結(jié)論。此外，隨著抽象代數(shù)的發(fā)展，代數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)：明顯不同的邏輯結(jié)構(gòu)通過(guò)類比可以得到一個(gè)很簡(jiǎn)練的由公理構(gòu)成的核心。這對(duì)深入研究代數(shù)的數(shù)學(xué)家是有益的，并賦予他們更大的本領(lǐng)。 1.代數(shù)對(duì)象=集合+代數(shù)結(jié)構(gòu) （1）群結(jié)構(gòu)（G，） 封閉性：a,bG,abG 群 結(jié)合律：abc=a(cb) 有幺元：eG, ea=ae=a 有逆元：aG, bG,s.t. ab=ba=e n元對(duì)稱群：Sn=:一一映射（其中=1,2,，n） 例：S3=1,1213,23,(123)(132) （2）通過(guò)已知來(lái)構(gòu)造未知 若G1,G2為群，則G1G2也

14、為群，即(V,+)構(gòu)成群，稱為交換群或Abel群； 由G1,G2為群，推不出G1G2為群； 例：G1=1,（12），G2=1，（13）是群，G1G2=1，12，(13)不是群； 若G為群，“HG是群”a,bH,ab-1H,H為G的子結(jié)構(gòu)，稱H為子群，記作：HG. 證明：“”是顯然的， 下證“”，對(duì)a,b,cH，i.e=aa-1H（有幺元）； ii. ea-1H（有逆元）；iii. ab= a(b-1)-1H； iv.a,b,cH,a,b,cG,H滿足結(jié)合律. （3）商結(jié)構(gòu) A為集合，“”表示A上的等價(jià)關(guān)系，令A(yù)=a（無(wú)交并） A關(guān)于等價(jià)關(guān)系的商集合：A=A/=a|aA 例1：（商空間）UV，在

15、V上定義等價(jià)關(guān)系“”：V1V2指的是V1-V2U，V=V/U=v|vV=v+u|vV稱為V的商空間。 商空間+加法：V1+U+V2+U=V1+V2+U乘法：kV+U=kV+kU 就構(gòu)成了線性空間。 例2.（商群）NG，G上定義“”，g1g2指的是g1g2-1N. G= G/=G/N=g|gG=Ng|gG（右陪集） gggg,gg-1N,gNg 定義G乘法：Ng1Ng2=Ng1g2 Ng1Ng2=Ng1g2 希望對(duì)g1,g2G,g1Ng1,g2Ng1,Ng1=Ng1,Ng2=Ng2Ng1g2=Ng1g2（乘法的well-defined） （4）拉格朗日定理：G為有限群，NGG=NG:N 推論：N

16、GN | G，（G表示G中元素的個(gè)數(shù)） 例：|S3|=6，HS3，|H|=1,2,3,6 |H|=1時(shí)，H=(1) |H|=2時(shí)，H=1,(12), 1,(13),1,(23) |H|=3時(shí)，H=1,123,(132) |H|=6時(shí)，H=S3 G1G2=1,12,13,(132),兩個(gè)群的乘法不一定是群。 （5）同態(tài)基本定理 f:GG群同態(tài)：fab=faf(b) fIG=IG , fa-1=f-1(a)； 群同態(tài)下的像:Imf=fa|aG:f的像G kerf=aG|fa=IG:f的核G（正規(guī)子群） 定義：gG,g-1gN=g-1Ng稱N為正規(guī)子群 gG,nN,g-1ngN,N=g-1Ng共軛運(yùn)算 證：kerfG，gG,nkerf fg-1ng=fg-1fnfg=f-1gIGf(g)= IG g-1ngkerf 定理：f:GG群同態(tài)，f:GkerfImf，使得f群同構(gòu)。 例1.G=GL(n,c) C*=G0 AdetA det(AB)=detAdetB 一般線性群GL(n,c)/kerdetC* 特殊線性群SL(n,c),AGLn,c|detA=1=kerdet 例2.G=Z,+Zn,+ f:mm G/kerfZn，kerf=mZ|fm=0=m=nZ Z|nZZn