D9_4_1常系數(shù)齊次線性微分方程

1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二階常系數(shù) 第四節(jié)線性微分方程 一、二階齊次線性微分方程一、二階齊次線性微分方程二、二階非齊次線性微分方程二、二階非齊次線性微分方程 第九章第九章 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二階齊次線性微分方程一、二階齊次線性微分方程基本思路基本思路: 求解常系數(shù)線性齊次微分方程求解常系數(shù)線性齊次微分方程 求特征方程（代數(shù)方程）之根求特征方程（代數(shù)方程）之根轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 n 階線性微分方程階線性微分方程的一般形式為的一般形式為二階線性微分方程的一般形式二階線性微分方程的一般形式( )( )( )yP x yQ x yf x( )(1)11( )(

2、)( )( )nnnnya x yax yax yf x時時, 稱為非齊次線性方程稱為非齊次線性方程 ; ( )0f x 時時, 稱為齊次線性方程稱為齊次線性方程.復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): 一階線性方程一階線性方程( )( )yP x yQ x通解通解:()d()de( )edP xxP xxQ xx( )deP xxyC非齊次方程特解非齊次方程特解齊次方程通解齊次方程通解Yy( )0f x 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11( ) P x C y11( ) Q xC y0證畢證畢（一）二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)（一）二階齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)12( ),( )y xyx若若函函數(shù)數(shù)是二階線性齊次方程是二階線性

3、齊次方程( )( )0yP x yQ x y的兩個解的兩個解,也是該方程的解也是該方程的解.證證:1122( )( )yC y xC yx將將代入方程左邊代入方程左邊, 得得11 C y22C y22C y22C y1111( )( )CyP x yQ x y2222( )( )CyP x yQ x y(疊加原理疊加原理) 1122( )( )yC y xC yx則則12(,)C C 為為任任意意常常數(shù)數(shù)定理定理1.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:不一定不一定是所給二階方程的通解是所給二階方程的通解.例如例如,1( )y x是某二階齊次方程的解是某二階齊次方程的解,21( )2( )y

4、xy x也是齊次方程的解也是齊次方程的解, 1122121( )( )(2)( )C y xC yxCCy x并不是通解并不是通解.但是但是1122( )( )yC y xC yx則則為解決通解的判別問題為解決通解的判別問題, 下面引入函數(shù)的線性相關(guān)下面引入函數(shù)的線性相關(guān)與線性無關(guān)概念與線性無關(guān)概念. 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義:12( ),( ),( )ny xyxyx設(shè)設(shè)是定義在區(qū)間是定義在區(qū)間 I 上的上的 n 個函數(shù)個函數(shù),12,nkkk使得使得1122( )( )( )0,nnk y xk yxk yxxI則稱這則稱這 n個函數(shù)在個函數(shù)在 I 上上線性相關(guān)線性相關(guān), 否則

5、稱為否則稱為線性無關(guān)線性無關(guān).例如，例如， 221, cos,sin,xx在在( , )上都有上都有221 cossin0 xx故它們在任何區(qū)間故它們在任何區(qū)間 I 上都線性相關(guān)上都線性相關(guān);又如，又如，21,x x若在某區(qū)間若在某區(qū)間 I 上上21230,kk xk x123,k kk必需全為必需全為 0 ,可見可見21,x x故故I 上都上都 線性無關(guān)線性無關(guān).若存在若存在不全為不全為 0 的常數(shù)的常數(shù)在任何區(qū)間在任何區(qū)間 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 兩個兩個函數(shù)在區(qū)間函數(shù)在區(qū)間 I 上線性相關(guān)與線性無關(guān)的上線性相關(guān)與線性無關(guān)的充要條件充要條件:12( ),( )y xyx線性相關(guān)線性相

6、關(guān)存在不全為存在不全為 0 的的12,k k使使1122( )( )0k y xk yx1221( )( )y xkyxk ( 無妨設(shè)無妨設(shè)10 )k 12( ),( )y xyx線性無關(guān)線性無關(guān)12( )( )y xyx常數(shù)常數(shù)思考思考:12( ),( )y xyx若若中有一個恒為中有一個恒為 0, 則則12( ),( )y xyx必線性必線性相關(guān)相關(guān)常數(shù)常數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 2.12( ),( )y xyx若若是二階線性齊次方程的兩個線是二階線性齊次方程的兩個線性無關(guān)特解性無關(guān)特解, 1122( )( )yC y xC yx數(shù)數(shù)) 是該方程的通解是該方程的通解.例如例

7、如, 方程方程0yy有特解有特解1cos ,yx2sin ,yx且且常數(shù)常數(shù), 故方程的通解為故方程的通解為12cossinyCxCx(自證自證) 推論推論. 12,ny yy若若是是 n 階齊次方程階齊次方程 ( )(1)11( )( )( )0nnnnya x yax yax y的的 n 個線性無關(guān)解個線性無關(guān)解, 則方程的通解為則方程的通解為1122()nnkyC yC yC yC為為任任意意常常數(shù)數(shù)2tanyx1y12(,C C 為為任任意意常常則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 （二）二階常系數(shù)齊次線性微分方程（二）二階常系數(shù)齊次線性微分方程0( ,)yp yq yp q為為常常數(shù)數(shù)e

8、r xy 因為因為r為常數(shù)時，函數(shù)為常數(shù)時，函數(shù) erx 和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子和它的導(dǎo)數(shù)只差常數(shù)因子,代入得代入得2()e0rxrprq 20rprq稱為微分方程的稱為微分方程的特征方程特征方程,1. 當當240pq時時, 有兩個相異實根有兩個相異實根12,r ,r方程有兩個線性無關(guān)的特解方程有兩個線性無關(guān)的特解:11e,r xy 22e,r xy 因此方程的通解為因此方程的通解為1212eer xr xyCC( r 為待定常數(shù)為待定常數(shù) ),所以令的解為所以令的解為 則微分則微分其根稱為其根稱為特征根特征根.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(,)yp yq yp q為為常常數(shù)數(shù)特征方程特征

9、方程20rprq2. 當當240pq時時, 特征方程有兩個相等實根特征方程有兩個相等實根12rr則微分方程有一個特解則微分方程有一個特解21( )yy u x設(shè)另一特解設(shè)另一特解( u (x) 待定待定)代入方程得代入方程得:1er x1()p uru0qu211(2)urur u1r注注意意是特征方程的重根是特征方程的重根0u 取取 u = x , 則得則得12e,r xyx因此原方程的通解為因此原方程的通解為112()er xyCC x2,p11e.r xy 1e( )r xu x2111(2)()0urp urprq u目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0(,)yp yq yp q為為常常數(shù)

10、數(shù)特征方程特征方程20rprq3. 當當240pq時時, 特征方程有一對共軛復(fù)根特征方程有一對共軛復(fù)根12i,irr這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解這時原方程有兩個復(fù)數(shù)解:(i)1exye(cosi sin)xxx(i)2exye(cosisin)xxx 利用解的疊加原理利用解的疊加原理 , 得原方程的線性無關(guān)特解得原方程的線性無關(guān)特解:11122()yyy12122i()yyyecosxxesinxx因此原方程的通解為因此原方程的通解為12e(cossin)xyCxCx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)小結(jié):0( ,)yp yq yp q為為常常數(shù)數(shù)20,rprq特征方程特征方程:1212eer xr

11、 xyCC12: ,r r特特征征根根12rr實根實根 122prr 112()er xyCC x1 2i,r12e(cossin)xyCxCx特特 征征 根根通通 解解目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 230yyy求求方方程程的通解的通解.解解: 特征方程特征方程2230,rr 特征根特征根:121,3,rr 因此原方程的通解為因此原方程的通解為312eexxyCC例例2. 求解初值問題求解初值問題22dd20ddssstt04,tsd20dstt 解解: 特征方程特征方程2210rr 有重根有重根121,rr 因此原方程的通解為因此原方程的通解為12()etsCC t利用初始條件得利

12、用初始條件得14,C 于是所求初值問題的解為于是所求初值問題的解為(42 )etst22C 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. . 250yyy求方程2250,rr 1,212 ,ri 的通解的通解. .解解: : 特征方程特征方程特征根特征根: :因此原方程的通解為因此原方程的通解為12(cos2sin2 )xye CxCx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 若特征方程含單實根若特征方程含單實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項er xC( )(1)110 ()nnnnkya yaya ya均均為為常常數(shù)數(shù)特征方程特征方程: 1110nnnnra rara（三）（三）n

13、階常系數(shù)齊次線性微分方程階常系數(shù)齊次線性微分方程2. 若特征方程含若特征方程含 k 重實根重實根 r , 則其通解中必含對應(yīng)項則其通解中必含對應(yīng)項112()ekr xkCC xC x()iC以以上上均均為為任任意意常常數(shù)數(shù)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 若特征方程含若特征方程含 k 重復(fù)根重復(fù)根i,r112e()cosxkkCC xC xx112()sinkkDD xD xx則其通解中則其通解中必含對應(yīng)項必含對應(yīng)項( )(1)110 ()nnnnkya yaya ya均均為為常常數(shù)數(shù)特征方程特征方程: 1110nnnnra rara(,)iiC D以以上上均均為為任任意意常常數(shù)數(shù)3. 若特

14、征方程含若特征方程含1對復(fù)根對復(fù)根i,r則其通解中必則其通解中必含對應(yīng)項含對應(yīng)項1e(cosxCx1sin)Dx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4.(4)250yyy求求方方程程的通解的通解. 解解: 特征方程特征方程432250,rrr特征根特征根:123, 40,1 2irrr 因此原方程通解為因此原方程通解為12yCC x34e (cos2sin2 )xCxCx例例5.(5)(4)0.yy解解方方程程解解: 特征方程特征方程:540,rr特征根特征根 :123450,1rrrrr原方程通解原方程通解:1(yC2C x 23C x 304)xC x e5exC1C2C x 23C x 3

15、4C x 5exC目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6.(4)20.yyy解解方方程程解解: 特征方程特征方程:42210rr 22(1)0r 即即特征根為重根特征根為重根1, 23, 4i,rr 則方程通解則方程通解 :12()cosyCC xx34()sinCC xx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)0( ,)yp yq yp q為為常常數(shù)數(shù)(1) 當當時時, 通解為通解為1212eer xr xyCC12rr(2) 當當時時, 通解為通解為112()er xyCC x12rr(3) 當當時時, 通解為通解為12e(cossin)xyCxCx1,2ir可推廣到高階常系數(shù)線性齊次

16、方程求通解可推廣到高階常系數(shù)線性齊次方程求通解 .求解步驟求解步驟:求出特征方程的兩個根求出特征方程的兩個根12,rr20,rprq第一步第一步:寫出微分方程的特征方程寫出微分方程的特征方程第二步第二步:根據(jù)特征根根據(jù)特征根12,rr第三步第三步:寫出通解寫出通解.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí) 1、求方程、求方程0ya y的通解的通解 .答案答案:0:a 通解為通解為12yCC x0:a 通解為通解為12cossinyCa xCa x0:a 通解為通解為12eea xa xyCC第八節(jié)第八節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 求一個以求一個以12e ,2 exxyyx常系數(shù)線性齊次微分方程常系數(shù)線性齊次微分方程,并求其通解并求其通解 .解解: 根據(jù)給定的特解知特征方程有根根據(jù)給定的特解知特征方程有根 :121,rr因此特征方程為因此特征方程為2(1)r 0即即2210rr 20yyy故所求方程為故所求方程為其通解為其通解為12()exyCC x為特解的二為特解的二 階階 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.123e ,2 e ,cos2 ,xxyyxyx求求