第七章 剛體的平面運動

1、1剛體的平面運動方程剛體的平面運動方程2平面圖形上各點的速度關(guān)系平面圖形上各點的速度關(guān)系3平面圖形上各點的加速度關(guān)系平面圖形上各點的加速度關(guān)系第七章第七章 剛體的平面運動剛體的平面運動概述概述 剛體的平面運動是工程上常見的一種運動，這是剛體的平面運動是工程上常見的一種運動，這是一種較為復(fù)雜的運動一種較為復(fù)雜的運動 研究：在研究剛體的研究：在研究剛體的平動平動和和定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動的基礎(chǔ)上，的基礎(chǔ)上，通過運動通過運動合成合成和和分解分解的方法，將平面運動分解為的方法，將平面運動分解為上述兩種基本運動然后應(yīng)用合成運動的理論，上述兩種基本運動然后應(yīng)用合成運動的理論，推導(dǎo)出平面運動剛體上一點的速度和加速

2、度的計推導(dǎo)出平面運動剛體上一點的速度和加速度的計算公式算公式7-1 7-1 剛體的平面運動方程剛體的平面運動方程一平面運動的定義一平面運動的定義 在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始在運動過程中，剛體上任一點到某一固定平面的距離始終保持不變也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平終保持不變也就是說，剛體上任一點都在與該固定平面平行的某一平面內(nèi)運動具有這種特點的運動稱為剛體的平面行的某一平面內(nèi)運動具有這種特點的運動稱為剛體的平面運動運動例如例如: : 曲柄連桿機構(gòu)中連桿曲柄連桿機構(gòu)中連桿ABAB的運動，的運動， A A點作圓周運動，點作圓周運動，B B點作直線運動點作直線運動，因此，

3、因此，AB AB 桿的運動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，桿的運動既不是平動也不是定軸轉(zhuǎn)動，而是平面運動而是平面運動 根據(jù)平面運動的定義可知，在剛體運根據(jù)平面運動的定義可知，在剛體運動過程中，此平面圖形必在平面動過程中，此平面圖形必在平面IIII內(nèi)運動。內(nèi)運動。在剛體內(nèi)任取一條垂直于平面圖形在剛體內(nèi)任取一條垂直于平面圖形S S的直的直線線A A1 1A A2 2做平動。點做平動。點A A的運動代表了的運動代表了A A1 1A A2 2上所上所有各點的運動。過平面圖形有各點的運動。過平面圖形S S作無數(shù)條垂作無數(shù)條垂線，這無數(shù)條垂線與平面圖形有無數(shù)個交線，這無數(shù)條垂線與平面圖形有無數(shù)個交點，這無數(shù)個交

4、點的運動代表了無數(shù)條直點，這無數(shù)個交點的運動代表了無數(shù)條直線的運動。線的運動。剛體的平面運動剛體的平面運動, ,可簡化為平可簡化為平面圖形在其自身平面內(nèi)的運動。面圖形在其自身平面內(nèi)的運動。二二. 剛體平面運動的簡化剛體平面運動的簡化 三平面運動方程三平面運動方程為了確定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們?yōu)榱舜_定代表平面運動剛體的平面圖形的位置，我們只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置只需確定平面圖形內(nèi)任意一條線段的位置 任意線段任意線段ABAB的位置可的位置可用用A A點的坐標和點的坐標和ABAB與與x x軸夾軸夾角表示因此圖形角表示因此圖形S S 的位的位置決定于三個置決定于三個獨立的參

5、變量所以獨立的參變量所以AAx , y , 四四平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動平面運動分解為平動和轉(zhuǎn)動 當圖形當圖形上上點不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動點不動時，則剛體作定軸轉(zhuǎn)動 當圖形當圖形上上 角不變時，則剛體作平動角不變時，則剛體作平動故剛體平面運動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動故剛體平面運動可以看成是平動和轉(zhuǎn)動的合成運動平面運動方程平面運動方程1( )Axft2(Ayft）3( )ft 對于每一瞬時對于每一瞬時 t t ，都可以求出對應(yīng)的，都可以求出對應(yīng)的 ， 圖圖形形S S在該瞬時的位置也就確定了。在該瞬時的位置也就確定了。,AAyx例如車輪的運動例如車輪的運動 車輪的平面運動可以看成車輪的平面

6、運動可以看成是車輪隨同車廂的平動和相是車輪隨同車廂的平動和相對車廂的轉(zhuǎn)動的合成對車廂的轉(zhuǎn)動的合成 車輪對于靜系的平面運動車輪對于靜系的平面運動 （絕對運動）（絕對運動） 車廂（動系車廂（動系A(chǔ)xAx y y ) ) 相對靜系的平動相對靜系的平動 （牽連運動）（牽連運動） 車輪相對車廂（動系車輪相對車廂（動系A(chǔ)xAx y y ）的轉(zhuǎn)動）的轉(zhuǎn)動 （相對運動）（相對運動） 我們稱動系上的原點我們稱動系上的原點為基點，于是為基點，于是車輪的平面運動車輪的平面運動隨基點隨基點A A的平動的平動繞基點繞基點AA的轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動剛體的平面運動可以剛體的平面運動可以分解為隨基點的平動分解為隨基點的平動和繞基點的轉(zhuǎn)

7、動和繞基點的轉(zhuǎn)動再例如再例如: 平面圖形平面圖形在在 時間內(nèi)從位置時間內(nèi)從位置I I運動到位置運動到位置IIII以以A為基點為基點: 隨基點隨基點A平動到平動到AB后后, 繞基點轉(zhuǎn)繞基點轉(zhuǎn) 角到角到AB以以B為基點為基點: 隨基點隨基點B平動到平動到AB后后, 繞基點轉(zhuǎn)繞基點轉(zhuǎn) 角到角到AB圖中看出：圖中看出：AB AB AB ，于是有，于是有12121212121200limlim , ; ,ttddttdtdt 所以，所以，平面運動隨基點平動的運動規(guī)律平面運動隨基點平動的運動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)，而繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與與基點的選擇有關(guān)，而繞基點轉(zhuǎn)動的規(guī)律與基點選取無關(guān)基點選取無關(guān)(即在同一瞬

8、間，圖形繞任一即在同一瞬間，圖形繞任一基點轉(zhuǎn)動的基點轉(zhuǎn)動的 , 都是相同的）都是相同的）基點的選取是任基點的選取是任意的意的。(通常選取運動情況已知的點作為基點通常選取運動情況已知的點作為基點)曲柄連桿機構(gòu)曲柄連桿機構(gòu)ABAB桿作平面運動桿作平面運動平面運動的分解平面運動的分解一、基點法動點：動點：M絕對運動絕對運動 ：待求：待求牽連運動牽連運動 ： 平移平移MerOvvvvO M 動系動系 ： ( (平移坐標系平移坐標系) )O x y 相對運動相對運動 ：繞：繞 點的圓周運動點的圓周運動 O7-27-2 平面圖形內(nèi)各點的速度關(guān)系平面圖形內(nèi)各點的速度關(guān)系任意任意A，B兩點兩點BABAvvv其

9、中其中BABAvABv AB 大大小小方方向向垂垂直直于于，指指向向同同 平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點平面圖形內(nèi)任一點的速度等于基點的速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。式中三種速度，一隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動速度的矢量和。式中三種速度，一共有六個量，只要知道其中任意四個量，可以求出另共有六個量，只要知道其中任意四個量，可以求出另外兩個量。外兩個量。 【例【例7-1】 如圖所示，桿如圖所示，桿AB長為長為l，其，其A端沿水平軌道運動，端沿水平軌道運動，B端沿鉛直軌道運動。在圖示瞬時，桿端沿鉛直軌道運動。在圖示瞬時，桿AB與鉛直線成夾與鉛直線成夾角角 ，A端具有向右的速度端具有向右的速

10、度vA，求此瞬時，求此瞬時B端的速度及桿端的速度及桿AB的角速度。的角速度。 Av B A BAv Bv Av BA 解：桿解：桿AB做平面運動，以做平面運動，以A為基點分析點為基點分析點B的速度，畫的速度，畫出點出點B的速度合成圖如圖所示。的速度合成圖如圖所示。tanBAvv / cosBAAvv cosBAABABAlvv 由速度合成圖可知由速度合成圖可知故桿故桿ABAB的角速度為的角速度為 例例7-2 橢圓規(guī)尺的橢圓規(guī)尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 軸的負向運軸的負向運動，如圖所示，動，如圖所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。解：解：1、 AB

11、作平面運動作平面運動 基點：基點： AABABvAB lv ，已已知知： ，。 求求：。sinABAvv sinBAAABvvll 2?BABAAvvvv、大大小小 ？方方向向cotBAvv 例例7-3如圖所示平面機構(gòu)中，如圖所示平面機構(gòu)中，AB=BD= DE= l=300mm。在圖示位置時，。在圖示位置時，BDAE，桿，桿AB的角速度為的角速度為=5rad/s。求：此瞬時桿求：此瞬時桿DE的角速度和桿的角速度和桿BD中點中點C的速度。的速度。解：解：1 、 BD作平面運動作平面運動 基點：基點：Bmm5rad s300,/ /,ABDECABBDDElBDAEv 。已已知知：。求求：，lvv

12、vBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl 、大大小小 ？方方向向221 299m s.CBCBvvvBD方方向向沿沿桿桿向向右右32?CBCBBDvvvll、大大小小 ？方方向向mm5rad s300,/ /,ABDECABBDDElBDAEv 。已已知知：。求求：， 例例7-4曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，曲柄連桿機構(gòu)如圖所示，OA =r, AB= 。如曲柄如曲柄OA以勻角速度以勻角速度轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。r306090B 求求：當當，時時點點 的的速速度度。解：解：1、 AB作平面運動作平面運動 基點：基點：A3,OABOAABrrv 已已知知：求求：。

13、90 0,BABAvvrv 0Bv060 302 33cosBAvvr 2?BABAvvvr 、大大小小 ？方方向向例例7-5 如圖所示的行星輪系中，大齒輪如圖所示的行星輪系中，大齒輪固定，半固定，半徑為徑為r1 ，行星齒輪，行星齒輪沿輪沿輪只滾而不滑動，半徑為只滾而不滑動，半徑為r2。系桿系桿OA角速度為。角速度為。O求：輪求：輪的角速度的角速度及其上及其上B，C 兩點的速度。兩點的速度。解解: 1、輪、輪作平面運動作平面運動 基點：基點：A 12DAAOvvrr 1221DAAOvvrDArr20DADAvvv、12,OAOrr 已已知知：。,BCvv求： 22122BABAOvvvrr

14、122BABAOvvvrrr ？大小方方向向、 122CACAOvvvrr 4CACAvvv、12,OAOrr 已已知知：。,BCvv求：二、速度投影定理 同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上同一平面圖形上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。的投影相等。沿沿AB連線方向上投影連線方向上投影 BAABABvv BABAvvv由由 這個定理不但適用于剛體的平面運動，而且能適用于剛這個定理不但適用于剛體的平面運動，而且能適用于剛體的任何運動，它反映了剛體上任意兩點間距離保持不變體的任何運動，它反映了剛體上任意兩點間距離保持不變的特征。的特征。 例例7-6 如圖所示的平面機構(gòu)中，曲柄如圖所示

15、的平面機構(gòu)中，曲柄OA長長100mm，以角速度，以角速度=2rad/s轉(zhuǎn)動。連桿轉(zhuǎn)動。連桿AB帶動搖桿帶動搖桿CD，并拖動輪，并拖動輪E沿水平面純滾動。已知：沿水平面純滾動。已知：CD=3CB，圖示位置時圖示位置時A，B，E三點恰在一水平線上，且三點恰在一水平線上，且CDED。求：此瞬時點求：此瞬時點E的速度。的速度。解：解： 1、 AB作平面運動作平面運動BA ABABvv（ ）30cosBvOA 0 230930.m scosBOAv 100mm2rad s3,OAEOACDCB CDEDv已已知知：。求求：。2 2、CD作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：作定軸轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸：C30 6928m s.BD

16、BvvCDvCB3 3、DE作平面運動作平面運動100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。300 830EDEDDEEDDEvvvvvv )cos. m scos（ 三、瞬時速度中心法（速度瞬心法）三、瞬時速度中心法（速度瞬心法）1 1、問題的提出、問題的提出 若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題若選取速度為零的點作為基點，求解速度問題的計算會大大簡化于是，自然會提出，在某一瞬的計算會大大簡化于是，自然會提出，在某一瞬時圖形是否有一點速度等于零？如果存在的話，該時圖形是否有一點速度等于零？如果存在的話，該點如何確定？點如何確定？ 、速度瞬心的概念、速度瞬心

17、的概念 平面圖形平面圖形S，某瞬時其上一點，某瞬時其上一點A速度速度 , 圖形角速度圖形角速度 ，沿，沿 方向取半直線方向取半直線AL, 然后然后順順 的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)90o至至AL的位置的位置,在在AL上取長上取長度度 則：則：/AAPv PAPAvvv , , . PAAAvAPvPAv 方方向向恰恰與與反反向向 所所以以0Pv Av Av 即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平即在某一瞬時必唯一存在一點速度等于零，該點稱為平面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心面圖形在該瞬時的瞬時速度中心，簡稱速度瞬心、幾種確定速度瞬心位置的方法、幾種確定速度瞬心位置的方法已知圖形上一點的

18、速度已知圖形上一點的速度 和圖形角速度和圖形角速度 ， 可以確定速度瞬心的位置可以確定速度瞬心的位置（P點）點）且且在在 順順 轉(zhuǎn)向繞轉(zhuǎn)向繞A點點 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90的的方向一側(cè)方向一側(cè) , ,AAvAPAPv AvAv 已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾已知一平面圖形在固定面上作無滑動的滾 動動, 則圖形與固定面的接觸點則圖形與固定面的接觸點P為速度瞬為速度瞬心心 ( ) , ABABvvavvAB 與與同同向向( ) , ABABvvbvvAB 與與反反向向 已知某瞬時圖形上已知某瞬時圖形上A ,B兩點速度兩點速度 大小大小,且且,ABvv, ABvABvAB (b)(a) 已知某瞬間平面圖形上已

19、知某瞬間平面圖形上A,B兩點速度兩點速度 的方向，且的方向，且 過過A , B兩點分別作速度兩點分別作速度 的垂線的垂線,交點交點 P即為該瞬間的速度瞬心即為該瞬間的速度瞬心.,ABvv ABvv不不平平行行,ABvv另：對另：對種種(a)的情況，若的情況，若vAvB， 則是瞬時平動則是瞬時平動 已知某瞬時圖形上已知某瞬時圖形上A,B兩點的速度方向相同，且不與兩點的速度方向相同，且不與AB連連線垂直線垂直 此時此時, 圖形的瞬心在無窮遠處圖形的瞬心在無窮遠處,圖形的角速度圖形的角速度 =0, 圖形上圖形上各點速度相等各點速度相等, 這種情況稱為這種情況稱為瞬時平動瞬時平動. (此時各點的加速度

20、不此時各點的加速度不相等相等) 例如例如: 曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿曲柄連桿機構(gòu)在圖示位置時，連桿BC作瞬時平動作瞬時平動此時連桿此時連桿BC的圖形角速度的圖形角速度 ，BC桿上各點的速度都相等桿上各點的速度都相等. 但各點的加速度并不相等但各點的加速度并不相等設(shè)勻設(shè)勻 ，則，則2( )nBBaaAB 而的方向沿而的方向沿AC的，的，瞬時平動與平動不同瞬時平動與平動不同caBcaa 0BC 、 速度瞬心法速度瞬心法利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法利用速度瞬心求解平面圖形上點的速度的方法,稱為速度瞬心法稱為速度瞬心法. 平面圖形在任一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)平面圖形在任

21、一瞬時的運動可以視為繞速度瞬心的瞬時轉(zhuǎn)動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。動，速度瞬心又稱為平面圖形的瞬時轉(zhuǎn)動中心。 若若C點為速度瞬心，則任意一點點為速度瞬心，則任意一點A的速度的速度 方向方向 AC，指向與，指向與 一致。一致。 AvAC 、 注意的問題注意的問題 速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不速度瞬心在平面圖形上的位置不是固定的，而是隨時間不 斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。斷變化的。在任一瞬時是唯一存在的。 速度瞬心處的速度為零速度瞬心處的速度為零, 加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動加速度不一定為零。不同于定軸轉(zhuǎn)動 剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各

22、點的加速剛體作瞬時平動時，雖然各點的速度相同，但各點的加速 度是不一定相同的。不同于剛體作平動。度是不一定相同的。不同于剛體作平動。解：機構(gòu)中解：機構(gòu)中,OA作定軸轉(zhuǎn)動作定軸轉(zhuǎn)動,AB作作平面運動平面運動,滑塊滑塊B作平動。作平動。 基點法（合成法）基點法（合成法） 研究研究 AB，以，以 A為基點，且方向如圖示。為基點，且方向如圖示。, lvA例例7-7 已知：曲柄連桿機構(gòu)已知：曲柄連桿機構(gòu)OA=AB=l，曲柄曲柄OA以勻以勻 轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動。 求：當求：當 =45時時, 滑塊滑塊B的速度及的速度及AB桿的角速度桿的角速度45245/ cos / cos()tgtg/BABAAABBAvvllv

23、vllvABll （）根據(jù)根據(jù),BABAvvv 在在點做點做 速度平行四邊形，如圖示。速度平行四邊形，如圖示。BAABABvv 根據(jù)速度投影定理根據(jù)速度投影定理cosABvv )(245cos/ cos/llvvAB不能求出不能求出AB 速度投影法速度投影法 研究研究AB, ,方向方向 OA, 方向沿方向沿BO直線直線lvABv2,/()AABABABvlAPlvAPllvBPl （）試比較上述三種方法的特點。試比較上述三種方法的特點。 速度瞬心法速度瞬心法研究研究AB，已知的方向，因此，已知的方向，因此可確定出可確定出P點為速度瞬心點為速度瞬心,ABvv 例例7-8 橢圓規(guī)尺的橢圓規(guī)尺的A端

24、以速度端以速度vA沿沿x 軸的負向軸的負向運動，如圖所示，運動，如圖所示，AB=l。 求：用瞬心法求求：用瞬心法求B端的速度。端的速度。解：解：AB作平面運動，速度瞬作平面運動，速度瞬心為點心為點C。sinAAABvvACl cotBABAvBCvABvAB lv 已已知知： ，。 求求：。 P Bv Ov Av A B O 例例7-9 7-9 如圖所示的圓輪轉(zhuǎn)動的角速度為如圖所示的圓輪轉(zhuǎn)動的角速度為 ，半徑為半徑為0.75m0.75m，試用速度瞬心法求圓輪中心，試用速度瞬心法求圓輪中心O和輪緣上兩點和輪緣上兩點A、B的速度。的速度。2 rad s/ 解：圓輪做平面運動，輪與地面的接觸點解：圓

25、輪做平面運動，輪與地面的接觸點P為輪的速度瞬心。因此，三點為輪的速度瞬心。因此，三點O、A、B的速的速度可分別表示為度可分別表示為 P Bv Ov Av A B O 2075471m sOvPO./ 22 075666m sBvPB./ 215 942m sAvPA./ 其方向分別垂直于三點其方向分別垂直于三點O、A、B和點和點P連線，并且與連線，并且與輪子轉(zhuǎn)動的方向一致。方向如圖所示。輪子轉(zhuǎn)動的方向一致。方向如圖所示。 7-3 平面圖形內(nèi)各點的加速度關(guān)系平面圖形內(nèi)各點的加速度關(guān)系一、基點法一、基點法 ( (合成法合成法) ) 已知：圖形已知：圖形S 內(nèi)一點內(nèi)一點A 的加速度的加速度 和圖形和

26、圖形 的的 , （某一瞬時）。（某一瞬時）。求：求： 該瞬時圖形上任一點該瞬時圖形上任一點B的加速度。的加速度。Aa 取取A為基點，將平動坐標系固結(jié)于為基點，將平動坐標系固結(jié)于A點，取點，取B動點，則動點，則B點點的運動分解為圓周運動（相對運動）和平動（牽連運動）。的運動分解為圓周運動（相對運動）和平動（牽連運動）。 ; ; aBeAnrBABABAaaaaaaaa 于是于是,由牽連運動為平動時加速度合成定理由牽連運動為平動時加速度合成定理aeraaa nBABABAaaaa 可得如下公式可得如下公式其中：，方向其中：，方向 AB，指向與，指向與 一致；一致；，方向沿，方向沿AB，指向，指向A

27、點。點。BAaAB 2nBAaAB 即即平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖平面圖形內(nèi)任一點的加速度等于基點的加速度與該點隨圖形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和形繞基點轉(zhuǎn)動的切向加速度和法向加速度的矢量和。這種求解加。這種求解加速度的方法稱為速度的方法稱為基點法基點法，也稱為，也稱為合成法合成法。是求解平面圖形內(nèi)一點。是求解平面圖形內(nèi)一點加速度的基本方法。加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六個要素，方能求出其余兩個。由于出其余兩個。由于 方位總是已知，所以在使用該公式方位總是已知，所以在使用該公式中，只

28、要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。中，只要再知道四個要素，即可解出問題的待求量。,nBABAaa 二、加速度瞬心二、加速度瞬心由于由于 的大小和方向隨的大小和方向隨B點的不同而不同點的不同而不同,所以所以總可以在圖形內(nèi)找到一點總可以在圖形內(nèi)找到一點Q，在此瞬時，相對加速度，在此瞬時，相對加速度 大小恰與基點大小恰與基點A的加速度等值反向，其絕對加速的加速度等值反向，其絕對加速度。度。Q點就稱為圖形在該瞬時的點就稱為圖形在該瞬時的加速度瞬心加速度瞬心, nBABAaa QAaAa0Qa 注注 一般情況下一般情況下,加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點加速度瞬心與速度瞬心不是同一個點 一般情況下

29、，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關(guān)一般情況下，對于加速度沒有類似于速度投影定理的關(guān) 系式系式. 即一般情況下即一般情況下,圖形上任意兩點圖形上任意兩點A, B的加速度的加速度ABABABaa 若某瞬時圖形若某瞬時圖形 =0, 即瞬時平動即瞬時平動, 則有則有 ABABABaa 即即若平面圖形在運動過程中某瞬時的角速度等于零，若平面圖形在運動過程中某瞬時的角速度等于零，則該瞬時圖形上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投則該瞬時圖形上任意兩點的加速度在這兩點連線上的投影相等影相等. 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那樣容易確定，且一般情況下又不存

30、在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點般情況下又不存在類似于速度投影定理的關(guān)系式，故常采用基點法求圖形上各點的加速度或圖形角加速度法求圖形上各點的加速度或圖形角加速度分析：分析：大小大小 ？ 2 方向方向 ？ 故應(yīng)先求出故應(yīng)先求出 nPOPOPOaaaa RvO/ （） 例例7-10 半徑為半徑為R的車輪沿直線作純滾動的車輪沿直線作純滾動, 已知輪心已知輪心O點的速度點的速度及加速度及加速度 ,求車輪與軌道接觸點求車輪與軌道接觸點P的加速度的加速度OvOa解：輪解：輪O作平面運動，作平面運動，P為速度瞬心，為速度瞬心， 由于此式在任何瞬時都成立，且由于此式在任何瞬時都成立，且O點作直線運動

31、，故而點作直線運動，故而RadtdvRdtdOO1（）以以O(shè)為基點，有為基點，有 nPOPOPOaaaa 222 , ()POOnOOPOaRavvaRRRR 其中：其中： 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心當車輪沿固定的直線軌道作純滾動不是加速度瞬心當車輪沿固定的直線軌道作純滾動時，其速度瞬心時，其速度瞬心P的加速度指向輪心的加速度指向輪心 做出加速度矢量圖，由圖中看出：做出加速度矢量圖，由圖中看出：nPPOaa （ 與與 等值反向）等值反向） OaPOa 2/( )POavR Av B A BAv Bv Av BA Av B

32、 A Aa BA 【例【例7-117-11】 如圖所示桿如圖所示桿AB長為長為l，A端具有向右的速度端具有向右的速度vA和向右的加速度和向右的加速度aA，求此瞬時，求此瞬時B端的速度和加速度及桿端的速度和加速度及桿AB的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 Av B A B Av Bv Av B A Av B A Aa B A 解：桿解：桿AB做平面運動，做平面運動，先進行速度分析，以先進行速度分析，以A為基點分析點為基點分析點B的速度。的速度。tanBAvvcos/BAAvv故桿故桿ABAB的角速度為的角速度為 cosBAAABBAvvl 然后再進行加速度分析和然后再進行加速度分析和計算，

33、以計算，以A為基點分析點為基點分析點B的加的加速度。速度。列列 方向的投影方程方向的投影方程 nBAancoscos(90)BABAaaa解得解得 23tancosABAvaal Aa B A BAa Ba Aa BA nBAa 列列 方向的投影方程方向的投影方程 BAasincosBABAaaa 解之得解之得23sincossincoscos BABAAAaaaavl所以，所以，AB桿的角加速度為桿的角加速度為223sincoscosBAAAABaavlll Aa B A BAa Ba Aa BA nBAa B Av BAv BCv Cv x y 30 0 O A C B D 30 0 【例

34、【例7-127-12】如圖所示為一平面鉸鏈機構(gòu)。已知】如圖所示為一平面鉸鏈機構(gòu)。已知OA=3r， AB=BC=r，角速度為角速度為0。CD=2 2r，角速度為，角速度為0，轉(zhuǎn)向如圖所，轉(zhuǎn)向如圖所示。在圖示位置時桿示。在圖示位置時桿OA與桿與桿AB垂直，試求圖示瞬時點垂直，試求圖示瞬時點B的的速度和加速度以及桿速度和加速度以及桿AB、桿、桿BC的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 B Av B Av B Cv Cv x y 3 0 0 O A C B D 3 0 0 解：本機構(gòu)中桿解：本機構(gòu)中桿AB和桿和桿BC均做均做平面運動，分別取桿平面運動，分別取桿AB的點的點A和和桿桿BC的點的點C為

35、基點為基點, ,作出點作出點B的速的速度合成圖如圖所示。由速度合成度合成圖如圖所示。由速度合成圖可知：圖可知：cos30sin30BxABCByBABCCvvvvvvv 0033BxByvrvr ，0032ABBC ，nnnnnsin30cos30cos30sin30BxBACBCBCByBAABCBCaaaaaaaaaa 再由加速度合成圖可知：再由加速度合成圖可知： 209Bxar 2019 33Byar2022 33AB2026 33BCr， y B x 3 0 3 0 nCa nB Ca B Ca nB Aa B Aa nAa 0 O A C B D 3 0 0 解得解得解：解：(a)

36、AB作平動，作平動，nnABABABABvv , aa (aa , aa) 1122112212ABABv/ O A, v/ O B; a/ O A, a/ O B; O AO B 又又而而1212;.例例7-13 已知已知O1A=O2B, 圖示瞬時圖示瞬時 O1A /O2B 試問試問(a),(b)兩種情況下兩種情況下 1和和 2， 1和和 2是否相等？是否相等？(a)(b)(b) AB作平面運動作平面運動, 圖示瞬時圖示瞬時作瞬時平動作瞬時平動, 此時此時0ABAB,vv 12112212ABO AO B, v/ O A, v/ O B, nnABAABBABABABABABABaa , a

37、aaa 即即2211112222O AsinO AcosO BsinO Bcos 2211122ABctg ,ABaa 即即并并由由此此看看出出作作瞬瞬時時平平動動時時例例7-14 曲柄滾輪機構(gòu)曲柄滾輪機構(gòu) 滾子半徑滾子半徑R=15cm, n=60 rpm,求：當求：當 =60時時 (OA AB),滾輪的滾輪的 ， 翻頁請看動畫翻頁請看動畫解解：OA定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動,AB桿和輪桿和輪B作平面運動作平面運動研究研究AB：12303 153ABAv/ AP/ rad/s（）cm/s 30215rad/s 230/6030/OAvnAP為其速度瞬心為其速度瞬心122 3 1520 33BABvBP

38、cm/s() 分析分析: 要想求出滾輪的要想求出滾輪的 , 先要求出先要求出vB, aBP2P1vBP2為輪速度瞬心為輪速度瞬心取取A為基點，為基點，222152602AaOA()cm/s 指向指向O點點nBABABAaaaa 22223 15320 33nBAAB(aAB(),BA) 沿沿大小大小 ？ ？ 方向方向 作加速度矢量圖，將上式向作加速度矢量圖，將上式向BA線上投影線上投影3000nBBAa cosa223020 333240131 53nBBA2aa/ cos/. cm/s () 220 3157 25BBv/ BP/.rad/s2131 5 158 772BBa/ BP. /.

39、rad/s ）(）(研究輪研究輪B：P2為其速度瞬心為其速度瞬心1、運動學(xué)綜合應(yīng)用 ： 機構(gòu)運動學(xué)分析機構(gòu)運動學(xué)分析。2、已知運動機構(gòu) 未知運動機構(gòu) 連連接接點點運運動動學(xué)學(xué)分分析析3 3、連接點運動學(xué)分析、連接點運動學(xué)分析接接觸觸滑滑動動合合成成運運動動鉸鉸鏈鏈連連接接平平面面運運動動三、三、運動學(xué)綜合應(yīng)用舉例運動學(xué)綜合應(yīng)用舉例 ev B r OC Ov Oa rv A av 60 O 60 【例【例7-14】如圖所示的圓輪在水平地面上做純滾動，圓輪的】如圖所示的圓輪在水平地面上做純滾動，圓輪的半徑半徑r=0.5m，桿，桿O1A與輪相切，套筒在圓輪的邊緣用鉸鏈和與輪相切，套筒在圓輪的邊緣用鉸

40、鏈和圓輪相連。已知圓輪圓輪相連。已知圓輪的中心點的中心點O的速度的速度vO=20m/s，加速度，加速度aO=10m/s2，求此瞬，求此瞬時桿時桿O1A的角速度的角速度和角加速度。和角加速度。 ev B r OC Ov Oa rv A av 60 O 60 解：首先進行速度分析和解：首先進行速度分析和計算。圓輪與地面的接觸點計算。圓輪與地面的接觸點C為其速度瞬心，同時選擇為其速度瞬心，同時選擇B為為動點，動點，O1A為動系，作點為動系，作點B的的速度合成圖如圖所示。速度合成圖如圖所示。eacos6010 3m svv/rasin6030m svv/桿桿O1A的角速度為的角速度為 1ee120ra

41、d s3O Avv/O Br 然后再進行加速度分析。首先用基點法求輪緣點然后再進行加速度分析。首先用基點法求輪緣點B的加速的加速度。取度。取O為基點，分析點為基點，分析點B的加速度。作點的加速度。作點B的加速度圖。的加速度圖。 再以套筒點再以套筒點B為動點，為動點，O1A為動系分析套筒為動系分析套筒B的加速度。的加速度。作點作點B的加速度合成圖的加速度合成圖 O Oa BOa C O1 A 60 Oa nBOa B 30 A ea ra ka nea C O1 60 B O nneerkOBOBOaaaaaaa O Oa BOa C O1 A 60 Oa nBOa B 30 A ea ra k

42、a nea C O1 60 B O 向向 方向投影，得方向投影，得 eantk30OOBea cosaaa-ntk30OOBea cosaaa-其中：其中：n22800msBOaOB/ 2ker21200msav/ ， n2ekcos30391msOBOaaaa/桿桿O1A的角加速度為的角加速度為 12e1452rad/sO AaO B代入上式，有代入上式，有 第七章剛體平面運動習(xí)題課第七章剛體平面運動習(xí)題課一、概念與內(nèi)容一、概念與內(nèi)容1. 剛體平面運動的定義剛體平面運動的定義剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變剛體運動時，其上任一點到某固定平面的距離保持不變2. 剛體平面運動的簡

43、化剛體平面運動的簡化可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形可以用剛體上一個與固定平面平行的平面圖形S在自身平在自身平 面內(nèi)的運動代替剛體的整體運動面內(nèi)的運動代替剛體的整體運動 3. 剛體平面運動的分解剛體平面運動的分解 分解為分解為 4. 基點基點可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點可以選擇平面圖形內(nèi)任意一點,通常是運動狀態(tài)已知的點通常是運動狀態(tài)已知的點 隨基點的平動（平動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)）隨基點的平動（平動規(guī)律與基點的選擇有關(guān)）繞基點的轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點的選擇無關(guān)）繞基點的轉(zhuǎn)動（轉(zhuǎn)動規(guī)律與基點的選擇無關(guān)）5. 瞬心（速度瞬心）瞬心（速度瞬心） 任一瞬時任一瞬時,平面圖形或擴大部分都唯一存在一個

44、速度為零的點平面圖形或擴大部分都唯一存在一個速度為零的點 瞬心位置隨時間改變瞬心位置隨時間改變 每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉(zhuǎn)動這每一瞬時平面圖形的運動可視為繞該瞬時瞬心的轉(zhuǎn)動這 種瞬時繞瞬心的轉(zhuǎn)動與定軸轉(zhuǎn)動不同種瞬時繞瞬心的轉(zhuǎn)動與定軸轉(zhuǎn)動不同 =0, 瞬心位于無窮遠處瞬心位于無窮遠處, 各點速度相同各點速度相同, 剛體作瞬時平動剛體作瞬時平動, 瞬時平動與平動不同瞬時平動與平動不同6. 剛體定軸轉(zhuǎn)動和平動是剛體平面運動的特例剛體定軸轉(zhuǎn)動和平動是剛體平面運動的特例7. 求平面圖形上任一點速度的方法求平面圖形上任一點速度的方法 基點法：基點法： 速度投影法：速度投影法： 速度瞬心法

45、：速度瞬心法：其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例其中，基點法是最基本的公式，瞬心法是基點法的特例BABAvvv , A為為基基點點BAABABvvBBvBP , vBP , . P 與與一一致致為為瞬瞬心心 8. 求平面圖形上一點加速度的方法求平面圖形上一點加速度的方法基點法：基點法： ，A為基點為基點, 是最常用的方法是最常用的方法此外，當此外，當 =0,瞬時平動時也可采用方法瞬時平動時也可采用方法它是基點法在它是基點法在 =0時的特例。時的特例。nBABABAaaaa BAABABaa9. 平面運動方法與合成運動方法的應(yīng)用條件平面運動方法與合成運動方法的應(yīng)用條件平面運動方法用

46、于研究平面運動方法用于研究一個平面運動剛體一個平面運動剛體上任意兩點的速上任意兩點的速 度、加速度之間的關(guān)系及任意一點的速度、加速度與圖形度、加速度之間的關(guān)系及任意一點的速度、加速度與圖形 角速度、角加速度之間的關(guān)系角速度、角加速度之間的關(guān)系合成運動方法常用來確定合成運動方法常用來確定兩個相接觸的物體兩個相接觸的物體在接觸點處有在接觸點處有 相對滑動時的運動關(guān)系的傳遞相對滑動時的運動關(guān)系的傳遞二、解題步驟和要點二、解題步驟和要點 1. 根據(jù)題意和剛體各種運動的定義，判斷機構(gòu)中各剛體的運動根據(jù)題意和剛體各種運動的定義，判斷機構(gòu)中各剛體的運動 形式注意每一次的研究對象只是一個剛體形式注意每一次的研

47、究對象只是一個剛體 2. 對作平面運動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速對作平面運動的剛體，根據(jù)已知條件和待求量，選擇求解速 度度(圖形角速度圖形角速度)問題的方法問題的方法, 用基點法求加速度用基點法求加速度(圖形角加速圖形角加速 度度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量作速度分析和加速度分析，求出待求量 (基點法基點法: 恰當選取基點，作速度平行四邊形，加速度矢量圖；恰當選取基點，作速度平行四邊形，加速度矢量圖； 速度投影法速度投影法: 不能求出圖形不能求出圖形 ; 速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵）速度瞬心法：確定瞬心的位置是關(guān)鍵）例例1 曲柄肘桿壓床機構(gòu)曲柄肘桿壓床機構(gòu)已

48、知：已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 圖示位置時圖示位置時, AB水平水平求該位置時的、求該位置時的、 及及BDAB Dv解：解：OA,BC作定軸轉(zhuǎn)動作定軸轉(zhuǎn)動, AB,BD均作平面運動均作平面運動 根據(jù)題意：根據(jù)題意： 300103030nrad/s 0 15 101 5AvOA. m/s （ ）11 51 527 16600 763AABv. rad/sAPAB sin. 研究研究AB, P為其速度瞬心為其速度瞬心1607 160 76 0 5 7 162 72BABvBPABcos. m/s 研究研究BD, P2為其速度瞬心為

49、其速度瞬心, BDP2為等邊三角形為等邊三角形DP2=BP2=BD22 735 130 53BBDv. rad/sBP. 20 53 5 132 72DBDvDP. m/s() （）解：解：OA定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動; 輪輪A作平面運動作平面運動, 瞬心瞬心P點點1122MooRrvPMr(Rr ),r AooRrv( Rr )r r ）(2222MooRrvPMr( Rr ),r 方方向向均均如如圖圖示示例例2 行星齒輪機構(gòu)行星齒輪機構(gòu)已知已知: R, r , o 輪輪A作純滾動，求作純滾動，求12MMv,v例例3 平面機構(gòu)中平面機構(gòu)中, 楔塊楔塊M: =30, v=12cm/s ; 盤盤: r

50、= 4cm , 與與 楔楔 塊間無滑動求圓盤的塊間無滑動求圓盤的 及軸及軸O的速度和的速度和B點速度點速度解解：軸軸O, 桿桿OC, 楔塊楔塊M均作平動均作平動, 圓盤作平面運動，圓盤作平面運動，P為速度瞬心為速度瞬心12Avv cm/s ,12124302 3Av/ PA/ rcos/cos rad/s4302 34 3ovPOr sinsin m/s() 22222120124224272PBPOO BPOO B cosm 2 72 34 2118 3BvPB. m/s ( PB ) ）( 比較比較例例2和和例例3可以看出可以看出, 不能認為圓輪只滾不滑時不能認為圓輪只滾不滑時,接接 觸點

51、就是瞬心觸點就是瞬心, 只有在接觸面是固定面時只有在接觸面是固定面時, 圓輪上接觸點圓輪上接觸點 才是速度瞬心才是速度瞬心 每個作平面運動的剛體在每一瞬時都有自己的速度瞬心和每個作平面運動的剛體在每一瞬時都有自己的速度瞬心和 角速度角速度, 并且瞬心在剛體或其擴大部分上并且瞬心在剛體或其擴大部分上, 不能認為瞬心在不能認為瞬心在 其他剛體上其他剛體上. 例如例如, 例例1 中中AB的瞬心在的瞬心在P1點點,BD的瞬心在的瞬心在P2 點點, 而且而且P1也不是也不是CB桿上的點桿上的點例例4 導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)導(dǎo)槽滑塊機構(gòu)已知已知： 曲柄曲柄OA= r , 勻角速度勻角速度 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, 連桿連桿AB的

52、中點的中點C處連接一處連接一 滑塊滑塊C可沿導(dǎo)槽可沿導(dǎo)槽O1D滑動滑動, AB=l,圖示瞬時圖示瞬時O,A,O1三點三點 在同一水平線上在同一水平線上, OA AB, AO1C= =30。 求：該瞬時求：該瞬時O1D的角速度的角速度解：解：OA, O1D均作定軸轉(zhuǎn)動均作定軸轉(zhuǎn)動, AB作平面運動作平面運動 研究研究AB: , 圖示位置圖示位置, 作作瞬時平動瞬時平動, 所以所以BcAvr;vvr Avr 用合成運動方法用合成運動方法求求O1D桿上與滑塊桿上與滑塊C 接觸的點的速度接觸的點的速度 動點動點: AB桿上桿上C (或滑塊或滑塊C ), 動系動系: O1D桿桿, 靜系靜系: 機架機架絕

53、對運動絕對運動：曲線運動，方向曲線運動，方向相對運動相對運動：直線運動，方向：直線運動，方向/ O1D牽連運動牽連運動：定軸轉(zhuǎn)動，方向：定軸轉(zhuǎn)動，方向 O1Dacvvr rv?ev?根據(jù)，作速度平行四邊形作速度平行四邊形aervvv 3302eCvvcosrcosr 11113 22eO DeO DvO C vr3r lO C2l/ sin 又又 ）( 這是一個需要聯(lián)合應(yīng)用點的合成運動和剛體平面運動理論這是一個需要聯(lián)合應(yīng)用點的合成運動和剛體平面運動理論求解的綜合性問題求解的綜合性問題例例5 平面機構(gòu)平面機構(gòu)例例5 平面機構(gòu)平面機構(gòu) 圖示瞬時圖示瞬時, O點在點在AB中點中點, =60,BC AB, 已知已知O,C在同一在同一水平線上水平線上,AB=20cm,vA=16cm/s , 試求該瞬時試求該瞬時AB桿桿, BC桿的角速度及滑塊桿的角速度及滑塊C的速度的速度解解: 輪輪A, 桿桿AB, 桿桿BC均作均作平面運動平面運動, 套筒套筒O作定軸轉(zhuǎn)作定軸轉(zhuǎn)動動, 滑塊滑塊C平動平動. 取套筒上取套筒上O點為點為動點動點,