CFD講義湍流模型

1、第三章，湍流模型第一節(jié)，前言湍流流動模型很多，但大致可以歸納為以下三類：第一類是湍流輸運系數(shù)模型，是Boussinesq于1877年針對二維流動提出的，將速度脈動的二階關(guān)聯(lián)量表示成平均速度梯度與湍流粘性系數(shù)的乘積。即： u3112tx2推廣到三維問題，若用笛卡兒張量表示，即有： Ulla許巴2k32ijtxx3ijji模型的任務就是給出計算湍流粘性系數(shù)的方法。根據(jù)建立模型所需要的微分方程的數(shù)t目，可以分為零方程模型（代數(shù)方程模型），單方程模型和雙方程模型。第二類是拋棄了湍流輸運系數(shù)的概念，直接建立湍流應力和其它二階關(guān)聯(lián)量的輸運方程。第三類是大渦模擬。前兩類是以湍流的統(tǒng)計結(jié)構(gòu)為基礎，對所有渦旋進

2、行統(tǒng)計平均。大渦模擬把湍流分成大尺度湍流和小尺度湍流，通過求解三維經(jīng)過修正的Navier-Stokes方程，得到大渦旋的運動特性，而對小渦旋運動還采用上述的模型。實際求解中，選用什么模型要根據(jù)具體問題的特點來決定。選擇的一般原則是精度要高，應用簡單，節(jié)省計算時間，同時也具有通用性。FLUENT提供的湍流模型包括：單方程（Spalart-Allmaras）模型、雙方程模型（標準K£模型、重整化群K£模型、可實現(xiàn)K£模型）及雷諾應力模型和大渦模擬。包含更多物理機理:Zero-EquationModels: !h One-EquationModelsf:Spalart-

3、Allmaras:Two-EquationModels:Standardk-:RNGk-n-:UaHiableiReynolds-StressModel:Targe-EddySimulation'RANS-basedmodelsFLUENT提供的模型選擇每次迭代計算量增加DirectNumericalSimulation湍流模型種類示意圖第二節(jié)，平均量輸運方程雷諾平均就是把Navier-Stokes方程中的瞬時變量分解成平均量和脈動量兩部分。對于速度，有：uuu33iii其中，U和u分別是平均速度和脈動速度(i=l,2,3)ii34類似地，對于壓力等其它標量，我們也有：其中，表示標量，

4、如壓力、能量、組分濃度等。把上面的表達式代入瞬時的連續(xù)與動量方程，并取平均(去掉平均速度u.上的橫線)，我i們可以把連續(xù)與動量方程寫成如下的笛卡兒坐標系下的張量形式：(u)03-5txii-j卜uu3-6Dtxxxx3ijxxijijjilj上面兩個方程稱為雷諾平均的Navier-Stokes(RANS)方程。他們和瞬時Navier-Stokes方程有相同的形式，只是速度或其它求解變量變成了時間平均量。額外多出來的項u是雷ij諾應力，表示湍流的影響。如果要求解該方程，必須模擬該項以封閉方程。如果密度是變化的流動過程如燃燒問題，我們可以用法夫雷(Favre)平均。這樣才可以求解有密度變化的流動問

5、題。法夫雷平均就是出了壓力和密度本身以外，所有變量都用密度加權(quán)平均。變量的密度加權(quán)平均定義為：/3-7符號表示密度加權(quán)平均；對應于密度加權(quán)平均值的脈動值用表示，即有：。很顯然，這種脈動值的簡單平均值不為零，但它的密度加權(quán)平均值等于零，即：Boussinesq近似與雷諾應力輸運模型為了封閉方程，必須對額外項雷諾應力uu進行模擬。一個通常的方法是應用ijBoussinesq假設，認為雷諾應力與平均速度梯度成正比，即:/u2ccu-j(-)3-8ijtxx3txijjiiBoussinesq假設被用于Spalart-Allmaras單方程模型和k雙方程模型。Boussinesq近似的好處是與求解湍流

6、粘性系數(shù)有關(guān)的計算時間比較少，例如在Spalart-Allmaras單方程模型中,只多求解一個表示湍流粘性的輸運方程；在k雙方程模型中，只需多求解湍動能k和耗散率£兩個方程，湍流粘性系數(shù)用湍動能k和耗散率£的函數(shù)。Boussinesq假設的缺點是認為湍流粘性系數(shù)是各向同性標量，對一些復雜流動該條件并不是嚴格成立，所以具有其應用限t制性。另外的方法是求解雷諾應力各分量的輸運方程。這也需要額外再求解一個標量方程，通常是耗散率£方程。這就意味著對于二維湍流流動問題，需要多求解4個輸運方程，而三維湍流問題需要多求解7個方程，需要比較多的計算時間，對計算機內(nèi)存也有更高要求。

7、在許多問題中，Boussinesq近似方法可以得到比較好的結(jié)果，并不一定需要花費很多時間來求解雷諾應力各分量的輸運方程。但是，如果湍流場各向異性很明顯，如強旋流動以及應力驅(qū)動的二次流等流動中，求解雷諾應力分量輸運方程無疑可以得到更好的結(jié)果。第三節(jié)，湍流模型3.3.1單方程(Spalart-AIImaras)模型Spalart-Allmaras模型的求解變量是，表征出了近壁(粘性影響)區(qū)域以外的湍流運動粘性系數(shù)。的輸運方程為：Y39.D1G)-Dtxj其中，G是湍流粘性產(chǎn)生項；Y是由于壁面阻擋與粘性阻尼引起的湍流粘性的減少；.和C是常數(shù)；v是分子運動粘性系數(shù)。b2湍流粘性系數(shù)用如下公式計算： f

8、3其中，f是粘性阻尼函數(shù)，定義為：f-，并且。113C3湍流粘性產(chǎn)生項，G用如下公式模擬：G-C?3T0 b1其中，S-Sf.，而f-1-。其中，C和k是常數(shù)，d是計算點到k2d221b1.1壁面的距離；SJ2-。定義為：1uuj-r-2xxijij311、jijij由于平均應變率對湍流產(chǎn)生也起到很大作用,FLUENT處理過程中，定義S為:S-Cmin(0,S-)ijprodijij其中，C-2.0，-Prodijijij1uuSj-ij2xxiJ312Sy'2SS，平均應變率S定義為：ijijijij313在渦量超過應變率的計算區(qū)域計算出來的渦旋粘性系數(shù)變小。這適合渦流靠近渦旋中心的

9、區(qū)域，那里只有“單純”的旋轉(zhuǎn)，湍流受到抑止。包含應變張量的影響更能體現(xiàn)旋轉(zhuǎn)對湍流的影響。忽略了平均應變，估計的渦旋粘性系數(shù)產(chǎn)生項偏高。湍流粘性系數(shù)減少項Y為：YCwr2wd314其中，g-gw36C6w3/6grC(r6r)w2rSk2d2其中，C,C,C是常數(shù),w1w2w3315316317SSf_。在上式中，包括了平均應變率對Sk2d22的影響，因而也影響用S計算出來的r。上面的模型常數(shù)在FLUENT中默認值為：C0.1335，C0.622，2/3b1b2C7.1，CC/k2(1C)/，C0.3，C2.0，k0.41。1w1b1b2w2w3壁面條件在壁面，湍流運動粘性設置為零。當計算網(wǎng)格足

10、夠細，可以計算層流底層時，壁面切應力用層流應力應變關(guān)系求解，即：uuy二u318如果網(wǎng)格粗錯不能用來求解層流底層，則假設與壁面近鄰的網(wǎng)格質(zhì)心落在邊界層的對數(shù)區(qū)，則根據(jù)壁面法則：u1uy-7InEuk其中，k=0.419，E=9.793。319對流傳熱傳質(zhì)模型在FLUENT中，用雷諾相似湍流輸運的概念來模擬熱輸運過程。給出的能量方程為:cT()u(Ep)u()txixPrtxjijeffiii式中，E是總能量，()是偏應力張量，定義為：ijeffSh320321uu2u()(一j曠)iijeffeffxx3effxijiji其中，（）表示粘性加熱，耦合求解。如果默認為分開求解，F(xiàn)LUENT不求解

11、處（）ijeffijeff但是可以通過變化“粘性模型”面板上的湍流普朗特數(shù)（Prt）,其默認值為0.85。湍流質(zhì)量輸運與熱輸運類似，默認的Schmidt數(shù)是0.7，該值同樣也可以在“粘性模型”面板上調(diào)節(jié)。標量的壁面處理與動量壁面處理類似，分別選用合適的壁面法則。綜上所述，Spalart-Allmaras模型是相對簡單的單方程模型，只需求解湍流粘性的輸運方程，并不需要求解當?shù)丶羟袑雍穸鹊拈L度尺度。該模型對于求解有壁面影響流動及有逆壓力梯度的邊界層問題有很好模擬效果，在透平機械湍流模擬方面也有較好結(jié)果。Spalart-Allmaras模型的初始形式屬于對低雷諾數(shù)湍流模型，這必須很好解決邊界層的粘性

12、影響區(qū)求解問題。在FLUENT中，當網(wǎng)格不是很細時，采用壁面函數(shù)來解決這一問題。當網(wǎng)格比較粗糙時，網(wǎng)格不滿足精確的湍流計算要求，用壁面函數(shù)也許是最好的解決方案。另外，該模型中的輸運變量在近壁處的梯度要比k中的小，這使得該模型對網(wǎng)格粗糙帶來數(shù)值誤差不太敏感。但是，Spalart-Allmaras模型不能預測均勻各向同性湍流的耗散。并且，單方程模型沒有考慮長度尺度的變化，這對一些流動尺度變換比較大的流動問題不太適合。比如，平板射流問題，從有壁面影響流動突然變化到自由剪切流，流場尺度變化明顯。3.3.2標準k模型標準k模型需要求解湍動能及其耗散率方程。湍動能輸運方程是通過精確的方程推導得到，但耗散率

13、方程是通過物理推理，數(shù)學上模擬相似原形方程得到的。該模型假設流動為完全湍流，分子粘性的影響可以忽略。因此，標準k模型只適合完全湍流的流動過程模擬。標準k模型的湍動能k和耗散率£方程為如下形式：Dkk lGGY322DtxxkbMikiD2 lC(GCG)C323Dt1kk3b2kiki在上述方程中，G表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，G是用于浮力影響引起kbk2的湍動能產(chǎn)生；K可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。湍流粘性系數(shù)-。Mt在FLUENT中，作為默認值常數(shù)，C=1.44，C.=1.92,C0.09，湍動能k與耗散率£的湍流普朗特數(shù)分別為=1.0，=1.3。可以

14、通過調(diào)節(jié)“粘性模型”面板來調(diào)節(jié)這些常數(shù)值。重整化群K£模型重整化群K£模型是對瞬時的方程用重整化群的數(shù)學方法推導出來的模型。模型中的常數(shù)與標準K£模型不同，而且方程中也出現(xiàn)了新的函數(shù)或者項。其湍動能與耗散率方程與標準K£模型有相似的形式：匹-JiGGY3-24DtxkeffxkbMiiD2C(GCG)CR3-25Dt或1kk3b2kiiG表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，G是用于浮力影響引起的湍動能產(chǎn)生；Y“可kbM壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響，這些參數(shù)與標準K£模型中相同。和分別是湍動能和耗散率的有效湍流普朗特數(shù)的倒數(shù)。'湍

15、流粘性系數(shù)計算公式為：2kd1.72-其中，屛，C100對上面方程積分，可以精確得到有效雷諾數(shù)(渦旋尺度)對湍流輸運的影響，這有助于處理低雷諾數(shù)和近壁流動問題的模擬。k2對于高雷諾數(shù)，上面方程可以給出：一，C0.0845。這個結(jié)果非常有意t思，和標準K£模型的半經(jīng)驗推導給出的常數(shù)C0.09非常近似。在FLUENT中，如果是默認設置，用重整化群K£模型時候是針對的高雷諾數(shù)流動問題。如果對低雷諾數(shù)問題進行數(shù)值模擬，必須進行相應的設置。重整化群K£模型有旋修正通常，平均運動有旋時候?qū)ν牧饔兄匾绊憽Ｖ兄卣篕£模型通過修正湍流粘性系數(shù)來考慮了這類影響。湍流粘

16、性的修正形式為：f(,k)-tt0s其中，是不考慮有旋計算出來的湍流粘性系數(shù)；Q是計算出來的特征旋流數(shù)；是t0s旋流常數(shù)，不同值表示有旋流動的強度不同。流動可以是強旋或者中等旋度的。默認設置=針對中等旋度的流動問題，對于強旋流動，可以選擇較大的值。s湍動能及其耗散率的有效湍流普朗特數(shù)倒數(shù)的計算公式為：1.39290.63211.3929o式中，=0湍流耗散率方程右邊的為:2.39290.3679moleff2.3929o，在高雷諾數(shù)流動問題中，/1，1.393。moleffk328C3(1/)2R13k其中，Sk/，4.38，0.012。0為了更清楚體現(xiàn)對耗散率的影響，我們把耗散率輸運方程重寫

17、為:DC(GCG)CC*330Dte】kk3b2k2kiiC3(1/)則：C*C221在的區(qū)域，的貢獻為正；C*大于C。以對數(shù)區(qū)為例，3,C*2.0，這和標準K£模型中給出的C=1.92接近。因此，對于弱旋和中等旋度的流動問題，重整化2群K£模型給出的結(jié)果比標準K£模型的結(jié)果要大。重整化群模型中，C1.42，C.1.68。12可實現(xiàn)K£模型可實現(xiàn)K£模型的湍動能及其耗散率輸運方程為:其中，廠CSCxk卄GGYxkbMkjkjkb2tj=CCG2k1k3b3323335，Sk/在上述方程中，G表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生，G是用于浮力影響

18、引起kb的湍動能產(chǎn)生；K"可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響。C和C是常數(shù)；,分M21k別是湍動能及其耗散率的湍流普朗特數(shù)。在FLUENT中，作為默認值常數(shù)，C=1.44,C=1.9,12=1.0，=1.2。k可實現(xiàn)K£模型的湍動能的輸運方程與標準K£模型和重整化群K£模型有相同的形式，只是模型參數(shù)不同。但耗散率方程有較大不同。首先耗散率產(chǎn)生項(方程右邊第二項）不包含湍動能產(chǎn)生項G，現(xiàn)在的形式更能體現(xiàn)能量在譜空間的傳輸。另外的k特色在于耗散率減少項中，不具有奇異性。并不象標準K£模型模型那樣把放在分母上。該模型適合的流動類型比較廣泛，包括有旋

19、均勻剪切流，自由流（射流和混合層），腔道流動和邊界層流動。對以上流動過程模擬結(jié)果都比標準K£模型的結(jié)果好，特別是可實現(xiàn)K£模型對圓口射流和平板射流模擬中，能給出較好的射流擴張角。k2湍流粘性系數(shù)公式為:，這和標準K£模型相同。不同的是，在可實現(xiàn)Kt£模型中，C不再是個常數(shù)，而是通過如下公式計算：CAA0u*k其中，UXSS，Vijijijijijij2ijkkij，ijijkkij是t模型常數(shù)A4.04k0v6cos，而：AsSkj,S：-SS，ijij1I、arccos（：6W），式中3我們可以發(fā)現(xiàn)，C是平均應變率與旋度的函數(shù)。在平衡邊界層慣性底層，可

20、以得到C.=與標準K£模型中采用底常數(shù)一樣。SS=SSij1 u-(j2 xij1雙方程模型中，無論是標準K£模型、重整化群K£模型還是可實現(xiàn)K£模型，三個模型有類似的形式，即都有K和£的輸運方程，它們的區(qū)別在于：，計算湍流粘性的方法不同；，控制湍流擴散的湍流數(shù)不同；，£方程中的產(chǎn)生項和關(guān)系不同。但都包含了相同的表示由于平均速度梯度引起的湍動能產(chǎn)生G，用于浮力影響引起的湍動能產(chǎn)生G；kb可壓速湍流脈動膨脹對總的耗散率的影響ym。湍動能產(chǎn)生項Guj335kijxiTGgt336biPrtxi式中，Prt是能量的湍流普特朗數(shù)，對于可實現(xiàn)K

21、£模型，默認設置值為。對于重整化群K£模型，Prt1/，1/Prk/C。熱膨脹系數(shù)丄，對于理想pTp氣體，浮力引起的湍動能產(chǎn)生項變?yōu)椋篏gLbiPrtx337i在FLUENT程序中，如果有重力作用，并且流場里有密度或者溫度的梯度，浮力對湍動能的影響都是存在的。浮力對耗散率的影響不是很清楚，因此，默認設置中，耗散率方程中的浮力影響不被考慮。如果要考慮浮力對耗散率的影響，用“粘性模型”面板來控制。浮力對耗散率影響是用C來體現(xiàn)。但C并不是常數(shù)，而是如下的函數(shù)形式：33VC一tanh338uv是平行于重力方向的速度分量；u是垂直于重力方向的速度分量。如果流動速度與重力方向相同的剪切

22、流動，C=1,對于流動方向與重力方向垂直的剪切流，C=0。33對于高馬赫數(shù)的流動問題，可壓速性對湍流影響在Y中體現(xiàn)。MY2M2Mt其中，M是馬赫數(shù)，定義為：M-(a而是聲速)。ttVa2默認設置中，只要選擇可壓速理想氣體，可壓速效應都是考慮的。在上述的雙方程模型中，對流傳熱傳質(zhì)模型都是通過雷諾相似湍流動量輸運方程得到的。能量方程形式為：(e)p斗txixeffii式中，E是總的能量，k是有效導熱系數(shù)；effuu2u339Tu()Sxjijeffhi()是偏應力張量，定義為340ijeff()j-一-ijeffeffxx3effxijiji()表示的是粘性加熱，耦合求解時總是計算。如果不是耦合求

23、解時候，作為默認設置ijeff并不求解該量。如果有需要，需在“粘性模型”面板中設置。對于重整化群K£模型，有效導熱系數(shù)為：kc341effpeffa用(328)計算，式中，1/Prk/C。事實上，隨著/的變化而0pmoleff變化，這是重整化群K£模型的一個優(yōu)點，因為實驗中證明，湍流普朗特數(shù)隨分子普朗特數(shù)及湍流而變化。湍流質(zhì)量輸運處理過程與能量輸運過程類似。對于標準K£模型和可實現(xiàn)的K£模型，默認的數(shù)是，重整化群模型中，是通過方程一來計算的，其中，1/Sc，0是分子數(shù)。雷諾應力模型()雷諾應力模型是求解雷諾應力張量的各個分量的輸運方程。具體形式為(uu)

24、(Uuu)tijxkik對流項Cij uuup(uxijkkjik湍流擴撒項DTijU ujuuikxjk應力產(chǎn)生項Pj/ p-j2xxji壓力應變項2uukjmikm系統(tǒng)旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生項Fu)uuikjxxijkk分子擴散DLijguguijji-Uikxk浮力產(chǎn)生項目Gijuuijxxkk耗散項uuimjkm34237ijP,F不需要模擬，而Dt,Gijijijij上面方程中，C，DL，ijij方程。下面簡單對幾個需要模擬項的模擬。DT可以用DelayandHarlowL38的梯度擴散模型來模擬，即:，需要ijij模擬以封閉DTCijkuuuukli_jx343#kl但這個模型會導致數(shù)值不穩(wěn)定，

25、因此FLUENT程序中采用標量湍流擴散模型:344uuDTtjijxxkkkk2式中，湍流粘性系數(shù)用來計算，根據(jù)LienandLeschzinerL98，0.82，tk這和標準K£模型中選取有所不同。根據(jù)GibsonandLaunderL58,FuL55,LaunderL88,L89,壓力應變項可以分解為三ij345項，即：wijij,1ij,2ij，和wij,1ij,2分別是慢速項，快速項和壁面反射項。ij-C2uk，常數(shù)C1.8。ij,11kij3ij1CPFGC-GC電，C0.60ij,22ijijijij3ij211G-G，C-C。2kk2kk壁面反射項用于重新分布近壁的雷諾正應力分布，主要是減少垂直于壁面的雷諾正應力，增加平行于壁面的雷諾正應力。該項模擬為：1PP,2kkw.Cunnij1kkmCnn2km,2km