OK選修1-2第一章12回歸分析

1、1. 1 回歸分析回歸分析臨川二中臨川二中1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.101.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21（一）線性回歸直線方程的求法（一）線性回歸直線方程的求法例例1研究某灌溉渠道水的流速研究某灌溉渠道水的流速Y與水深與水深x之間之間是關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：是關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：x1水深水深x/m流速流速Y/(ms)（1）求）求Y對(duì)對(duì)x的回歸直線方程；的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為）預(yù)測(cè)水深為1.95m時(shí)水的流速是多少？時(shí)水的流速是多少？ 分析：從散點(diǎn)圖可以直觀分析：從散點(diǎn)圖可以直觀地看出變量

2、地看出變量x與與Y之間有無(wú)之間有無(wú)線性相關(guān)關(guān)系，為此把這線性相關(guān)關(guān)系，為此把這8對(duì)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系對(duì)數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中，得到平面上中，得到平面上8個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn).由圖可以看出，由圖可以看出，x與與Y之間之間有近似的線性相關(guān)關(guān)系，有近似的線性相關(guān)關(guān)系，或者說，可以用一個(gè)回歸或者說，可以用一個(gè)回歸直線方程直線方程 來反映來反映這種關(guān)系，這些是我們?cè)谶@種關(guān)系，這些是我們?cè)诒匦薇匦?中學(xué)過的知識(shí)。中學(xué)過的知識(shí)。 ybxa用什么方法求用什么方法求 ？, a b最小二乘法最小二乘法: 利用最小二乘法可以得到利用最小二乘法可以得到 的計(jì)算公式為的計(jì)算公式為, a b1122211()()()( )nnii

3、iiiinniiiixxyyx ynxybxxxn xaybx 11niixxn11niiyyn 由此得到的直線由此得到的直線 就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的就稱為這對(duì)數(shù)據(jù)的回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程其中中 分別為分別為a，b的估計(jì)值，的估計(jì)值， 稱為回歸截距稱為回歸截距, 稱為回歸系數(shù)，稱為回歸系數(shù)， 稱為回歸值稱為回歸值yabx, a baby進(jìn)一步觀察這進(jìn)一步觀察這8個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，它們并不是個(gè)點(diǎn)，容易發(fā)現(xiàn)，它們并不是“嚴(yán)格地嚴(yán)格地”在一條直線上。對(duì)于某個(gè)在一條直線上。對(duì)于某個(gè)xi，由上，由上式能確定一個(gè)式能確定一個(gè)iiiyy一般地說，由于測(cè)量流速可能存

4、在誤差，或者受一般地說，由于測(cè)量流速可能存在誤差，或者受某些隨機(jī)因素的影響，或者上面的回歸方程本身某些隨機(jī)因素的影響，或者上面的回歸方程本身就不夠精確，與測(cè)得的數(shù)據(jù)就不夠精確，與測(cè)得的數(shù)據(jù)yi很可能不相等，很可能不相等， 即即 (i=1，2，8)，其中，其中 是隨是隨機(jī)誤差項(xiàng)。于是就有機(jī)誤差項(xiàng)。于是就有 (i=1，2, iiiyyiiiiyabx，8)，這就是本題的線性模型。，這就是本題的線性模型。從上述線性模型出法，我們可以求出從上述線性模型出法，我們可以求出a與回歸與回歸系數(shù)系數(shù)b的估計(jì)值的估計(jì)值 ，使得全部誤差，使得全部誤差 的平方和達(dá)到最小，當(dāng)然，這是一種很好的估的平方和達(dá)到最小，當(dāng)然

5、，這是一種很好的估計(jì)，最后得到的求計(jì)，最后得到的求 的數(shù)學(xué)公式為的數(shù)學(xué)公式為, a b, a b128, , 81821()(),()iiiiixxyybaybxxx線性回歸方程線性回歸方程 中，中， 的意義是：的意義是：以以 為基數(shù)，為基數(shù)，x每增加每增加1個(gè)單位，個(gè)單位，y相應(yīng)地平均相應(yīng)地平均增加增加 個(gè)單位個(gè)單位 yabx, a bab1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.101.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21例例1研究某灌溉渠道水的流速研究某灌溉渠道水的流速Y與水深與水深x之間之間是關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：

6、是關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：（1）求）求Y對(duì)對(duì)x的回歸直線方程；的回歸直線方程；（2）預(yù)測(cè)水深為）預(yù)測(cè)水深為1.95m時(shí)水的流速是多少？時(shí)水的流速是多少？ 水深水深x/m流速流速Y/(ms)解：（解：（1）由上面的分析，可采用列表的方法計(jì)）由上面的分析，可采用列表的方法計(jì)算算a與回歸系數(shù)與回歸系數(shù)b，序號(hào)序號(hào)xyx2xy11.401.701.962.38021.501.792.252.68531.601.882.563.00841.701.952.893.31551.802.033.243.65461.902.103.613.99072.002.164.004.32082.102.214.414

7、.641合計(jì)合計(jì)14.0015.8224.9227.993114.001.758x 115.821.97758y 227.9938 1.75 1.997110.77324.928 1.7515b 111.97751.750.69415a Y對(duì)于對(duì)于x的回歸直線方程為的回歸直線方程為0.6940.733yabxx把把x=1.95代入，易得代入，易得計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)水深為計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)水深為1.95m時(shí)可以預(yù)測(cè)渠水時(shí)可以預(yù)測(cè)渠水的流速約為的流速約為2.12m/s.0.6940.733 1.952.12(m/s)y （二）線性回歸相關(guān)關(guān)系的檢驗(yàn)（二）線性回歸相關(guān)關(guān)系的檢驗(yàn)例例2為了了解某地母親身高

8、為了了解某地母親身高x與女兒身高與女兒身高Y的相的相關(guān)關(guān)系，隨機(jī)測(cè)得關(guān)關(guān)系，隨機(jī)測(cè)得10對(duì)母女的身高如下表所示：對(duì)母女的身高如下表所示：母親身高母親身高x/cm159 160 160 163 159 154 159 158 159 157女兒身高女兒身高Y/cm158 159 160 161 161 155 162 157 162 156試對(duì)試對(duì)x與與Y進(jìn)行一元線性回歸分析，并預(yù)測(cè)當(dāng)母進(jìn)行一元線性回歸分析，并預(yù)測(cè)當(dāng)母親身高為親身高為161cm時(shí)女兒的身高為多少？時(shí)女兒的身高為多少？分析：把這分析：把這10對(duì)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示：對(duì)數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖如圖所示：可以看出可以看出x與與Y之間有近似地線

9、性關(guān)系關(guān)系。之間有近似地線性關(guān)系關(guān)系。散點(diǎn)圖能幫助我們尋找線性關(guān)系關(guān)系，既直觀散點(diǎn)圖能幫助我們尋找線性關(guān)系關(guān)系，既直觀又方便。只需一張坐標(biāo)紙，把已知的成對(duì)數(shù)據(jù)又方便。只需一張坐標(biāo)紙，把已知的成對(duì)數(shù)據(jù)標(biāo)在直角坐標(biāo)系中便可得到散點(diǎn)圖。即使沒有標(biāo)在直角坐標(biāo)系中便可得到散點(diǎn)圖。即使沒有坐標(biāo)紙，改用普通白紙也可以坐標(biāo)紙，改用普通白紙也可以. 因?yàn)槲覀儾⒉灰蟀腰c(diǎn)標(biāo)得十分準(zhǔn)確，只要因?yàn)槲覀儾⒉灰蟀腰c(diǎn)標(biāo)得十分準(zhǔn)確，只要能看出這些點(diǎn)大致分布在某條直線附近就可以能看出這些點(diǎn)大致分布在某條直線附近就可以了。麻煩在于有時(shí)很難說這些點(diǎn)是不是分布在了。麻煩在于有時(shí)很難說這些點(diǎn)是不是分布在某條直線附近，如下圖中的兩個(gè)散

10、點(diǎn)圖，都很某條直線附近，如下圖中的兩個(gè)散點(diǎn)圖，都很難下判斷，右邊那個(gè)圖散布的那些點(diǎn)更像在一難下判斷，右邊那個(gè)圖散布的那些點(diǎn)更像在一條曲線附近。條曲線附近。此外，假如不考慮散點(diǎn)圖，按照例此外，假如不考慮散點(diǎn)圖，按照例1給出的計(jì)算給出的計(jì)算a與回歸系數(shù)與回歸系數(shù)b的公式，我們可以根據(jù)一組成對(duì)的公式，我們可以根據(jù)一組成對(duì)的數(shù)據(jù)，求出一個(gè)回歸直線方程。但它能不能的數(shù)據(jù)，求出一個(gè)回歸直線方程。但它能不能反映這組成對(duì)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律？如不能，這又反映這組成對(duì)數(shù)據(jù)的變化規(guī)律？如不能，這又有多少實(shí)際意義呢？有多少實(shí)際意義呢？ 為了解決上述問題，我們有必要對(duì)為了解決上述問題，我們有必要對(duì)x與與Y作作線線性相關(guān)檢驗(yàn)

11、性相關(guān)檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱相關(guān)性檢驗(yàn)相關(guān)性檢驗(yàn)。 對(duì)于變量對(duì)于變量x與與Y隨機(jī)抽到的隨機(jī)抽到的n對(duì)數(shù)據(jù)對(duì)數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是樣本，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是樣本相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 112222221111()()()()()()nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyx ynxyrxxyyxnxyny r具有以下性質(zhì)：具有以下性質(zhì)：|r|1，并且，并且|r|越接近越接近1.線性線性相關(guān)程度越強(qiáng)相關(guān)程度越強(qiáng)，|r|越接近越接近0，線性相關(guān)程度越弱，線性相關(guān)程度越弱。解：由以上分析，先對(duì)解：由以上分析，先對(duì)x與與Y作相關(guān)性檢驗(yàn)。作相關(guān)性檢驗(yàn)。1(159 160157

12、)158.810 x 1(158 159156)159.110y 10222222110(159160157 ) 10 158.847.6iiXx10110(159 158 160 159157 156) 10 158.8 159.137.2iiix yxy10222222110(158159156 ) 10 159.156.9iiyy所以所以 37.20.7147.6 56.9r 回歸系數(shù)回歸系數(shù) 37.20.7820.7847.6b 159.1 0.782 158.834.92a 所以所以Y對(duì)對(duì)x的回歸直線方程是的回歸直線方程是 34.920.78yx回歸系數(shù)回歸系數(shù)0.78反映出當(dāng)母親身

13、高每增加反映出當(dāng)母親身高每增加1cm時(shí)時(shí)女兒身高平均增加女兒身高平均增加0.78cm。 可以解釋可以解釋為女兒身高不受母親身高變化影響的部分。為女兒身高不受母親身高變化影響的部分。34.92a 當(dāng)當(dāng)x=161時(shí)，時(shí)， ，也就是說當(dāng)母親的身高為也就是說當(dāng)母親的身高為161cm時(shí)女兒的身高時(shí)女兒的身高大致也接近大致也接近161cm。34.920.78 161160.5y 例例3. 某市居民某市居民19962003年貨幣收入年貨幣收入x與購(gòu)與購(gòu)買商品支出買商品支出Y的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：的統(tǒng)計(jì)資料如下表所示：年份年份19961997199819992000200120022003貨幣收入貨幣收入x3

14、637384042444750購(gòu)買商品購(gòu)買商品支出支出Y30.031.032.033.234.836.539.041.6試對(duì)試對(duì)x與與Y的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如的關(guān)系進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如x與與Y具有線性相關(guān)關(guān)系，求出具有線性相關(guān)關(guān)系，求出Y對(duì)對(duì)x的回歸直線的回歸直線方程方程(結(jié)果保留結(jié)果保留3個(gè)有效數(shù)字個(gè)有效數(shù)字).單位：億元單位：億元解解：（：（1）畫出散點(diǎn)圖）畫出散點(diǎn)圖(單位：億元單位：億元)使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算得使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算得 |r|=0.9090.707， 從而有很大的把握認(rèn)為從而有很大的把握認(rèn)為x與與Y具有線性具有線性相關(guān)關(guān)系相關(guān)關(guān)系.算出線性回歸方程中的算出線性回

15、歸方程中的a和和b得得a=0.851，b=0.812.從而線性回歸方程為從而線性回歸方程為0.851 0.812yx例例4. 某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi)某種書每?jī)?cè)的成本費(fèi)Y(元元)與印刷冊(cè)與印刷冊(cè)書書x(千冊(cè)千冊(cè))有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到數(shù)據(jù)如下：x123510203050100 200Y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15檢驗(yàn)每?jī)?cè)書的成本費(fèi)檢驗(yàn)每?jī)?cè)書的成本費(fèi)Y與印刷冊(cè)書的倒數(shù)與印刷冊(cè)書的倒數(shù) 之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如有，求出Y對(duì)對(duì)x的回歸方程的回歸方程.1x分析：本例與前三個(gè)例子不同，是非線性回歸

16、分析：本例與前三個(gè)例子不同，是非線性回歸分析問題。由于題目已給出了所要求的曲線類分析問題。由于題目已給出了所要求的曲線類型，只要通過已知的型，只要通過已知的10對(duì)樣本數(shù)據(jù)，把對(duì)樣本數(shù)據(jù)，把a(bǔ)與與b確確定下來，就找到了描述定下來，就找到了描述x與與Y相關(guān)關(guān)系的一條函相關(guān)關(guān)系的一條函數(shù)曲線。數(shù)曲線。在此我們特別指出，確定性關(guān)系（如公式、函在此我們特別指出，確定性關(guān)系（如公式、函數(shù)關(guān)系等）和相關(guān)關(guān)系之間并沒有一條不可逾數(shù)關(guān)系等）和相關(guān)關(guān)系之間并沒有一條不可逾越的鴻溝。由于有試驗(yàn)誤差、測(cè)量誤差等存在，越的鴻溝。由于有試驗(yàn)誤差、測(cè)量誤差等存在，變量之間的確定性關(guān)系往往通過研究相關(guān)關(guān)系變量之間的確定性關(guān)系

17、往往通過研究相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來。反過來，在有些問題中，可以通過表現(xiàn)出來。反過來，在有些問題中，可以通過研究相關(guān)關(guān)系來深入了解變量變化的內(nèi)在規(guī)律，研究相關(guān)關(guān)系來深入了解變量變化的內(nèi)在規(guī)律，從而找到它們的確定性關(guān)系。從而找到它們的確定性關(guān)系。 解：首先作變量置換解：首先作變量置換 ，得到，得到1uxu10.50.330.20.10.050.030.02 0.01 0.005Y10.155.524.082.852.111.621.411.30 1.211.15|r|=0.9980.632，從而有很大的把握認(rèn)為，從而有很大的把握認(rèn)為u與與Y之間具有線性相關(guān)關(guān)系。求之間具有線性相關(guān)關(guān)系。求Y對(duì)于對(duì)于u的的

18、回歸直線方程有意義?；貧w直線方程有意義。計(jì)算可得計(jì)算可得 1.1258.973yu把把u換回原來的變量，即換回原來的變量，即u= 1x得到得到8.9731.125yx這就是這就是Y對(duì)于對(duì)于x的回歸方程的回歸方程.例例5以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格以下是收集到的新房屋的銷售價(jià)格y和和房屋的大小房屋的大小x的數(shù)據(jù)：的數(shù)據(jù)： （1）畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖；）畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖； （2）用最小二乘估計(jì)求回歸直線方程，）用最小二乘估計(jì)求回歸直線方程，并在散點(diǎn)圖上加上回歸直線；并在散點(diǎn)圖上加上回歸直線； （3）此回歸直線有意義嗎？）此回歸直線有意義嗎？ 解：解：(1) 數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖見右圖數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖見右圖（2）

19、 =109，5115iixx521()1570 xxiilxx51()()308xyiiilxxyy3080.19621570 xyxxll30823.2 1091.81661570bx 回歸直線方程為回歸直線方程為 =1.81660.1962x y （3） y與與x的相關(guān)系數(shù)的相關(guān)系數(shù) 51552211()()0.9597()()iiiiiiixxyyrxxyy練練 習(xí)習(xí) 題題1設(shè)有一個(gè)回歸方程為設(shè)有一個(gè)回歸方程為 =21.5x，則變量，則變量x增加一個(gè)單位時(shí)（增加一個(gè)單位時(shí)（ ） （A）y平均增加平均增加 1.5單位單位 （B）y平均增加平均增加2單位單位 （C）y平均減少平均減少 1.5單位單位 （D）y平均減少平均減少2單位單位C y