高等數(shù)學(xué)-第七版-課件-16-1平面點集與多元函數(shù)

1、一、平面點集二、R2上的完備性定理 三、二元函數(shù) 多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣, 它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì), 同時又因自變量的增多而產(chǎn)生了許多新的性質(zhì), 讀者對這些新性質(zhì)尤其要加以注意. 下面著重討論二元函數(shù), 由二元函數(shù)可以方便地推廣到一般的多元函數(shù)中去. 1 平面點集與 多元函數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十六章多元函數(shù)的極限與連續(xù)*點擊以上標(biāo)題可直接前往對應(yīng)內(nèi)容四、 n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社1.平面點集的一些基本概念平面點集的一些基本概念坐標(biāo)平面上滿足某種條件坐標(biāo)平面上滿足某種條件 P 的點的集合的點的集合, 稱為平稱為平 ( ,) ( ,).Ex yx yP滿滿足

2、足條條件件對對 與平面上所有點之間建立起了一一對應(yīng)與平面上所有點之間建立起了一一對應(yīng).( , )x y在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后在平面上確立了直角坐標(biāo)系之后, 所有有序?qū)崝?shù)所有有序?qū)崝?shù) 義域是坐標(biāo)平面上的點集義域是坐標(biāo)平面上的點集, 之前，有必要先了解平面點集的一些基本概念之前，有必要先了解平面點集的一些基本概念. 面點集面點集, 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 平面點集 記作記作后退 前進 目錄 退出由于二元函數(shù)的定由于二元函數(shù)的定因此在討論二元函數(shù)因此在討論二元函數(shù)數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社例如：例如： (i) 全全平平面面

3、: : 2R( ,)|,.(1)x yxy222(ii)( ,).Cx yxyr圓圓: :(2)(iii)( ,),Sx yaxb cyd矩矩形形: :(3)00(iv)(,): A xy 點點的的鄰鄰域域00( ,)|,|()x yxxyy 與與方方形形 . . , , .Sa bc d也也常常記記作作：22200( ,) ()()()x yxxyy 圓圓形形1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社CxyOr(a) 圓圓 C SxyOabcd(b)矩形矩形 S A xyO(a) 圓鄰域圓鄰域 A xyO(b)

4、方鄰域方鄰域 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社由于點由于點 A 的任意圓鄰域可以包含在點的任意圓鄰域可以包含在點 A 的某一的某一因此通常用因此通常用“點點 A 的的 鄰鄰 并用記號并用記號 或或 來表示來表示. ( ; )U A ( )U A點點 A 的的空心鄰域空心鄰域是指是指:22200( ,)0()()()x yxxyy 圓圓0000( ,) |,|,( , )(,) (),x yxxyyx yxy 方方或或并用記號并用記號 ()( ;)( )UAUA 或或 來表示來表示. 域域” 或或 “點點

5、A 的鄰域的鄰域” 泛指這兩種形狀的鄰域泛指這兩種形狀的鄰域, 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 方鄰域之內(nèi)方鄰域之內(nèi)(反之亦然反之亦然), 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社00( ,) 0|, 0|.x yxxyy 注意注意: 不要把上面的空心方鄰域錯寫成不要把上面的空心方鄰域錯寫成 : ( 請指請指出出2.點和點集之間的關(guān)系點和點集之間的關(guān)系以下三種關(guān)系之一以下三種關(guān)系之一 : 2RA 2RE 任意一點任意一點 與任意一個點集與任意一個點集 之間必有之間必有 是是 E 的內(nèi)點的內(nèi)點; 由由 E 的全體內(nèi)點所構(gòu)成的集合稱為的全體內(nèi)點所構(gòu)

6、成的集合稱為(i) 內(nèi)點內(nèi)點若若0,( ; ),U AE使使則稱點則稱點 A E 的的內(nèi)部內(nèi)部, 記作記作 int E. 錯在何處錯在何處? )1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社(ii) 外點外點若若 0,( ; ),U AE 使使則稱則稱 點點 A 是是 E 的外點；的外點；c( ;)( ;)U AEU AE 且且0, (iii) 界點界點 若若 恒有恒有 c2R EE ( 其中其中 ), 則稱點則稱點 A 是是 E 的界點的界點; .E 的全體界點所構(gòu)成的集合稱為的全體界點所構(gòu)成的集合稱為 E 的的邊界

7、邊界; 記作記作注注 E 的內(nèi)點必定屬于的內(nèi)點必定屬于 E; E 的外點必定不屬于的外點必定不屬于 E; E 的界點可能屬于的界點可能屬于 E, 也可能不屬于也可能不屬于 E. 并請注意并請注意: 稱為稱為 E 的的外部外部. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 由由 E 的全體外點所構(gòu)成的集合的全體外點所構(gòu)成的集合由由 E EE cE只有當(dāng)只有當(dāng)時時, E 的外部與的外部與 才是兩才是兩個相同的集合個相同的集合. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社圖圖 16 3xyO1222( ,)14 . (4)Dx yxy例例1 設(shè)平面點集（見圖設(shè)平面

8、點集（見圖 16 3）滿足滿足 的一切點也的一切點也224xy221xy 滿足滿足 的一切點是的一切點是 D 的界點的界點, 它們都屬它們都屬2214xy滿足滿足 的一切點都的一切點都是是 D 的界點的界點, 但它們都不屬于但它們都不屬于 D.1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 是是 D 的內(nèi)點的內(nèi)點; 于于D; 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社點點 A 與點集與點集 E 的上述關(guān)系是按的上述關(guān)系是按 “內(nèi)內(nèi)-外外” 來區(qū)分的來區(qū)分的. 此外，還可按此外，還可按 “疏疏-密密” 來區(qū)分，來區(qū)分，是否密集著是否密集著 E 中無窮多個點而構(gòu)成另

9、一類關(guān)系中無窮多個點而構(gòu)成另一類關(guān)系: (i) 聚點聚點 若在點若在點 A 的任何空心鄰域的任何空心鄰域()UA內(nèi)都內(nèi)都 含有含有 E 中的點，中的點，注注1 聚點本身可能屬于聚點本身可能屬于E，也可能不屬于，也可能不屬于E. 注注2 聚點的上述定義等同于聚點的上述定義等同于: “在點在點 A 的任何鄰域的任何鄰域 ()U A內(nèi)都含有內(nèi)都含有 E 中的無窮多個點中的無窮多個點”. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 即在點即在點 A 的近旁的近旁則稱點則稱點 A 是點集是點集 E 的聚點的聚點數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社d();EE 或

10、或作作 dEE 又稱又稱 為為 E 的的閉包閉包, 記作記作 .E例如例如, 對于例對于例1 中的點集中的點集 D, d22( , ) 14.Dx yxyD其中滿足其中滿足 224xy 的那些聚點不屬于的那些聚點不屬于D, 而其余而其余 所有聚點都屬于所有聚點都屬于 D.(ii) 孤立點孤立點 若點若點 AE , 但不是但不是 E 的聚點（即的聚點（即 有有某某 0, 使得使得 ( ;),UAE 則稱點則稱點 A 是是 E 的孤立點的孤立點. 注注3 E 的全體聚點所構(gòu)成的集合稱為的全體聚點所構(gòu)成的集合稱為 E 的導(dǎo)集的導(dǎo)集, 記記 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n

11、元函數(shù) 它的導(dǎo)集與閉包同為它的導(dǎo)集與閉包同為數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社為聚點為聚點; 例例2 設(shè)點集設(shè)點集 ( , ),.Ep qp q 為任意整數(shù)為任意整數(shù) 顯然顯然, E 中所有點中所有點 ( p, q ) 全為全為 E 的孤立點的孤立點; 并有并有 d, int,.EEEE 3. 一些重要的平面點集一些重要的平面點集 根據(jù)點集所屬的點所具有的特殊性質(zhì)根據(jù)點集所屬的點所具有的特殊性質(zhì), 可來定義一可來定義一 些重要的點集些重要的點集. 注注 孤立點必為界點孤立點必為界點; 內(nèi)點和不是孤立點的界點必內(nèi)點和不是孤立點的界點必 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備

12、性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 既非聚點既非聚點, 又非孤立點又非孤立點, 則必為外點則必為外點. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社E 為閉集為閉集. 在前面列舉的點集中在前面列舉的點集中, 閉集閉集若若 E 的所有聚點都屬于的所有聚點都屬于 E (),EE 即即則則稱稱 E 為閉集為閉集. 這時也稱這時也稱 222( ,)Cx yxyr是是開開集集，( ,),Sx yaxb cyd是是閉閉集集2R( ,)|,x yxy 22( ,)14Dx yxy既既不不是是開開集集又又不不是是閉閉集集. .開集開集 若若 E 所屬的每一點都是所屬的每一點都是 E 的內(nèi)點的內(nèi)點( 即即E

13、= int E ), 則稱則稱 E 為開集為開集. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) d(),E 即即若若 E 沒有聚點沒有聚點既既是是開開集集又又是是閉閉集集，數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社則稱則稱 E 為開域為開域. 閉域閉域 開域連同其邊界所成的集合稱為閉域開域連同其邊界所成的集合稱為閉域. 區(qū)域區(qū)域 開域、閉域、開域連同其一部分界點所開域、閉域、開域連同其一部分界點所成的集合成的集合, 統(tǒng)稱為區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域. 不難證明不難證明: 閉域必為閉集閉域必為閉集; 而閉集不一定為閉域而閉集不一定為閉域. 開域開域若非空開集若非空開集 E

14、 具有連通性具有連通性, 點之間都可用一條完全含于點之間都可用一條完全含于 E 的有限折線相連接的有限折線相連接, 在平面點集中在平面點集中, 只有只有 R2 與與 是既開又閉的是既開又閉的. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 即即 E 中任意兩中任意兩 簡單地說簡單地說, 開域就是非空連通開集開域就是非空連通開集.數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社它是它是 I、 III 兩象限之并集兩象限之并集. 不具有連通性不具有連通性, 0,r 有界點集有界點集對于平面點集對于平面點集 E, 若若使得使得 ( ; ),EU O r 其中其中 O 是坐

15、標(biāo)原點是坐標(biāo)原點(也可以是其他固定點也可以是其他固定點), 為有界點集為有界點集. 前面前面 (2), (3), (4) 都是有界集都是有界集, (1) 與與 (5) 是無界集是無界集. 是閉域是閉域, ( ,)|0 ,(5)Gx yxy上頁諸例中上頁諸例中, C 是開域是開域, S 是閉域是閉域, R2 既是開域又既是開域又1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 又如又如雖然它是開集雖然它是開集, 但因但因否則就為無界點集否則就為無界點集 (請具體寫出定義請具體寫出定義). D 是區(qū)域是區(qū)域 (既不是開域又不是閉域既不是開域又不是閉域). 所以它既不是開域所以它既

16、不是開域, 也不是區(qū)域也不是區(qū)域. 則稱則稱 E 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社此外，點集的有界性還可以用點集的直徑來反映此外，點集的有界性還可以用點集的直徑來反映. 所謂點集所謂點集 E 的的直徑直徑, 就是就是 1212,()sup(,),PPEd EP P 其中其中(P1, P2) 是是 P1 (x1, y1) 與與 P2 (x2, y2)之間的距之間的距 離離, 即即 22121212(,)()() .P Pxxyy 于是于是, 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) d(E) 為有限值時為有限值時, E為有界點集為有界點集. E 為有界點集的另一等價說法是為有界點集的另一等價說法是

17、: , ,.a bc dE 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 存在矩形區(qū)域存在矩形區(qū)域 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社例例3 證明證明: 對任何對任何2R ,S S 恒為閉集恒為閉集. 證證 如圖如圖16 4 所示所示, S 為為的任一聚點，的任一聚點，（即（即 亦為亦為S0 xS 的界點）的界點）. 0 x為此為此0, 由聚點定義，由聚點定義，0(;).yUxS SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y圖圖 16 根據(jù)距離的定義根據(jù)距離的定義, 不難證明如下三角形不等式不難證明如下三角形不等式: 121323(,)(,)(,)

18、.P PP PPP 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 0 x設(shè)設(shè)欲證欲證存在存在數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社的點的點. 內(nèi)既有內(nèi)既有SS( ;)U y 的點的點, 又有非又有非 S0 x0,xS 為為的界點的界點, 即即也就證也就證得得 S 為閉集為閉集 注注 類似地可以證明類似地可以證明: 對任何點集對任何點集2dR ,SS 導(dǎo)集導(dǎo)集 亦恒為閉集亦恒為閉集. ( 留作習(xí)題留作習(xí)題 ) S0(; )U x 內(nèi)既有內(nèi)既有的點的點, 又有非又有非 S 的點的點. y0( ;)(; ),U yU x 再由再由為界點的定義為界點的定義, 在在

19、 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 由此推知由此推知在在 的任意性的任意性, 所以所以, 由由 SS 0 x0(; )Ux ( ; )U y y圖圖 16 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社證證 下面按循環(huán)流程來分別作出證明下面按循環(huán)流程來分別作出證明. dEEE 已知已知為閉集為閉集( 即即 ), 欲證欲證E.EEE ,pE pEE為為此此或或是是的的聚聚點點 或或是是的的孤孤立立點點. . dd,pEEEpE 若若， 則則由由得得；EE從從而而，E于于；dccint()EEEEEEEE 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二

20、元函數(shù) n元函數(shù) 反之顯然有反之顯然有 .EEE 綜合起來綜合起來, 便證得便證得 int.EEE 而而孤孤立立點點必必屬屬2R .E 例例4 設(shè)設(shè) 試證試證 E 為閉集的充要條件是：為閉集的充要條件是： cint().cEEEEE 或或.EEE 故故 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社EEE ，cint().cEE 已知已知 欲證欲證 為此為此 c,pEpE 則則外點外點, ,0,( ; ).U pE 按按定定義義使使 c( ; ),U pE ccccint().int().EEEE 有有這這就就證證得得反之顯然反之顯然 ccdint(),.EEEEE 已已知知欲欲證證

21、c(,pEpE據(jù)條件可證若不然從而由據(jù)條件可證若不然從而由d,E c 0,( ; ),U pE 故故使使1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) ),pE與與 為為 的的聚聚點點相相矛矛盾盾dd.EEEEE 故故這這就就證證得得 從而從而 cint(),pE 條條件件推推知知,EEpE 而而由由故故必必為為的的ccc,int().pEEE 故故是是的的內(nèi)內(nèi)點點 即即p 為為此此數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社注注 此例指出了如下兩個重要結(jié)論此例指出了如下兩個重要結(jié)論: (i) 閉集也可用閉集也可用“EEE ”來定義來定義 ( 只是使用只是使用 起

22、來一般不如起來一般不如“dEEE ”方便方便, 有許多便于應(yīng)用的性質(zhì)有許多便于應(yīng)用的性質(zhì) )(ii) 閉集與開集具有對偶性質(zhì)閉集與開集具有對偶性質(zhì)集集; 過討論過討論 來認(rèn)識來認(rèn)識 E. cE1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 利用此性質(zhì)利用此性質(zhì), 有時可以通有時可以通 開集的余集為閉集開集的余集為閉集. 閉集的余集為開閉集的余集為開 因為有關(guān)聚點因為有關(guān)聚點 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社例例5 以下兩種說法在一般情形下為什么是以下兩種說法在一般情形下為什么是錯錯的的? (i) 既然說開域是既然說開域是“非空連通開集非空連通開集”，那

23、么閉域就是，那么閉域就是 “非空連通閉集非空連通閉集”；D(ii) 要判別一個點集要判別一個點集是否是閉域是否是閉域, 只要看其去除只要看其去除 邊界后所得的是否為一開域邊界后所得的是否為一開域, 即即 DDD“若若為為開開域域, ,則則必必為為閉閉域域” . . 答答 (i) 例如取例如取( ,)|0 ,Sx yxy 這是一個非空連這是一個非空連 ),SGG 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸) 的并集的并集 (即即從而從而 G 不是不是開域開域, 但因它是但因它是( ,)|0Gx yxy與其邊界與其邊界 (二二1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 故故 S 不是閉域不是閉域 (不符

24、合閉域的定義不符合閉域的定義). 通閉集通閉集. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社E 為一開域為一開域, 據(jù)定義據(jù)定義 F 則為閉域；則為閉域；,DEEF D故故不不是是閉閉域域，1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) (a)中的點集為中的點集為 D; D(a) .FEE (c) 中的點集為中的點集為 F(c)(ii) 如圖所示如圖所示, E(b) (b)中的點中的點集為集為 ;EDD 易見易見 然而然而().DDD 從從而而與與不不一一定定相相同同數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定義11. 平面點列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)

25、則平面點列的收斂性定義及柯西準(zhǔn)則系完備性的幾個等價定理系完備性的幾個等價定理, 現(xiàn)在把這些定理推廣到現(xiàn)在把這些定理推廣到 R2, 它們同樣是它們同樣是 二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ)二元函數(shù)極限理論的基礎(chǔ). 2RnP 20RP 設(shè)設(shè) 為一列點為一列點, 為一固定點為一固定點. 00,N ,(; ),nNnNPU P 若若使使當(dāng)當(dāng)時時 則稱點列則稱點列 Pn 收斂于點收斂于點 P0 , 記作記作 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) R2上的完備性定理 論的基礎(chǔ)論的基礎(chǔ). 00lim().nnnPPPPn 或或反映實數(shù)反映實數(shù) 構(gòu)成了一元函數(shù)極限理構(gòu)成了一元函數(shù)極限理 數(shù)學(xué)

26、分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社000(,)(,),nnnPPxyxy當(dāng)當(dāng)與與分分別別為為與與時時 顯顯然然有有000limlimlim;nnnnnnPPxxyy 且且0(,),nnPP 若若記記 同樣地有同樣地有 0limlim0.nnnnPP 由于點列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限由于點列極限的這兩種等價形式都是數(shù)列極限, 因因 此立即得到下述關(guān)于平面點列的收斂原理此立即得到下述關(guān)于平面點列的收斂原理. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定理16.1（柯西準(zhǔn)則）2RnP 收斂的充要

27、條件是收斂的充要條件是: 0,N ,NnN 使使當(dāng)當(dāng)時時 都都有有 (,),N .(6)nnpPPp 證（必要性）證（必要性）0lim,nnPP 設(shè)設(shè)N ,()NnNnpN 當(dāng)當(dāng)也也有有時時, ,00(,),(,).22nnpPPPP 應(yīng)用三角形不等式應(yīng)用三角形不等式, 立刻得到立刻得到00(,)(,)(,).nnpnnpPPPPPP 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 1,0, 則則由由定定義義恒恒有有數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定理16.1（柯西準(zhǔn)則）2RnP 收斂的充要條件是收斂的充要條件是: 0,N ,NnN 使使當(dāng)當(dāng)時時 都

28、都有有 (,),N .(6)nnpPPp 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 當(dāng)當(dāng) (6) 式成立時式成立時, 同時有同時有 |(,),npnnnpxxPP|(,).npnnnpyyPP 這說明這說明 xn 和和 yn 都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則都滿足關(guān)于數(shù)列的柯西準(zhǔn)則, 所以它們都收斂所以它們都收斂. 從而由點列收斂概念從而由點列收斂概念, 推知推知Pn收斂于點收斂于點 P0(x0, y0). 證（充分性）證（充分性）00lim, lim,nnnnxxyy 設(shè)設(shè)數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社06,nPEPE 為為的的聚聚點點存存在在各各項

29、項互互異異的的例例0lim.nnPP使使得得 ( 這是一個重要命題這是一個重要命題, 證明留作習(xí)題證明留作習(xí)題.) 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 定理16.2（閉域套定理）2. 區(qū)域套定理區(qū)域套定理. 設(shè)設(shè) Dn 是是 R2 中的一列閉域中的一列閉域, 它滿足：它滿足： 1(i),1, 2,;nnDDn (ii)(), lim0.nnnndd Dd 則存在唯一的點則存在唯一的點 0,1, 2,.nPDn 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社圖圖 16 7 nD npD nPnpP 0P證證 如圖如圖16 7所示所示, ,1, 2,.nnP

30、Dn,npnDD由由于于因因此此 ,nn pnPPD 從而有從而有 (,)0,.nn pnPPdn 由柯西準(zhǔn)則知道存在由柯西準(zhǔn)則知道存在20R ,P使使得得 任意取定任意取定 n, 對任何正整數(shù)對任何正整數(shù) p, 有有 .n pn pnPDD 0lim.nnPP 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 任取點列任取點列 再令再令,p 由于由于 Dn 是閉域是閉域, 故必定是閉集故必定是閉集, 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 推論 因此因此 Dn 的聚點必定屬于的聚點必定屬于 Dn , 0lim,1, 2,.npnpPPDn 0P最后證明最后證

31、明 的惟一性的惟一性. 0,1, 2,nPDn 若還有若還有 則由則由 0000(,)(,)(,)20,nnnPPPPPPdn 0000(,)0,.PPPP 得得到到即即 對上述閉域套對上述閉域套 Dn , 0,N ,NnN 當(dāng)當(dāng)時時, ,0(; ).nDU P 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 則得則得注注 把把 Dn 改為閉集套時改為閉集套時, 上面的命題同樣成立上面的命題同樣成立. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社E 定理16.3（聚點定理）證證 現(xiàn)用閉域套定理來證明現(xiàn)用閉域套定理來證明. 有界有界, 故存在一個閉正方形故存在一個閉

32、正方形 .1DE 如圖如圖 16 8 所示所示, 把把 D1分成四個分成四個相同的小正方形相同的小正方形, 有有一小閉正方形含有一小閉正方形含有 E 中無限多中無限多1D2D圖16 8 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 若若2RE 為有界無限點集為有界無限點集, 由于由于 E則在其中至少則在其中至少個個點點, 在在 中至少有一中至少有一E2R則則個聚點個聚點. 把它記為把它記為 D2. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社E1D2D3D圖16 8 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) D2 如上法分成四個更小的正

33、方形如上法分成四個更小的正方形, 其中又至少有一個小閉正方形其中又至少有一個小閉正方形D3含含如此下去如此下去, 得到一個閉正方形序列：得到一個閉正方形序列：123.DDD 很顯然很顯然, Dn 的邊長隨著的邊長隨著 n 而趨于零而趨于零. 有有 E 的無限多個點的無限多個點. 定理16.3（聚點定理）若若2RE 為有界無限點集為有界無限點集, 在在 中至少有一中至少有一E2R則則個聚點個聚點. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 推論 最后最后, 由區(qū)域套定理的推論由區(qū)域套定理的推論, 0,n 當(dāng)充分大時當(dāng)充分大時0(; ).nDU M 又由又由 Dn 的取法的取法, 知

34、道知道0(; )U M 中中含有含有 E 的無限多的無限多個點個點, 任一任一有界無限點列有界無限點列 2RnP 必存在收斂子必存在收斂子列列.knP ( 證證明明可可仿仿照照 R 中中的的相相應(yīng)應(yīng)命命題題去去進進行行. ) 于是由于是由閉域套定理閉域套定理, 存在一點存在一點 0,1, 2,.nMD n1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 這就證得了這就證得了M0 是是 E 的聚點的聚點. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社 定理16.4（有限覆蓋定理）注注 將本定理中的將本定理中的 D 改設(shè)為有界閉集改設(shè)為有界閉集, 而將而將 改改設(shè)為一族

35、開集設(shè)為一族開集, 此時定理結(jié)論依然成立此時定理結(jié)論依然成立 . 1.niiD ().D 即即蓋了蓋了 D 12,n 個開域個開域 它們它們同樣覆蓋了同樣覆蓋了D, 即即 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 設(shè)設(shè)2RD 為一有界閉域為一有界閉域 , 為一族開域為一族開域 , 則則在在中必存在有限中必存在有限它覆它覆數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社qEqE證證 (必要性必要性) E 有界有界 有界有界, 由聚點定理由聚點定理 ,qE又因又因的聚點亦為的聚點亦為 E 的聚點的聚點, 而而 E 是是 閉集閉集, 所以該聚點必屬于所以該聚點必屬于

36、E 2R .E 例例7 設(shè)設(shè)試證試證 E 為有界閉集的充要條是為有界閉集的充要條是: .E于于E 的任一無窮子集的任一無窮子集 Eq 必有聚點必有聚點, 且聚點恒屬且聚點恒屬 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 必有聚點必有聚點. 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社證證 (充分性充分性) 先證先證 E 為有界集為有界集. 倘若倘若 E 為無界集為無界集, 則則 存在各項互異的點列存在各項互異的點列,kPE |( ,),1,2,.kkPO Pk k 2R .E 例例7 設(shè)設(shè)試證試證 E 為有界閉集的充要條是為有界閉集的充要條是: .E于于E 的

37、任一無窮子集的任一無窮子集 Eq 必有聚點必有聚點, 且聚點恒屬且聚點恒屬 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 0lim.kkPP 現(xiàn)把現(xiàn)把 看作看作 , kPqE由條件由條件 的聚點的聚點 (即即 ) 必必qE0P屬于屬于 E, 所以所以 E 為閉集為閉集. 易見易見kP這個子集無聚點這個子集無聚點, 這與已知條件相矛盾這與已知條件相矛盾. 為此設(shè)為此設(shè) P0 為為 E 的任一聚點的任一聚點, 由聚由聚 點的等價定義點的等價定義, 存在各項互異的點列存在各項互異的點列 使使 ,kPE 再證再證 E 為閉集為閉集. 使得使得數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連

38、續(xù)高等教育出版社 定義2設(shè)平面點集設(shè)平面點集 , 若按照某對應(yīng)法則若按照某對應(yīng)法則 f , 2RD 一點一點 P ( x, y ) 都有惟一確定的實數(shù)都有惟一確定的實數(shù) z 與之對應(yīng)與之對應(yīng) , 則稱則稱 f 為定義在為定義在 D 上的二元函數(shù)上的二元函數(shù)R 的一個映射的一個映射 ), 記作記作 :R .(7)fD 1. 函數(shù)函數(shù)(或映射或映射)是兩個集合之間的一種確定的對是兩個集合之間的一種確定的對 R 到到 R 的映射是一元函數(shù)的映射是一元函數(shù), R2 到到 R 的映的映 射則是二元函數(shù)射則是二元函數(shù). 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 二元函數(shù)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)

39、系. D 中每中每( 或稱或稱 f 為為D 到到 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社與一元函數(shù)相類似與一元函數(shù)相類似, 稱稱 D 為為 f 的定義域的定義域; 而稱而稱 ()( , )zf Pzf x y或或 為為 f 在點在點 P 的的函數(shù)值函數(shù)值; 值域值域, 記作記作 ()R.f D 為為 f 的的自變量自變量, 而把而把 z 稱為稱為因變量因變量. 也可記作也可記作 ( ,),( ,);zf x yx yD 或點函數(shù)形式或點函數(shù)形式 ( ),.zf PPD1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 全體函數(shù)值的集合為全體函數(shù)值的集合為 f 的

40、的 通常把通常把 P 的坐標(biāo)的坐標(biāo) x 與與 y 稱稱數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社在在 xOy 平面上的投影平面上的投影. 例例8 函數(shù)函數(shù)25zxy 的圖像是的圖像是 R3 中的一個平面中的一個平面, 其定義域是其定義域是 R2, 值域是值域是 R . 當(dāng)把當(dāng)把 和它所對應(yīng)的和它所對應(yīng)的 一起組成一起組成 ( , )x yD ( , )zf x y三維數(shù)組三維數(shù)組 ( x, y, z ) 時時, 3( , )|( ,),( ,)RSx y zzf x yx yD就是二元函數(shù)就是二元函數(shù) f 的圖像的圖像. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n

41、元函數(shù) 通常該圖像是一空間曲通常該圖像是一空間曲面面, f 的定義域的定義域 D 是該曲面是該曲面三維點集三維點集 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社例例9 的定義域是的定義域是 xOy 平面上的平面上的 221()zxy 單位圓域單位圓域 , 值域為區(qū)間值域為區(qū)間 0, 1 , 22( ,)|1x yxy它的圖像是以原點為中心的單位球面的上半部分它的圖像是以原點為中心的單位球面的上半部分 ( 圖圖16 9 ). xyzO1圖圖16 9 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社例例10 是定義

42、在是定義在 R2 上的函數(shù)上的函數(shù), 它的圖像是過它的圖像是過 zxy原點的雙曲拋物面原點的雙曲拋物面 ( 圖圖 16 10 ). xyzO圖圖16 10 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社圖圖16 11 xyzOz1 z2 例例11 是定義在是定義在 R2 上的函數(shù)上的函數(shù), 值域值域 22zxy 是全體非負整數(shù)是全體非負整數(shù), 它的圖像示于圖它的圖像示于圖 16 11. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社2. 若二元

43、函數(shù)的值域若二元函數(shù)的值域 是有界數(shù)集是有界數(shù)集, 則稱函數(shù)則稱函數(shù) ()f Df在在 D上為一有界函數(shù)上為一有界函數(shù) ( 如例如例9 中的函數(shù)中的函數(shù) ) . ()f Df若若 是無界數(shù)集是無界數(shù)集, 則稱函則稱函數(shù)數(shù)在在 D上為一無界上為一無界 函數(shù)函數(shù) ( 如例如例8、10、11 中的函數(shù)中的函數(shù) ). 與一元函數(shù)類似地與一元函數(shù)類似地, 設(shè)設(shè) 2R ,D 則有則有 ,lim().kkkfDPDf P 在在上上無無界界使使1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 否則否則,數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社(zc c ( , ),zf x y

44、 解解 用用 為一系列常數(shù)為一系列常數(shù) ) 去截曲面去截曲面 得等高線方程得等高線方程 22222222()().xyxycxy xyc xyxy 或或例例12 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) ( 此函數(shù)在以后還有特殊用處此函數(shù)在以后還有特殊用處 ) 試用等高線法討論曲面試用等高線法討論曲面 ( , )zf x y 的形狀的形狀. 2222, ( , )(0,0),( , )0,( , )(0,0).xyxyx yf x yxyx y 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社當(dāng)當(dāng) 0c xOy時時, 得得 平面上的四條直線平面上的

45、四條直線 0,0,.xyyxyx 當(dāng)當(dāng) 0c 時時, 由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它由等高線的直角坐標(biāo)方程難以看出它 的形狀的形狀. cos ,sin ,xryr 得到得到22sin44 ,4sin4 .rcrc或或如圖如圖16 12 所示所示, 族等高線族等高線. 1平面點集與多元函數(shù)平面點集R2上的完備性定理 二元函數(shù) n元函數(shù) 若把它化為極坐標(biāo)方程若把它化為極坐標(biāo)方程, 即令即令0,1,3,5c 所對應(yīng)的一所對應(yīng)的一 為為數(shù)學(xué)分析 第十六章 多元函數(shù)的極限與連續(xù)高等教育出版社+1 +1 +1 +1 +3 +5 +3 +5 +3 +5 +3 +5 - 1 - 1 - 3 - 5 - 3 - 5 - 1 -