概率論總結(jié)復(fù)習(xí)第五章

1、第五章 大數(shù)定律及中心極限定理習(xí) 題 課二、主要內(nèi)容二、主要內(nèi)容三、典型例題三、典型例題一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)一、重點(diǎn)與難點(diǎn)1.重點(diǎn)重點(diǎn)中心極限定理及其運(yùn)用中心極限定理及其運(yùn)用.2.難點(diǎn)難點(diǎn)證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律證明隨機(jī)變量服從大數(shù)定律.大數(shù)定律大數(shù)定律二、主要內(nèi)容中心極限定理中心極限定理定定理理一一定理二定理二定理三定理三定理一的另一種表示定理一的另一種表示定理一定理一定理二定理二定理三定理三契比雪夫定理的特殊情況有有數(shù)數(shù)則對(duì)于任意正則對(duì)于任意正的算術(shù)平均的算術(shù)平均個(gè)隨機(jī)變量個(gè)隨機(jī)變量作前作前和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量

2、 ,1), 2, 1()(,)( ,1221 nkkkknXnXnkXDXEXXX. 11lim|lim1 nkknnXnPXP定理一的另一種表示. , 1 ), 2, 1()(,)(, , , , 1221 PnkkkknXXnXkXDXEXXX即即依概率收斂于依概率收斂于則序列則序列和方差：和方差：且具有相同的數(shù)學(xué)期望且具有相同的數(shù)學(xué)期望相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量伯努利大數(shù)定理有有則則對(duì)對(duì)于于任任意意正正數(shù)數(shù)率率在在每每次次試試驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生的的概概是是事事件件的的次次數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)生生次次獨(dú)獨(dú)立立重重復(fù)復(fù)試試驗(yàn)驗(yàn)中中事事件件是是設(shè)設(shè) , 0 , , ApAnnA. 0lim1lim

3、 pnnPpnnPAnAn或或辛欽定理), 2 , 1( )( , , , , 21 kXEXXXkn 且且具具有有數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)期期望望服服從從同同一一分分布布相相互互獨(dú)獨(dú)立立設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量有有則對(duì)于任意正數(shù)則對(duì)于任意正數(shù), . 11lim1 nkknXnP獨(dú)立同分布的中心極限定理則隨機(jī)變量之和的則隨機(jī)變量之和的和方差：和方差：且具有數(shù)學(xué)期望且具有數(shù)學(xué)期望同一分布同一分布服從服從相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量), 2 , 1(0)(,)(,221 kXDXEXXXkkn .111 nkknkknkknXDXEXY標(biāo)準(zhǔn)化變量標(biāo)準(zhǔn)化變量滿滿足足對(duì)對(duì)于于任任意意的的分分布布函函數(shù)數(shù)xxFn)

4、( xtxt).(de2122 xnnXPxFnkknnn 1lim)(lim李雅普諾夫定理, 0|1,), 2 , 1(0)(,)(,122122221 nkkknnkknkkkknXEBnBkXDXEXXX 時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)若存在正數(shù)若存在正數(shù)記記和方差：和方差：們具有數(shù)學(xué)期望們具有數(shù)學(xué)期望它它相互獨(dú)立相互獨(dú)立設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量則隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化變量 nkknkknkknXDXEXZ111nnkknkkBX 11 滿滿足足對(duì)對(duì)于于任任意意的的分分布布函函數(shù)數(shù)xxFn)( xBXPxFnnkknkknnn11lim)(lim xtxt).(de2122 德莫佛

5、拉普拉斯定理恒恒有有對(duì)對(duì)于于任任意意則則的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量,)10(,), 2 , 1(xppnnn xtnntxpnpnpP.de21)1(lim22 三、典型例題 解解. , 1 , : 4). 3, 2,1,()( , , 1221指指出出其其分分布布參參數(shù)數(shù)并并近近似似服服從從正正態(tài)態(tài)分分布布隨隨機(jī)機(jī)變變量量大大時(shí)時(shí)充充分分當(dāng)當(dāng)證證明明已已知知樣樣本本的的簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單隨隨機(jī)機(jī)是是來(lái)來(lái)自自總總體體假假設(shè)設(shè) niinkknXnZnkXEXXXX , , 21獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布因因?yàn)闉閚XXX , , 22221也獨(dú)立同分布也獨(dú)立同分布所以所以nXXX

6、例例1,)( 22 iXE且且,)()()(2242242 iiiEXXEXD根據(jù)根據(jù)獨(dú)立同分布的中心極限定理獨(dú)立同分布的中心極限定理知知)(224122 nnXVniin)(11224122 nXnnii)(12242 nZn的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. , 充分大時(shí)充分大時(shí)故當(dāng)故當(dāng)n,近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布nV , 充充分分大大時(shí)時(shí)從從而而當(dāng)當(dāng)n )(12224近近似似服服從從 nnVnZ . , 22422的的正正態(tài)態(tài)分分布布參參數(shù)數(shù)為為n ?1000161,6000,61,的概率是多少的概率是多少之差的絕對(duì)值小于之差的絕對(duì)值小于所占的比例與所占的

7、比例與試問(wèn)在這些種子中良種試問(wèn)在這些種子中良種粒粒選選今在其中任今在其中任其中良種占其中良種占現(xiàn)有一批種子現(xiàn)有一批種子解解 , 0, 1粒不是良種粒不是良種第第粒是良種粒是良種第第令令iiXi., 2, 1ni ,61)1( iXP則則,1 niinXY記記.6000,61, nnBYn則則例例2根據(jù)題意根據(jù)題意, 所求概率為所求概率為 10001616000nYP),61000( nYP,61,6000 BYn因因?yàn)闉橛捎芍行臉O限定理中心極限定理有有:,651000,1000 NYn近近似似服服從從 10001616000nYP所所以以 6/5100066/510001000nYP15000

8、662 1)208. 0(2 15832. 02 .1664. 0 . )975. 0)96. 1( ,( ,19.6 3 ,100 ),10, 0( 2 效數(shù)字效數(shù)字要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有的近似值的近似值并利用泊松分布求出并利用泊松分布求出的概率的概率絕對(duì)值大于絕對(duì)值大于次測(cè)量誤差的次測(cè)量誤差的至少有至少有次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中在在試求試求假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差假設(shè)測(cè)量的隨機(jī)誤差NX解解, 6 .19 概概率率的的值值大大于于為為每每次次測(cè)測(cè)量量誤誤差差的的絕絕對(duì)對(duì)設(shè)設(shè) p6 .19 XPp 106 .1910XP例例3 96. 110XP,05. 0)96. 1(22 , 6 .19100 的的次次數(shù)數(shù)出出現(xiàn)現(xiàn)次次獨(dú)獨(dú)立立測(cè)測(cè)量量中中事事件件為為設(shè)設(shè) Xk , 05. 0 ,100 的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則則 pnk3 kP 故故31 kP2989910005. 095. 029910005. 095.