導(dǎo)數(shù)的運算法則

1、第二節(jié)第二節(jié) 導(dǎo)數(shù)的運算法則導(dǎo)數(shù)的運算法則 用定義只能求出一些較簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于用定義只能求出一些較簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，對于比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。比較復(fù)雜的函數(shù)則往往很困難。 本節(jié)我們就來建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，本節(jié)我們就來建立求導(dǎo)數(shù)的基本公式和基本法則，借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見的函借助于這些公式和法則就能比較方便地求出常見的函數(shù)數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而使初等函數(shù)的求導(dǎo)問題初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，從而使初等函數(shù)的求導(dǎo)問題系統(tǒng)化，簡單化。系統(tǒng)化，簡單化。一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理并且并且可導(dǎo)可導(dǎo)處也處也在點在點分母不為零分母不為零們

2、的和、差、積、商們的和、差、積、商則它則它處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù),)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( )1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu注注1、 （1）（）（2）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形）可推廣到任意有限個可導(dǎo)函數(shù)的情形2、 作為（作為（2）的特殊情況）的特殊情況uccucv )(，則，則若若);( )(xfCxCf 或或即常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號的外面即常數(shù)因子可以提到導(dǎo)數(shù)符號的外面3、作為（、作為（3）的一種特殊情況，）的一種

3、特殊情況，2)1(, 1vvvu 則則若若例題分析例題分析例例1 1.sin223的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxxy 解解23xy x4 .cos x 例例2 2.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .2sin1ln2cos2xxxx 例例3 3.tan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即同理可得同理可得.csc)(cot2xx

4、例例4 4yxy 求求sec解解 xycos1xx2cos)(cos xxxxxtanseccos1cossin 同理可得同理可得xxxcotcsc)(csc 二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有內(nèi)也可導(dǎo)在對應(yīng)區(qū)間那末它的反函數(shù)且內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)在某區(qū)間如果函數(shù)即即 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).例例5 5.arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解,)2,2(sin內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 yIyx, 0cos)(sin yy且且內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsi

5、n yxycos1 y2sin11 .112x 同理可得同理可得.11)(arccos2xx ;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)前面我們已經(jīng)會求簡單函數(shù)基本初等函數(shù)經(jīng)基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，但是像有限次四則運算的結(jié)果的導(dǎo)數(shù)，但是像12sin,tanln22 xxexx等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求等函數(shù)（復(fù)合函數(shù)）是否可導(dǎo)，可導(dǎo)的話，如何求它們的導(dǎo)數(shù)它們的導(dǎo)數(shù)?先看一個例子先看一個例子例例8 yxy ，求求22)1(22)1(xy 4221xx 344xxy )1(4

6、2xx 這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像這里我們是先展開，再求導(dǎo)，若像10002)1(xy 求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像求導(dǎo)數(shù)，展開就不是辦法，再像521xy 求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？求導(dǎo)數(shù)，根本無法展開，又該怎么辦？我們從復(fù)合函數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。我們從復(fù)合函數(shù)的角度來分析一下上例的結(jié)果。22)1(xy 復(fù)復(fù)合合而而成成的的和和是是由由221xuuy uyu2 xux2 )1(4)2(22xxxuuyxu xy 再如再如xy2sin )cossin2( xxy)(cossincos)(sin2 xxxx)sin(cos222xx x2cos2 注意到注意到xy2sin xu

7、uy2,sin uyucos 2 xuuuyxucos2 x2cos2 xy 由以上兩例可見：由由以上兩例可見：由)(),(xuufy 復(fù)合復(fù)合而成的函數(shù)而成的函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xy 恰好等于恰好等于y對中間變量對中間變量u的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)uy 與中間變量與中間變量u對自變量對自變量x的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)xu 的乘積的乘積xuxuyy 這就是這就是鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點而而可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點如果函數(shù)如果函數(shù)即即 因變量對自變量求導(dǎo)因變

8、量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對中間變量等于因變量對中間變量求導(dǎo)求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(.(鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t) )dxdududydxdyIxfyIxuIxIufyIxu 上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且有有在在則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)上上可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，在在若若)(,)(,)()(11 注注鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t“由外向里，逐層求導(dǎo)由外向里，逐層求導(dǎo)”推廣推廣),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè).)(dxdvdvdududydxdyxfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 例例6 6.sinln的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解.sin,lnxuuy dxdud

9、udydxdy xucos1 xxsincos xcot 例例7 7.)1(102的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例8 8.)2(21ln32的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例9 9.1sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin xxex.1cos11sin2xexx 注注1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和上述求導(dǎo)法則基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和上述求導(dǎo)法則是初等函數(shù)求

10、導(dǎo)運算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握是初等函數(shù)求導(dǎo)運算的基礎(chǔ)，必須熟練掌握2.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t是一元函數(shù)微分學(xué)的理論基礎(chǔ)和精神支柱，要深刻理解，熟學(xué)的理論基礎(chǔ)和精神支柱，要深刻理解，熟練應(yīng)用練應(yīng)用注意不要漏層注意不要漏層3.對于分段函數(shù)求導(dǎo)問題：在定義域的各個部對于分段函數(shù)求導(dǎo)問題：在定義域的各個部分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)法則處理，分區(qū)間內(nèi)部，仍按初等函數(shù)的求導(dǎo)法則處理，在分界點處須用導(dǎo)數(shù)的定義仔細(xì)分析，即分別在分界點處須用導(dǎo)數(shù)的定義仔細(xì)分析，即分別求出在各分界點處的左、右導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)求出在各分界點處的左、右導(dǎo)數(shù)，然后確定導(dǎo)數(shù)是否存在。數(shù)是否存在。四、

11、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題四、初等函數(shù)的求導(dǎo)問題1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則設(shè)設(shè))(),(xvvxuu 可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3

12、）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則).()()()()(),(xufxydxdududydxdyxfyxuufy 或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為的的則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)而而設(shè)設(shè)四、二階導(dǎo)數(shù)四、二階導(dǎo)數(shù)問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度.),(tfs 設(shè)設(shè))()(tftv 則瞬時速度為則瞬時速度為的的變變化化率率對對時時間間是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定義定義.)() )(,)()(處的二階導(dǎo)數(shù)在點為函數(shù)則稱處可導(dǎo)在點的導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)xxfxfxxfxf記作記作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 例例1010).0(),0(,arctanffxy 求求設(shè)設(shè)解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf; 0 0322)1()13(2)0( xxxf. 2 五、小結(jié)五、小結(jié)注意注意:)