初等幾何變換012

1、初等幾何變換初等幾何變換 1. 1. 前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的哪些變換？前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了圖形的哪些變換？w平移：平移的方向,平移的距離.w旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)中心,旋轉(zhuǎn)方向,旋轉(zhuǎn)角度.w相似：相似比.w對稱(軸對稱與軸對稱圖形,中心對稱與中心對稱圖形)：對稱軸,對稱中心.注：圖形這些不同的變換是我們學(xué)習(xí)幾何必不可少的重要工具,它不但裝點(diǎn)了我們的生活,而且是學(xué)習(xí)后續(xù)知識的基礎(chǔ). 回顧與反思w下面請欣賞如下圖形的變換下面請欣賞如下圖形的變換 觀察與思考 下列圖形中，每個圖中的四邊形下列圖形中，每個圖中的四邊形ABCD和和四邊形四邊形ABCD都是相似圖形都是相似圖形.分別觀察這五個圖，你發(fā)現(xiàn)每個圖中的兩分別

2、觀察這五個圖，你發(fā)現(xiàn)每個圖中的兩個四邊形各對應(yīng)點(diǎn)的連線有什么特征？個四邊形各對應(yīng)點(diǎn)的連線有什么特征？ 概念u位似變換的概念 已知點(diǎn)已知點(diǎn)O和實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)K0K0，定義平面，定義平面到自身的一一變換如下到自身的一一變換如下 ：變換中的每一對對應(yīng)點(diǎn)變換中的每一對對應(yīng)點(diǎn)A A、A A滿足滿足點(diǎn)點(diǎn)A A、A A、O共線；共線；有向線段之比（有向線段之比（OAOA/OA/OA）=K=K，如，如K0K0，則，則A A和和A A在點(diǎn)在點(diǎn)O O同同側(cè)側(cè). .K0，則，則A和和A在點(diǎn)在點(diǎn)O異側(cè)異側(cè). .則上述變換稱為以則上述變換稱為以O(shè)為中心，為中心，K K為位似比的位似變換為位似比的位似變換. .記作記作H H

3、（O ，K K）. .u位似圖形的概念 如果兩個圖形不僅如果兩個圖形不僅相似相似，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一經(jīng)過同一點(diǎn)點(diǎn), , 那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形, ,這個點(diǎn)叫做位似中心這個點(diǎn)叫做位似中心. .u判斷下列各對圖形是不是位似圖形判斷下列各對圖形是不是位似圖形. （1 1）正五邊形）正五邊形ABCDEABCDE與正五邊形與正五邊形ABCDEABCDE； 辨一辨（2 2）等邊三角形）等邊三角形ABCABC與等邊三角形與等邊三角形ABCABC.思考：是否相似圖形都是位似圖形？思考：是否相似圖形都是位似圖形？是是是是判斷下面的

4、正方形是不是位似圖形？判斷下面的正方形是不是位似圖形？不是不是ACDBFEG顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形顯然，位似圖形是相似圖形的特殊情形. .相似圖形不相似圖形不一定是位似圖形，可位似圖形一定是相似圖形一定是位似圖形，可位似圖形一定是相似圖形. . 思考：位似圖形有何性質(zhì)？思考：位似圖形有何性質(zhì)？u位似圖形的性質(zhì)位似圖形的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)2 2 :位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比距離之比等于等于相似比相似比. . 性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)1 1 :一對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共直線一對位似對應(yīng)點(diǎn)與位似中心共直線. . 性質(zhì)性質(zhì)3 3 在位似變換下，w直線變

5、換直線；w共線點(diǎn)變換為共線點(diǎn)；w共點(diǎn)線變換為共點(diǎn)線；w射線變換為射線，角變換為角；w三角形變換為三角形，且三角形的心變換為對應(yīng)三角形的心。（如外心變換為外心，等等） 性質(zhì)w位似變換具有反射性，對稱性和傳遞性.性質(zhì)性質(zhì)4 4 O.ABCACB. 作法u如圖，已知如圖，已知ABCABC和點(diǎn)和點(diǎn)O.O.以以O(shè) O為為位似中心，求作位似中心，求作ABCABC的位似圖形，的位似圖形，并把并把ABCABC的邊長擴(kuò)大的邊長擴(kuò)大到原來的兩倍到原來的兩倍. . OA:OA =OB:OB =OC:OC= 1:2 作法思考：還有沒其他作法？O.ABACBC如果位似中心跑到三角形內(nèi)部呢？如果位似中心跑到三角形內(nèi)部呢？

6、 應(yīng)用u以ABCABC的三邊為底作三個轉(zhuǎn)向相同的相似等腰三角形C CABAB，A ACBCB，B BACAC.求證A ACBCBC C是平行四邊形. C CABABA ACBCBABCABC =CBA =CBAABCABC + C + CBCBC =CBA=CBA + C + CBCBC ABCABC =C =CBABAAB:BC =CAB:BC =CB:BAB:BAABCABCC CBABAABCABCACACB B證明一證明一: C CBABAACACB BC CB =B = ACACC CA A=AB=AB=B=BC CC CB B=BA=BA=A=AC C四邊形四邊形A ACBCBC

7、C是平行四邊形是平行四邊形 應(yīng)用證明二證明二:BCABCAACBACBABCABC它們都是等腰三角形它們都是等腰三角形它們有它們有相同的底角相同的底角,設(shè)為設(shè)為,考慮旋轉(zhuǎn)變換考慮旋轉(zhuǎn)變換R R（B,B,）A AC CP P，Q.Q.R(B,-)R(B,-)A AC CPQPQ，C CB BQB.QB.BABABPBP，R(B,-)R(B,-)BABA:BC:BC=BC:BA=BC:BABPQBPQ與與BCABCA位似位似. .BP:BQ=BC:BABP:BQ=BC:BAPQCA.PQCA.(PQ,C(PQ,CA A)=)=(AC,B(AC,BC)=C)=C CA ABBC.C.同理同理，C C

8、B BAAC.C.四邊形四邊形A ACBCBC C是平行四邊形是平行四邊形. 應(yīng)用u已知: ABCABC的垂心H H,重心M M, 外心O O. 求證:H H、M M、O O三點(diǎn)共線. 設(shè)設(shè)AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1是是ABCABC的中線的中線.則則M M是是ABCABC和和A A1 1B B1 1C C1 1的公共重心的公共重心.而而ABCABC的外心的外心O O恰為恰為A A1 1B B1 1C C1 1的垂心的垂心.考慮位似變換考慮位似變換H H（M M，-2-2）, ,則則證明證明:A A1 1B B1 1C C1 1A A，B B，C.C.H H（M,-2M,-2

9、）A A1 1B B1 1C C1 1A1B1C1的垂心的垂心O O ABC,ABC,ABCABC的垂心的垂心H H.H H（M,-2M,-2）由位似變換性質(zhì)知由位似變換性質(zhì)知O O、M M、H H三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.(點(diǎn)點(diǎn)O O、M M、H H所在的直線就是歐拉線所在的直線就是歐拉線.) 應(yīng)用證明思路證明思路:設(shè)圓設(shè)圓AA1 1,B,B1 1,C,C1 1分別與分別與ABCABC的兩邊相切，的兩邊相切，A A1 1B B1 1ABAB，B B1 1C C1 1BCBC，C C1 1A A1 1CACA，又又AAAA1 1，BBBB1 1，CCCC1 1分別平分分別平分AA、BB、CC，它們共點(diǎn)

10、于內(nèi)心它們共點(diǎn)于內(nèi)心I I，A A1 1B B1 1C C1 1和和ABCABC是以是以I I為中心的位似形為中心的位似形.只要能求出位似比只要能求出位似比,作出適當(dāng)位似變換使點(diǎn)作出適當(dāng)位似變換使點(diǎn)K K變?yōu)辄c(diǎn)變?yōu)辄c(diǎn)O O,則則K K、O O、I I三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線.u等圓A A1 1,B B1 1,C C1 1有一個公共點(diǎn)O O,并且都在一個已知ABCABC內(nèi),每一個圓都與三角形兩邊相切. 試證:此ABCABC內(nèi)心I I,外心K K與點(diǎn)O O共線. 應(yīng)用點(diǎn)點(diǎn)O O為為AA1 1,B,B1 1,C,C1 1的公共點(diǎn)的公共點(diǎn)，OAOA1 1=OB=OB1 1=OC=OC1 1=R=R，R R為等

11、圓的半徑為等圓的半徑. .O O為為A A1 1B B1 1C C1 1的外心的外心.A A1 1B B1 1:AB=IA:AB=IA1 1:IA=A:IA=A1 1C C1 1:AC=IC:AC=IC1 1:IC=C:IC=C1 1B B1 1:CB:CB（平行線截比例線段），（平行線截比例線段），A A1 1B B1 1C C1 1ABCABC,位似比為位似比為=IAIA=IAIA1 1K K、O O、I I三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線. .A A1 1B B1 1C C1 1K KABCABC，O.O.H(O,H(O,) )u等圓A A1 1,B B1 1,C C1 1有一個公共點(diǎn)O O,并且都在一

12、個已知ABCABC內(nèi),每一個圓都與三角形兩邊相切. 試證:此ABCABC內(nèi)心I I, 外心K K與點(diǎn)O O共線.證明證明: 教學(xué)要領(lǐng)u聯(lián)系實(shí)際，講清概念 聯(lián)系學(xué)生所熟悉的知識，以及生活實(shí)踐，舉出實(shí)例講解概念.u縱橫比較，指出異同 運(yùn)用對比和比較的方法，幫助學(xué)生掌握概念的共性與特性，聯(lián)系與區(qū)別.u講練結(jié)合，分析思路 有關(guān)利用幾何變換來證題，應(yīng)交待證題的思路，并應(yīng)讓學(xué)生了解每類變換的應(yīng)用 范圍和大致規(guī)律.u合理要求，因材施教 盡管幾何變換很重要，在解決問題中很有用，但應(yīng)考慮到學(xué)校、班級情況各不相同，學(xué)生水平也不一致，對學(xué)生的要求應(yīng)根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)為基礎(chǔ). 課堂小結(jié)u位似變換及位似圖形的概念位似變換及位

13、似圖形的概念: 如果兩個圖形不僅形狀相同如果兩個圖形不僅形狀相同,而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一而且每組對應(yīng)頂點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)個點(diǎn),那么這樣的兩個圖形叫做那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形位似圖形,這個點(diǎn)叫做這個點(diǎn)叫做位似中心位似中心,這時的相似這時的相似比又稱為比又稱為位似比位似比.u位似圖形的性質(zhì)位似圖形的性質(zhì): 1.位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比位似圖形上的任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比. 2.在位似變換下，在位似變換下， 直線變換直線；直線變換直線； 共線點(diǎn)變換為共線點(diǎn)；共線點(diǎn)變換為共線點(diǎn)； 共點(diǎn)線變換為共點(diǎn)線；共點(diǎn)線變換為共點(diǎn)線； 射線變換為射線，角變換為角；射線變換為射線，角變換為角； 三角形變換為三角形，且三角形的心變換為對應(yīng)三角形的心三角形變換為三角形，且三角形的心變換為對應(yīng)三角形的心.（如外心變換為外心，等等）（如外心變換為外心，等等） 課堂小結(jié)u位似